SKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gian

SKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gianSKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế PHẦN I: MỞ ĐẦU I Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giáo dục, giảng dạy mơn tốn trường THPT Lang Chánh Tơi nhận thấy học sinh học làm toán “ Toạ độ không gian” em học sinh thường khó hình dung gặp nhiều khó khăn Do đặc thù môn học “ Toạ độ không gian” tương đối khó trừu tượng Khi chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang hình học giải tích học sinh thường lúng túng mắc sai lầm giải phương pháp toạ độ II Mục đích nghiên cứu - Nhờ phương pháp toạ độ cho phép nghiên cứu yếu tố hình học giải tích từ tạo mối liên hệ chặt chẽ đại số hình học - Sử dụng phương pháp toạ độ cho phép giải nhiều dạng tốn khác trong khơng gian - Nhờ đưa vào toạ độ vng góc khơng gian cho phép nghiên cứu tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ Từ thuận tiện nghiên cứu yếu tố hình học giải tích khơng gian III Đối tượng nghiên cứu - Là học sinh lớp 12 Trường THPT Lang Chánh IV Phương pháp nghiên cứu - Tự nghiên cứu đọc tài liệu V.Thời gian nghiên cứu - Hoàn thành năm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế BÀI VIẾT NÀY GỒM CÓ Phần I: Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm Phần II: Nội dung Chương I: Hình thành kháI niệm Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ không gian Chương III: Các tập tự luyện Phần III: Kết luận SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Hình thành kháI niệm I Phương trình mặt phẳng đường thẳng Phương trình mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng (  ) qua điểm M0(x0; y0; z0),  có vectơ pháp tuyến n trực tiếp suy từ phương trình vectơ sau đây:     M M n  với n = (A;B;C), n  , M(x; y; z)  (  ).Hay A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = (1) Đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta : Ax + By + Cz + D = (2) Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M0(x 0; y0; z0) có    vectơ phương u (a; b; c), u  suy từ phương trình vectơ là:  M M  tu , M(x; y; z)  d t tham số  x  x0  at    y  y  bt ,  z  z  ct  tR (3) Trường hợp abc  0, khử t từ hệ (1) ta phương trình sau gọi phương trình tắc đường thẳng x  x0 y  y z  z   a b c (4) II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) có phương trình: ( ) : Ax  By  Cz  D  ( ) : Ax  By  C z  D  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế a) Hai mặt phẳng ( ) ( ) cắt  A : B : C  A : B : C  b) Hai mặt phẳng ( ) ( ) song song  A B C D    A B  C  D  c) Hai mặt phẳng ( ) ( ) trùng  A B C D    A B  C  D Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng d qua điểm M có vectơ   phương u đường thẳng d qua điểm M 0 , có vectơ phương u Khi :  +) d d  trùng  u u  M M 0 đôi phương      u , u   u , M M 0       u , u   +) d // d       u , M M 0     u , u   +) d d  cắt      u , M M 0        +) d d  chéo  u , u .M M 0  III Khoảng cách Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm M0(x0; y0; z0) +) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = là: d M , ( )   Ax0  By0  Cz  D A2  B  C +) Khoảng cách từ điểm M1(x1; y1; z1) đến đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z   là: a b c d M ,    M M , u   u  , u (a; b; c) vectơ phương đường thẳng  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1 ,    qua M1, M2 có vectơ phương u1 , u tính theo cơng thức sau:   u , u .M M d 1 ,   2 u1 , u2  Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ mặt phẳng không gian Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng phương trình đường thẳng Phương pháp: +) Đối với mặt phẳng cần tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng điểm thuộc mặt phẳng +) Đối với đường thẳng cần tìm vectơ phương đường thẳng điểm thuộc đường thẳng Bài tốn Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D 1, Trong A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; b; 0), A1(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, B1C1, DD a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP) b) Gọi H hình chiếu đỉnh A1 lên mặt phẳng (MNP), viết phương trình đường thẳng A1H tìm toạ độ H Định hướng:   a) Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng (MNP) n  MN , MP  b) Đường thẳng A1H có vectơ phương phương với vectơ pháp tuyến  n mặt phẳng (MNP) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Giải: a) Xét hệ toạ độ Axyz ta có: z A1 N D1 B1 C1 P M A B y C D x  b   b  AB   0; ;0  , M  0; ;0      AB  (0; b;0) Vì AM  AN  AA1  BB1  B1 N  AA1  AB  1  1  AD   a; b; c   N   a; b; c  2     Tương tự ta có P a;0; c    Từ toạ độ điểm M,N,P suy 1  1   MN   a; b; c  , MP   a; b; c  2  2   Hai vectơ MN , MP không phương nên có vectơ pháp tuyến mặt phẳng (MNP) là:  b   n  MN , MP    b     c c c ; c a a 2 ; a a b b      3bc ; 3ac ; 3ab    4    SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Phương trình mặt phẳng (MNP) là: 3bc x  0  3ac  y  b   3ab z  0  4  2  3bc 3ac 3ab 3abc x y z 0 4  1 1 x y z 0 a b c (1) 4  b) H hình chiếu A1  đường thẳng A1H nhận vectơ u  n làm vectơ phương có phương trính tham số:  x  bct   y  act  z  c  abt  (2) Giả sử H(x1; y1; z1) H  (MNP) nên toạ độ điểm H thoả mãn phương trình (1) Nghĩa 1 1 x1  y1  z1   a b c (3) Mặt khác toạ độ H phải thoả mãn hệ phương trình (2) nên:  x1  bct   y1  act  z  c  abt   x1  bct Thay  y1  act vào (3) ta  z  c  abt  (4) bc ac c  ab t t t a b c 3abc  bc ac ab      t   t  2 b c  2a b  b c  c a   a Thay t vào (4) ta  3ab c 3a 2bc 3a 2b c H   ; ; c  2 2 2 2 2 a a 2b  b c  c a 2 a b b c a b b c c a          SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Vấn đề 2: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: +) Đối với vị trí tương đối hai mặt phẳng ta cần xác định hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng tỉ số chúng +) Đối với vị trí tương đối hai đường thẳng ta cần xác định vectơ phương toạ độ điểm mà đường thẳng qua Sau tiến hành bước nêu phần hình thành khái niệm Bài tốn 2.Trong khơng gian cho đường thẳng 1 giao tuyến hai  x   at  x  y  3z   mặt phẳng:  đường thẳng  :  y  1  2t 2 x  y  z    z   3t  a) Chứng minh với a hai đường thẳng 1  không song song b) Hãy tìm a để hai đường thẳng 1  cắt c) Với giá trị a hai đường thẳng 1  chéo nhau? SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Định hướng: +) Xác định vectơ phương hai đường thẳng +) Dựa vào điều kiện vị trí tương đối hai đường thẳng để xét Giải :  7  a) Đường thẳng 1 qua điểm M   ; ;0  có vectơ phương  u1 (1;1;1) , đường thẳng  qua điểm M2(2; -1; 3) có vectơ phương    u2 (a;2;3) Với a vectơ u1 u2 không phương hai đường thẳng 1  khơng song song   b) Vì hai vectơ u1 u2 không phương:    1 cắt   u1 , u2 M 1M đồng phẳng    u1 ; u .M 1M   a     c) 1  chéo  u1 , u2 M 1M không đồng phẳng    u1 ; u .M 1M   a   Vấn đề 3: Khoảng cách Phương pháp: +) Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta cần xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng +) Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng +) Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta cần xác định vectơ phương hai đường thẳng điểm thuộc đường thẳng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Bài toán Cho hình lập phương ABCDA1B1 C1D1 cạnh a) Tìm khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDM), M trung điểm cạnh AA1 b) Tìm khoảng cách hai đường thẳng BD AC1 Định hướng: Chọn hệ trục toạ dộ a) Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng (BDM) sau áp dụng cơng thức b) Xác định vectơ phương hai đường thẳng sau áp dụng cơng thức Giải: z A1 B1 M D1 C1 A y D B C x a) Chọn hệ trục toạ độ vng góc (Axyz), B(1; ;0), 1 D(0;1;0), A1(0; 0; 1), A(0; 0; 0) Khi M  0;0;  , BD(1;1;0) , BM   1;0;   2  2 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Hai vectơ BD BM không phương Từ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (BMD) là:  0 -1  -1   1    ; ; n  BD, BM   1    ; ;1 -1 -1   2  0 2     Khi mặt phẳng (BMD) có phương trình: 1 ( x  1)  y  z  hay x + y + 2z – = 2 Vậy khoảng cách từ điểm A(0 ; ; 0) đến mặt phẳng (BDM) là: d ( A, ( BMD))  1  6 b) Vectơ phương đường thẳng AC1 AC1  (1;1;1) Khi ta có phương trình tham số đường thẳng AC1 là: x  t  y  t z  t  (1) Tương tự ta có phương trình tham số đường thẳng BD là: x   t  y  t z   (2) có vectơ phương BD  (1;1;0) Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta có: d BD, AC1   BD, AC .AB  BD, AC  1 6 Chú ý: Tính khoảng cách hai đường thẳng 1  chéo ta làm theo bước sau: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa  song song với 1 Tìm khoảng cách từ M  1 đến (P) 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Chương III: Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh điểm M, N, I, J trung điểm cạnh AD, BB1, AB, C1D1 a) Chứng minh hai đường thẳng MN IJ cắt nhau, vng góc với b) Viết phương trình mặt phẳng qua hai đường thẳng MN IJ Bài tập 2:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho đường thẳng 1 giao 2 x  z   đường thẳng  giao tuyến  x  y   tuyến hai mặt phẳng  3 x  y   3 y  z   hai mặt phẳng  a) Chứng minh hai đường thẳng 1  chéo b) Tìm khoảng cách hai đường thẳng Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; ; 3) ,B(1 ; ; 2) , C(5 ; ; 4), D(4 ; ;6) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) b) Viết phương trình mặt phẳng qua AB song song với CD c) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng qua G song song với mặt phẳng (ABC ) Bài tập 4: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau : a) 2x -3y + 4z – = 3x - y +z – = b) -x +y - z + = 2x - 2y + 2z -7 = c) x + y + z - = 2x - y + z - = d) 3x + 3y -3z - 12 = x + 4y - 4z - 16 = Bài tập 5: Viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua A(1 ; ; ) chứa trục Oy b) Đi qua giao tuyến hai măt phẳng : x - 3z +1 = , 2y +3z - = vng góc với mặt phẳng 2x - y - = c) Đi qua giao tuyến hai măt phẳng 3x - y + 3z +8 = , -2x - y +z +2 = song song với mặt phẳng x - y - = Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng : x 1 y  z    , x 1 y z  d2 :   1 d 1: a) Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo b) Chứng minh d1 song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 = 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế c) Tính khoảng cách d1 (P) d) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( ; -1 ;0) qua đường thẳng d1 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Trịnh Văn Huế Kết luận Trong chương trình giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng , mơn học toạ độ khơng gian đóng vai trò quan trọng Nó tạo mối liên hệ chặt chẽ đại số hình học Đồng thời trang bị cho học sinh thuật tốn giải tốn hình học, giúp học sinh phát triển tư trừu tượng, óc sáng tạo trí tưởng tượng khơng gian Do u cầu mơn học tính chất viết, với kinh nghiệm hạn chế Mặc dù cố gắng nhiều, song viết không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Cơ sở hình học : Nguyễn Cảnh Tồn – NXB Giáo dục, Hà Nội-1969 Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp: Trương Đức Hinh - Đào Tam - ĐHSP Huế-1995 Sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao 14 ... u2  Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ mặt phẳng không gian Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng phương trình đường thẳng Phương pháp: +) Đối với mặt phẳng cần tìm vectơ pháp tuyến mặt... kiến kinh nghiệm Phần II: Nội dung Chương I: Hình thành kháI niệm Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ không gian Chương III: Các tập tự luyện Phần III: Kết luận SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM... Kết luận Trong chương trình giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng , mơn học toạ độ khơng gian đóng vai trò quan trọng Nó tạo mối liên hệ chặt chẽ đại số hình học Đồng thời trang bị cho học sinh