DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN

DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM CO ĐÁP ÁN.

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2012 Trường ĐHGTVT Tp HCM

Môn thi: Toán cao cấp B

(Dành cho chuyên ngành 7ổ chức và quản lý vận tải)

Đề số 2 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1: Tìm các cực trị của hàm số: z = ƒ(,y) = xŸ — (y + 1) + 12xy + 12x

Câu 2: Giải phương trình vi phân sau: y” — 8y' + 16y = e"#(25x + 15) + 16x” — 8 Câu 3: a/ Tìm hạng của ma trận sau: 1 2 3 1 2 A= 2 3 4 2 3 3 4 5 3 4 1 2 3 4 5 b/ Giải hệ phương trình tuyến tính: xty+z—3u-v=0 x-y-ztu-3v=2 2x-ytz+2v=5 y-2z-2utv=—4

(x,y,z, u,v la cac an sé) Câu 4: Từ những thanh vật liệu có độ dài 4m , cần cắt ra: 300 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,5m; 750 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,1m; 900 đoạn, mỗi đoạn có độ đài 0,9m Hãy thiết lập mô hình cho bài toán cắt vật liệu này sao cho tổng số vật liệu dư thừa từ những thanh được cắt là nhỏ nhất

Trang 2

a X

MƠN TỐN B- ĐÁP ÁN ĐỀSỐ2 - 20¡/ Câu 1 có: z„ = 3x” + 12(y + 1); zy = —3(y + 1)” + 12x;

.„ („=0 x=0,y=-1

A = 24 = 6x,B = Zyy = 12, = 22 = —6(y + 1); HE: lý =o = l =4 >- _s:

Tai M(0;—1)c6 AC — B? = -144 < OnénM khong phai la diém cực trị

Tai N(4;—5)c6 A = 24 > 0 va AC — B? = 242 — 122 > 0 nénz dat cwe tiéu vazy = —64

Câu 2 Xét phương trình thuần nhất tương ứng: y” — 8y' + 16y = 0 (1a)

có phương trình đặc trưng: k2 — 8k + 16 = 0 với nghiệm kép: k = 4 Do đó (1a)có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: yị = e“*,y; = x d!*,

Xét các phương trình:

y'—8y'+16y=e *(@x+1) (1b) y"—8y'+16y=16x?-8 (1c)

Tìm được một nghiệm riêng của (1b) là: y7 = e"*(% + 1)

Tìm được một nghiệm riêng của (1c) là: yš = x? +

Do đó phương trình đã cho nhận y” = yj + yš = e"*“(x+ 1)+x?+#x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Trang 3

Do _ 9012 (2) Câu 4 Toàn bộ các cách cắt một thanh vật liệu với số đoạn các loại và độ dài đoạn dư được chỉ ra trong bảng sau: Loại Số đoạn theo cách cắt Cl C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 1,5m 2 1 1 1 0 0 0 0 1,1m 0 2 1 0 3 2 1 0 0,9m 1 0 1 2 0 2 3 4 ' Dư(m) 0,1 0,3 0,5 0,7 0,7 0 0,2 0,4 Gọi x; là số thanh vật liệu được cắt theo cach Cj (j = 1,8) Mơ hình tốn học của bài toán là: Tìm các số x;,ƒ = 1,8 sao cho: ƒ= 0,1x¡ + 0,3x; + 0,5x; + 0,7x¿ +.0,7xz +.0,2x; + 0,4xg — mm, 2X4 + X2 + X3 + X4 = 300 2x; + Xg + 3X5 + 2X6 + X7 = 750 #4 +#a + 2x4 + 2x¿ + 3x; + 4x; = 900 xj 20, Vj =1,2, ,9

Câu 5 Đây là BTVT đóng PACB xuất phát được tìm theo phương pháp cực tiểu cước phí và được kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu trong bảng 1 sau đây:

Bảng 1 cho thấy PA đang xét không phải là PATƯ Từ chu trình được đánh dấu (+), (-) luân phiên, ta xác định được lượng hàng điều chỉnh q = 50 Từ đó PACB mới được thiết lập và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu trong bảng 2 sau đây:

Trang 4

Dy “D42

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2012

Trường ĐHGTVT Tp HCM

Mơn thi: Tốn cao cấp B

(Dành cho chuyên ngành 7ô chức và quản lý vận tải) Đề số 1 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1: Tìm các cực trị của hàm số: z = ƒ(x,y) = (x — 1) — y3 + 12xy — 12y

Câu 2: Giải phương trình vỉ phân sau: y” — 6y' + 9y = e*(4x — 8) + 9x? + 6x — 10 - Câu 3: a/ Tìm hạng của ma trận sau: 12-1 1 2 _ |1 3 -4 -1 5 4=|11 2 70 3 5 0 5 8 b/ Giải hệ phương trình tuyến tính: x+y+z—3u—0 =1 x-y-zZ-ut3ve=l 2x+y—z—3u+ 20 = 1 x— 2z + 3U = —1 (x,y,Z,tu,0 là các ấn số)

Trang 5

à J - (eae i) MON TOAN B- DAP AN DESO 1 Câu 1 c6: 2, = 3(x — 1)? + 12y; 2 = —3y? + 12(x — 1); x=l1l,y=0

A =2 = 6(x —1),B = 2, = 12,0 = z2 = —6y; Hệt [2 = 0 =Zy2 — (x ), = Zyy = 14,0 = Zy2 = —oy, eo @lpasy=—4

Tại M(1; 0)có AC — B? = —144 < 0 nên M không phải là điểm cực trị

Tại NŒ; —4)có A = 24 > 0 và AC — B2 = 242 — 122 > 0 nên z đạt cực tiểu uà z¿y¿ = 192

Câu 2 Xét phương trình thuần nhất tương ứng: y” — 6y' + 9y = 0 (1a)

có phương trình đặc trưng: k” — 6k + 9 = 0 uới nghiệm kép: k = 3 Do đó (1a)có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: y, = e3*,y; = x.eŸ*,

Xét các phương trình:

y" —6y'+9y =e*(4x-8) (1b); y”—6y'+ 9y = 9x2 + 6x — 10

Tìm được một nghiệm riêng của (1b) là: yƒ = e*(x — 1)

Tìm được một nghiệm riêng của (1c) là: yŸ = x? + 2x

Do đó phương trình đã cho nhận y* = yƒ + y¿ = e*(x — 1) +x? +2x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Trang 6

Suy ra hạng A = hạng A =3

b/ Bài toán tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính:

= 2u — 1

x+y+zZ—-3u—w=1 7 —"

Xx—y—z—u+3u=1 a hn Re ORY AS ta, _ 1

2x+y—z—3u+20 =1 (x,y,z, tu, 0 là các ẩm số) Hệ có nghiệm: 4 Z HH, x— 2z + 3U = —~1 ø tùy ý Câu 4 Toàn bộ các cách cắt một thanh vật liệu với số đoạn các loại và độ dài đoạn dư được chỉ ra trong bảng sau: Loại Số đoạn theo cách cắt Cl C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 cọ 1,2m 2 2 1 1 i 0 0 0 0ˆ 0,9m 1 0 2 1 0 3 2 1 0 0,7m 1 0 2 3 1 2 3 5 Du(m) 0,2 0,4 0,5 0 0,2 0,1 0,3 0,5 0 Gọi x; là số thanh vat liệu được cắt theo cách Œj ( = 1,9) Mơ hình tốn học của bài toán là: Tìm các số x;,j = 1,9 sao cho: f = 0,2x, + 0,4x2 + 0,5x3 + 0,2x5 + 0,1%6 + 0,3x7 + 0,5xg > min, 2X4 + 2x2 + X3 + X44 Xs = 200 X4 + 2X3 +X4 + 3X6 + 2x7 + Xg = 450 X2 + 2X4 + 3X5 + X6 + 2X7 + 3Xg + 5X9 = 700 x„>0, Vj=1,2, ,9

Trang 7

Da 2042 (2 )

One}

Bảng 1 cho thấy PA đang xét không phải là PATƯ Từ chu trình được đánh dấu (+), (-) luân phiên, ta xác

Trang 8

Py - 204 b

)

BO GIAO THONG VANTAI ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HOC NAM 2016

TRƯỜNG ĐH.GTVT TP.HCM MON: TOAN CAO CAP B

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I: Tìm cực trị của ham hai bién f(x, y) = x‘ +2y? + 2xy’ +x? +1 voi (x,y) e R?

Câu 2: Giải phương trình vi phân: y”—5y' +4y=(2x+1)e" 1 0 -I 2 2 -6 4 A 2, ^ _10 -1l 1 -2 13 1 5 Cau 3: Cho cac matran A= 3300 1 , B= 0 3 6 1 O m 0O 8 2 3 a) Với điều kiện nào của tham số thực 7 thì ma trận 44 khả nghịch 2? b) Cho m=0, tìm ma trận X thỏa 4X = Ưư

Câu 4: Áp dụng thuật toán thế vị giải bài tốn vận tải khơng cân bằng thu phát, với yêu cầu

các trạm phát phân phối hết hàng và tổng cước phí vận chuyển là thấp nhất: th Phat) p-150 | B,:240| B;: 100 | B,:210 4:140 | 12 15 16 17 4,:160 | 17 14 18 13 4:150 | 14 18 13 18

Câu 5: Một công ty bán lẻ máy ảnh muốn tìm hiểu mức độ hài lòng của khách hàng đối với

hai dòng sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nghiệp Nikon và Canon; khách hàng sẽ cho điểm với thang điểm 10 đối với sản phâm của họ Kết quả khảo sát của sản phẩm Canon như sau:

X (điểm) [0-2) LÍ2-4) |I4-6) |[6-8) |[8-10]

So người 5 17 25 78 4S |] -

a) Dựa vào bảng trên hãy ước lượng khoảng tin cậy đôi xứng cho điểm sô trung bình của sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon với độ tin cậy 97%

b) Theo công ty trên, nếu một người cho điểm sản phẩm của mình từ § điểm trở lên tức là họ yêu thích sản phẩm đó Hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ người dùng yêu thích sản phẩm máy chụp ảnh chuyên nhiệp Canon với độ tin cậy 95% e) Kết quả khảo sát 200 khách hàng dùng máy ảnh Nikon như sau: điểm trung bình

Trang 9

Dy - 20 4t ĐÁP ÁN Câu I: #,'=4x`+2y°+2x, ⁄ =4y+4xy fi =0 4x? +2y’ +2x=0 y=0Vvx=-l , > = 3 2 3 f, =0 2x +y+x=0 tìm được 3 điểm đừng M,(0,0); M,(-1,-V3); M,(-1,V3) Dat A= fl,=12x'+2; B= fi =4y;C= fl =444x Tim diém dimg: Giai hé 4y+4xy =0 Điểm dừng M,(0,0) | M,CI-/3) M,(-1,V3) A 2 14 14 B 0 4/3 4x3 C 4 0 0 A= AC—B* 8 -48 —48 Két ludn Cực tiêu | Không là cực trị | Không là cực trị ⁄#@œ,y) Ị

Câu 2: Phương trình đặc trưng: z?—5z+4=0 © (z—1 —4) =0

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt r =1vr = 4

Nghiệm tông quát của phương trình thuần nhất tuong ting c6 dang: y, =Ce*+C,e™ Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: Y =(Ax? + Bx)e*

=> Y'=e*[Ax? +(2A+B)x+B] Y" =e*[Ax’? +(44+ B)x+2A+2B] Thế vào đề bài: Y"—5Y'+-4Y =(2x+1)e' ©

e[ Ax?+ (4A+B)x+2A+2B] +e*[-S Ax’ + (-104—5B)x-5B]

+e*[ 44x? + — 4Bx] =(2x+le*

À Apia Ari: Ấ -64=2 A=-\,

Trang 10

1 0 -1 2/1 000 10-1 2{1 0 -3 3 -5_-3 0 I 0 h4csh3 _ 0 0 1 -2-1 001 0 0 0 1/3 100 0|0 0 01 10000 0 0 10 0|-1 -1 0 1 0 1 0 0-1 -I 001241 0 01/7 001027 <6 (0 0 0 1/-3 -3 1 0 000 143 -3 0 0 01 8g 2 3 a gel 1 -1 0 1 4 3 7 -6 Vậy Av = -7 -6 2 1 X=A'B= -24 32 -43 3 3 1 0 -15 12 -21 Câu 4: mm NY Oo OC —- Oo CC & 0 0 1 0 DS eS ¬

Đây là bài toán vận tải không cân bằng thu phát vì , a,= 450 < > b, = 700

Trang 11

“~~ Dy ~2DAG (4) 00 -5 -2 Lượng kiểm tra : (A,) = 7-1-9 0 ,A„,<0,Vi, 7 nên phương án trên đã tối ưu #4 | QO -1 0 -1| 7 -6 0 -8 0 100 40 00 Phương án tối ưu của bài toán gốc là: x'=| 0 0 0 160 50 0 100 0 Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất là: ƒ„ = ƒ(x') =5880 Câu 5: a) Cỡ mẫu 7„„„ = 170; điểm trung bình x„„„ = 6.6588; độ lệch chuẩn mẫu s„„ = 2.0529 Độ tin cậy l— ø = 97% > Z„;z = 2.17, Sai số ước lượng: e= Sconm@a12 — 0.3417 Acanon Khoảng tin cậy 97% đối với điểm trung bình của dòng máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon: [Z—-e,X+e]=[6.3171;7.0005] b) Tỉ lệ người dùng yêu thích sản phẩm Canon: ƒ = = = = 0, 2647 Độ tin cậy 1—ø =95% => Z„„; = 1,96

Sai số ước lượng c= Z„,„ |“ —/2 = 0.0663 n

Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người dùng yêu thích dòng máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon: [#—e; +] =[0.1984;0.331]

e) Đối với sản phẩm Nikon: mu = 2003 Xyipon = 9295 Sp = 5 Cần kiểm định cặp giả thiết và đối thiết sau:

H

| 0 * Hanon = nikon strong 46 Leanon> Hxikon lần lượt là (điểm số) trung bình tổng thể của

H: Hcanon z nikon

dòng máy chụp ảnh chuyên nghiệp Canon và Nikon

Trường hợp cỡ mẫu lớn, phương sai tổng thể chưa biết;

Thống kê sử dụng: _ĂỒỚố 2 .Ắ = 0.7117

Ss

’Canon_ 4 Nikon ” Nikon,

Neanon — “Nikon

Giá trị tới han xAp xi: Z,) = Zo 5 =1,96

Do |£|< Z4„;: với mẫu điều tra trên, chưa đủ chứng cứ để bác bỏ ạ, vậy có thể cho rằng

Trang 12

Đi - 2046 ĐẺ THỊ TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2016

MƠN: TỐN CAO CÁP B

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐH.GTVT TP.HCM

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số : ƒ(x, y)= 6x) +9x?y—4y°+3y+1 với (x, y) R7

Câu 2: Giải phương trình vi phân : y“—4y+4y=e?“(10—6x) , thỏa mãn các điều kiện y(0) =-3, y'(0)=-4 -] 2 0 m-2 2 1 0 A 4u , ^ _| 2 1 1 3 _10 3 -l Câu 3: Cho các ma tran A= 0 m-1 3 0 Ƒ B= 10 2 1 0 -l 4 1 -1 0

a) Tim tat cả các giá trị của tham số thực m dé cho det(A)=-11

b) Với z=-3, hãy tìm ma trận nghịch đảo 4" Áp dụng kết quả tìm được, hãy tìm

ma trận X sao cho 4X = B

Câu 4: Giải bài toán vận tải có sô liệu được cho trong bảng sau với yêu câu các trạm thu nhận đủ hàng và có tông cước phí vận chuyên là thâp nhât: TU Phát | m:200 | B8, :250 | B,:190 A:300 | 35 27 30 A:170 | 28 33 34 A,:180 | 26 31 27 A,:150 | 30 36 25

Câu 5: Để khảo sát đường kính của chỉ tiết máy, người ta kiểm tra một số sản phẩm của hai nhà máy Trong kết quả sau, X, Y tương ứng là đường kính của chỉ tiết máy do nhà máy 1, nhà máy 2 sản xuất X(cm) [10-10,2] | (10,2-10,4] | (10,4-10,6] | (10,6-10,8] | (10,8-11] | (11-11,2] Số sản phâm 15 30 60 105 130 ó0 Y(cm) [10,2-10,4] | (10,4-10,6] | (10,6-10,8]| (10,8-11] | (11-11,21 | (11,2-11,4] S6 san pham 70 150 120 100 50 10

a) Dựa vào kết quả quan sát, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho đường kính trung

bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 2 sản xuất với độ tin cậy 99%

Trang 13

/ Py ~ ZOMG oO DAP AN Cau: f/ =18x"° +18xy; f) =9x? -12y? +3 x=0,y=+1/2 “=0 (18x? +18xy =0 x(x+ y) =0 Giaing [Oo {BE fi =0 9x°~12y?+3=0 TBO 3x° -4y* +1=0 POO) yet ¥ x=-l,y=l Vậy hàm ƒ(x,y) có 4 điểm dừng A⁄(0,—1/2); N(0,1/2); P(—1,); Óq,—1) A= fi =36x+18y; B= ‘ =18x5;C =f =-24y Lập bảng:

A |B [C B’-AC | Ham f(x,y)

M(0,-1/2) | -9 0 12 108>0 1 không phải là điểm cực trị N(0,1/2) 9 0 -12 | 108>0 N khéng phai 1a diém cực trị

P(-1,1) -18 | -18 | -24 | -108<0 | P ladiém cue dai, f= f(-1,) =3 O(1,—-1) 18 | 18 | 24 | -108<0 | Q ladiém cuc tiéu, f= f(,-1) =-1 Câu2: y! —4y'+4y =e? (10-6x) (1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y” —4y'+4y =0 Phương trình đặc trưng: &”—4k+4=0 © k =k, =2

Nghiệm tổng quát của (2): ÿ = (Œ +C;x)e? Tìm nghiệm riêng y, cua (1):

wm=l; œ=2 là nghiệm kép phương trình đặc trưng nên y, có dạng:

y, =x" (ax+b)e™* =(ax)+bx”)e?

Trang 14

Dp~ 20446 €2 -~-1 2 0 -5|I 0 0 0 1-2 0 5/-1 00 0 (411,) 2 -1 1 0100 ian 0 3 1 -712 100 0 -4 3 0 0 1 0| %7“ l0 -4 3 010 010 1 0 -1 4/0001 0 2 -1 -1/1 001 i 2 0 5 |-I 00 0 10 4 -7|1 2 0 -2 7m J0 L 2 -6]1 1 °0 -1 _hiyaiacaht_y 0 1 2 -6/1 1 0 -1 mam”) 9 0 7 212 0 1 2) 7 y 0g 1 -2l2 9 1 2 0 2 -1 -1 00 1 0 0 -5 I1I1|-1 -2 0 3 I1 00 I1 |-7 2 -4 -10 100 0|-16 4 -9 -23 mamon |0 | O -2)-3 1 -2 -5 | frie, |0 10 0|15 -3 8 21 “8834 10 0 1 2/2 0 1 2 hàt há shà 0 1 0|20 -4 11 28 000 14,9 -2 5 13 0 00 1| 9 -2 5 13 -16 4 -9 -23 ~ , | 15 =3 8 21 Vay A 20 -4 11 28 9 2 5 13 Ap dung -16 4 -9 -23)\(2 0 -64 19 -22 15 -3 8 210 3 -1 _| 59-15 19 20 -4 11 28 |1 0 2 79 -20 26 — I — Oo 9 —2 5 13 36 -10 12

Câu 4: Ta có: 3g, = 800 >2, = 640 Thêm trạm phát giả Ö, với b, =160

Trang 15

Thu 200 250 190 160 tL Phat 35 27 30 0 300 250 50 0 28 33 34 0 170 60 110 0 26 31 27 0 rao 140 | 40 | ° 30 36 25 0 Pe 150 4 V, 28 27 29 0 7 0 10 0 6 5 0 A, )= A, 20, Vi, j (A)*Íg ¿ 9 par? 0% 6 13 0 4 0 250 0 ee ¬ 60 0 0 Phương án tơi ưu của bài tốn là: x” = 140 0 40 00 150 Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất là: I nin = J (X") = 16900 Câu 5: Gọi /,/; tương ứng là đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 1 và nhà máy 2 sản xuất Tinh các đặc trưng mẫu: Kích thước mẫu | Trung bình mẫu | Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Nha may 1 m = 400 x =10,743 5, = 0,2586 Nha may 2 n= 500 y =10,676 Sy =0,2553 a) Khoảng tin cậy đôi xứng cho đường kính trung bình của một chỉ tiết máy do nhà máy 2 sản xuất là: (y—e,ÿ+£) Độ tin cậy l— ø = 99% => øz/2 = 0,005 0(Z„,;)=0,5—~œ/2=0,495 — z„„ = 2,576 Sai số: e =z 5 al2 Jn = 0,029 Vay Œ—e,y+£)=(10,647;10,705)

Roysk gs we pki a k A, Fy: Ly = My

b) Can kiém dinh cap gia thiét thong ké:

Ay: Ly > My

Tinh théng ké: T = A = 3,8842

5s Sy

mon

Muc y nghia a =3%; g(z,)=0,5-a@ =0,47 > 2, =1,881

Trang 16

D, - 2046

BO GIAO THONG VAN TAI ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2016

TRƯỜNG ĐH.GTVT TP.HCM MƠN: TỐN CAO CÁP B

Câu 1: Tìm cực trị tự do của hàm sô

z(x,y)= 2x) +11x? +14x+2x(Ï -2y)+§y-4yˆ, (x,y)eRR =1 1 0 2 3 „ 2 -—]l m+] 0 —] 7 Câu 2: Cho các ma trận 4= ,B= voimeR m 4 I —2 1 —2 2 I1 21

a) Tính định thức det(A) va tìm các giá trị của tham sé m dé cho det(A)=—58 b) Với m=2, chứng minh rằng ma trận 44 khả nghịch và tìm ma trận X sao cho

AX=5

Câu 3: Giải phương trình vi phân: y” +5y' +6y=e”*(2x+3)+6x”~20x—I11

Câu 4: Giải bài toán vận tải có sô liệu được cho trong bảng sau với yêu câu các trạm thu nhận đủ hàng và có tông chi phí vận chuyên là thâp nhât Thu Bì Bo Ba Phát 60 90 120 Ay: 50 10 13 17 Az: 70 14 1] 15 Az: 100 12 16 18 Ag: 80 20 19 21 Cầu 5:

a) Một lô hàng có 15000 sản phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm của lô hàng, thấy có 12 phế phẩm Dựa vào mẫu quan sát, hãy ước lượng khoảng tin cậy cho sO phế phẩm có trong lô hàng với độ tin cậy 98%

b) Để so sánh trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở hai nhóm bà mẹ (nhóm 1 va nhóm 2 tương ứng gồm các bà mẹ nghiện hút thuốc lá và không nghiện hút thuốc lá), người ta cân ngẫu nhiên một số trẻ ở hai nhóm này và có kết quả như sau:

Nhóm 1:| Trọng lượng X (kø)|[1,0-2,0)|[2,0-2,4) |[2,4-2,8) | [2,8-3,2) |[3.2-3,6) |[3.6-4.6]

Số trẻ sơ sinh 17 45 70 95 50 23

Nhóm 2: Cân 400 trẻ sơ sinh, tính được trung bình ÿ =2,95kg, độ lệch mẫu hiệu chỉnh s, =0,72 kg

Trang 18

(1) Dy ~ 2OAG ĐÁP ÁN Câu l: z(x,y)=2x°+11x?+14x+2x(y°~2y)+§y—4y? z, =6x”°+22x+14+2(y?—2y) z,=2x(2y~2)+8—§y b ch y (4x-8)(y-1) =0 x=-3 x=-2/3 + _x=2=2y”~4y+86 =0 (pt vô nghiệm)

Vậy hàm z(z, y) có hai điểm dừng: Ä⁄Z(-3,1) và N(-2/3,1) A=z,=1l2x+22; B=z„=4y—4; C=z„=4x—8 — Tại ẢM⁄(-3,]), tacó: 4=-—14, B=0, C=-20, A = B* — AC =-280 A<0,4<0 nénham z(x,y) dat cuc dai tai M(-3,1), 2,,,., = 2(-3,1) =13 — Tại N(-2/3,1, ta có: 4=14, B=0, C=-32/3,A=448/3>0 Hàm z(x, y) không đạt cực trị tại N(-2/3,1) =] Ì 0 2 -1 Ì 0 2 ˆ 2 —l m+l 072 >h2+2h10 1 mt+l 4 Câu 2: a) det(A) = 0 4 I|h4—>h4+h1l |0 m 4 I + ;=129È+11xr+6=0| 1 2 2 1 0 -1 2 13 1 m+l1 4 =-|m 4 1|=-(52-m~1+§m+16~2—13m(m+1))=13mˆ +6m~ 65 -1 2 13 ĩ =—Ì ím= 7/13 b) Với =2, ta có: det(4) =—1 s0 Vậy ma trận A khả nghịch de(4)=~59 c>13m + ồm~7=0 e9] =1 I1 0 213 -1 1 0 2] 3 (4| B) = 2 -1 3 Oj} -L|hA23h2+2h1;0 1 3 44°55 2 4 1|-2|h4->h4+hl |0 2 4 1 |~-2 1 -2 2 11121 0 -1l 2 13] 24 -1 1 0 24 3 -l 10 2] 3 h3->h3-2h2|0 1 3 4 5 0 1 3 4 5 h4 > 2h4+5h3 h4->h4+h2 |0 0 -2 -7|-12 0 -2 -7|-12 0 0 5 17|29 | 0 0 -I| -2 x —x+y+2t=3 x=l 1 pat Y=|"|.ue ayepo ltt oI? | vay x= Z ~2z— 7£ =—12 z=-l -Ì t —=‡ =—2 t=2 2

Câu 3: y“+5y' +6y=e ”*(2x+3)+6x?=20x—11 (1) — Phương trình thuần nhất tương ứng : y”+5y +6y=0 (2)

Trang 19

Nghiệm tổng quát của (2) là: ÿ = Ce +C,e**

— Tìm nghiệm riêng y„ của phương trình vi phân y’ +5y'+6y=e7*(2x+3) (3)

Về phải của (3) có dạng e"*P.(x) với n=1,œ =~2

œ =~2 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên Vy = xO", (x) = xe” (ax+b) = e ?*(ax? + by) Áp dụng các công thức đạo hàm: ae = uly +!

(uv)" =ul"v+2u'v! +uv!

y,, =e * (ax? + bx) x6

Yi, = —2e* (ax? + bx) +e (2ax +b) xã yh =4e* (ax? + bx) — 4e* (ax +b) +e" 2a | x1 0 +e°*(2ax+b) +2ae? | Thay y„, yị, yị¡ vào (3), ta được: e?*(2ax+b)+2ae = e* (2x +3) 2a=2 a=]l ae = ee oot yn =e +3)

— Tìm nghiệm riêng y,; của phương trình vi phân y” +5y' +6y= 6x? —20x—11 (4) Về phải của (4) có dạng e“P (x) với n=2,œ =0

œ =0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên 1; =£”Q,(x)= A4” + Bx+C, y„ =2Ax+B, y}h =2A

Thay y,;,;;,y,„ vào (4), ta được: 24+5(24x+ B)+6(4x? + Bx+Œ)=6x?—20x—11 64=6 A=l => 104+6B=-20 œ6©4B=-5 ;y„=x?—-5x+2 2A+5B+6C =-11 C=2 — Nghiệm tổng quat cta (1) la: y=V+Y, +) =Ce* + Coe +e (x2 +x) $x? —5x +2 (C,,C, là các hằng số)

Trang 20

( Dy - 201

Chu trình điều chỉnh đi qua các ô: (1,2); (1,1); (3,1) và (3,2) Lượng điêu chỉnh g = min{50;20} = 20 Bang 2 Thu Phát 60 90 120 30 U, 10 13 17 0 0 3U | 30 | 20 70 14 11 15 0 -2 70 100 12 16 18 0 2 [30 J70_ 80 20 19 21 0 5 [s0 | |30 | V, 10 13 16 -5 (0 0 1 5) Luong kiém tra A = (A,) = ọ ' ọ 3 ,A,>0,Vi, j 5 1 00 30 20 0 Phuong an toi ưu của bai todn la: x* = 30 1 20 0 0 50 Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất là: | #2 = ý”) = 4000

Theo phương án này, các trạm phát 44,44, 4, phát hết hàng, trạm 44, còn thừa 30 đơn vị hàng Cau 5: a) Goi m, p tương ứng là số phế phẩm và tỷ lệ phé pham trong 16 hang Tacé: p=m/15000 Kích thước mẫu n=200 Tỷ lệ mẫu ff, =12/200 = 0,06 Độ tin cậy 1— ø = 0.98 > øz/2=0.01, z„,; = 2,326 Độ chính xác £ = Z„„¿ 20-0) = 0.03906 n Khoảng tin cậy cho p la: f,-e<p<f,te m <f,+é = 15000(ƒ/, — ø)< m < 15000(ƒ, + £) =314,1< m <1485,9= 315 <m <1485 b) Gọi /„, , tương ứng là trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở nhóm 1 va nhom 2 lạ : th = th Ai, : Ly # fy Các đặc trưng mầu Nhóm 1: z=300; x=2.8527; s„=0.5998 Nhóm 2: m= 400; ÿ =2.95; s„ = 0.72 —==—=-I.94787 2g Ss —~ 4 H m Mức ý nghĩa ø = 0.03 => z,, =2.17 Thống kê 7 = SN

Điều kiện |7 | <z„„„ là sai nên chap nhn gia thiét H,, bác bỏ H)

Trang 22

Dy ~ 2044 TRUONG DAI HOC GIAO THONG VAN TAI TP HCM

DE THI CAO HOC NAM 2014

Mén: TOAN CAO CAP B Thời gian: 180 phút

(Dành cho chuyên ngành Tổ chức và Quản lý Vận tải)

Câu I: Tìm cực trị của hàm hai biến z(x, y)=(3— 3xy+2y?)e*”?

Câu 2: Giải phương trình vi phân: y” - y —-6y=e*(6x+5)+2(3x°+7x+3)

Thỏa điều kiện: y(0)=9, y/'(0)= 4

1 1 0 -l 2 1 3 0

Câu 3: Cho các ma trận 4=|0 1 -2),B=|0 -2 -1 1 1

m 3 -l 1 0 2 -4 1

Tim gia tri cua tham sé m sao cho det(47) =1 Ứng với =2, hãy tìm ma trận X sao cho thỏa mãn phương trình 4X = B

Câu 4: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau I(x) = 4x, — x, +x, > min 3x, + 2x, + 2x, $10 —2x, + x, +3x, =—6 2x, —X,—-3x, 2-2 x, 20,x, >0,x; >0

Cau 5: Mot hang hang không giá rẻ A khang định rằng “thời gian khởi hành bị trễ X (phút) so với lịch bay trung bình mỗi chuyến là không quá 30 phút” Theo dõi 200 chuyến bay của hãng A, có kết quả cho trong bảng sau:

Xx | [0-20) | [20-30) | [30-40) | [40-50) | [50-60) [60-90]

Sô chuyên |_ 30 90 40 20 | ló 4

a) Với mức ý nghĩa 52%, dựa vào kết quả quan sát, hãy cho biết khẳng định của hãng

A có phù hợp với thực tế hay không?

b) Với độ tin cậy 98⁄2, dựa vào kết quả quan sát, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ các chuyến bay của hãng A có thời gian khởi hành trễ chưa tới 40 phút

e) Theo dõi 150 chuyến bay của hãng hàng không giá rẻ B, tính được thời gian khởi hành bị trễ so với lịch bay bình quân là 27,23 phút và độ lệch mẫu hiệu chỉnh trên đó là 12 phút Với mức ý nghĩa 4%, dựa vào kết quả quan sát, hãy so sánh thời gian khởi hành bị trễ so với lịch bay bình quân của hai hãng A và B

Gia su rằng thời gian khởi hành bị trễ so với lịch bay của hãng A, B là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Trang 24

;<2044 () ĐÁP ÁN

Câu l: Tìm cực trị tự do của hàm hai biến z(x, y)=(3—3xy+2y?)e*?”

Zz, =—3ye*™” +3(3—3xy +2y* er” = -3ye"""? + 3z

z= (4y—3x)e*” —23-3xy+2y’ Jer” =(4y—3x)e* -2z

z, =0 = ye**?” 43(3-3xy +2y’)e*” = 0 z,=0_ |(4y-3x)e”??~2(—3xy+2y?)e*?? =0 -3y+3(3—3xy+2y”) =0 3x=2 x=2 +] 3+3 y+2y)=0 of et (4y-3x)-28-3xy+2y*)=0 |2z-6=0 |y=3 Vậy hàm z(z, y) có một điểm đừng là A⁄(2;3) Giải hệ phương trình A=z, =-9ye”?+3z, B= zy = 36°?! + 6 yer?) 4 3z, C= 2p = 4?” _2(4y—3x)e?” — 2z, Tại M(2;3), ta có: 4=-27; B=15 ;C=-8§; A= Bˆ—- AC=9>0 Vậy hàm z(x, y) không đạt cực trị tại A⁄(2;3)

Câu 2: Giải phương trình vi phân y” — y' -6y=e*(6x+5)+2(3x?+7x+3) (1)

Thỏa điều kiện: y(0) =9, y/(0) = 4

Xét các phương trình

y'-y-6y=0 _ (2)

y'~y -6y=£ (6x+5) (3)

y*—y -6y=2@x?+7x+3)' (4)

+ Giải (2): Phương trình đặc trưng: k” -k—6 =0 © k=-2vk =3

Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là „=e”,y,=e”

Trang 25

1 1 0) 5 J -2 Với m=2 thì 4=|0 1 -2|,A4'=|-4 -1 2 2 3 -l —2 -1 | -7 8 0 24 -1 AX=Be©X=4'B=|6 -6 1 -21 1 3 -2 1 -l1 0 Câu 4: Bài toánM (M>0, lớn tùy ý) I(x) = 4x, — *; +x; + M.x„ > min 3x, +2x, +2x, +X, =10 2X, — X_ — 3X, +x, =6 —2x, +X, +3x, +X; =2 x, 20,x, 20,x, 20 x, 20,x, 20 la hai 4n phu x, 20 1a an giai

Phuong an co ban ban dau la x =(x, =x, =x, =0,x, =10,x, =2,x, =6)

Lap bang don hinh tuong tng: asd] A 4 |-1 T1 0 10 stb | cB | An fata [xxx |Ã o | x | 103 |2 | 2 |1 |0 |194 Mi|x |] 6 |2 |-1 | 3 |0 |0 3 1| 0 | x | 2 |2 |1 1 3 |0 |1 - Dòng kiểm | 4, -4 | | -1 0 | 0 tra A, B, |2 |4 | 3 | 0 | 0 0 |[x | 1 ]{o0;72/132})1 1/04] - 4 |[x | 3 |1 |-1⁄2| 23⁄2 |0 |0 | - 2| 0 x | s8 |010 | 0 |0 l1 - Dòng kiểm | 4, 0 | -l -7 0 | 0 tra A, 5, |0 |0 | 0 | 0 |} 0 Trong bảng 2 có A, <0,V7 va An gia *„ =0 nên bài toán đã cho có phương án tối ưu là x" = (x, =3,%, =x, =0) Voi fin = fC") = 12 Cau 5: a) Goi 4, 14 thdi gian khéi hanh bị trễ so với lich bay trung bình mỗi chuyến của hãng A Kích thước mẫu ø = 200 Trung bình mầu x =30,15 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: s, =13,791 (phú)

Đặt giả thiết thống kê 71, : , = ¿ạ =30 và giá thiết đối H,: 4, >

Theo giả thiết bài toán, ta có: X ~ M(w,ơ?) với ơ? chưa biết và ø = 200 > 30

(~u)n

8 x

Tính thống kê 7 = =0,1538 Mức ý nghĩa œ = 5% => [— œ =0,95

p(u(l—a)) =(1-a) -0,5 = 0,45 > u(1-a) =1, 645

Trang 26

Py ~ 2044 b) Goi p là tỷ lệ các chuyến bay của hãng A có thời gian khởi hành trễ chưa tới 40 phút

x 30+90+40

Tỷ lệ mầu ƒ =———————=0,8 Fle meu In =F

Khoảng tin cậy đối xứng của p là: (f,-¢3 f, +6)

Độ tin cậy Í— ø = 98% — I—(ø /2) = 0,99 > „q—ø/2) = 2,326 Sai số £ =u(1-Š} ⁄„d= J/) _ 0 0658 H Vậy (ƒ,—£; /„+£)=(0,7342 ; 0,8658) e) Gọi /, là thời gian khởi hành bị trễ so với lịch bay trung bình mỗi chuyến của hãng B - Hang A Hang B Kích thước mẫu n= 200 m=150 Trung binh mau ¥ = 30,15 y = 28,23 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh | s, =13,791 s„ =12 Đặt giá thiết thống kê 71, : Hi, =f và giả thiết đối 11 :/w # /, _ Ds? +(n- 1s? m+ñn—2 Ta có # =170,414 Tính thống kê 7= —Tr =2,071 ổn | —+— mn nt > a a

Mức ý nghĩa œ = 4% > I-5 = 0,98 > „a=>) =2,054

Trang 28

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010

Trường ĐHGTVT Tp HCM

Mén thi: Toan cao cap B

(Dành cho chuyên ngành 7ổ chức và quản lý vận tải) Đề số 1 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1: Tìm cực trị của hàm hai biến:

z= f(x,y) =9x° -y-y? —2xy— x? -3x

với điều kiện: 2x- y-1=0

+00 x n

Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: È ————===

> (n+1)Nn+]

Câu 3: Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình vi phan: y"+ y'-6y =e "(2x +5)

Trang 29

Œ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO THI TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2010 Truong DHGTVT Tp HCM ĐÁP ÁN MƠN TỐN CAO CÁP B- ĐỀ SỐ 1: Câu 1: Cực trị có điều kiện của hàm f(x, y) với điều kiện: 2x —- y — 1 = 0 là cực trị tự do của hàm một biên: z = h(x) =9x3 —(2x-1) - (2x-1)? - 2x(2x-1)- x” - 3x =x ` T=x —# x=lLhq)=— — h(x)=3x?—2x~—1;b(x)=0€3x”—2x—1=0© 1 1 5 reg MOD) 97 BBT: X - -1/3 1 +00 h’ + QO — 0 + h ——> OO”

Suy ra cực đại và cực tiểu có điều kiện của z = f(x, y) là:

Zz*¿a= 5/27, đạt tại x =— 1/3, y =— 5/3 ; Z#¿=— 1, đạt tại x = 1, y = 1 Câu 2: Chuỗi là chuỗi lũy thừa tâm xọ = 0, dạng: n 1 a,x", a, =— = > : (n+1)vn+l đạn — (n+†ÙNn+l a, (n+2)Nn+2 Vậy chuỗi có bán kính hội tụ R = I - Tại x= — 1, có chuỗi số: yO (-)" n=0 (n + \vn +] > p=|(n>) là chuỗi đan dấu, hội tu theo đấu hiệu Leibnitz 0 - Tai x = l, có chudi sé: $Š_———— 1 là chuỗi dương, hội tụ theo dâu nao (N+ " +1 (n+) hiệu tích phan

Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là: x e[— 1, 1]

Câu 3: Với phương trình vi phân: y"+ y'—6y=e *(2x+5) (a)

thỏa mãn điều kiện: y(0) = 0, y °(0) = 0

Trang 30

Dy - 2040 €3) Vậy (b) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: y, = ey, =e có phương trình đặc trưng là: k?+k-6=0© 3x Ta tìm một nghiệm riêng y* của (a) dưới dạng: y * = e “(ax+Ð) Bằng phương pháp hệ số bất định, ta tìm được: a =- 1/3, b= - 7/9 Nghiệm tông quát của phương trình đã cho là: 2x ~3x -x/* 7

y=0}\ +€¿y; +y*=ci” Tag Tế Gt):

Trang 31

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NAM 2010

Truong DHGTVT Tp HCM

Mơn thi: Tốn cao cấp B

(Dành cho chuyên ngành 7% ồ chức và quản lý vận tải)

Câu 1: Tìm cực trị của hàm hai biến:

‹ z= ƒ(x,y)=2(x—1)—y`+3y”—3x+3y

với điêu kiện: x— y= Ì

Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 5 x—D,

n=l

Câu 3: Tìm nghiém y = y(x) của phương trình vi phan: y"— y'- 6y = e”*(2x -1)

Trang 32

Œ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010 Trường ĐHGTVT Tp HCM ĐÁP ÁN MƠN TỐN CAO CÁP B- ĐẺ SỐ 2: Câu 1: Cực trị có điều kiện của hàm f{x, y) với điều kiện: x—y = l là cực trị tự do của hàm một biên: z=h@)=y`+3yˆ~3 = h(y)=3y?+6y;h{y)=0<© y= 0,(A(0) = -3) 0)=3x⁄ +6y;h(y) Pood BBT: y - 00 -2 0 +00 h’ + 0 — 0 + h Se _C

Suy ra cực đại và cực tiêu có điều kiện của z = f(x, y) la:

z* a= 1, đạt tại x=— 1,y=—2; Zz*¿=— 3, đạt tại x = 1, y = 0 Câu 2: Chuỗi là chuỗi lũy thừa tâm xọ = 1, dạng: 1 a,(x-1)", a, = > 1) nvnt+1 Dns — navn+l 5 a, (nt+\vnt+2 Vậy chuỗi có bán kính hội tụ R = 1 = lí —> ©) : r Ke K “ —1 , ` x kK ^* k oA ` - Tại x=0, có chuỗi sô: » C9 là chuỗi đan dâu, hội tụ theo dâu hiệu Leibmtz n=l nvntl - Tai x = 2, co chudi sé: ` 1 m1 ØNn TÌ

Vay miễn hội tụ của chuỗi hàm đã cho là: x e [ 0, 2]

là chuỗi dương, hội tụ theo dấu hiệu tích phân

Câu 3: Với phương trình vi phân: y"— y—6y= e?”(2x-1) (a) thỏa mãn điều kiện: y(0) = 0, y (0) = 0

- Xét phương trình thuan nhat tuong tng: y"-y'-6y=0 (),

kị =—2 k, =3

Vậy (b) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính la: y, = e**,y, =e có phương trình đặc trưng là: k? -k-6=0 olf

Trang 33

lồ; - 2040 (2) Ta tìm một nghiệm riêng y* của (a) dưới dạng: y * = e*(ax +b) Bằng phương pháp hệ số bất định, ta tìm được: a = - 1⁄2, b= - 1/8 Nghiệm tông quát của phương trình đã cho là: 3x 2x/* 1

YHQY, +p, + VR= Oe * + ce" —e Cty Khi đó điều kiện bài toán 0)=0 + -1/8=0 Đa of; “2 & ¢,=9/40,c,=-1/10 y'(0)=0 2c, —3c, -3/4=0 ` À ` ` 9 -2x —_ 1 3x 2x 1 Ham can tim 1a: y=—e —e*-e (~+ —) 40 10 2 8 Cau 4: 2x-y-4z-St=3 x=3utv+2 2x+ y-8z+t=5 S y=2u-3v+1 x-2y+z—-7t=0 z=u (tuyy) x+2y—7z+5t=4 f=v (fùy ý) b/

a/ Ma tran A là ma trận của hệ phương trình ở phan b/ Theo kết quả phan b/ thì hệ có vô số nghiệm nên det A= 0 Do đó A không có nghịch đảo

Trang 34

Môn thi: Toán cao cấp B

(Đành cho chuyên ngành 7ô chức và quản lý vận tải)

Câu 1: Tìm các cực trị của hàm số: z = ƒ(x,y) = yŸ + 4x(x? — 3y) +3

Câu 2: Giải phương trình vi phân sau: y'” — 8y' + 7y = e~5#(216x + 306) — 35x” — 94x + 33 Cau 3: a/ Tìm hạng của ma trận 1 3 1-1 2 2 5 6 3 8 A= 1 2 5 6.12 1 3 1 1 13 0 1-4 -5 1 b/ Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x+y—7u— 4t = 3 x—y+ 3u 10t = —-1 x+z_-3u-8t=4 y+z—6u+2t=5 (x,y,z,u,t là các ẩn số)

Câu 4: Từ những thanh vật liệu có độ đài 4m , cần cắt ra: 450 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,5m;

1000 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 1,1m; 1500 đoạn, mỗi đoạn có độ dài 0,7m Hãy thiết lập mơ hình

cho bài tốn cắt vật liệu này sao cho tổng số vật liệu dư thừa từ những thanh được cắt là nhỏ nhất

Trang 35

QO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ THỊ TUYẾN SINH CAO HỌC NĂM 2011 Trường ĐHGTVT Tp HCM ĐÁP ÁN MƠN TỐN CAO CÁP B- ĐỀ SỐ 2: ân 1: Tinh: Of — 2_ Of 2,2 _ OF _ _ OF =82/ _ Câu 1: Tính: — = 12x 12y, ay ý 12x,Á = = 24x,B = 555 = 12, =2 = 6y of — — =0 2 — = = ĐA Ox x*-y=0 x=0,y=0 hé pt: @ | —3/4 y= 23/ mẽ „=0 y? —4x = 0 x= V4, y= 2N2

- Tai M,(0,0),tacé:A =C =0,B = —-12,A= AC —B? = -144 <0 nên ƒ không đạt cực trị tại đầy

- Tai M,(V4, 2V2),cé:A = 2445/4, B= —-12,C = 12V2,A= AC — B* = 272 >0 nên ƒ đạt cực tiểu tại đây và ƒ,ạ„ = ƒ(W4, 292) = —13

Kết luận: f(x, y) đạt cực trị duy nhất tại (x = 4; y = 22), đó là

fetieu = ƒ(N4, — 22) = —13

nên có 2 nghiệm độc lập tuyến tinh: y, = e*, yp = e7*,

e - Ta tìm một nghiệm của phương trình: y” —8y' + 7y = e~5*(216x + 306) a’) dưới dạng: y‡ = e3*(ax + b) Bằng phương pháp hệ số bất định, ta tìm được:

vị =e"”*(3x+ 5)

Trang 36

Đy - 0n (2) A* là ma trận bậc thang nén: r(A) = r(A*) = 4 b/ Hé co ma tran: 1 1 0-7 —4 3 —Í 1 =1 0 3 -10 _f-1 A= 1 0 1 -3 -8 |’ B=\ 4 0 1 1 -6 2 5 Ta có sơ đồ biến đổi: hi-h2>-h2 1 1 0 ~7 —~-4 |3 “i 1 1 0 -7 -413 1 0 1 -3 -8 |4 l0 -1 1 4 -4l"1 0 1 1 -6 245 0 1 1 -6~ 2is5 1 1 0 -7 -4|3 1 1 0 -7 -413 hanaonm|l0 17 05 3|2\Mezh>ml0 1 0 5 32 — 00 1 -1 -143 — 0 0 1 -1 -113 0 0 2 -2 -216 0 0 0 0 0lo x=2u+ 7t+1 y=5u—3t+2 Hệ có nghiệm: { Z = + £ + 3 u tùy ý t tùy ý Câu 4: Xét các cách cắt một thanh vật liệu, có bảng sau: Loại Số đoạn được cắt theo các cách 1 2 3 4 5 6 7 8 1,5m 2 1 1 1 0 0 0 0 1,Im 0 2 1 0 3 2 1 0 0,7m 1 0 2 3 l 2 4 5 Dư 03 | 0,3 0 0,4 0 0,4 | 0,2 0,5

Gọi +; là số thanh vật liệu được cắt theo cách thứ j, j = 1, 2, 8 Khi đó:

Trang 37

Câu 5: Đây là bài toán vận tải đóng Sử dụng thuật toán thế vị ta tìm được PATƯ là:

0 0 250 0

y= (70 90 0 0

0 190 0 0

150 0 0 150

Với chỉ phí vận chuyên t6i wu 1a finin = 13890

Mơn thi: Tốn cao cấp A

(Dành cho chuyên ngành Kỹ /huật)

Trang 38

Ù, ~ 2OAA

TRƯỜNG ĐẠI HOC GIAO THONG VAN TAI TP HCM

DE THI CAO HOC NAM 2011

Môn : TOÁN CAO CAP B Thời gian : 180 phút

Trang 39

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT TP.HCM

HỘI ĐÔNG TUYỂN SINH CAO HỌC

ĐÁP ÁN ĐÈ THỊ MÔN TOÁN CAO CÁP B

(Dành cho chuyên ngành Tô chức và Quản lý Vận tải) Dy ~ 2OdA KY THI TUYEN SINH CAO HO NAM 2011 Cau DAP AN Điểm | TC a) xy'=(2x”+1).y () + y=0 la mét nghiệm của (1) 0.25đ d + y #0, tir(1)tasuyra: & = (2x41) as (2) 0,25đ 1.0 k — Ấ 2 điểm

Lây tích phân hai về của (2) ta được: In | y | +C = x“ˆ +ln|x|+Œ, |q2sá

=ly|=e -ehht€' I eM eC => y= Cue" ,C=te #0

‘Vay ng ghiệm t tổng quát của (1) là y= re" ,CeR 0.25đ Cau 1 | >) y"+2y '+3y=14+2x+3x’ (3)

Phương trình thuần nhất tương ứng của (3) là : y"+2y'+3y=0 (4)

Phương trình (4) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là : 10

y=e cos(/2x) va y, =e" sin(/2x) 0.254 điểm

Tìm nghiệm riêng y của (3) Lý luận để dẫn đến ÿ = 4z? + Bx+C

Thay ¥, ÿ, ÿ" vào (3) để tìm được A=1, B=-2/3,C=1/9, 0.25đ

Vậy nghiệm tổng quát của (3) là : = = ot 1 yHCy,+Cy, +p=e ae cos(/2x)+C, sin(V2x) |+z? -Ÿx+0.0,G ER | 0.254 ' 1 ' x+Í Tính z,= xey “) 2” “2; Z,=4—-—————- œ-y0@+D sả Giải hệ Zz, = © x-y=1/2 x=0 9 1i oc |x-2y=I T ly=-l/2 0.5đ y Câu 2 | Vậy z(x,y) có một điểm dimg : M(0;-1/2) 2.0 +D(x-2y+1) điểm A=z) ==—k;B=z) = (x-7) (x—7) : ;ị C=zh,=CtÖG@ 22+) 7 @-yYŒ+]) 0.5đ Tại Ä⁄(0;—1/2), tả có : A=-4;B=4; C=32;A=B”— AC =144>0 Vay z(x,y) khong dat cyc tri tai 1⁄Z(0;—1/2) 0.54 _ tự? Ingr +) a) u ) u, = >0,Vn21 0.254 Xét chuỗi hội tu > V„ VỚI v, = + >0,Vø >1 (tiêu chuẩn tích phân) 0.25đ n=l n : 7 2 Câu 3 | Áp dụng quy tắc De LHospital, ta có lim ———^ tặc +9 m S* vx 1.0 a x a x +1 diém cac U, 4 n(n’ +1)

Do d6 lim—* = lim ——=— = 0 noo Vv, ñ~>o Jn 0.254

Suy ra chuỗi YY, hội tụ theo định lý so sánh 2 0.25đ

n=l

Trang 40

Tạ 2044 b) nal (-1)".n —*— (1) xe ` Res ` h ne _ 1 Chuỗi (1) là chuôi lũy thừa 3 „uy , Voi u, = Cin n=l —1) đi n+l

_ | Ban kinh hoi ty: R= lim| 2] = tim|CD + 0} 025đ | 1.0

Câu 3 nol Uy n->0 (-1) Nn điểm

Tại x=—R =—1, ta có chuỗi > là chuỗi phân kỳ (TC tích phân) 0.25đ

=l

Tai x= #=l, ta có chuỗi Š" cy hội tụ theo định lý Leibnitz 0.25đ

Miễn hội tụ của chuỗi (1) là (—1;1] 0.25đ Đưa bài toán về dạng chuẩn tắc (bài toán M) I(x) = 7x, + 9x, —5x, +M.x, > min 4x, + 5x, -3x, — xX, +x, =15 6x,-3x,+8x, +4; = 37 2x, + 7x, +5x; + X¢ = 32 h 20, x, 20, x, 20 > 0, x, 20, x, 20 la ba dn phụ ; x; >0 là an giả 0.5đ Giải bài toán bing thuật toán đơn hình trong các bảng sau : str | HF | AcB |Pán _— |} 2 3| SỐ XỊ X2 Xã 09 |09|9] | X4 X5 | X6 M X7 15 4 5 | +3 -1 | 0] 0 3 0 Xã 37 6 -3 8 0 110 - 1 0 X6 32 2 7 5 0 | 0] 1 | 32/7 20 Câu 4 Dòng kiêm tra wn tk -7 | 9 | 5 4 5 3 1 0 | 0] lolo 0 m diém 9 X2 3 4/5 | 1 | -3/5 | -1/5 | 0 | 0 | 15/4 X5 46 | 42/5 | 0 | 31/5} -3/5 | 1 | 0 | 115/21 2 0 X6 11 | -18/5; 0 | 46/5| 7/5 |} 0} 1 - Dòng kiểm tra 15 | 0 |-2⁄5| -9⁄5 1010 5 0 010L 0 |0{o 7 XỊ 15/4 1 5/4 | -3/4 | -1/44 101 0 - 0 X5 29/2 0 | -21/2} 25/2] 3/2 | 11] 0 - 3 0 X6 49/2 0 | 9/2 | 13/2} 1/72 |0| 1 - LẢ 0 |-14|-14 -74 010 ¢ ê 1 Dòng kiêm tra 0 0 0 0 010 0đ

Phương án tôi ưu của bài toán M là : (15/4, 0,0,0,29/2,49/2,0)

th án tối ưu của bài toán ban đầu 1a x" = (xX; =15/4, x2 = 0, x3 = 0) 0.54

fin= f(x) = 105/4

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,19 MB
File đính kèm	DE THI CAO HOC TOAN B DH GTVT TPHCM.rar (1 MB)