Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017
2 √ 1− √ + −2 n+1 n n n =− 18 lim = lim 1 − n − 3n − −3 n n n2 24 n − (n − 4n) √ n + n − 4n 4n = lim = = lim √ n + n − 4n 1+ 1− n lim n − n − 4n = lim 27 (n!)2 (1 · · · · · n)(1 · · · · · n) = (2n)! · · · · · n · (n + 1) · (n + 2) · · · 2n n = · · ··· ≤ n+1 n+2 n+3 n+n Thus lim an = an = n √ √ 31 Let a1 = and an+1 = 15 + 2an for n = 1, 2, 3, Then we have a2 = 21 > = a1 If ak+1 > ak for some k, then ak+2 = 15 + 2ak+1 > 15 + 2ak = ak+1 Thus, {an } is increasing by induction Observe that a1 < and a2 < If ak < then ak+1 = 15 + 2ak < 15 + 2(5) = √ 25 = Therefore, an < for all n, by induction Since {an } is increasing and bounded above, it converges Let lim an = a Then a= √ 15 + 2a ⇒ a − 2a − 15 = ⇒ a = −3, or a = Since a > a1 , we must have lim an = 12 Let ∞ n=1 Since 1 1 = + + + ··· (2n − 1)(2n + 1) 1×3 3×5 5×7 1 = (2n − 1)(2n + 1) 1− + = 1− sn = 1 − , the partial sum is 2n − 2n + 1 1 − + +··· 3 1 1 − − + 2n − 2n − 2n − 2n + 1 2n + Hence, ∞ n=1 1 = lim sn = (2n − 1)(2n + 1) n(n + 1) , the given series is to by the result of Example of this section 20 Since + + + · · · + n = ∞ n=1 which converges n(n + 1) 21 The total distance is 2+2 2× +2× 4 3 =2+2× 1+ + =2 + 3 1− = 14 metres 2m Fig 2-21 +··· +··· an diverges and {bn } is bounded, then an bn diverges” is FALSE Let an = and n 1 Then an = ∞ and ≤ bn ≤ 1/2 But an bn = which bn = n+1 n(n + 1) converges by Example 30 “If 31 “If an > and an converges, then an2 converges” is TRUE Since an converges, therefore lim an = Thus there exists N such that < an ≤ for n ≥ N Thus < an2 ≤ an for n ≥ N n If Sn = n ak2 k=N and sn = k=N ak , then {Sn } is increasing and bounded above: Sn ≤ sn ≤ Thus ∞ k=N ak2 converges, and so ∞ k=1 ∞ k=1 ak < ∞ ak2 converges 27 a) “ an converges implies terexample (−1)n an converges” is FALSE an = (−1)n is a counn b) “ an converges and (−1)n an converges implies an converges absolutely” is FALSE The series of Exercise 25 is a counterexample c) “ an converges absolutely implies cause |(−1)n an | = |an | (−1)n an converges absolutely” is TRUE, be- 41 Trying to apply the ratio test to ρ = lim 22n (n!)2 , we obtain (2n)! (2n)! 4(n + 1)2 22n+2 ((n + 1)!)2 · 2n = lim = (2n + 2)! (n!)2 (2n + 2)(2n + 1) Thus the ratio test provides no information However, 22n (n!)2 [2n(2n − 2) · · · · · 2]2 = (2n)! 2n(2n − 1)(2n − 2) · · · · · 2n − 2n · · · · · · · > = 2n − 2n − 3 Since the terms exceed 1, the series diverges to infinity 39 ∞ n=1 n n+1 n2 converges by the root test of Exercise 31 since σ = lim n→∞ n n+1 n 1/n = lim n→∞ 1+ n n = < e 23 Apply the ratio test to (2x + 3)n : n 1/3 4n x+ (2x + 3)n+1 n 1/3 4n |2x + 3| ρ = lim · = = 1/3 n+1 n (n + 1) (2x + 3) < 2, that is, if − < x < By the alternating 2 series test it converges conditionally at x = − It diverges elsewhere The series converges absolutely if x + 24 Let an = 1 1+ n x n Apply the ratio test ρ = lim 1 1+ n+1 x n+1 × n 1+ x if and only if |x + 1| < |x|, that is, −2 < ∞ ∞ −n = 1+ or x < −1 , so the given series definitely In Exercise 36 of Section 9.3 it was shown that an ≥ 2n diverges at x = and may at most converge conditionally at x = −1 To see whether it does converge at −1, we write, as in Exercise 36 of Section 9.3, Thus × × × × · · · × 2n (2 × × × × · · · × 2n)2 × × × · · · × (2n − 1) = × × × · · · × (2n − 2) × 2n 2n − 2n − 1 × = × ×···× 2n − 2n 1 1 1− ··· 1− 1− = 1− 2n − 2n (2n)! an = 22n (n!)2 = It is evident that an decreases as n increases To see whether lim an = 0, take logarithms and use the inequality ln(1 + x) ≤ x: ln an = ln − + ln − 1 ≤ − − −···− 2n 1 =− 1+ +···+ 2 n + · · · + ln − 2n → −∞ as n → ∞ Thus lim an = 0, and the given series converges conditionally at x = −1 by the alternating series test