1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Giới hạn lớp 11

15 170 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 78,83 KB

Nội dung

Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017Đề Minh Họa lần 2 Bộ Giáo Dục năm 2017

2 √ 1− √ + −2 n+1 n n n =− 18 lim = lim 1 − n − 3n − −3 n n n2 24 n − (n − 4n) √ n + n − 4n 4n = lim = = lim √ n + n − 4n 1+ 1− n lim n − n − 4n = lim 27 (n!)2 (1 · · · · · n)(1 · · · · · n) = (2n)! · · · · · n · (n + 1) · (n + 2) · · · 2n n = · · ··· ≤ n+1 n+2 n+3 n+n Thus lim an = an = n √ √ 31 Let a1 = and an+1 = 15 + 2an for n = 1, 2, 3, Then we have a2 = 21 > = a1 If ak+1 > ak for some k, then ak+2 = 15 + 2ak+1 > 15 + 2ak = ak+1 Thus, {an } is increasing by induction Observe that a1 < and a2 < If ak < then ak+1 = 15 + 2ak < 15 + 2(5) = √ 25 = Therefore, an < for all n, by induction Since {an } is increasing and bounded above, it converges Let lim an = a Then a= √ 15 + 2a ⇒ a − 2a − 15 = ⇒ a = −3, or a = Since a > a1 , we must have lim an = 12 Let ∞ n=1 Since 1 1 = + + + ··· (2n − 1)(2n + 1) 1×3 3×5 5×7 1 = (2n − 1)(2n + 1) 1− + = 1− sn = 1 − , the partial sum is 2n − 2n + 1 1 − + +··· 3 1 1 − − + 2n − 2n − 2n − 2n + 1 2n + Hence, ∞ n=1 1 = lim sn = (2n − 1)(2n + 1) n(n + 1) , the given series is to by the result of Example of this section 20 Since + + + · · · + n = ∞ n=1 which converges n(n + 1) 21 The total distance is 2+2 2× +2× 4 3 =2+2× 1+ + =2 + 3 1− = 14 metres 2m Fig 2-21 +··· +··· an diverges and {bn } is bounded, then an bn diverges” is FALSE Let an = and n 1 Then an = ∞ and ≤ bn ≤ 1/2 But an bn = which bn = n+1 n(n + 1) converges by Example 30 “If 31 “If an > and an converges, then an2 converges” is TRUE Since an converges, therefore lim an = Thus there exists N such that < an ≤ for n ≥ N Thus < an2 ≤ an for n ≥ N n If Sn = n ak2 k=N and sn = k=N ak , then {Sn } is increasing and bounded above: Sn ≤ sn ≤ Thus ∞ k=N ak2 converges, and so ∞ k=1 ∞ k=1 ak < ∞ ak2 converges 27 a) “ an converges implies terexample (−1)n an converges” is FALSE an = (−1)n is a counn b) “ an converges and (−1)n an converges implies an converges absolutely” is FALSE The series of Exercise 25 is a counterexample c) “ an converges absolutely implies cause |(−1)n an | = |an | (−1)n an converges absolutely” is TRUE, be- 41 Trying to apply the ratio test to ρ = lim 22n (n!)2 , we obtain (2n)! (2n)! 4(n + 1)2 22n+2 ((n + 1)!)2 · 2n = lim = (2n + 2)! (n!)2 (2n + 2)(2n + 1) Thus the ratio test provides no information However, 22n (n!)2 [2n(2n − 2) · · · · · 2]2 = (2n)! 2n(2n − 1)(2n − 2) · · · · · 2n − 2n · · · · · · · > = 2n − 2n − 3 Since the terms exceed 1, the series diverges to infinity 39 ∞ n=1 n n+1 n2 converges by the root test of Exercise 31 since σ = lim n→∞ n n+1 n 1/n = lim n→∞ 1+ n n = < e 23 Apply the ratio test to (2x + 3)n : n 1/3 4n x+ (2x + 3)n+1 n 1/3 4n |2x + 3| ρ = lim · = = 1/3 n+1 n (n + 1) (2x + 3) < 2, that is, if − < x < By the alternating 2 series test it converges conditionally at x = − It diverges elsewhere The series converges absolutely if x + 24 Let an = 1 1+ n x n Apply the ratio test ρ = lim 1 1+ n+1 x n+1 × n 1+ x if and only if |x + 1| < |x|, that is, −2 < ∞ ∞ −n = 1+ or x < −1 , so the given series definitely In Exercise 36 of Section 9.3 it was shown that an ≥ 2n diverges at x = and may at most converge conditionally at x = −1 To see whether it does converge at −1, we write, as in Exercise 36 of Section 9.3, Thus × × × × · · · × 2n (2 × × × × · · · × 2n)2 × × × · · · × (2n − 1) = × × × · · · × (2n − 2) × 2n 2n − 2n − 1 × = × ×···× 2n − 2n 1 1 1− ··· 1− 1− = 1− 2n − 2n (2n)! an = 22n (n!)2 = It is evident that an decreases as n increases To see whether lim an = 0, take logarithms and use the inequality ln(1 + x) ≤ x: ln an = ln − + ln − 1 ≤ − − −···− 2n 1 =− 1+ +···+ 2 n + · · · + ln − 2n → −∞ as n → ∞ Thus lim an = 0, and the given series converges conditionally at x = −1 by the alternating series test

Ngày đăng: 21/12/2017, 13:45

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w