Chương 5. Mã tuyến tính nhị phân

Chương Mã tuyến tính nhị phân ntnhut@hcmus.edu.vn Phép tốn nhị phân • ĐN phép tốn cộng (+) nhân (.) bảng ký tự nhị phân 0, sau: • 1=-1 ‘cộng’ giống ‘trừ’ ntnhut@hcmus.edu.vn Mã tuyến tính nhị phân Đ : Một mã K mã tuyến tính (linear code) nếu: – Tổng a + b hai codeword codeword – Tích k.a (với k = const codeword a) codeword Đ : Mã nhị phân K mã nhị phân tuyến tính (binary linear code) tổng a + b hai codeword codeword ntnhut@hcmus.edu.vn Ví dụ mã nhị phân tuyến tính Mã lặp KN = {‘00…0’, ‘11…1’} Mã kiểm chẵn lẻ (tổng số bit chẵn) ntnhut@hcmus.edu.vn Hamming weight Định nghĩa: – Trọng số Hamming (Hamming weight) codeword a, ký hiệu w(a), số lượng bit khác a – Với mã K, trọng số Hamming nhỏ codeword khác = ‘00…0’ gọi trọng số nhỏ (minimum weight) K, ký hiệu w(K) Ví dụ: Từ mã a = ‘11000’ có w(a) = 2; a codeword mã kiểm chẵn lẻ độ dài Mọi codeword a mã kiểm chẵn lẻ K có w(a) Nên w(K) = ntnhut@hcmus.edu.vn Ma trận kiểm tra tính chẵn lẻ Đ : Một ma trận nhị phân H gọi ma trận kiểm chẵn lẻ (parity check matrix) mã khối K độ dài n với từ mã x mã K ta có HxT = Ví dụ: Một ma trận kiểm chẵn lẻ mã kiểm chẵn lẻ H = [1 … 1] ntnhut@hcmus.edu.vn Sửa lỗi Định lý: Một mã nhị phân tuyến tính K sửa lỗi ma trận kiểm chẵn lẻ K có cột đơi khác khác Chứng minh: (xem sách) Mã kiểm chẵn lẻ không sửa lỗi ntnhut@hcmus.edu.vn Mã Hamming Đ : Một mã nhị phân tuyến tính độ dài 2m – gọi mã Hamming có ma trận kiểm chẵn lẻ H kích thước m x 2m – thoả từ nhị phân khác độ dài m cột H ntnhut@hcmus.edu.vn Ví dụ ntnhut@hcmus.edu.vn Tính chất mã Hamming Độ dài từ mã n = 2m – Số bit mang thông tin: k = 2m – m – Tỷ lệ thông tin R = k/n = … Khoảng cách nhỏ mã: d = sửa lỗi ntnhut@hcmus.edu.vn 10 Giải mã Khi chuỗi nhận w = w1w2…wn, Tính s = HwT Nếu s = 00…0: khơng có lỗi Nếu s ≠ 00…0 Vị trí s ma trận H vị trí bị lỗi • Ta gọi s syndrome • • • • • ‘Giải mã syndrome’ ntnhut@hcmus.edu.vn 11 Ví dụ • Truyền 1111111, nhận w = 1110111 • Syndrome s = HwT • s = (100) Vị trí bị lỗi vị trí số • Sửa 1110111 1111111 ntnhut@hcmus.edu.vn 12 Không phát lỗi • K mã tuyến tính • Giả sử truyền từ mã v∈K, nhận w (w≠v) từ mã ∈K • có lỗi khơng phát • Tính xác suất khơng phát lỗi? ntnhut@hcmus.edu.vn 13 • Đặt e = w – v (= w + v) w = v : khơng có lỗi e = e ≠ 0: Nếu e codeword khơng phát lỗi – Giả sử w(e) = i (truyền v có i bit bị lỗi) – Xác suất xảy = piqn-i • Đặt Ai = #{từ mã x có w(x) = i} • Xác suất khơng phát lỗi ntnhut@hcmus.edu.vn 14 Ví dụ ntnhut@hcmus.edu.vn 15 Cách tính Pund ntnhut@hcmus.edu.vn 16 Ví dụ ntnhut@hcmus.edu.vn 17 Tóm tắt • • • • • Mã tuyến tính nhị phân Hamming weight w(a) Parity check matrix Mã Hamming Xác suất không phát lỗi Pund ntnhut@hcmus.edu.vn 18 Homework • Đọc lại làm tập – Chương [1] – Chương [2] • Đọc trước chương 6+7 [1] ntnhut@hcmus.edu.vn 19 Bài tập • ‘Palindrome’ = chuỗi đối xứng (đọc xi đọc ngược nhau) • VD: ‘was it a rat I saw’ • Xét mã nhị phân đối xứng K Hỏi K mã tuyến tính khơng? Nếu có, K phát lỗi ntnhut@hcmus.edu.vn 20 Bài tập • Lập mã K nhị phân độ dài sau: – Bit thứ ba kiểm chẵn lẻ bit đầu – Bit thứ sáu kiểm chẵn lẻ bit bit – Bit thứ bảy kiểm chẵn lẻ tồn từ mã • Tính số lỗi mà K có thể: – Phát – Sửa ntnhut@hcmus.edu.vn 21 Bài tập • Tính Perr(K) mã Hamming K (7,4) với p = 0.01 • Tổng qt, Tính Perr(K) mã Hamming K độ dài 2m – theo p m • Tính Pund(K) mã Hamming K độ dài 2m – ntnhut@hcmus.edu.vn 22