Phòng giáo dục và đào tạo Trực Ninh đề khảo sát chất lợng học sinh giỏi vòng ii năm học 2005 - 2006 môn toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: ( 5 điểm ) Cho phân thức A = 4 2 3 2 1 3 2 + x x x x a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn A. c) Tìm x để A có giá trị bằng 4. Bài 2: (4 điểm) Xác định đa thức f(x) bậc 3 sao cho khi chia đa thức ấy lần lợt cho các nhị thức (x 1); (x 2); (x 3) đều đợc d là 6 và tại x = 1 thì đa thức nhận giá trị bằng 18. Bài3: (4 điểm) Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn : (a +b + c ) ( 1 1 1 a b c + + ) = 1 Tính giá trị của biểu thức M = ( a 2005 + b 2005 ).( b 2006 c 2006 ).( c 2007 + a 2007 ) Bài 4:(7 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM = AN. Các đờng thẳng AM, BN cắt CD theo thứ tự ở E, F . a, Chứng minh CE . DF = a 2 b, Gọi I là giao điểm của FA và EB. Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với tam giác DAF và ã = 0 EIF 90 c, Biết CM = 3 a .Tính diện tích đa giác AIBCD theo a d, Các điểm M và N có vị trí nh thế nào thì EF có độ dài nhỏ nhất. Biểu điểm và đáp án môn toán 8 Bài 1: 5 điểm Câu a: 1điểm - Phân tích đợc mẫu thành nhân tử : x 3 3 x 2 = (x + 1) 2 (x 2) (0,5 điểm) - Chỉ ra đợc phân thức có nghĩa khi và chỉ khi x 1 và x 2 (0,5 điểm) Câu b: 2 điểm A = 4 2 3 2 1 3 2 + x x x x = 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) x x x + (0,75 điểm) = 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) x x x x + + (0,75 điểm) = 2 ( 1) 2 x x (0,5 điểm) Câu c: 2 điểm A = 4 ( ) 2 1 4 2 1; 2 = x x x x ( 0,5 điểm ) Giải phơng trình: ( ) 2 1 4 2 x x = (1 ) Với ĐK x 1 và x 2 để phân thức có nghĩa thì (1) xác định Từ (1) ( x 1) 2 = 4(x 2) x 2 2x + 1 = 4x 8 x 2 6x + 9 = 0 ( x 3 ) 2 = 0 x = 3 ( 1 điểm) x = 3 thoả mãn đk x -1; x 2 Vậy để A = 4 thì x = 3 ( 0,5 điểm ) Bài 2: 4 điểm Khi chia đa thức f(x) lần lợt cho (x 1); (x 2); (x 3 )đều đợc d là 6 suy ra f(x) 6 chia hết cho (x 1); (x 2); (x 3) (1 điểm ) mà f(x) 6 là đa thức bậc 3 và (x 1); (x 2); (x 3) đôi một không có nhân tử chung suy ra f(x) 6 = m(x 1)(x 2)(x 3) (m là hằng số ) (1 điểm) Đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của x. Thay x = 1 vào đẳng thức trên tìm đợc m = 1 (1 điểm) Với m = 1, tìm đợc f(x) = x 3 - 6x 2 + 11x (1 điểm) Bài 3: 4 điểm (a +b + c ) ( 1 1 1 a b c + + ) = 1 ( ) 1 + + + + = ab bc ca a b c abc ( )( ) + + + + =a b c ab bc ca abc (vì abc 0) (0,5 điểm) Đa đợc về dạng (a + b)(b + c)(a + c) = 0 ( 1,5 điểm) + = = + = = + = = a b 0 a b b c 0 b c a c 0 c a (0,5 điểm) + Nếu a = b suy ra a 2005 = b 2005 2005 2005 0a b + = 0M = + Nếu b = c 2006 2006 2006 2006 0b c b c = = 0M = + Nếu c = a 2007 2007 2007 2007 0a c a c = + = 0M = (1 điểm ) Kết luận: M = 0 ( 0,5 điểm ) Bài 4: 7điểm I A B N M F D C E a/ (1 điểm) Vì AB // EF, áp dụng hệ quả của định lý Talet ta có: ce cm an ab ab bm dn df = = = (vì CM = AN; AD = BC; BM = DN ) (0,75 điểm) 2 ce.df ab = = a 2 (0,25 điểm) b/ (2 điểm) Ta có ce ab ce ad ab df bc df = = (vì ABCD là hình vuông) (0,5 điểm) Lại có: ã ã 0 bce fda 90= = (0,25 điểm) Do đó ceb đồng dạng với DAF (c-g-c) (0,25 điểm) ã ã ceb daf = , mà ã ã 0 dfa daf 90+ = (0,5 điểm) ã ã 0 ceb dfa 90 + = . Suy ra ã 0 eif 90= (0,5 điểm) c/ (2 điểm) Ta có: ce cm cm ce .ab ab bm bm = = = a 2 (0,25 điểm) áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCE vuông tại C, ta có: BE = + = + = = 2 2 2 2 2 a 5a a 5 BC CE a 4 4 2 (0,25 điểm) C/m AIB BCE (g-g) (0,25 điểm) ữ = = = ữ ữ ữ ữ 2 2 AIB BCE S AB a 4 S BE 5 a 5 2 (0,5 điểm) = = = = 2 AIB BCE 4 4 1 2 a a S .S . .BC.CE a. 5 5 2 5 2 5 (0,5 điểm) Vậy S AIBCD = S AIB + S ABCD = + = 2 2 2 a 6 a a 5 5 (0,25 điểm) d/ (2 điểm) Ta có EF = FD + DC + CE = DF + CE + a EF có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi DF + CE nhỏ nhất, mà CE.DF = a 2 không đổi. Ta thấy CE và DF có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi CE = DF (1 điểm) Khi đó CE 2 = a 2 ; CE = DF = a (0,5 điểm) Vậy độ dài EF nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. (0,5 điểm) . đề khảo sát chất lợng học sinh giỏi vòng ii năm học 2005 - 2006 môn toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: ( 5 điểm ) Cho phân thức A = 4 2 3 2 1 3. (x 2); (x 3) đều đợc d là 6 và tại x = 1 thì đa thức nhận giá trị bằng 18. Bài3: (4 điểm) Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn : (a +b + c ) ( 1 1 1 a b c