DSpace at VNU: Bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia

Bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia Mai Hải An Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chun ngành: Tốn giải tích; Mã số 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Bá Minh Năm bảo vệ: 2013 Abstract Trình bày số tính chất ánh xạ đa trị: Một số khái niệm tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian Tơpơ tuyến tính, số tính chất ánh xạ đa trị từ tập khác rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào khơng gian Tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff; Một số khái niệm tính liên tục, tính lồi (lõm) theo nón ánh xạ đa trị, điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị C-liên tục (dưới) mối liên hệ với tính C-liên tục (dưới); Mở rộng định lý Banach-Steihaus cho họ hàm lồi (lõm) khơng gian thùng dựa vào để xây dựng điều kiện cần đủ tình C-liên tục ánh xạ đa trị; Đưa số điều kiện liên hệ tính C-liên tục (dưới) trường hợp ánh xạ đa trị lồi (lõm) theo nón C Nghiên cứu toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia ứng dụng: Trình bày tốn lý thuyết tối ưu vectơ đa trị tốn bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, loại phân thành hai lớp trên, khác Phần cuối luận văn trình bày định lý điều kiện tồn nghiệm toán (UQVIP), toán (LQVIP), đồng thừoi mối quan hệ toán bao hàm thức biến phân với toán tựa cân lý tưởng trên, dưới, toán tựa cân pareto điều kiện đủ tồn nghiệm toán tối ưu lý tưởng phụ vụ tham số Keywords Tốn giải tích; Biến phân; Bài tốn Lời nói đầu Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth từ năm 1881 Pareto từ năm 1906 Cơ sở toán học lý thuyết ánh xạ đơn trị đa trị có giá trị khơng gian có thứ tự thỏa mãn tính chất đưa Cantor Hausdorff vào cuối kỉ 19, đầu kỉ 20 Sau cơng trình điều kiện cần đủ cho tối ưu Kuhn-Tucker, giá trị cân tối ưu Pareto thập niên 50 kỉ 20, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu thực cơng nhận ngành Tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Ban đầu nhà Tốn học nghiên cứu tốn có liên quan tới ánh xạ đơn trị không gian Euclide hữu hạn chiều mà thứ tự sinh nón orthant dương Sau mở rộng tốn khơng gian vơ hạn chiều với nón tốn liên quan tới ánh xạ đa trị không gian vô hạn chiều Đầu kỉ 20 nhu cầu phát triển toán học nhiều lĩnh vực khoa học khác, định nghĩa, tính chất ánh xạ đơn trị mở rộng cho ánh xạ đa trị Đối với toán học, toán điểm cân đơn trị, toán bất đẳng thức biến phân biết đến từ lâu, cơng trình Arrow-Debreu, Nash Sau tốn mở rộng sang đa trị phát triển thành toán cân đa trị, tựa cân bằng, toán tựa tối ưu tổng quát, toán bao hàm thức tựa biến phân Đến nay, có nhiều nhà Tốn học nghiên cứu tốn có nhiều cơng trình cơng bố tạp chí tốn học có uy tín Bài tốn bao hàm thức tựa biến phân có cách nhìn bao qt, thống mối quan hệ toán khác lý thuyết tối ưu, luận văn trình bày tốn bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, đưa điều kiện đủ tồn nghiệm tốn dựa kĩ thuật vơ hướng hóa hàm đa trị thông qua phiếm hàm gξ Gξ mối quan hệ với toán tựa cân bằng, toán tối ưu lý tưởng Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng Cho X,Y,Z không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập hợp khác rỗng, C ⊂ Y nón Xét ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2, T : D → 2K , F : K × D × D → 2Y Tìm x ∈ D cho: • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với x ∈ S2 (x), y ∈ T (x) (UQVIP1) • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với x ∈ S2 (x), y ∈ T (x) (LQVIP1) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng Cho X,Y,Z không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập hợp khác rỗng, C ⊂ Y nón Xét ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2, T : D × D → 2K , F : K × D × D → 2Y Tìm x ∈ D cho: • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x) (UQVIP2) • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x) (LQVIP2) Luận văn hoàn thành dựa sở hai báo: " On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type" ([7]) "On the existence of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints" ([8]) tác giả Minh N B Tan N.X Luận văn có cấu trúc gồm chương sau: Chương Một số tính chất ánh xạ đa trị: Chương này, luận văn trình bày số khái niệm tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian tơpơ tuyến tính, số tính chất ánh xạ đa trị từ tập khác rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, trình bày số khái niệm tính liên tục, tính lồi (lõm) theo nón ánh xạ đa trị, điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị C-liên tục (dưới)và mối liên hệ với tính C-liên tục (dưới) Tiếp theo, luận văn mở rộng định lý Banach-Steihaus cho họ hàm lồi (lõm) không gian thùng dựa vào để xây dựng điều kiện cần đủ tính C-liên tục ánh xạ đa trị Cuối chương, đưa số điều kiện liên hệ tính C-liên tục (dưới) trường hợp ánh xạ đa trị lồi (lõm) theo nón C Một số kết chương sử dụng cho việc nghiên cứu tồn nghiệm toán Chương Chương Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia ứng dụng Trong chương này, luận văn trình bày tốn lý thuyết tối ưu vectơ đa trị toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, loại phân thành hai lớp trên, khác Phần cuối, luận văn trình bày: định lý điều kiện tồn nghiệm toán (UQVIP); toán (LQVIP) Đồng thời, luận văn mối quan hệ toán bao hàm thức biến phân với toán tựa cân lý tưởng trên, dưới, toán tựa cân Pareto điều kiện đủ tồn nghiệm toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Berge (1959), Espaces Topologiques et Fontion Multivoques, Dunod, Paris [3] Fu J.Y (2000), Generalized vector quasi-equilibrium problems, Math.Methods Oper.Res, 52,57-64 [4] Guerraggio A and Tan N.X (2002), On general vector quasi-optimization problems, Math Methods Oper.Res, 55, 347-358 [5] Luc D.T and Tan N.X (2004), Existence condition in variational inclusions with contraints, Optimization 53(5,6), 505-515 [6] Minh N.B and Tan N.X (2000), Some sufficient conditions for the existence of equilibrium point concerning multivalued mappings, Vietnam J.Math, 28, 295-310 [7] Minh N.B and Tan N.X (2005), On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stapachia type, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 8,1-16 [8] Minh N.B and Tan N.X (2006), On the existence of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints, Math.Methods.Oper.Res, 64,17-31 [9] Park S (2000), Fixed points and quasi-equilibrium problems, Nonliner operator theory, Math.Comput.Model, 32,1297-1304 [10] Tan N.X and Tinh P.N (1998) On the existence of equilibrium points of vector functions, Numer.Funct.Anal.Optim, 19, 141-156 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] Tan N.X (2004) On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 123, 169-638 [12] Luc D.T., Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 319, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1989 [13] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQGHN, Hà Nội [14] Banach S., Theory of Operations Linear, Monography Mathematics, PWN 1932 [15] Blum E and Oettli W (1994) From optimization and variational inequality to equilibrium problems, The Math.Student 63, 127-149 [16] Rockafeller R.T (1970) Convex Analysis, Princeton University Press [17] Tuy H (2003) Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers 55 MAI HẢI AN ... Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia ứng dụng Trong chương này, luận văn trình bày tốn lý thuyết tối ưu vectơ đa trị toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, loại phân thành... văn trình bày tốn bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, đưa điều kiện đủ tồn nghiệm toán dựa kĩ thuật vơ hướng hóa hàm đa trị thông qua phiếm hàm gξ Gξ mối quan hệ với tốn tựa cân bằng, toán... đẳng thức biến phân biết đến từ lâu, cơng trình Arrow-Debreu, Nash Sau toán mở rộng sang đa trị phát triển thành toán cân đa trị, tựa cân bằng, toán tựa tối ưu tổng quát, toán bao hàm thức tựa biến