Truong dong toan hoc 2017 mien

LƯU GIANG NAM – TRẦN BÁ ĐẠT VÕ THÀNH ĐẠT – LƯƠNG VĂN KHẢI – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG Đội Huấn luyện viên Trường đơng Tốn học miền Nam 2017 TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC MIỀN NAM 2017 NHỮNG BÀI TỐN HAY VÀ KHÓ LƯU GIANG NAM - TRẦN BÁ ĐẠT VÕ THÀNH ĐẠT - LƯƠNG VĂN KHẢI - PHẠM THỊ HỒNG NHUNG Đội HLV Trường đơng Tốn học miền Nam 2017 TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC MIỀN NAM 2017 Những tốn hay khó Tháng 12/ 2017 Mục lục ĐỀ BÀI 1.1 Đại số 9 1.2 Hình học 12 1.3 Phương trình hàm - Dãy số 14 1.4 Số học 17 1.5 Tổ hợp 19 HƯỚNG DẪN GIẢI 25 2.1 Đại số 25 2.2 Hình học 51 2.3 Phương trình hàm - Dãy số 76 2.4 Số học 109 2.5 Tổ hợp 121 LỜI NÓI ĐẦU Nét đăc trưng chương trình Gặp gỡ Tốn học Trường đơng Tốn học miền Nam đội Huấn luyện viên Là sinh viên trưởng thành từ phong trào Toán Olympic, quay lại giúp đỡ bạn học sinh chun Tốn với tất nhiệt huyết, đam mê nguyên vẹn từ ngày xưa, ngày mà ăn ngủ tốn, nói câu chuyện có tốn, giải tốn ngày đọc viết phương pháp giải toán đêm Hơn hết, hiểu rõ mà học sinh chun Tốn trải qua, chúng tơi muốn chia sẻ khó khăn bạn Tập san đời khơng ngồi mục đích Chúng tơi muốn đem có Trường đơng Tốn học miền Nam tới thật nhiều bạn học sinh, để bạn, đặc biệt bạn chưa có điều kiện tham gia chương trình, tinh thần Bring Math to Everyone thầy Trần Nam Dũng, với giá trị cốt lõi mà Gặp gỡ Tốn học Trường đơng Tốn học miền Nam Trong tập san này, toán chia theo lĩnh vực, đề đưa trước để bạn học sinh suy nghĩ, sau phần hướng dẫn giải Có có lời giải đầy đủ, có có phần hướng dẫn sơ lược, có có thêm phần nhận xét mở rộng Xuất tốn dùng giảng thầy mà tốn thảo luận sau học, giải lao bạn học sinh Các biên tập viên tập san Huấn luyện viên Trường đơng Tốn học miền Nam năm nay: • Bạn Lưu Giang Nam (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) biên tập phần Phương trình hàm - Dãy số • Bạn Trần Bá Đạt (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Sư phạm Tp HCM) biên tập phần Tổ hợp • Bạn Võ Thành Đạt (sinh viên khoa Tốn - Tin học trường ĐH Khoa học Tự MỤC LỤC nhiên, ĐHQG Tp HCM) biên tập phần Bất đẳng thức - Đa thức • Bạn Lương Văn Khải (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) biên tập phần Hình học • Bạn Phạm Thị Hồng Nhung (cựu học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu) biên tập phần Số học Chúng xin gửi lời cảm ơn tới thầy Trần Nam Dũng (ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM), thầy Trần Quang Hùng (THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội), thầy Nguyễn Song Minh (Titan Education Hà Nội), thầy Võ Quốc Bá Cẩn (Archimedes Academy, Hà Nội), thầy Lê Phúc Lữ (FPT Software Tp HCM) cung cấp giảng Cảm ơn bạn Ngô Hồng Anh, Phạm Hồng Minh (học sinh chun Tốn trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM), bạn Nguyễn Minh Uyên (học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang), bạn Lư Thương Thương (học sinh chuyên Tốn trường THPT chun Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh) nhiệt tình hỗ trợ ban biên tập Những nằng đề thức, đề đề nghị Trường Đông hay đề tiêu thụ ghi rõ nguồn, lại tập hay thầy dạy Trường Đông miền Nam 2017 (do bạn học sinh huấn luyện viên tham dự buổi học ghi chép lại) mở rộng, thú vị xung quanh có ghi nguồn Cảm ơn đơn vị tổ chức chương trình Cơng ty cổ phần Giáo dục Titan - Titan Education tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành tập san Chúng mong nhận đóng góp bạn đọc để ấn phẩm sau hồn thiện Mọi đóng góp xin gửi qua hộp thư fanpage chường trình https://www.facebook.com/gapgotoanhoc/ Những ý kiến bạn kinh nghiệm lớn cho lần biên tập sách Cảm ơn tất bạn! Chương ĐỀ BÀI 1.1 Đại số Bài (Đề tiêu thụ ngày trường đông miền Nam) Cho a, b, c ba số thực cho (a − b)(b − c)(c − a) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 1 + + 2 (a − b) (b − c) (c − a)2 Bài Cho a, b, c số dương thoả mãn abc = Chứng minh √ c b a √ +√ +√ ≥ a+1 c+1 b+1 Bài (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c ba số thực Đặt s = a2 + bc − ab, r = b2 + ca − bc, t = c2 + ab − ca Chứng minh sr + ts + rt = a3 b + b3 c + c3 a Từ suy (a2 + b2 + c2 ) ≥ (a3 b + b3 c + c3 a) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh 3− √ x2 y z 3+ + + ≥ (x + y + z)2 y z x 10 ĐỀ BÀI Bài (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c ba số thực dương Xét bất đẳng thức a2 + bc b+c n + b2 + ca c+a n + c2 + ab a+b n ≥ an + b n + c n Chứng minh minh bất đẳng thức với n = Với n = bất đẳng thức khơng? Nếu có, chứng minh Nếu khơng, phản ví dụ Bài (Đề thức trường đông Trung Trung Bộ) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh ≥2 abc a c b + + c b a + Bài Tìm số thực k nhỏ cho bất đẳng thức xyz + + k (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ≥ x + y + z với x, y, z không âm Bài (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c ba cạnh tam giác, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ Bài (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh b3 a b c + + ≥ + 16 c + 16 a + 16 Bài Chứng minh với số thực a, b, c, ta có (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 ≥ (b2 + c2 − a2 )(c2 + a2 − b2 )(a2 + b2 − c2 ) Bài 10 Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ abc + bcd + cda + dab 136 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Cho dãy n bìa đặt sấp bàn đánh số từ tới n Mỗi lần cho phép thay đổi trạng thái k bìa liên tiếp từ sấp thành ngửa ngược lại Chứng minh chuyển hết bìa từ sấp sang ngửa m k Nếu n khơng chia hết cho k, tìm số bìa tối đa chuyển sang ngửa Lời giải Chiều thuận chiều hiển nhiên n k n = kp, ta thực đổi p lần, lần k theo thứ tự bìa từ sấp chuyển thành ngửa Ở chiều đảo, giả sử n không chia hết cho k, tức n = pk+r, < r < k, đó, ta thực tơ màu bìa thứ 1, k, k + 1, 2k, , pk, pk + số tơ màu số lẻ Tuy nhiên, lần chọn k liên tiếp đổi trạng thái làm thay đổi trạng thái tấm, ta chuyển ngửa n khơng chia hết cho k Hình 2.1: Trường hợp n = 13, k = Vậy chứng minh Nếu n không chia hết cho k, tức n = kp + r, < r < k Ta để ý đến trường hợp n = 13, k = tìm cách để đổi nhiều ngửa Ta thực sau: • Đổi từ đến thành ngửa • Đổi từ đến 10 thành ngửa • Đổi trạng thái từ đến 13, tức 9, 10 thành sấp, 11, 12, 13 thành ngửa 2.5 Tổ hợp 137 Cách đổi giúp ta thu 11 ngửa Tuy nhiên, n = 11 ta khơng thực bước cuối cùng, thực vậy, ta làm thêm ngửa lại tấm, tức lỗ Trong trường hợp này, ta thực hai bước đầu thu 10 ngửa k Với phân tích đó, ta đưa lời giải cho hai trường hợp, r ≤ k r> n (a) Nếu r ≤ , ta chứng minh số bìa đổi sang ngửa tối đa kp Ta thực bước sau: i Tơ màu bìa vị trí 1, k, k + , kp, kp + ta có số lẻ bìa, mà lần đổi làm thay đổi trạng thái bìa nên tồn bìa khơng thể đổi sang ngửa ii Tơ màu bìa vị trí 2, k − 1, k + 2, , kp − 1, kp + ta có số lẻ bìa mà lần đổi làm thay đổi trạng thái bìa nên tồn bìa khơng thể đổi sang ngửa Hơn nữa, bìa khác bìa lần nên ta suy có bìa khơng thể đổi sang ngửa Hình 2.2: Trường hợp n = 16, k = k ta có r bìa khơng thể đổi sang ngửa, tức có tối đa kp bìa đổi sang ngửa, cách xây dựng để kp sang ngửa ta biết Cách tô màu k áp dụng trường hợp r > bị trùng k màu với Điều dẫn đến kết khác cho trường hợp r > k (b) Nếu r > , ta thực tô màu trường hợp đến bước k − r, ta thu có k − r bìa khơng thể đổi sang ngửa, tức có tối đa kp + 2r − k bìa đổi sang ngửa, cách đổi thoả mãn có kp + 2r − k bìa thành ngửa sau: Đổi từ đến kp thành ngửa theo lượt, lượt k Sau đó, đổi k Tương tự đến r < 138 HƯỚNG DẪN GIẢI cuối cùng, ta thu số ngửa n − (k − r) = n + r − k = kp + 2r − k k số đổi sang ngửa tối đa kp, trường hợp ngược lại số đổi sang ngửa kp + 2r − k Vậy, r ≤ Bài 10 Trong bảng vng n × n, ta đặt đèn lên ô bảng, ô đèn Ở lần thay đổi, ta phép chọn đèn làm gốc thay đổi trạng thái đèn tất đèn khác hàng cột với từ tắt sang bật ngược lại Với trạng thái ban đầu bất kì, ta đưa tất đèn trạng thái bật hay không với n = n = 2017 Lời giải Để tiện cho việc mô tả, ta qui ước có trạng thái bật có chứa dấu + trạng thái tắt dấu - Ta có nhận xét rằng, việc trạng thái ta đưa trạng thái tất đèn bất tương đương với việc ta thay đổi trạng thái đèn mà không làm thay đổi trạng thái đèn lại Ta xét tới trường hợp nhỏ n = Ta xem xét đổi trạng thái ô mà không làm thay đổi trạng thái lại hay khơng? Hình 2.3: Trường hợp n = 2.5 Tổ hợp 139 Giả sử ô cần đổi trạng thái ô mang dấu - vị trí hình Ta cần chọn ô cho sau lần lấy ô làm gốc, thực thay đổi trạng thái, ta ô dấu - trở thành ô dấu +, ô lại bảng giữ nguyên trạng thái, hay nói cách khác, dấu - tác động lẻ lần lại tác động chẵn lần Ta nhận thấy rằng, làm thay đổi trạng thái ô dấu - ô tô màu Những ô không tô màu làm thay đổi trạng thái với ô hàng cột với ô dấu - Do đó, trường hợp đơn giản mà ta nghĩ tới thay đổi trạng thái ô tơ màu, sau tính tiếp tới chuyện thay đổi trạng thái ô không tô màu phù hợp Ta xét việc chọn tơ màu làm gốc, ta thu • Ơ dấu − tác động 11 lần (11 ô tô màu) • Các tơ màu mà khác dấu - tác động lần (bởi ô hàng cột) • Các khơng tơ màu tác động lần (một lần ô hàng, lần ô cột) Như vậy, ô dấu - đổi thành + ô lại giữ nguyên trạng thái, đó, bảng × ta chuyển hệ bóng đèn trạng thái trạng thái bật Ta để ý rằng, với n việc tác động làm ô dấu cộng tác động lẻ lần 2n − 1, ô không tô màu tác động lần ô tô màu tác động n lần Như thế, việc đổi theo cách hay khơng phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Với trường hợp n = câu trả lời có Tuy nhiên với, n = 2017 chưa Ta mong việc đổi hay không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n nên ta xét trường hợp nhỏ để có nhìn trực quan cho toán Xét trường hợp n = dấu ta cần đổi vị trí sau: Hình 2.4: Trường hợp n = 140 HƯỚNG DẪN GIẢI Dấu − góc phải cần đổi dấu ˘ thành + mà không làm thay đổi trạng thái lại Xét tơ màu hình trên, chọn ô bảng làm gốc thay đổi trạng thái có tơ màu bị thay đổi trạng thái, tức tổng số dấu – tơ màu khơng bị thay đổi tính chẵn lẻ Mà việc đổi trạng thái ô (3; 3) lại làm thay đổi tính chẵn lẻ tổng số ô - ô tô màu, tức không thực Vậy, ta đưa bảng × bảng có dấu + Từ đây, ta thấy việc chứng minh n = 2017 tương tự trường hợp n = chứng minh ta phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Do đó, với n = 2017 khơng thể kết luận đổi trường hợp ban đầu trạng thái tất bóng bật Bài 11 Cho bảng × tơ trắng đen xen kẽ, góc tơ đen Trên đen có đồng xu đen trắng có đồng xu trắng Các đồng xu di chuyển đến bên cạnh A B chơi trò chơi sau: Đầu tiên, A khởi động trò chơi cách lấy đồng xu đen khỏi bảng di chuyển đồng xu trắng vào trống Sau đó, B di chuyển đồng xu đen vào ô trống Các lượt sau đó, A di chuyển đồng xu trắng vào ô trống B di chuyển đồng xu đen vào trống Trò chơi kết thúc hai người di chuyển theo luật trên, người lại người chiến thắng Hỏi có chiến thuật thắng hay khơng, có người thắng? Lời giải Để ý đến lượt chơi A trống ô đen A phải bỏ đồng xu trắng vào ô đen, đến lượt chơi B trống trắng B phải bỏ đồng xu đen vào trắng Do đó, trò chơi kết thúc sau 24 lượt chơi Ta có thêm nhận xét sau khởi động trò chơi, A lấy đồng xu đen khỏi bảng, lại phủ hình domino × Lượt đầu A di chuyển, tức lấy đồng xu khỏi miếng domino Nếu B tiếp tục thực A phần lại miếng domino ta thấy B ln ln thực thao tác sau A thực thao tác Vậy, B người chiến thắng 2.5 Tổ hợp 141 Bài 12 Cho lưới tam giác hình vẽ, cạnh có chứa n điểm (khơng tính hai đầu mút cạnh), đoạn thẳng song song với cạnh tam giác lớn nối với Đếm số tam giác có đỉnh điểm lưới cho A C B Lời giải Ý tưởng đơn giản đưa đếm truy hồi, Gọi bậc tam giác số điểm có cạnh, khơng chứa đầu mút Ta tìm cơng thức truy hồi dãy Sn với Sn số tam giác tam giác lớn bậc n A 3 C B 142 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta thấy rằng, tam giác tam giác bậc n nằm trong trường hợp sau: • Nằm trong tam giác bậc n − chứa đỉnh A, B, C • Là n tam giác chéo đánh số hình Tuy nhiên, tam giác nhỏ tam giác bậc n − trùng nên để khơng đếm trùng lặp, ta phải sử dụng nguyên lí bù trừ Gọi X,Y ,Z tập hợp tam giác nằm tam giác bậc n − chứa đỉnh A, B, C Khi đó, ta có: Sn = |X| + |Y | + |Z| − |X ∩ Y | − |Y ∩ Z| − |Z ∩ X| + |X ∩ Y ∩ Z| + = 3Sn−1 − 3Sn−2 + Sn−3 + Như vậy, ta có cơng thức truy hồi dãy S0 = 1, S1 = 5, S2 = 15 Sn = 3Sn−1 − 3Sn−2 + Sn−3 + n Tìm cơng thức tổng qt từ công thức truy hồi này, ta Sn = Cn+4 Nhận xét Chúng ta thử sức với toán khác, tương tự kiểu đếm sau: Ví dụ (Olympic Sinh viên 2016) Xét lưới 16 × 16 tạo thành từ dãy điểm hình sau (khoảng ách hàng cột 1) 2.5 Tổ hợp 143 Đếm số hình vng với đỉnh nằm lưới có diện tích Đáp án: 196 Đếm số hình vng với đỉnh nằm lưới có diện tích 25 Đáp án: 283 Đếm tất hình vng có đỉnh nằm lưới Đáp án: 5440 Bài 13 Cho 2018 bóng đèn trạng thái sáng xếp liên tiếp đường thẳng Hai người chơi trò chơi sau: Ở lượt chơi mình, người chọn bóng đèn sáng, sau đổi trạng thái bóng đèn với bóng đèn phía sau Chứng minh trò chơi dừng lại sau hữu hạn bước Ai ln người chiến thắng, đưa chiến thuật thắng Lời giải Ta chứng minh quy nạp Bài toán cho với n = thật vậy: Người thứ có hai khả chọn bóng đèn: Một chọn bóng sau đổi trạng thái có bóng đầu 144 HƯỚNG DẪN GIẢI sáng người thứ hai phải chọn bóng đầu đổi trạng thái sau bóng tắt, lúc người thứ phải chọn bốn bóng sau đổi trạng thái trò chơi kết thúc Hai người thứ đổi trạng thái bốn bóng đầu, người hai chọn bốn bóng sau trò chơi kết thúc Giả sử toán tới n = k Khi n = k + ta thấy lúc chơi không chọn bóng có k bóng phía sau chọn trò chơi dừng theo giả thuyết quy nạp sau người chơi phải chọn bóng muốn tiếp tục chơi, sau chọn bốn bóng bóng tắt, ta khơng chọn Trò chơi quy trường hợp n=k kết thúc Ta đánh số bóng sáng đèn khơng sáng đèn Tổng số vị trí chi hết cho lúc ban đầu 504 chẵn Mỗi lần chơi chọn bốn bóng liên tiếp nên tổng thay đỗi tính chẵn lẽ lần Khi trò chơi dừng tổng số chẳn Nên tổng số lượt chơi chẳn Vậy người sau thắng Bài 14 Cho 33 điểm khác nằm bên hình vng có√cạnh Vẽ 33 đường tròn nhận điểm làm tâm, có bán kính Chứng minh tồn đường tròn số chúng chứa điểm số 33 điểm nói Lời giải Bài tốn tốn Dirichlet đơn giản, cơng việc chia hình vng √ thành 16 hình cho đường kính hình nhỏ Và tất nhiên, cách chia đơn giản chia hình thành 16 hình vng đơn vị Khi đó, theo ngun lí Dirichler, phái có hình vng đơn √ vị chứa điểm A, √ B, C nên khoảng cách lớn A đến B C 2, đường tròn (A, 2) chứa B C Nhận xét Đây tập Dirichlet đơn giản cách chia hình khơng đem lại nhiều khó khăn cho người giải, nhiên, toán sau việc phân chia khơng phải dễ dàng Ví dụ Chứng minh tốn sau (Ngô Minh Phương - Các chuyên đề tổ hợp bồi dưỡng HSG) 2.5 Tổ hợp 145 Bên tam giác ABC có cạnh 6, cho 13 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách √ chúng khơng vượt q Bên hình chữ nhật × 4, cho điểm phân biệt, chứng minh tồn hai √ điểm số điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt q Đối với tốn ví dụ này, ta nhận xét việc đơn giản ta cần chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ số đó, dễ điểm Tuy nhiên, số phần cần chia thực khác biệt không dễ nhìn tốn Ở tốn, ta phải chia hình ban đầu thành phần cho phần có đường kính nhỏ số cho trước Và sau cách chia cho toán √ Ta cần chia tam giác thành 12 phần, phần có đường kính nhỏ 3: Ta cần chia hình vng × thành hình có đường kính nhỏ chia sau thoả mãn đề √ Hình 146 HƯỚNG DẪN GIẢI Tuy nhiên, việc nghĩ cách phân chia cho hình khơng đơn giản, đa số "mò" Ở đây, đưa cách chia tương đối tổng quát Mục tiêu chia hình tốn chia thành đa giác (để dễ trình bày đáp án) cho diện tích phần lớn nhất, đảm bảo đường kính phần ln nhỏ con√số cố định Chẳng hạn câu a, ta cần chia 12 phần có đường kính nhỏ Nếu bỏ mục tiêu đa giác, ta√có thể nghĩ đến tìm hình có diện tích lớn có đường kính nhỏ để phủ lên tam giác có cạnh Và hình mà dùng √ hình tròn Ta phác thảo sơ cách vẽ hình tròn đường kính phủ chúng lên tam giác cạnh Và cần "cắt tỉa" gọn gàng, ta thu kết Thậm chí, xếp gọn gàng, ta cần sử dụng 10 hình tròn, đó, đề sửa lại cần 11 điểm ta giải Cũng cơng đoạn tương tự câu 1, ta phác thảo cho câu b thực "cắt tỉa" để thu đáp án toán 2.5 Tổ hợp 147 Có vấn đề nhỏ phần lại khơng thể phủ √ hình tròn, may thay đường kính hình nhỏ ta có đáp án Bài 15 Có 2010 que diêm bàn A B chơi trò chơi theo lượt sau: Đến lượt mình, họ lấy 1, 3, 4, que diêm Người lấy que diêm cuối chiến thắng Nếu A chơi trước, hỏi người có chiến thuật thắng? Lời giải Ta có nhận xét không phép lấy 2, que diêm Nên A lấy a que B lấy − a que để tổng số que lấy Do đó, người ép người lại vào chia hết cho người thắng Do 2010 chia dư nên A với lượt chơi đưa B trạng thái chia hết cho Nếu A bốc que diêm, B lại rơi vào tình trạng khơng thể đưa A vào trạng thái chia hết cho 8, nhiên, B tiếp tục bốc que liên tiếp cuối lại que diêm lượt A B người chiến thắng Nếu A bốc số que diêm khác B đưa A trạng thái chia hết cho B chiến thắng 148 HƯỚNG DẪN GIẢI Tài liệu tham khảo [1] Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Thị Hằng, Chuyên đề Bất đẳng thức đại http://www.mediafire.com/file/334rrf4ib3f8msj/ [2] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức [3] Nguyễn Văn Huyện, Về toán "Hello IMO 2007" http://www.mediafire.com/file/stharkh32qqpcyb/ [4] Trần Nam Dũng, Về dạng phương trình hàm đa thức https://diendantoanhoc.net/index.php?app=core\&module=attach\ §ion=attach\&attach\_id=20496 [5] Nguyễn Chí Trung, Phương trình hàm đa thức biến [6] Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tuấn Anh, Một số vấn đề đa thức bất khả quy [7] Lê Phúc Lữ, Các toán nghiệm đa thức [8] Lê Xuân Đại, Công thức nội suy Lagrange [9] Nguyễn Đình Tồn, Nguyễn Đức Anh, Tính chất số học đa thức [10] Diễn đàn Art of Problem Solving https://artofproblemsolving com/community/ Diễn đàn Toán học Việt Nam - VMF http:// diendantoanhoc.net/home/ [11] Lê Phúc Lữ, Sự kết hợp hình học đại số toán phân giác, Kỷ yếu Gặp gỡ Toán học 2011 [12] Nguyễn Văn Linh, Khai thác tốn hay từ đề thi Olympic Hình học Sharygin năm 2017 [13] Tạp chí Mathley ... + f (x + 1, 0) = f (x, 1) f (x + 1, y + 1) = f (x, f (x + 1, y)) Tính f (1, 2017) , f (2, 2017) , f (3, 2017) , f (4, 2017) Bài 15 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = xn+1 = x2n − 2, ∀ ∈ N∗ Tính... KHẢI - PHẠM THỊ HỒNG NHUNG Đội HLV Trường đơng Tốn học miền Nam 2017 TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC MIỀN NAM 2017 Những tốn hay khó Tháng 12/ 2017 Mục lục ĐỀ BÀI 1.1 Đại số ... hoàn thiện Mọi đóng góp xin gửi qua hộp thư fanpage chường trình https://www.facebook.com/gapgotoanhoc/ Những ý kiến bạn kinh nghiệm lớn cho lần biên tập sách Cảm ơn tất bạn! Chương ĐỀ BÀI 1.1