Đang tải... (xem toàn văn)
Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 thông tin đến các bạn lời giải của đồng phương Toán học bao gồm từ bài 1 đến bài 4, củng cố kiến thức cho kỳ thi THPT sắp đến. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Trường đơng Tốn học - VTH 10/12/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Ngày thi thứ Thời gian: 180 phút Bài (5 điểm) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh 𝑥𝑛 > với 𝑛 ∈ N* Từ cơng thức truy hồi ta có 11 𝑥11 𝑛+1 = 𝑥1 + 𝑥2 + + 𝑥𝑛 = (𝑥1 + 𝑥2 + + 𝑥𝑛−1 ) + 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 , 11 với 𝑛 ≥ Từ suy 𝑥11 𝑛+1 > 𝑥𝑛 , suy 𝑥𝑛+1 > 𝑥𝑛 với 𝑛 ≥ Như dãy (𝑥𝑛 ) dãy tăng kể từ số hạng thứ hai Giả sử (𝑥𝑛 ) bị chặn tồn giới hạn hữu hạn lim𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎, với 𝑎 nghiệm phương trình 𝑎11 = 𝑎11 + 𝑎, hay 𝑎 = Điều vơ lý (𝑥𝑛 ) dãy số dương tăng Do (𝑥𝑛 ) không bị chặn lim𝑛 𝑥𝑛 = +∞ 11 Từ đẳng thức 𝑥11 𝑛+1 − 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 ta suy 9 10 (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 )(𝑥10 𝑛+1 + 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 + + 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 ) = 𝑥𝑛 Do 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 = 𝑥10 𝑛+1 + 𝑥9𝑛+1 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 < , 10 + + 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 11𝑥10 𝑛 < 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 với 𝑛 ≥ Từ suy < 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 11𝑥9𝑛 Vế phải dãy số tiến tới 𝑛 tiến vô Vậy lim(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ) = 𝑛 Bài (5 điểm) Quy nạp theo 𝑛 Dễ chứng minh bất đẳng thức cho 𝑛 = 0, từ giả thiết 𝑎1 − 𝑎0 ≥ biến đổi đại số Xét 𝑛 ≥ Giả sử bất đẳng thức đến 𝑛 Ta chứng minh cho 𝑛 + Khi bất đẳng thức cần chứng minh tổng hai bất đẳng thức (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1+ ··· + ≤ 1+ 1+ ··· + 1+ 𝑎0 𝑎1 − 𝑎0 𝑎𝑛 − 𝑎0 𝑎0 𝑎1 𝑎𝑛 𝑎0 (︂ 1+ 𝑎1 − 𝑎0 )︂ (︂ ··· + 𝑎𝑛 − 𝑎0 )︂ 𝑎𝑛+1 − 𝑎0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 ≤ 1+ 1+ ··· + 𝑎0 𝑎1 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 Như cần chứng minh bất đẳng thức cuối đủ Để chứng minh bất đẳng thức này, lần ta sử dụng quy nạp theo 𝑛 Trường hợp 𝑛 = chứng minh dễ dàng giả thiết 𝑎1 − 𝑎0 ≥ Giả sử bất đẳng thức đến 𝑛 với 𝑛 ≥ Ta cần chứng minh 𝑎0 (︂ 1+ 𝑎1 − 𝑎0 )︂ (︂ ··· + )︂ (︂ )︂ 1 1+ 𝑎𝑛 − 𝑎0 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 (︂ )︂ (︂ 𝑛+1 )︂ (︂ 𝑛+2 )︂0(︂ )︂ 1 1 ≤ 1+ 1+ ··· + 1+ 𝑎0 𝑎1 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 Bất đẳng thức suy từ giả thiết quy nạp cho 𝑛 bất đẳng thức sau (︂ (︂ )︂ )︂ 𝑎𝑛+1 − 𝑎0 𝑎𝑛+1 1+ ≤ 1+ 𝑎𝑛+1 − 𝑎0 𝑎𝑛+2 − 𝑎0 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+2 Bất đẳng thức cuối dễ dàng suy từ giả thiết 𝑎𝑛+2 − 𝑎𝑛+1 ≥ biến đổi đại số đơn giản Bài (5 điểm) Ta chứng minh có song ánh tập bảng cỡ (𝑚 − 1) × (𝑛 − 1) với vài ô tùy ý tô màu đen tập bảng cỡ 𝑚 × 𝑛 thỏa mãn đề Từ bảng cỡ (𝑚 − 1) × (𝑛 − 1) ta nhận thấy có cách ghép thêm cột gồm (𝑚 − 1) ô vào bên phải bảng cho tất hàng có số chẵn ô đen: Nếu hàng có số chẵn đen ta ghép thêm trống, có lẻ đen ta ghép thêm đen Bảng nhận có kích thước (𝑚 − 1) × 𝑛 Tương tự có cách để ghép thêm hàng gồm 𝑛 ô vào cuối cho tất cột số chẵn ô đen Ta cần chứng tỏ hàng thêm vào có số chẵn đen Vì số đen thêm vào số cột có số lẻ đen, tức tính chẵn lẻ với tổng số ô đen bảng cỡ (𝑚 − 1) × 𝑛 nhận từ bước trước Nhưng bảng hàng có số chẵn đen nên tổng số ô đen chẵn Vậy hàng cuối thêm vào có số chẵn đen Dễ nhận thấy phép xây dựng song ánh Ánh xạ ngược xây dựng cách bỏ hàng cuối cột cuối từ bảng cỡ 𝑚 × 𝑛 thỏa mãn đề Như số bảng thỏa mãn đề 2(𝑚−1)(𝑛−1) Trường đơng Tốn học - VTH 10/12/2014 Bài (5 điểm) (a) (𝐷𝐼𝑃 ) qua trung điểm 𝑄 𝑀 𝑁 Kẻ đường thẳng qua 𝐴, song song với 𝐸𝐹 cắt 𝑀 𝑁 𝐿 𝐴(𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐿) = −1 Gọi 𝐽 giao điểm 𝐴𝐷 với 𝑀 𝑁 (𝑀, 𝑁, 𝐽, 𝐿) = −1 Suy 𝐽𝑀 𝐽𝑁 = 𝐽𝑄.𝐽𝐿 (Maclauren) Để ý 𝐽𝑀 𝐽𝑁 = 𝐽𝐴.𝐽𝐷 phương tích điểm 𝐽 Do 𝐽𝐴.𝐽𝐷 = 𝐽𝑄.𝐽𝐿, nên tứ giác 𝑄𝐴𝐿𝐷 nội tiếp Mà 𝐼𝑃 song song với 𝐴𝐿, tứ giác 𝑄𝐼𝑃 𝐷 nội tiếp Vậy (𝐷𝐼𝑃 ) qua 𝑄 (b) Trung điểm 𝑇 𝑅𝑆 thuộc đường tròn cố định Gọi 𝐺′ giao điểm 𝑅𝑆 với 𝐸𝐹 Ta chứng minh 𝐼 trung điểm 𝐺𝐺′ , suy điểm 𝐺′ cố định Trung điểm 𝑇 𝑅𝑆 ln thuộc đường tròn cố định có đường kính 𝐼𝐺′ Để chứng minh 𝐼 trung điểm 𝐺𝐺′ ta sử dụng bổ đề sau Trường đơng Tốn học - VTH 10/12/2014 Bổ đề Cho 𝐸, 𝐹 hai điểm dây cung 𝐴𝐵 đường tròn (𝑂) cho trung điểm 𝐼 𝐴𝐵 trung điểm 𝐸𝐹 Cho 𝑋𝑌, 𝑈 𝑉 dây cung qua 𝐸, 𝐹 𝑋𝑈 , 𝑌 𝑉 cắt 𝐴𝐵 𝐻, 𝐾 Lúc 𝐼 trung điểm 𝐻𝐾 Chứng minh bổ đề Vẽ 𝑈 𝑈 ′ , 𝑉 𝑉 ′ , 𝑌 𝑌 ′ song song với 𝐴𝐵 Ta có 𝑈 ′ 𝑉 ′ qua 𝐸 Gọi 𝐻1 giao điểm 𝑋𝑉 với 𝑈 ′ 𝑌 ′ Ta có 𝑈 ′ 𝐻1 𝑋 = 𝑈 ′ 𝐸𝑋 (góc chắn cung nhau) Do tứ giác 𝐸𝑈 ′ 𝑋𝐻1 nội tiếp Mặt khác, 𝐸𝑈 ′ 𝑋𝐻 tứ giác nội tiếp 𝑈 ′ 𝑋𝑉 𝑉 ′ nội tiếp 𝐸𝑀 song song với 𝑈 𝑈 ′ Do 𝐻, 𝐻1 thuộc (𝐸𝑈 ′ 𝑋) đường thẳng 𝑋𝑉 Để ý 𝐻, 𝐻1 ̸= 𝑋 nên 𝐻 ≡ 𝐻1 Thành thử 𝑈 ′ 𝑌 ′ qua 𝐻 từ suy 𝐻, 𝐾 đối xứng qua 𝐼 Bổ đề chứng minh .. .Trường đơng Tốn học - VTH 10/12/2014 Như cần chứng minh bất đẳng thức cuối đủ Để chứng minh bất đẳng thức này, lần ta sử dụng quy nạp theo