TOÁN CAO CẤP

Các phản thí dụ nhỏ Giải tích I by Dong Bản thảo Phiên 1.0.1 Beta Ngày 23 tháng năm 2014 Tóm tắt nội dung Các phản thí dụ nhỏ tài liệu làm rõ thêm mối liên hệ cho sơ đồ sau C (I) Lu(I) ∩ B (I) ∩ D (I) B(I) ∪ ⊂ Lip(I) ∪ ⊂ AC(I) ∩ BV (I) ⊃ Lu(I) ∩ BV(I) ∩ C(I) ⊂ R(I) DaC(I) ∪ ∪ C(I) ⊂ Pr(I) Hàm số Vấn đề 1.1 Hàm số y = f (x) bị chặn R với x ∈ R tồn M > cho |f (x)| ≤ M Phản thí dụ Xét hàm số y = x2 Với x ∈ R, tồn số M = x2 + > cho |f (x)| ≤ Vấn đề 1.2 Nếu g(a) = hàm số F (x) = x = a f (x) g(x) có tiệm cận đứng Phản thí dụ Đường thẳng x = tiệm cận đứng hàm số y = sinx x Hình vẽ Vấn đề 1.3 Nếu g(a) = hàm số phân thức hữu tỉ F (x) = tiệm cận đứng x = a f (x) g(x) có Phản thí dụ Đường thẳng x = a tiệm cận đứng hàm −a2 số y = xx−a Hình vẽ Vấn đề 1.4 Hàm số y = f (x) không bị chặn không âm với x ∈ R nghiệm xn khơng thể dần tới ∞ n → ∞ Phản thí dụ Hàm số y = x sin x với dãy nghiệm xn = nπ Vấn đề 1.5 Hàm số y = f (x) xác định khoảng [a, b] cho đồ thị khơng chứa đoạn thẳng nằm ngang khơng thể có vơ hạn cực trị [a, b] Phản thí dụ Hàm số y = sin x1 có cực đại cực tiểu -1 vơ hạn điểm khoảng đống chứa Vẽ hình Vấn đề 1.6 Hàm số y = f (x) có hàm ngược x = f −1 (y) (a, b) hàm số f (x) tăng giảm (a, b) Phản thí dụ Hàm số y=   x2 , x ∈ (1, 2)  2x x ∈ [2, 3) có hàm ngược không tăng không giảm (1, 3) Vấn đề 1.7 Tổng hai hàm không đơn điệu I hàm không đơn điệu I Thứ tự từ phát biểu quan trọng Định nghĩa hàm số bị chặn là: Hàm số y = f (x) bị chặn R tồn M > cho với x ∈ R ta có |f (x)| ≤ M Phản thí dụ Xét f (x) = x2 + x g(x) = −x2 + x không đơn điệu R tổng f (x) + g(x) = 2x tăng R Vấn đề 1.8 Tổng hai hàm đơn điệu liên tục R hàm đơn điệu R Phản thí dụ f (x) = x + sin x g(x) = −x hai hàm đơn điệu liên tục R tổng f (x) + g(x) = sin x không đơn điệu R Vấn đề 1.9 Tiếp tuyến đường cong tiếp xúc với đường cong vơ hạn điểm Phản thí dụ Đường thẳng x = π tiếp xúc với y = sin x vô số điểm Vấn đề 1.10 Tiếp tuyến đường cong cắt ngang với đường cong Phản thí dụ Trục hồnh tiếp tuyến y = x3 cắt ngang đường cong O(0, 0) Vấn đề 1.11 Hàm số y = f (x) liên tục tăng điểm x = a2 tồn lân cận (a − δ, a + δ), δ > cho hàm số y = f (x) tăng   x + x2 sin , x = x tăng điểm x = Phản thí dụ Hàm số f (x) =  0 x = 0 khơng tăng lân cận Vấn đề 1.12 Hàm số không đơn   x, Phản thí dụ Hàm số y =  −x,   y, hàm ngược hàm số x =  −y, điệu khơng có hàm ngược x ∈ Q khơng đơn điệu có x ∈ /Q y ∈ Q y ∈ / Q Vấn đề 1.13 Hàm số không đơn điệu (a, b) bình phương khơng đơn điệu (a, b)   x, x ∈ Q Phản thí dụ Hàm số f (x) = không đơn điệu  −x, x ∈ /Q (0, ∞) f (x) = x2 đơn điệu (0, ∞) Hàm số y = f (x) gọi tăng điểm x = a tồn lân cận (a − δ, a + δ), δ > cho x < a f (x) < f (a) x > a f (x) > f (a) Vấn đề 1.14 Nếu f (x).g(x) = với x ∈ R f (x) = g(x) = với x ∈ R     1, x = 1, x = Phản thí dụ Ta chọn f = f =   0, x = 0, x = Vấn đề 1.15 Nếu hai hàm số phân biệt f, g thỏa mãn f (x) ≤ g(x) với x ∈ R f (x) < g(x) với x ∈ R Phản thí dụ f (x) = x g(x) = |x| Vấn đề 1.16 Nếu f đơn ánh f đơn điệu ngặt     1, x = −1    Phản thí dụ f (x) = x, x = ±1      −1, x = Vấn đề 1.17 Nếu f tăng g giảm R f + g tăng giảm Phản thí dụ f (x) = x3 tăng g(x) = −x giảm R Vấn đề 1.18 supx∈X (f + g)(x) = supx∈X f (x) + supx∈X g(x) supx∈X (f g)(x) = (supx∈X f (x)).(supx∈X g(x)) Phản thí dụ Xét hai hàm số f (x) = x g(x) = − x X = [0, 1] ta có supx∈X (f + g)(x) = = supx∈X f (x) + supx∈X g(x)=2 supx∈X (f g)(x) = 14 = (supx∈X f (x)).(supx∈X g(x)) = Mọi hàm dơn điệu ngặt đơn ánh Giới hạn Vấn đề 2.1 Nếu f (x) < g(x) với x > tồn hai gới hạn lim f (x) lim g(x) lim f (x) < lim f (x) x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ g(x) = Phản thí dụ Hai hàm số f (x) = −1 x x > lim f (x) = lim f (x) = x→∞ x có f (x) < g(x) với x→∞ Vấn đề 2.2 Nếu lim f (x) tồn lim g(x) không tồn lim f (x)g(x) x→a x→a x→a khơng tồn Phản thí dụ Xét f (x) = x có lim x = g(x) = sin x1 lim sin x1 lim f (x)g(x) = x→a x→0 lim x sin x1 = x→a x→0 Vấn đề 2.3 Hàm số y = f (x) không bị chặn lân cận điểm x = a lim+ |f (x)| = ∞ lim− |f (x)| = ∞ x→a x→a Phản thí dụ Hàm số f (x) = x1 cos x1 không bị chặn lân cận điểm x = lim+ | x1 cos x1 | lim+ | x1 cos x1 | không tồn x→a x→a Vấn đề 2.4 Nếu f (x) < M (a, ∞) lim f (x) = L L < M x→a Phản thí dụ Xét f (x) = Nhưng lim f (x) = 1 1+x (0, ∞) Ta có f (x) < (0, ∞) x→a Vấn đề 2.5 Hàm số y = f (x) liên tục với x ∈ R lim f (n) = A n→∞ lim f (x) = A x→∞ Phản thí dụ Hàm số y = cos(2πx) có lim cos(2πn) = với n ∈ N n→∞ lim cos(2πx) không tồn x→∞ Vấn đề 2.6 Nếu lim f (y) = e lim g(x) = d lim f (g(x)) = e.4 x→c y→d Phản thí dụ Xét g(x) = f (x) = x→c    sin x , x = x  2, x = ta có lim g(x) = x→0 lim f (x) = lim f (g(x)) = lim = x→0 Phát x→0 x→0 biểu thêm giả thiết, f (d) = e (tức là, f liên tục d) g không nhận giá trị d gần c (tức là, tồn số δ > cho < |x − c| < δ |g(x) − d| > 0) Liên tục Vấn đề 3.1 Nếu y = |f (x)| liên tục y = f (x) liên tục   −1, x ≤ Phản thí dụ Giá trị tuyệt đối hàm f (x) =  1, x > |f (x)| = với x ∈ R liên tục f (x) khơng Vấn đề 3.2 Tổng hai hàm số không liên tục x = a không liên tục x = a Phản thí dụ Hai hàm số f (x) =   − x−a  a x = a g(x) = x = a   x + x−a  a x = a x = a không liên tục x = a hàm số f (x) + g(x) =   x x = a  a x = a liên tục x = a Vấn đề 3.3 Tích hai hàm số khơng liên tục x = a không liên tục x = a Phản thí dụ Hai hàm số f (x) = g(x) =    sin x x =  2 x = x    sin x x =  1 x = x không liên tục x = hàm số f (x).g(x) = liên tục x =    sin22 x x =  1 x = x Vấn đề 3.4 Cho I khoảng R f : I → R hàm số liên tục Khi f (I) khoảng loại với I x Phản thí dụ I = R f (I) = (−1, 1) với f (x) = |x|+1     −1, x ≤ −1    I = R f (I) = [−1, 1] với f (x) = x, − ≤ x ≤      1, x ≥ I = (0, 1] f (I) = (−1, 1) với f (x) = (1 − x) sin x1 Vấn đề 3.5 Hàm số ln có cực đại địa phương nằm hai cực tiểu địa phương Phản thí dụ Hàm số y = x4 +0.1 x2 y = cos2 x Vấn đề 3.6 Hàm số xác định lân cận x = a tăng phía bên trái x = a, giảm phía bên phải x = a có cực đại địa phương a Phản thí dụ Hàm số y=    (x−3)2 x =  1, x = xác định R, tăng phía bên trái điểm x = 3, giảm phía bên phải x = khơng có cực đại địa phương x = Vấn đề 3.7 Hàm số xác định [a, b] liên tục (a, b) có cực trị [a, b] Phản thí dụ Hàm số y=   tan x, x ∈ (− π2 , π2 )  0, x = ∓ π2 xác định [− π2 , π2 ], liên tục (− π2 , π2 ) khơng có cực trị [− π2 , π2 ] Vấn đề 3.8 Hàm số liên tục R có cực trị Điều bảo toàn I = [a, b] f (I) loại khoảng với I loại khoảng khác [a, b] Ta lấy 8.9 = 72 ví dụ Phản thí dụ Hàm số y = x liên tục R khơng có cực trị.6 Vấn đề 3.9 Hàm số liên tục R có giá trị lớn giá trị nhỏ Phản thí dụ Hàm số y = x liên tục R khơng có cực trị.7 Vấn đề 3.10 Hàm số liên tục bị chặn R có cực trị Phản thí dụ Hàm số y = arctan x liên tục bị chặn R khơng có cực trị Vấn đề 3.11 Hàm số bị chặn, có cực đại cực tiểu nhận giá trị trung gian cực đại cực tiểu [a, b] liên tục [a, b] Phản thí dụ Xét hàm     1,    f (x) = x,      0, x = x ∈ (0, 1) x = Vấn đề 3.12 Hàm số bị chặn, có cực đại cực tiểu nhận giá trị trung gian cực đại cực tiểu [a, b] liên tục điểm đoạn [a, b] Phản thí dụ Xét hàm    1,       x, f (x) =   −x,       0, x = x ∈ ([−1, 1) \ {0}) ∩ Q x ∈ ((−1, 1) \ {0}) ∩ (R \ Q) x = gián đoạn điểm thuộc [−1, 1] Vấn đề 3.13 Hàm số xác định [a, b] f (a).f (b) < tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = Chỉ Chỉ liên tục đoạn liên tục đoạn Hàm số y = x khơng có cực trị (0, 1) Giải thiết liên tục quan trọng, chẳng hạn hàm f : [0, 1] → R xác định f (x) = khơng có giá trị lớn x x > f (0) = khơng liên tục x = Phản thí dụ Hàm số f (x) =   1, x =  1, x = x xác định [-1, 1] f (−1).f (1) < khơng có c ∈ [−1, 1] cho f (c) = Vấn đề 3.14 Hàm số xác định [a, b], liên tục (a, b) với N ∈ (f (a), f (b)) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = N     2, x =    Phản thí dụ Xét hàm f (x) = 1, x ∈ (0, 1) xác định [0, 1],      3, x = liên tục (0, 1) khơng có c ∈ (0, 1) thảo mãn yêu cầu Vấn đề 3.15 Hàm số khơng liên tục khơng có tính chất giá trị trung gian   sin( ), x = x Phản thí dụ Hàm số f (x) = không liên tục tạo  0, x = x = có tính chất giá trị trung gian, tức với a < b với y cho y nằm f (a) f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = y Vấn đề 3.16 Không tồn hàm số gián đoạn điểm c ∈ R Phản thí dụ Hàm Dirichlet gián đoạn điểm R.8 Vấn đề 3.17 Không tồn hàm số gián đoạn điểm hữu tỉ, lien tục điểm vơ tỉ Phản thí dụ Hàm Thomae9 (hay hàm bỏng ngô)    x = m m, k ∈ N, m k khơng có ước chung khác k k f (x) =  0 x vô tỉ hàm số gián đoạn điểm hữu tỉ, liên tục điểm vô tỉ thuộc (0, 1)10 Giải sử c hữu tỉ Khi ta lấy dãy vơ tỉ (xn )n cho lim xn = c Nhưng f (xn ) = dơ lim f (xn ) = f (c) = Tương tự với c vơ tỉ Nhà tốn học Đức Johannes Karl Thomae (1840 – 1921) 10 Giải sử c = m hữu tỉ Khi lấy dãy số vơ tỉ (x ) cho lim x = c Ta có lim f (x ) = lim = n n n n k f (c) = k = Do f gián đoạn c Bây giả sử c vơ tỉ f (c) = lấy dãy (xn )n ⊂ (0, ∞) cho lim xn = c Với > cho trước, ta tìm K cho K < theo tính chất Archimede Nếu m k Vấn đề 3.18 Hàm số y = f (x) gián đoạn điểm thuộc tập xác định hàm số y = |f (x)| y = [f (x)]2 không liên tục   1, x ∈ Q Phản thí dụ Xét hàm f (x) = gián đoạn R  −1, x ∈ /Q |f (x)| = [f (x)]2 = liên tục R Vấn đề 3.19 Khơng có hàm số liên tục điểm gián đoạn tất điểm khác miền xác định   x, x ∈ Q Phản thí dụ Hàm số f (x) = liên tục x =  −x, x ∈ /Q gián đoạn điểm thuộc R.11 Vấn đề 3.20 Một dãy hàm liên tục [a, b] hội tụ hàm liên tục [a, b] Phản thídụ Dãy hàm fn (x) = xn , n ∈ N liên tục [0, 1] hội tụ hàm  0, x ∈ [0, 1) f (x) = không liên tục x =  1, x = Vấn đề 3.21 Hàm số liên tục (a, b) liên tục (a, b).12 Phản thí dụ Hàm số y = (0, 1).13 x liên tục (0, 1) không liên tục Vấn đề 3.22 Hàm số liên tục Lipschitz √ Phản thí dụ Hàm số y = x liên tục [0, ∞] không Lipschitz.14 tối giản m k ∈ (0, 1) m < k Hiển nhiên có hữu hạn số hữu tỉ thuộc (0, 1) mà mẫu số k dạng tối giản nhỏ K Từ tồn M cho với n ≥ M cho tất số hữu tỉ xn có mẫu số lớn K Suy với n ≥ M |f (xn ) − 0| = f (xn ) ≤ K < Vậy f liên tục c vô tỉ  x, x ∈ Q 11 Hàm số f (x) = liên tục x = gián đoạn x = x2 , x ∈ /Q 12 Hàm số liên tục ([a, b] liên tục [a, b] 13 Cho > 0, để có | − | < ta phải có |x − y| < xy Do đó, để thảo mãn định nghĩa liên tục ta phải x y có < δ ≤ xy với x, y ∈ (0, 1) Điều xảy δ ≤ !!! 14 Các hàm số đa thức có bậc lớn không Lipschitz 10 Đạo hàm Vấn đề 4.1 Hai hàm số y = f (x) y = g(x) khả vi f (x) > g(x) (a, b) f (x) > g (x) (a, b) Phản thí dụ Hàm số f (x) = 2x + g(x) = 3x [1, 2] Vấn đề 4.2 Hàm số y = f (x) liên tục điểm có đạo hàm điểm Phản thí dụ Hàm số y = |x| liên tục x = khơng có đạo hàm Vấn đề 4.3 Khơng có hàm số khả vi điểm gián đoạn tất điểm lại   x2 , x ∈ Q Phản thí dụ Hàm số y = có đạo hàm x = gián  0 x ∈ /Q đoạn điểm khác Vấn đề 4.4 Hàm số khả vi giảm (a, b) đạo hàm âm (a, b) Phản thí dụ Hàm số y = −x3 khả vi giảm R f (0) = Vấn đề 4.5 Hàm số liên tục giảm (a, b) đạo hàm khơng âm (a, b)   −x, x ∈ (−1, 0) Phản thí dụ Hàm số y = liên tục giảm  −2x x ∈ [0, 1) khơng có đạo hàm x = Vấn đề 4.6 Hàm số có đạo hàm dương điểm miền xác định tăng miền Phản thí dụ Hàm số y = − x1 có đạo hàm y = khơng tăng f (−1) > f (1) x2 dương R \ {0} Vấn đề 4.7 Hàm số y = f (x) khả vi (a, b) nhận giá trị âm dương (a, b) y = |f (x)| khơng khả vi điểm mà f (x) = 0, chẳng hạn y = |x| hay y = | sin x| Phản thí dụ Xét hàm số y = x3 thỏa giả thiết y = |x3 | khả vi x = 0.15 15 hàm số không khả vi điểm mà f (x) = f (x) = 11 Vấn đề 4.8 Hai hàm số f (x) g(x) khả vi (a, b) cắt điểm có hồnh độ c ∈ (a, b) max{f (x), g(x)} khơng khả vi điểm mà f (x) = g(x) Phản thí dụ Hàm số max{x3 , x4 } khả vi x = 0.16 Vấn đề 4.9 Hàm số f (x) khả vi cấp điểm cực trị địa phương đạo hàm cấp điểm âm dương Phản thí dụ Hàm số y = −x4 khả vi cấp điểm cực đại x = f (0) = Tương tự hàm y = x4 Vấn đề 4.10 Nếu f (x) g(x) khơng khả vi x = a f (x) + g(x) không khả vi x = a Phản thí dụ Xét f (x) = A(x) − B(x), g(x) = B(x)| B khơng khả vi x = a B khả vi x = a, chẳng hạn B(x) = |x| A(x) = x = Vấn đề 4.11 Nếu f (x) g(x) khơng khả vi x = a f (x).g(x) không khả vi x = a Phản thí dụ Ta có f (x) = |x| g(x) = −|x| không khả vi x = Tuy nhiên f (x).g(x) = −x2 khả vi x = Vấn đề 4.12 Nếu g(x) khả vi x = a f (x) không khả vi g(a) f (g(x)) khơng khả vi x = a Phản thí dụ Xét g(x) = x2 f (x) = |x| Ta có f (g(x)) = x2 x = Vấn đề 4.13 Nếu g(x) không khả vi x = a f (x) khả vi g(a) f (g(x)) khơng khả vi x = a Phản thí dụ Hàm số g(x) = |x| khơng khả vi x = f (x) = x2 khả vi g(0) = f (g(x)) = x2 khả vi x = Vấn đề 4.14 Nếu g(x) không khả vi x = a f (x) khơng khả vi g(a) f (g(x)) khơng khả vi x = a Phản thí dụ Hàm g(x) = 32 x − 13 |x| không khả vi x = f (x) = 2x+|x| khơng khả vi g(0) = f (g(x)) = 2( 23 x− 13 |x|)+| 23 x− 13 |x|| = x khả vi x = 0.17 Vấn đề 4.15 Hàm số y = f (x) xác định [a, b], khả vi (a, b) f (a) = f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = 16 Phát 17 Có biểu là: max{f (x), g(x)} khơng khả vi điểm mà f (x) = g(x) f (x) = g (x) thể tính đạo hàm phía kết luận tồn đạo hàm 12 Phản thí dụ Hàm số f (x) =   x < x ≤  1 x = có f (0) = f (1), khơng liên tục đoạn [0, 1], khả vi (0, 1) khơng có giá trị thuộc (0, 1) cho đạo hàm 0.18 Vấn đề 4.16 Nếu hàm số y = f (x) y = g(x) khả vi R giới (x) (x) ∞ hạn lim fg(x) có dạng vơ định ∞ ta dùng cong thức sau: lim fg(x) = x→∞ lim f (x) 19 x→∞ g (x) x→∞ 6x+sin x x→∞ 2x+sin x Phản thí dụ Nếu ta dùng quy tắc để tính giới hạn lim 6x + sin x + cos x = lim x→∞ 2x + sin x x→∞ + cos x lim không tồn Kết 6+ 6x + sin x lim = lim x→∞ 2x + sin x x→∞ + sin x x sin x x = Vấn đề 4.17 Nếu hàm số y = f (x) khả vi (a, b) lim+ f (x) = ∞ x→a lim+ f (x) = ∞ x→a Phản thí dụ Hàm số y = √ x khả vi (0, 1) có lim+ f (x) = ∞ x→0 lim+ f (x) = x→0 Vấn đề 4.18 Nếu hàm số y = f (x) khả vi (0, ∞) lim f (x) tồn x→∞ lim f (x) tồn x→∞ Phản thí dụ Hàm số sin2 x x2 Vấn đề 4.19 Nếu hàm số y = f (x) khả vi bị chặn (0, ∞) lim f (x) tồn lim f (x) tồn x→∞ x→∞ Phản thí dụ Hàm số y = cos(ln x) khả vi bị chặn (0, ∞) lim f (x) = lim f (x) không tồn x→∞ x→∞ 18 Xem 19 Để Định lí Rolle f (x) x→∞ g (x) dùng quy tắc ta cần thêm giả thiết lim 13 tồn ∓∞ Vấn đề 4.20 Hàm số y = f (x) khả vi x = a đạo hàm liên tục x = a   x2 sin , x = x Phản thí dụ Hàm số f (x) = khả vi x =  0, x = f (x) gián đoạn x = Vấn đề 4.21 Nếu đạo hàm hàm số y = f (x) dương x = a tồn lân cận x = a để hàm số tăng khoảng   x + 2x2 sin , x = x Phản thí dụ Hàm số f (x) = có f (0) =  0, x = nhận giá trị âm dương lân cận Vấn đề 4.22 Hàm số y = f (x) liên tục (a, b) phương điểm c ∈ (a, b) tồn lân cận c trái giảm bên phải c   2 − x2 (2 + sin ), x Phản thí dụ Hàm số f (x) =  2, có cực đại địa cho f tăng bên x=0 liên tục x=0 R Vì x2 (2 + sin x1 ) dương với x = nên > x2 (2 + sin x1 ) Do f (x) đạt cực đại x = Nhưng đạo hàm vừa nhận giá trị âm vừa nhận giá trị dương (−δ, 0) (0, δ) với δ > Vấn đề 4.23 Hàm số y = f (x) khả vi x = a đạo hàm bị chặn lân cận x = a   x2 sin 12 , x = x Phản thí dụ Hàm số f (x) = khả vi x =  0, x =   2x sin 12 − cos 12 , x = x x x f (x) = không bị chặn  0, x = lân cận Vấn đề 4.24 Trong lân cận x = a ln tồn điểm mà f (x) khơng tồn f (a) khơng tồn 14 Phản thí dụ Trong lân cậnnào x = ln tồn điểm  x2 | cos π |, x = x không tồn mà đạo hàm hàm số f (x) =  0, x = f (0) = Vấn đề 4.25 Không tồn hàm số khả vi điểm không khả vi tất điểm lại   x2 , x ∈ Q Phản thí dụ Hàm số f (x) = khả vi x =  0, x ∈ /Q Vấn đề 4.26 Không tồn hàm số liên tục không khả vi điểm thuộc miền xác định Phản thí dụ Hàm số Weierstrass cho công thức ∞ cos(3n x) f (x) = n=0 Tích phân Vấn đề 5.1 Nếu y = F (x) nguyên hàm hàm số y = f (x) b f (x)dx = F (b) − F (a) a Phản thí dụ Hàm số y = F (x) = ln |x| nguyên hàm hàm số y= x f (x)dx không tồn tại.20 tích phân −1 b f (x)dx ≥ f (x) ≥ với x ∈ [a, b] Vấn đề 5.2 Nếu a xdx = Phản thí dụ Ta có −1 hàm số y = x nhận giá trị vừa âm vừa dương [−1, 2] Vấn đề 5.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục k số kf (x)dx = k f (x)dx 20 Ta cần thêm giải thiết f (x) liên tục [a, b] 15 Phản thí dụ Nếu k = vế trái kì ki vế phải 0f (x)dx = C với C số bất b b g(x)dx f (x)dx Vấn đề 5.4 Nếu khơng tồn tích phân a a b (f (x) + g(x))dx khơng tồn tích phân a Phản thí dụ Khơng tồn tích phân [a, b] hai hàm21   1, x ∈ Q f (x) =  −1, x ∈ /Q f (x) =   −1, x ∈ Q  1, x ∈ /Q b (f (x) + g(x))dx = a b |f (x)|dx tồn Vấn đề 5.5 Nếu hàm số y = f (x) xác định [a, b] a b f (x)dx tồn tại a Phản thí dụ Hàm số y = f (x) =   1, x ∈ Q  −1, x ∈ /Q xác định với x ∈ R |f (x)| = ∞ Vấn đề 5.6 Nếu lim f (x) = x→∞ f (x)dx hội tụ a Phản thí dụ Hàm số y = x1 ∞ f (x)dx phân kì f (x) khơng bị chặn Vấn đề 5.7 Tích phân a ∞ kdx, k số khác phân kì y = k bị Phản thí dụ Ta có a chặn 21 Phân n hoạch [a, b] thành n đoạn tính giới hạn tổng tích phân sau S = lim max ∆x→0 i=0 f (ci )∆xi Nếu đoạn ta chọn ci số hữu tỉ S = a − b Ngược lại, chọn ci số vơ tỉ S = b − a Do giới hạn S phụ thuộc vào việc chọn ci nên tích phân f (x) [a, b] khơng tồn 16 ∞ f (n) Vấn đề 5.8 Hàm số y = f (x) liên tục không âm với x n=1 ∞ f (x)dx hội tụ hữu hạn Phản thí dụ Hàm số y = | sin πx| liên tục không âm với x ∞ ∞ f (n) = f (x)dx phân kì n=1 ∞ ∞ ∞ g(x)dx phân kì (f (x)+g(x))dx f (x)dx Vấn đề 5.9 Tích phân a a a phân kì ∞ Phản thí dụ a ∞ dx x a ( x12 ∞ − )dx x phân kì a dx x2 hội tụ ∞ f (x)dx hội tụ Vấn đề 5.10 Nếu hàm số y = f (x) liên tục a lim f (x) = x→∞ ∞ sin x2 dx hội tụ lim sin x2 khơng Phản thí dụ Tích phân Fresnel x→∞ tồn ∞ Vấn đề 5.11 Nếu hàm số y = f (x) liên tục, không âm f (x)dx hội a tụ lim f (x) = 0.22 x→∞ Phản thí dụ Xét f (x) = e1x + g(x), x ≤     0, x ∈ 0, 74 ,        1, x = 2, 3, ,    g(x) = n2 (x − n) + 1, x ∈ [n − n−2 , n], n = 2, 3, ,       −n2 (x − n) + 1, x ∈ [n, n + n−2 ], n = 2, 3, ,       0, trường hợp lại Vấn đề 5.12 Nếu hàm số y = f (x) không âm không bị chặn R ∞ f (x)dx phân kì a 22 Với điều kiện f lim f (x) = Có nhiều câu trả lời cho vấn đề chẳng hạnf không âm, khả x→∞ vi f bị chặn, sử dụng định lí Lagrang ta suy lim f (x) = x→∞ 17 Phản thí dụ Vấn đề 5.13 Nếu hàm số y = f (x) liên tục không bị chặn R ∞ f (x)dx phân kì a ∞ x sin x4 dx hội tụ.23 Phản thí dụ Xét hàm f (x) = x sin x4 a ∞ Vấn đề 5.14 Nếu hàm số y = f (x) liên tục [1, ∞) f (x)dx hội ∞ |f (x)|dx hội tụ tụ ∞ Phản thí dụ Hàm số y = sin x x sin x dx x liên tục [1, ∞) a ∞ hội tụ | sinx x |dx phân kì a ∞ Vấn đề 5.15 Nếu hàm số y = f (x) bi chặn [a, ∞) f (x)dx hội a ∞ f (x)g(x)dx hội tụ.24 tụ a ∞ Phản thí dụ Ta có ∞ a a sin2 x dx x 23 Đổi 24 Ta ∞ sin x dx x hội tụ hàm số g(x) = sin x bị chặn phân kì biến t = x2 suy tích phân Fresnel ∞ có | ∞ f (x)g(x)dx| ≤ a ∞ sin t2 dt hội tụ ∞ |f (x)g(x)|dx ≤ M a ∞ |f (x)|dx Tuy nhiên việc a f (x)dx hội tụ không đủ để a |f (x)|dx hội tụ a 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] James Stewart, Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning 2012 [2] Wieslawa J Kaczor, Maria T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, American Mathematical Soc., 2001 [3] Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva , Berkeley Problems in Mathematics, Springer, 2004 19 ... x4 } khả vi x = 0.16 Vấn đề 4.9 Hàm số f (x) khả vi cấp điểm cực trị địa phương đạo hàm cấp điểm âm dương Phản thí dụ Hàm số y = −x4 khả vi cấp điểm cực đại x = f (0) = Tương tự hàm y = x4 Vấn