01050002842 Luan van thac si Be Thi Huong tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bế Thị Hƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TỐN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Bế Thị Hƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ sở Toán học cho Tin học Mã số: 60460110 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ HỒNG MINH Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo giảng dạy lớp cao học Cơ sở Toán học cho Tin học, Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN khóa 2012 – 2014 Các thầy nhiệt tình, tâm huyết giảng dạy cho em học tập, nghiên cứu bổ sung thêm nhiều kiến thức quan trọng, hữu ích nghiên cứu công tác giảng dạy trường THPT chuyên Đồng thời kịp nhận sửa đổi, bổ sung kiến thức cịn hiểu chưa thật xác giúp tăng cường lực phát triển tư nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo TS.Nguyễn Thị Hồng Minh (Khoa Sau Đại học – ĐHQGHN) Cô giảng dạy với hướng dẫn luận văn cho em cách khoa học, tận tâm, chu đáo chi tiết để em hoàn thành luận văn cách tốt Cảm ơn gia đình cho em chỗ dựa vững để hồn thành khóa học hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng việc nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn nhiên hạn chế cá nhân mặt thời gian nên em khó tránh thiếu sót Kính mong thầy bạn đóng góp ý kiến q báu để hồn chỉnh luận văn MỞ ĐẦU Thế kỷ XXI kỷ tri thức đại, tri thức không kể đến công cụ hỗ trợ đắc lực máy tính điện tử lĩnh vực sống Mặc dù công nghệ chế tạo ngày phát triển phát triển với tốc độ nhanh để sử dụng máy tính điện tử cách hiệu cao thuật tốn (Algorithm) thành phần ln quan trọng thiếu kể từ máy tính điện tử đời Theo lịch sử toán học nguồn gốc từ thuật toán “Algorithm” bắt nguồn từ “Algorism” tên nhà bác học tiếng người Arập Abu Jafar Mohammed ibn Musâ al Khowârizmi (Phiên âm từ al Khowârizmi Algorism) Ông người viết hai sách tiếng “Sơ lược phép tính” “Về hệ đếm ấn độ” vào khoảng năm 850 Đây sách giáo khoa tiếng toán học Lịch sử ghi nhận người coi nhà lập trình giới nữ bá tước Ada Lovelace (10/12/1815 - 27/11/1852), tên khai sinh Augusta Ada Byron Các nhà khoa học sau cho thuật toán (viết năm 1842) Ada Lovelace thuật tốn máy tính người lập ra, lần thể rõ bước phát triển logic, đặc trưng hoạt động xác định dành riêng cho máy tính Với lịch sử lâu đời thuật toán nghiên cứu phát triển tận ngày tiếp tục nghiên cứu phát triển Khi lập trình câu hỏi ln ln đặt thuật toán thiết kế thuật toán sử dụng có hay khơng? Điều đảm bảo cho chương trình máy tính thực có cho kết hay không? (Chưa kể đến kỹ người lập trình) Vì việc xây dựng thuật toán tốt để giải toán cho bước quan trọng nói quan trọng việc giải toán máy tính điện tử Để đánh giá thuật tốn tốt có nhiều tiêu chí khơng thể bỏ qua tính thuật tốn Và nội dung luận văn theo đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp chứng minh tính thuật toán ứng dụng” Luận văn nhằm tìm hiểu, nghiên cứu, tổng hợp phương pháp chứng minh tính thuật tốn Cấu trúc luận văn gồm chương, nội dung sau: Chương Tổng quan phân tích thuật tốn Chương nhằm tổng hợp lại số kiến thức chung toán, thuật tốn, cấu trúc liệu, chương trình kiến thức phân tích thuật tốn Gồm định nghĩa, khái niệm ví dụ để minh họa Trong chương tổng hợp lại số phương pháp thiết kế thuật toán thường sử dụng thực tế Như kỹ thuật đệ quy, phương pháp chia để trị, phương pháp quay lui, phương pháp nhánh cận, phương pháp quy hoạch động phương pháp tham lam Chương Một số phương pháp chứng minh tính thuật toán Nội dung chương gồm chiến lược chứng minh tính thuật tốn; phương pháp cụ thể để chứng minh tính thuật tốn phương pháp quy nạp phương pháp bất biến vòng lặp Đây điểm luận văn Trong đó, phương pháp quy nạp chứng minh cho thuật tốn đệ quy, phương pháp bất biến vịng lặp chứng minh cho thuật tốn khơng đệ quy Đối với phương pháp trình bày đặc điểm, phương pháp chung đồng thời nêu số ví dụ thuật tốn chứng minh tính thuật tốn Đối với thuật tốn phức tạp có chứa đệ quy lặp cần kết hợp khéo léo hai phương pháp chứng minh tính thuật toán quy nạp bất biến vịng lặp Chương Ứng dụng chứng minh tính số thuật toán Nghiên cứu số tốn có sử dụng thuật tốn kinh điển, thường sử dụng vận dụng lý thuyết chương để chứng minh tính thuật tốn Như toán dãy đơn điệu tăng dài nhất; Chia kẹo; Cây bao trùm nhỏ CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT TỐN Để khẳng định thuật tốn tốt điều khơng dễ dàng Thật vậy, để đánh giá thuật toán tốt ta cần nhiều kỹ thuật từ thiết kế, phân tích đến đánh giá thuật tốn Ở chương đề cập tổng quát đến vấn đề phân tích thuật tốn số thuật tốn thường dùng khoa học tính tốn đại 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Bài tốn Khoa học máy tính ngày giải nhiều vấn đề thực tế nhiều lĩnh vự khác nhau, vấn đề ta thường gọi tốn Tuy nhiên tốn khơng phải trường hợp cụ thể mà toán mang tính tổng quát bao gồm tất khả giới thực vấn đề cần giải Như vậy, nói cách dễ hiểu tốn việc ta muốn máy tính thực Có thể u cầu đơn giản in dòng chữ hình, giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình bậc hai ẩn kiểm tra số chẵn hay lẻ, Nhưng giải vấn đề phức tạp tìm đường mê cung, tìm đường ngắn nhất, tìm bao trùm, Điểm quan trọng giải tốn máy tính cần xác định rõ biết input (dữ liệu vào) kết cần thu output (dữ liệu ra) phân tích mối quan hệ hai yếu tố Sau số ví dụ tốn: Bài tốn 1.1: Kiểm tra tính nguyên tố số nguyên dương cho trước Input: Số nguyên dương N Output: Xác định N số nguyên tố N không số nguyên tố Bài tốn 1.2: Giải phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a≠0) Input: Các số thực a, b, c (a≠0) Output: Các nghiệm x thỏa mãn phương trình cho thơng báo khơng có nghiệm Bài tốn 1.3: Tìm ước số chung lớn hai số nguyên dương a, b Input: Hai số nguyên dương a, b Output: Ước số chung lớn a b Bài toán 1.4: Xác định vị trí phần tử có giá trị số nguyên x dãy số nguyên a1, a2, , an Input: Số n; dãy số nguyên a1, a2, , an số nguyên x Output: Chỉ số i x=ai x mặt dãy Bài tốn 1.5 Cho đồ thị vơ hướng G=(V, E) Tìm đường ngắn từ đỉnh u tới đỉnh v đồ thị G Input: Đồ thị vô hướng G=(V, E) hai đỉnh u,v Output: Xác định đường có độ dài ngắn d=(u=v1,v2, ,vn=v) (với đỉnh vi thuộc V, cung (vi, vi+1) thuộc E) Bài toán 1.6 Sắp xếp dãy số cho trước thành dãy không giảm Input: Số n dãy gồm n số < a1, a2, …, an> Output: Một hoán vị < a'1, a'2, …, a'n > chuỗi đầu vào thỏa mãn: a'1 a'2 … a'n 1.1.2 Thuật tốn (Algorithm) Để giải tốn máy tính sau xác định rõ ràng toán việc quan trọng phải đưa thuật tốn tốt, thuật tốn thiết kế lựa chọn thuật tốn có Thuật toán để biểu diễn cách giải tốn máy tính Một tốn có nhiều cách giải thuật tốn giải tốn mà thơi Đến có nhiều định nghĩa thuật tốn sau lựa chọn định nghĩa thuật toán: Định nghĩa: Thuật toán (Algorithm) để giải toán dãy hữu hạn thao tác xếp theo trình tự xác định, cho sau thực dãy thao tác ấy, từ liệu vào giá trị tập giá trị (input) toán ta nhận giá trị tập giá trị gọi liệu (output) tốn Để thuật tốn rõ ràng, xác, dễ hiểu, dễ đọc người ta đưa phương pháp biểu diễn thuật tốn Gồm có ba phương pháp biểu diễn thuật tốn sau: Ngôn ngữ tự nhiên (Natural languages): Dùng ngôn ngữ tự nhiên để liệt kê bước thuật tốn Phương pháp khơng có quy tắc chung người viết người đọc dễ dàng thực mà không cần phải nắm quy tắc Nhưng viết thuật toán theo cách thường dài dịng, khơng thể rõ cấu trúc thuật tốn đơi lúc gây khó hiểu hiểu nhầm người đọc Sơ đồ khối (Flowcharts): công cụ trực quan để thể thuật toán Sơ đồ khối biểu diễn phân cấp thuật tốn trình tự thực thuật toán Đặc biệt phù hợp với thuật toán phức tạp, khó theo dõi q trình xử lý Tuy nhiên, phương pháp biểu diễn có nhược điểm cồng kềnh, cần không gian biểu diễn lớn phương pháp khác Trong sơ đồ khối thường sử dụng số khối cung để biểu diễn thuật toán sau: Hình oval: Thể thao tác nhập, xuất liệu; Hình thoi: Thể thao tác so sánh, có hai nhánh logic sai; Hình chữ nhật: Thể phép gán, thao tác tính tốn; KẾT LUẬN Bản luận văn trình bày số vấn đề thiết kế phân tích thuật tốn Tập trung sâu tìm hiểu hệ thống hóa vấn đề liên quan tới hai phương pháp chứng minh tính thuật tốn Đó là, phương pháp chứng minh tính thuật toán quy nạp áp dụng cho thuật toán đệ quy phương pháp chứng minh tính thuật tốn bất biến vịng lặp áp dụng cho thuật tốn có chứa vịng lặp Áp dụng hai phương pháp để chứng minh tính cho thuật toán giải số toán cụ thể, bao gồm: - Chứng minh tính cho thuật tốn quy hoạch động giải tốn tìm dãy đơn điệu tăng dài dãy số Và tốn có tính ứng dụng tốn tốn bắc cầu - Chứng minh tính cho thuật tốn quy hoạch động giải toán kẹo với tư tưởng sử dụng thuật toán quy hoạch động tìm dãy có tổng S - Chứng minh tính cho thuật tốn tham lam giải toán bao trùm nhỏ với hai thuật tốn Kruskal Prim Trong khn khổ luận văn, với thời gian hạn chế đạt việc tìm hiểu vận dụng hai phương pháp chứng minh tính vào số tốn kinh điển, có tính phổ biến Đề tài phát triển theo hướng nghiên cứu phương pháp khác chứng minh tính thuật tốn áp dụng phương pháp thuật toán cho nhiều toán khác, đặc biệt thuật toán có tính phức tạp kết hợp nhiều kĩ thuật thiết kế thuật toán… Mặc dù thân cố gắng việc tìm tịi, nghiên cứu giúp đỡ nhiệt tình giáo hướng dẫn thời gian hạn chế công tác luận văn tơi khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hồ Sĩ Đàm (Chủ biên) – Đỗ Đức Đơng – Lê Minh Hồng – Nguyễn Thanh Tùng (2012), Tài liệu chuyên Tin học, quyển(1) tr.5-185, quyển(2) tr.111-165, NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Hữu Điển (2006), Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo Dục Đỗ Đức Giáo (1998), Cơ sở Tốn lập trình, NXB Khoa học Kỹ thuật Lê Minh Hoàng (2004), Cấu trúc liệu giải thuật, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Xuân Huy (2009), Sáng tạo thuật tốn lập trình, tập(1), tập(2), NXB Duy Tân Nguyễn Thị Hồng Minh (2014), Lecture 01 – Preliminaries, Lecture 02 Methods using Recursice Technique, Lecture 03 – Compromise principle based Methods Nguyễn Hữu Ngự (2001), Lý thuyết đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Hồng Chí Thành (Chủ biên) (2004), Các thuật tốn thơng dụng, chương 1, 2, 4, 15, 16, 22, 23, 24, 25 Đặng Huy Ruận (2004), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật - Hà Nội Tiếng Anh 10 Edward A Bender and S Gill Williamson (2005), Mathematics for Algorithm and System Analysis 11 Ian Parberry and William Gasarch (2002), Problems on Algorithms, 2nd Edition 12 Ian Parberry (2001), Lecture Notes on Algorithm Analysis and Computational Complexity, 4th Edition 13 Michael Huth and Mark Ryan (2004), Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, 2nd edition, Cambridge University Press 14 Michael Soltys (2012), An Introduction to the Analysis of Algorithms, 2nd Edition, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, pp 1-100 ... Edward A Bender and S Gill Williamson (2005), Mathematics for Algorithm and System Analysis 11 Ian Parberry and William Gasarch (2002), Problems on Algorithms, 2nd Edition 12 Ian Parberry (2001),... tập(2), NXB Duy Tân Nguyễn Thị Hồng Minh (2014), Lecture 01 – Preliminaries, Lecture 02 Methods using Recursice Technique, Lecture 03 – Compromise principle based Methods Nguyễn Hữu Ngự (2001), Lý thuyết... kết hợp nhiều kĩ thuật thi? ??t kế thuật toán… Mặc dù thân cố gắng việc tìm tịi, nghiên cứu giúp đỡ nhiệt tình giáo hướng dẫn thời gian hạn chế công tác luận văn khó tránh khỏi thi? ??u sót Kính mong