Nhung bai toan thi vao 10 hay nhat

Trang 1

REL / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TÂM ; Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

www.khaitam.edu.vn Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn I- CAC DANG TOAN TONG HOP VE BIEU THUC DAI SO 3 Bail Cho P=- Vx+3

a) Tim xeZ dé PeZ b) Tìm GTNN của P

c) Tính Ptại x=25- 46 đ) Tìm các gia tri cua x dé P nhan gia tri nguyén

1

Bai 2.Cho R=*~ 4" Vx

a) So sánh # với 3 b) Tim GTNN cua #

Trang 2

REL / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TÂM ; Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

Trang 3

4 av / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TAM

; Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

www.khaitam.edu.vn Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn

III - GIAI BT BANG CACH LAP PHUONG TRINH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 Một xe lửa di tt ga A dén ga B Sau do 1h40’, mot xe lita khac di tir ga A dén ga B

với vận tốc lớn hơn vận tốc xe lửa thứ nhất là 5km/h Hai xe lửa gặp nhau tại mot ga

cách B 300km Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường sắt từ ga A đến ga B dài 645

km

Bài 2 Quãng đường sông AB dài 78km một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B Sau đó I

giờ, một chiếc ca nô đi từ B về phía A Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B là 36km Tính thời gian của thuyên, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành cho đến

khi gap nhau, biết vận tốc của canô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4km/h

Bài 3 Một đội mỏ phải khai thác 260 tấn than trong một thời gian nhất Trên thực tế, mỗi ngày đội đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và song trước thời hạn 1 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tân than

Bài 4 Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng

nhau Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng

không thay đối Hỏi ban đầu số chỗ ngôi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy?

Bài 5 Trong đợt quyên góp ủng hộ người nghèo, lớp 9A và lớp 9B có 79 học sinh quyên góp được 975000 đồng Mỗi học sinh lớp 9A đóng góp 10000 đồng, mỗi học sinh lớp 9B đóng góp 15000 đồng Tính số học sinh mỗi lớp

Bài 6 Quãng đường AB dài 20km Lúc 7h sáng một xe 6 tô khởi hành từ A Trước đó một xe máy khởi hành từ B và cũng đi về phía C (B nằm giữa A và C) Ơ tơ đuổi kịp xe máy lúc Il1h Biết vận tốc của Ơ tơ hơn vận tốc xe may la 10km/h Tinh van tốc

mỗi xe

Bài 7 Một đội công nhân phải làm 216 sản phẩm trong một thời gian nhất định Ba ngày đầu, mỗi ngày đội làm theo đúng định mức Sau đó, mỗi ngày họ làm vượt mức 8 san pham nên đã làm được 232 sản phâm và xong trước thời hạn 1 ngày Hỏi theo

kế hoạch mỗi ngày đội phải làm bao nhiêu sản phâm?

Bài 8 Một người đi từ A đến B hết 1 giờ Lúc trở về, người đó đi 1/3 quãng đường đó với vận tôc lớn hơn vận toc luc đi là 2km/h Đoạn đường còn lại người đó đi với vận tôc

Trang 4

nho hon lic di 1km/h nén lic vé cham hơn đi là 40 giây Tính độ dài đoạn đường AB

Bài 9 Một ô tô đi trên quãng đường AB dài 60km trong một thời gian đã định Ơ tơ đi nửa

quãng đường đầu với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h Và đi nửa quãng đường sau với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là ókm/h Biết ô tô đến B đúng dự định Tính thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB

Bài 10 Quãng đường AB dài 90km Một người đi xe máy từ A đến B Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A_ với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h Thời gian kế từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về là 5 giờ Tính vận tốc xe máy lúc đi từ

A đến B

Bài 11/2,0 điểm) Một tam giác có chiều cao bằng ; canh day Néu tang chiéu cao thém 3

dm và cạnh đáy giảm 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm’ Tinh chiéu cao

và cạnh đáy của tam giác

Bài 12/2,0 điểm) Hà Nội cách Nam Định là 90km Hai ôtô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất

đi từ HN, xe thứ hai đi từ Nam Định và đi ngược chiều nhau Sau 1h thì chúng gặp

nhau Tiếp tục đi xe thứ hai tới HN trước khi xe thứ nhất tới Nam Định là 27 phút

Tính vận tốc mỗi xe

Bài 13/2,0 điểm) Hai đội công nhân được giao kế hoạch sản xuất tông cộng 300 dụng cụ

trong I tháng Được 3 tuần, đội I đã làm được 90% kế hoạch của mình, đội II đã làm được 60% kế hoạch của mình và cả hai đội đã làm được 80% kế hoạch chung

Hỏi mỗi đội được giao bao nhiêu dụng cụ

Trang 5

av / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TAM

Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

www.khaitam.edu.vn Email: info @khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Bai 1 Bai 2 Bai 3 Bai 4 Bai 5 Bai 6 Bai 7 Bai 8 Bai 9

III - CAC DANG TOAN CAN LUU Y VE HE THUC VIET

Cho phuong trinh: x’ —2mx+2m-—4=0 (1) Tim m dé phuong trinh (1) có hai

nghiệm phân biệt x; x, mà:

a) x và x, trái dấu b) x và x, cùng dương €) x và x, cùng âm Cho phương trình: x—2mx+ m - m=0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt x; x, sao cho :

a) x, =3x,; b) 2x, +3x, =6

Cho phương trình: xŸ—3x+ m+1=0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x; x, sao cho :

a) |x—|=1: b) |x|+|x|=2

Cho phương trình (ân 3): x2 -3(m+1)x+ 2nÊ +5m+ 2=0 Tìm giá trị của m dé phương

trình có hai nghiệm phan biét x; va x2 thoa man: |x, +x,|=2|x, — x]

Cho phương trinh: x* —2myx’ +m’ -1=0 (1) a) Giải phương trình với m = 2

b) Tim m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Cho phương trình: mx - (2m+1) x+m+1=0(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm lớn hơn 2

Cho phương trình: xŸ-2mx-m”-1=0_ (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tim hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x; x, không phụ thuộc vào m

Cho phương trình: xŸ - 2mx+ m” - m+1=0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x; x, sao cho:

A= xx,-x,—X, dat GINN

Cho phương trình: 2# + (2m-1) x+m—1=0(m là tham số)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x;: x, cùng âm

Trang 6

a) Tim một đắng thức liên hệ giữa x; x, không phụ thuộc m

b) Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm x;x, thỏa mãn: x‡ + x‡ = af X XS

Bai 10 Cho phuong trinh: x’ —2mx+ n/ = =0 (1)

a) Tim m để (1) có nghiệm và các nghiệm của (1) có giá trị tuyệt đối bằng nhau b) Tìm m để (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của hai cạnh góc vuông của một

tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x/ và x, mà không phụ thuộc vào m Bài 11 Cho phương trình: x - 2(m+1) x+ 2m+10 =0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tim m sao cho phương trình có hai nghiệm x; x, sao cho: 4=10xx,+ x +x dat

GTNN và tìm GTNN đó

c) Tim một đắng thức liên hệ giữa x; x, không phụ thuộc m

Bài 12 Cho phương trình: (m+1)xˆ - 2(m-1) x+m—3=0 (1) a) Tìm m để để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm âm

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng dấu thõa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 13 Cho phương trình: mx- 2(m+1) x+ m—- 4=0 (1)

a)_ Tìm m để phương trình có nghiệm

b)_ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dâu Khi đó, trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá

trị tuyệt đối lớn hơn?

c)_ Xác định m để các nghiệm x; x, của (1) thõa mãn: x + 4x, = 3

Bài 14 Cho phương trình: x“+2x—4=0 Gọi x; x, là các nghiệm của phương trình Tính:

_ 2X+2x⁄ -3Xx,

XX, + HX,

Bài 15 Cho phuong trinh: x —5x+ m=0 (1)

Tim m đề phương trình có hai nghiệm dương x;x, thỏa mãn : XX, + xX) x, =6 Bai 16 Cho phuong trinh: my’ + 2(m-—2)x+m-—3=0 (1) (mld tham sé)

Trang 7

a) Tim m dé phuong trinh có hai nghiệm trái dau

b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn c) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m đ) Tìm GTNN của biểu thức : x/ + x” Bài 17 Cho phương trình: xˆ - 2(m+1) x+ 2m+10=0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho: 4=10.xx, + x7 + x đạt GTNN

Bài 18 Cho phương trình : x2 +6x- mỶ + 4m= 5 (m là tham số) 1 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

2 Gọi x,x, là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m sao cho: x = x —8x, Bài 19 Cho phương trình: x’ —2(k+1)x+k°+k-6=0 (1) với k là tham số

1 Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Gọi x,x, là hai nghiệm phân biệt cua (1) Tim k sao cho |x|+|x,|=8

Bài 20 Cho phương trình bậc hai: x'~ 2(m+1) x+2m+ 10 =0 (với m là tham số) a)_ Tìm m đề phương trình có nghiệm

b)_ Giả sử phương trình có hai nghiệm x, x, Tim GTNN của: P= x⁄ + x+8xx,

Trang 8

Rav / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TÂM ; Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

IV — CAC DANG DAC TRUNG VE HAM SO

Tương giao giữa hai hàm số

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (: y=-xˆ và đường thắng (đ): y= mx—1

với 7m là tham số

a) Tìm tọa độ các giao điểm của (đ) và (?) khi m= 2

b) Chứng minh rằng (đ) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm 4, Ö đồng thời A Ø4 vuông tại ( với mọi giá trị của 7

Bài 2 Cho hàm số: y=—x” (P) và đường thắng (đ): y= mx- m +3 Tim m dé d va (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x; x, sao cho x; x, là độ đài của hai cạnh

: a : aa, |9

của tam giác vuông có cạnh huyền là 5

Bài 3 Cho hàm số: y= x7 (P) và đường thắng (đ): y=3x+ m a)_ CMR d và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Goi y;y, là tọa độ các giao điểm của d và (P) Tìm m để : y + y„ =11y,y,

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ, cho (P): y= x và đường thắng y=x +m Tim m dé (d) cat

hai nhánh của (P) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác AOB vuông tại O Bài 5 Cho Parabol (P): y= x và đường thắng (d): y == 2mx - 4 Tìm m để (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt có hoành độ đều là số nguyên dương

Bài 6 Cho Parabol (P): y= ; * và đường thắng d: y=-mxz+2

a) Chứng minh răng khi m thay đổi thì (đ) luôn đi qua một điểm cô định C

ao ) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

c)_ Xác định m để AB ngắn nhất Khi đó hãy tính diện tích của A42 d) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đôi

Bài 7 Cho (P) : y= -3% va dtp thing a: y= me <2 i

a) Tìm m sao cho d tiếp xúc (P) Tìm tọa độ điểm tiếp xúc

b) Chứng tỏ rằng A luôn đi qua một điểm cô định A thuộc (P)

Trang 9

c) Tim m dé (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Bai 8 Cho parabol (P): y= 5 x va duong thang (d): y= mx—> nf +m+1

a) Với m= I1 Xác định tọa độ các giao điểm A, B của (đ) và (P)

b) Tìm các giá trị của m đề (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x,x, sao cho

|#-x|=2

(tham số m+0 })

Bài 9 Cho parabol (P): y=xˆ và đường thắng (d): y=-mx+ = me

a) Chứng minh rằng với m+0 đường thăng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Gọi A(x.y,):(x,,y;) là giao điểm của (đ) và (P) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

thức M= + yý

Bài 10 Cho phương trình xˆ - 2mx+2m— 4=0 a) Giải phương trình với m = I

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệp phân biệt thỏa mãn hệ thức: xŸ + x = xx, +10 Bai 11 Cho parabol (P): y= x’ va duong thang (d): y= mx+1

a)_ CMR: đường thăng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m b) Gọi A(x.y,):(x,.y;) là giao điểm của (đ) và (P) Tính giá trị lớn nhất của biểu

thức M=(y=1)+( -1)

Bài 12 Cho parabol (P): y=xˆ và đường thắng (d): y=-mx— m+l

a Tim m dé dudng thang (d) cat parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b Gọi tung độ của A, B lần lượt là y,, y, Tim m dé (y,+ y,) nho nhat

Bai 13 Cho phuong trinh: x’ —2(m—1)x+2m-—4=0

a) Giải phuong trinh voi m = 0

Trang 10

b)_ Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm A, B đồng thời tam giác OAB vuông tại Ó với mọi giá trị của m

Bài 15 Cho parabol (P): y=x’ và đường thăng (đ): y=(m+5)x— m với m là tham số a) CMR: đường thăng (đ) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

b) Gọi A(x.y,); Ø(x,,y;) là giao điểm của d va (P) Tinh giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: M =|x,— x,|

Bài 16 Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=x vad: y= -=(m+ 1) x

a) CMR voi méi giá trị của m , đường thăng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt b) Gọi x, x,là hoành độ các giao điểm của d và (P), đặt f(x)=*#`+(m+1)xˆ`- x

Chứng minh đẳng thức: Z(x)- f()==2(x—x)}

Trang 11

www.khaitam.edu.vn Email: info @khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn V —- HiNH HOC 1 Dạng toán sử dụng quan hệ tiếp xúc giữa đường thắng và đường tròn hoặc hai đường tròn Bài 1 Bài 2 Bài 3

Cho đường tròn (O; R) có dây AB < 2R Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là một điểm thuộc đoạn thắng AB (C khác A và B) Tia MC cắt đường tròn tại

điểm thứ hai là D Chứng minh răng: a) MA? = MC.MD

b) MB BD = BC MD

c) MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

d) Tổng bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và BCD không đổi khi

C di dong

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài tại C (R > r) gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O”) DE la dây cung của đường tron (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ

hai là F

a) Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba điểm B, F, E thăng hàng

c) DB cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là G CMR: DF, EG và AB đồng quy d) Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O')

Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M Trên đường kính AB lấy một điểm C sao cho AC < CB Trên nửa mặt phăng bờ AB có chứa điểm M, người

ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đường thăng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P: đường thăng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CP và AM; E là giao điểm của CQ va BM

a) CMR: Tứ giác ACMP, CDME nội tiếp được b) CMR: AB//DE

Trang 12

c) Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thắng hàng

d) Ngoài điểm M ra, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm

chung nào nữa không?

Bài 5 Cho hai đường tròn (Ø) và (Ø,) tiếp xúc ngoài tại A Một đường thang d tiếp xúc với

(0), (O,) lần lượt tại B và C a) Chứng minh răng AAZC vuông

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của hai

đường tròn

c) Chứng minh O,MO, = 90°

d) Chứng minh răng đường tròn ngoại tiếp A1⁄QO) tiếp xúc với đường thắng d

Bài 6 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C trên đường tròn (C khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC , BM Tia BC cat

các tia AM, Ax lần lượttạiN và Q

a) Chứng minh A4BWcân

b)_ Tứ giác APNQ là hình gì? Tại sao?

c)_ Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa C Hỏi có thê xảy ra ba điểm

Q MK thang hang duoc khong? Tai sao?

d) Xac dinh vị trí của điểm C để đường tròn ngoại tiếp AMNQ tiép xtc voi (O) 2 Một số bài toán chứng minh cơ bản

Bài 7 Cho đường tròn (O:R), một dây AB cố định (AB < 2R) và một điểm M bắt kỳ trên

cung lớn AB (M #A, B) Gọi I là trung điểm của dây AB và (O') là đường tròn qua M tiếp xúc với AB tại A Đường thăng MI cắt (O), (O') lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N, P Chứng minh:

a) IA?=IP.IM

b) Tứ giác ANBP là hình hình hành

c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MBP

d) Khi M di chuyền thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một đường tròn cô định

Trang 13

www.khaitam.edu.vn Email: info @khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Bai 8

Bai 9

Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên đó có một điểm M Trên đường kính AB có

một điểm C sao cho AC < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thăng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CP và AM, E là giao điểm của CQ và BM

a) Chứng minh các tứ giác ACMP và CDME nội tiếp

b) Chứng minh AB // DE

c) Chứng minh ba điểm P, M, Q thăng hàng

d) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP và EQM còn có điểm chung nào khác ngoài điêm M không?

Cho tam giác cân ABC (AB = AC, A<90°) Một cung tròn BC nằm bên trong tam

giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại B và C Trên cung BC lấy điểm M rồi

hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuông các cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi P là giao điêm của MB, IK và Q là giao điêm của MC, IH

a) Chứng minh tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp

b) Chứng minh răng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK

c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được, suy ra PQ // BC

đ) Gọi (O¡) là đường tron di qua M, P, K va (Oz) la duong tron di qua M, Q, H Goi N là giao điêm thứ hai của (O1), (Oz) và D là trung điêm của BC Chứng minh răng M,N, D thăng hàng

3 Một số bài tập hình cùng dạng

Bài 10” Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Từ một điểm M nằm trên nửa đường

tròn ta vẽ tiêp tuyên xy Hạ AH và BK cùng vuông góc với xy

a) Chứng minh rằng tổng AH + BK có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa

đường tròn

b) Chứng minh răng đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB

c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKH lớn nhât Tỉnh diện tích lớn nhất đó

Bài 11* Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm cố định trên OA, M là điểm

di động trên đường tròn Qua M kẻ đường vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và Bở D và E

a) Chứng minh rằng tam giác DCE vuông

b) Chứng minh răng AB.DE không đổi

c) Chứng minh rằng khi M chạy trên đường tròn thì trung điểm I của DE chạy trên một đường thăng cô định

Trang 14

Bài 12* Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là điểm thay đổi trên đường tròn Khi M khác A và B, dựng đường tròn tâm M tiệp xúc với AB tại H Từ A và B vẽ hai tiêp tuyên AC và BD đên đường tròn vừa dựng

a) Chứng minh rằng 3 điểm C, M, D nằm trên tiếp tuyến đường tròn tâm O tại M b) Chứng minh răng AC + BD không đôi Từ đó tính tích AC.BD theo CD

c) Giả sử ngoài A và B trên đường tròn còn có một điểm N cố định, gọi I là trung

điêm của M, kẻ IP vuông góc với MB Khi M chuyên động thì P chuyên động trên

đường nào?

Bài 153* Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến d tại M của nửa đường tròn cắt trung trực của đoạn AB tại L Đường tròn tâm I bán kính IO cắt d tại C, D (C nằm ngoài AOM)

a) Chứng minh AC và BD tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho

b) Goi giao cua OC và AM là P, giao của OD va BM là Q Chứng minh tứ giác CPQD là tứ giác nội tiêp

c) Chứng minh rằng OP.OC = OQ.OD không đổi

d) Xác định vị trí của điểm M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD nhỏ

nhất

4 Một số bài toán hình tổng hợp

Bài 14 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O) Kẻ các tiêp tuyên với đường tròn (O) tại ÀA và D chung cat nhau ở E Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

1) Ching minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn

2) Chứng minh AB //EM

3) Đường thang EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K Chứng minh M là trung điểm HK

4) Chứòàu¡¿h -^—=— 4+ :

HK AB CD

Bài 15 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M là điểm chính

Trang 15

4) Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R

Bài 16 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phăng bờ AB) Qua điêm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiêp tuyên với nửa đường tròn (O); nó cặăt Ax, By lân

lượt ở E và E

1) Chimg minh: EOF =90°

2) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF dong dang

3) Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh Ä⁄ L AB

4) Khi MB = 43.MA, tính điện tích tam giác KAB theo a

Bài 17 Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp

tuyén Ax lay diém F sao cho BF cat đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABE cắt Ax tai E va cat đường tròn tai D

a) Chứng minh OD // BC

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BE

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R

Bài 18 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

b) Chứng minh AD AC = AE AB

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA L DE

d) Cho biết OA=R., ö4C =60° Tính BH BD + CH CE theo R

Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB

và kẻ tiệp tuyên DC với đường tròn (O) (C là tiệp điêm) Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuông đường thăng CD và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuông đường thăng AC

Chứng minh:

a) Tứ giác EFDA nội tiếp b) AF la phan giac cua EAD

c) Tam giac EFA và tam giac BDC đồng dạng

Trang 16

d) Cac tam giac ACD va ABF co cung dién tich

Bài 20 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C

là các tiếp điểm) Đường thắng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm gitta A va E , day DE không qua tâm O) Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC

tại K

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA là tia phân giác cua BHC

A ote,

Ak AD AE

Bai 21 Cho duong tron (O; R) , duong kinh AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn nay lay diém C sao cho AC = AB Tr C ké tiép tuyén thir hai CD cua duong tron (O;

R), voi D là tiếp điểm c) Chứng minh :

a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp

b) Gọi H là giao điểm của AD và OC Tính theo R độ dài các đoạn thắng AH; AD

c) Đường thắng BC cắt đường tròn (O; R) tai diém thir hai M CM: MHD = 45° d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần của hình tròn này

năm ngoài đường tròn (O; R)

Bài 22 Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao

cho AH = Icm Qua H vẽ đường thăng vuông góc với AB , đường thăng này cắt đường tròn (O) tại C và D Hai đường thăng BC va DA cat nhau tai M Tu M hạ đường vuông góc MN với đường thắng AB (N thuộc thang AB)

a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp b) Tinh d6 dai doan thang CH va tinh tan ABC

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

đ) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E Chứng minh đường thắng EB đi qua trung điêm của đoạn thăng CH

Bài 23 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa

đường tròn kẻ tiêp tuyên Ax và dây AC bât kỳ Tia phan giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cặắt nhau tại E

a) Chứng minh AABE cân

b) Đường thắng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F CM: tứ giác ABEF nội tiếp

Trang 17

c) Cho CAB=30° Chimg minh AK = 2CK

Bài 24 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B va C Goi M, N va P theo thứ tự là điểm

chinh gitta cua cac cung AB, BC va AC BP cat AN tai I, NM cat AB tại E Gọi D là giao diém cua AN va BC Chứng minh răng: a) ABNI can b) AE.BN = EB.AN c) EI//BC dị BN BD

Bài 25 Cho tam giác ABC vuông tại C và BC < CA Gọi I là điểm trên AB va IB < IA Ké đường thắng d đi qua I và vuông góc với AB Gọi giao điểm của d với AC, BC lần

lượt là F và E Gọi M là điểm đối xứng với B qua I a) Chứng minh rằng A7ME ~ AIFA và IE.IF =IA.IB

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE tại N Chứng minh rằng: F, N, B thang hang

c) Cho AB c6 dinh, C thay déi sao cho BCA= 90° Chimg minh rang duong tron ngoai tiép AAEF luén di qua hai diém c6 dinh va tam duong tron nay nam trén mot đường thẳng cố định

Bài 26 Cho đường tròn (O; R) có dây AB < 2R Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (O) tại P, K Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng tứ giác CPOK nội tiếp

b) Chứng minh răng C, P, I, O, K cùng năm trên một đường tròn

c) Giả sử PA // CK Chứng minh răng tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP Bài 27 Cho đường tròn (O; R) và điểm A có định với OA = 2R Một đường kính BC quay

quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thăng hàng Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thắng OA tại điểm thứ hai là I Duong thang AB, AC lai cat

(O; R) lần lượt tại D và E Nối DE cắt OA tại K

a) Chứng minh rằng OI.OA = OB.OC va AK.AI = AE.AC b) Tinh d6 dai OI va AK theo R

Trang 18

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố

định khác A khi BC quay quanh O

Bài 28 Cho đường tròn (O; R), một dây cung CD có trung điểm H Trên tia đối của tia DC lây một điểm S và qua § kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thăng AB

cắt các đường thang SO, OH lần lượt tại E, F Gọi I là giao điểm của AB và CD a) Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp được

b) Chứng minh: OH.OF = RZ c) Chimg minh: SI SH = SC SD

d) Khi S đi động trên tia đối của tia DC, chứng minh đường thăng AB luôn đi qua

một điểm cô định

Bài 29 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi C là trung điểm của đoạn thắng AO Đường thắng Cx vuông góc với đường thăng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại L Gọi K là điểm bất kỳ nằm trên đoạn thăng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại

N Gọi D là giao điểm của BM và Cx

a) Chứng minh răng 4 điểm A, C, M, D cùng năm trên một đường tròn

b) Chứng minh tam giác MNK cân

c) Tính diện tích A48Økhi K là trung điểm của đoạn thăng CI

d) Chứng minh rằng khi K đi động trên đoạn thăng CI thì đường tròn ngoại tiếp tam

giác AKD đi qua một điểm cố định khác A

Bài 30 Cho điểm M bát kì trên nửa đường tròn (O) và đường kính AB = 2R, qua điểm H cố định trên đoạn OB, vẽ đường thắng d vuông góc với AB Gọi giao điểm của MA, MB và tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) với đ lần lượt là D, C và I Gọi E là giao điểm của AC và đường tròn (O) Gọi K là giao điểm của OI và ME

a)_ Chứng minh rằng IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b)_ Cho M di chuyên trên đường tròn (M không trùng với A, B) Chứng minh rằng tích OIL.OK không đổi và ME luôn đi qua một điểm có định

Bài 31 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IA <IB Trên đoạn MI lây điểm E (E khác M và I) Tia AE cắt đường tròn tại điểm

thứ hai K

Trang 19

www.khaitam.edu.vn Email: info @khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn

Bai 32

Bai 33

Bai 34

a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp

b) Chứng minh tam giác AME và tam giác AKM đồng dạng, AM?= AE.AK c) Chứng minh: 4E.AK+ BI.BA= 4K

d) Xác định vị trí của I sao cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN

`<x

*~

Cho đường tròn (O), một đường kính AB cô định, một điểm I nằm giã A và O sao

cho AI = = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M,N và B Nôi AC cat MN tai E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn

b) Chimg minh AAME dong dang voi A ACM va AM? = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - ALIB = AI’

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn

ngoại tiêp tam giác CME là nhỏ nhật

Cho đường tròn (O:R), M nằm ngoài (O) Đường thắng MO cắt (O) tại E và F (ME

< ME) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (A nằm giữa M và B, A và C năm khác phía với MO)

a) Chứng minh rằng: MA MB = ME MF

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên MO Chứng minh AHOB nội tiếp

c) Trên nửa mp bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính ME; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K, Gọi S§ là giao điểm của CO va KF

Chứng minh rằng MS vuông góc với KC

đ) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS Chứng minh rằng: P, Q, T thăng hàng

Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E,

Trang 20

Bài 35 Cho đường tròn (O; R), dây cung BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên

cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp

b) Giả sử BAC = 60°, hay tinh khoang cach tir tam O dén canh BC theo R

c) CMR đường thăng kẻ qua A và vuông góc với DE luén di qua mot diém cé dinh

d) Phân giác góc ABD cắt CE tại M, cắt AC tại P Phân giác góc ACE cat BD tai N, cắt AB tại Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tai sao?

Trang 21

Rav / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TÂM Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

VI — CAC BAI TOAN NANG CAO VE MIN, MAX — CHUNG MINH BAT

DANG THUC VA TIM GIA TRI BIEU THUC 1 Bất đẳng thức z+ Re +a 1+ _ l+ab Bài 1 Chứng minh rằng: Với a>>1, ta có: 2

Bài 2 Chứng minh: + bˆ+€ +6>2(a+b+c)

Bài 3 Chứng minh rằng: "“ a+b+œŒ Với a,b,c>0

a c

Bài 4 Chứng minh răng: 4, A "

b+c at+c a+b >=; Voi a,b, o> 0

bc ca a+b+c + + <

a+b b+c c+a 2

Bài 5 Chứng minh rằng: : Với a, b,c>0

Bai 6 Cho a, b, c > 0, vaa+b+c= 1 Ching minh rang: a) b+c>16abc b) (1—a)(1—b)(1—c) = 8abc 9( In»

Bài 7 Cho ba số thực dương a, b, c thốa mãn: a + b + c= 1 CMR: = +216

Bài 8 Cho ba số thực dương a, b, c théa man: a+ b+c=3 CMR: CƯ TB lrc ra 2 —“>+ b +—£ >3

Bài 9 Chứng minh eee, Ee arbre Với a,b,c>0 ca Bài 10 Cho các số dương x, y thỏa mãn x+ =1 Chứng minh rằng: i, xự X+y 2 >8 ` ; 4 a ky ad , a@ BF C_ac b Bài 11 Chứng minh bat dang thre: — +—+-— =>-+=+- b c a& cba xã i : Ỳ 1 1 3

Bài 12 Cho a,ø,c>0 Chứng minh răng: + + > >

Trang 22

www.khaitam.edu.vn Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Bai 14 Voi a,b,c la d6 dai 3 canh cua 1 tam giac Chimg minh rang: 1 + 1 + 1 Pops Eo I 1 1 a+b-c b+c-a a+c-b abe b C a b, ——=+——#+>——xB b+c c+a a+b c, (a+b-@(a-b+€@(-a+b+c) < abc d, 2+ +c<2(a+b+d a b C + + > b+c-a at+c-b a+b-c Bài 15 Cho a,ø,c là 3 cạnh cua | tam giác y 1 1 1 Chứng minh răng ———,——,—— cũng là 3 cạnh của | tam giac ° ° a+b b+c c+a 5 ‘ ° Bài 16 Cho a,ø>0 thỏa mãn a+ø=1 Chứng minh răng: ¬: 5 = >14 ab a

Bai 17 Cho a+b+c+d=1 Ching minh rang (a+ 0)(b+ d) + 2ac+2bd < 5

Bai 18 Cho a+b=8 va b>3 Ching minh rang 27a? +10 > 945

Bài 19 Cho x + / < x+ y Chứng minh răng x+ y<2

2 Bài toán min - max

Bài 20 Tìm GTLN, GTNN của P=# + với x, y là hai số thỏa mãn : x + xy+ y =1 #*'+1 x _16X+4x+4 _ 2X Bài 21 Tìm GTLN, GTNN của: A=

Bai 22 Tim GTNN cua: B vol x> 0

Trang 23

Rav / TRUNG TAM BOI DUONG VAN HOA KHAI TÂM Địa chỉ: Số 299 Vũ Tông Phan, Khương Đình, Thanh Xuân, HN

Bài 27 Cho 0< x< 1 Tìm GTNN của biểu thức: A= +4 —-X X Bai 28 Bai 29 Bai 30 Bai 31 Bai 32 Bai 33 Bai 34 Bai 35 Bai 36 Bai 37 Bai 38 Bai 39 Bai 40 Bai 41 Cho a,b>0sao cho: a+b=1 Tim GTNN cta biéu thire : s-[142}(144] a b Cho a,b,c>0sao cho: a+b+c+ab+ac+bc=6 Tim GTNN cua biéu thie : 3 3 3 a bW c P¬—— —+— b c a

Cho a,b>0thõa mãn : 4+ =1 Tìm GTLN của biểu thức : $=ab+2(a+b)

Cho a,ø,c>0sao cho : a+b+c=2 Tìm GTLN của biểu thức : Q=2a+bc+¬l|2b+ca+^|2c+ab x+y ay

Cho x, y > 0 théa man: x>2y Tim GTNN cta biéu thire : M =

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	13,01 MB