Bài 1 (5 điểm) 3
1) Chứng minh n° +5n*—6n chia hét cho 30, voi moi sé nguyén duong n
2) Tìm tắt cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho x? + 8y va y? + 8x là các số chính phương Bai 2 (5 điểm) 1) Giải phương trình x Se, (Oo x x os 2x Bài 3 (3 diém) V6i cdc số thực không âm x,y,z thỏa mãn x2 + y? +z? =2 1) Chứng minh x+y+z<2+xy 2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x y điên 2+ 2+zx 2+xy Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABGRS wed 2) Giải hệ phương trình biểu thức P = TT + HOC la tre Số 479(
(Thời gian làm bài: 150 phút)
(BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (Ø) và có
trực tâm Ởí Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BHC cắt tia phân giác của góc ABC tại điểm thứ hai M Gọi P là trực tâm tam giác BCM
1) Chứng minh bốn điểm A,,C,P cùng thuộc
một đường tròn Ề
2) Đường thẳng qua // song song với AO cat cạnh 8C tại E Goi # là điểm trên cạnh BC
sao cho CF=BE Chứng minh ba điểm
A,F,O thẳng hàng
3) Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABM Chimg minh PN = PO
Bai 5 (| diém) Trén ban 6 100 tim thé duge
đánh số từ 1 đến 100 Hai người A và 8 lần
lượt mỗi ney một tắm thẻ trên bàn sao cho
nêu người ly tâm thẻ đánh số ø thì đảm
bảo nj chọn được tấm thẻ đánh số
2n di người A có thể lấy được nhiều
o nhiêu tắm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu ên?
LÊ ĐẠI HẢI
Trang 2Min git DE THI CHON HSG LOP 9 THANH PHO HA N Bài 1 1) Biến đổi n° +5n} -6n=n(n—1)(n+ Or? +6) Chứng minh được n(n-1)(n+1):6 Chứng mình được n(zẺ =1)(n° +6)‡ Vi (5.6)=1 nén nÝ+5nẺ~6n/30
2) Giả sử tồn tại cặp số (x,y) thỏa mãn yêu cầu đề
bài Không mắt tính tổng quát ta coi x > y, khi đó: x? <x? +Ry <x? +Rx <(x+4)2 Vì x?+8y là số chính phương nên xảy ra các trường hợp sau: THI: x2 +8y=(x+1) œ8y=2x+1 vô lý, vì khác tính chẵn lẻ TH: x2+8y=(x+3) ©s8y=6x+9 vô lý, vì khác tính chẵn lẻ
TH: x? +8y=(x+2} œ8y=4x+4@ x=2y~l
Vì y2+8x là số chính phương suy ra tồn tại số
nguyén duong m sao cho y? +8x =m?
27 #167-Bom 2 +8 most mei Vi y+8—m và y+8+m cùng tính và y+§~m <y+8+m nên (y+Đ— 8+ m) =2.36 =4.18=6.12 Các cặp ` đầu bài là )s( (x»)<((1)055:(5a0ŸÐ« 1);(21:11)) Bài 2 1)ĐK: 2<2x<8, # ee
Ding thức xảy ra khi x +3 (thỏa mãn DK)
Vay nghiệm của PT đã cho là z =2 2 „>0 [x>0 2)ÐK:Jjx>y œy>0 x>-y |x>y Nhân hai về của hai PT của hệ ta có: 62 ORS Số 480 (6-2017) (x+y)-(x-
Thế y=1 vào PT thứ nhất của hệ ta có
x = Jet feat =3 =elxr-l-2E=T, =Š-/f=T ii =% Kết hợp DK suy ra x=3 'Vậy hệ đã cho có nghiệm («)=($:1} Bài 3 1) Ta có x+y+z<2+xy Sox tyt ez? +2ayt2yet 2a s4+ day ety? eo xt ty? +22 +2xy~2yz—22x+x9y? >0 e(x+y- ĐỀ Ềw?;? >0 (BPT đúng) 2)Ta c6 Ì yxz<2+iy= i 2+xy a x+y+z z : Re ee 24227 Ps—~*
Suyra Ps Tố z xtytz xtyt Đẳng thức xảy ra chẳng han khi x= y= 1.2 Vậy max P=1 Mặt khác x(2+yz) (242042 (S32) (22424) a gã Suy ra P> x on 2/2 `2 na
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x = y=0,z = VỀ
Vậy min P=—E
Bài 4 1) Vì P là trực tâm ABCM suy ra BPC =180° - BMC
mi BMC =BHC và BHC =180° - BAC suy ra
BPC =BAC, nên P thuộc đường tròn (0)
Vay bốn điểm A,B,C,P cùng thuộc một đường tròn
Trang 3
HƯỚNG DẪN GIẢI (Tiếp theo trang 6)
Chứng minh được tứ giác BHCD Ia hi hành Chứng minh được A8/7E = ACD, C), suy ra BEH = CFD = HE DF AO va 4,0,D thing hing, nên 4, hàng,
3) Gọi Ø' là tâm đường tròi iếp ABC
Vì ON L4B,NO'LBi "NO = ABM
Vi 00'1 BC,NO'LBM = NO‘O=CBM
=070-coN-, suy ra ANÓO' cân tai O
Vì _ON.LAB,OO!'.LBC=> NOO'=180' - ABC
a> Vi BOP =2BCP =2(90° — MBC) =180° — ABC,
suy ra 8OP=NÓO' Từ đó APON = ABOO! (c.¢.0)
= PN = BO'= BO=PO
Bài 5 ViA lay tm thé dénh sé n thi B lay tam thẻ danh sé 2n+2, nén n< 49 Chia 49 tắm thẻ này
thành các nhém: {1,4}; {38} {2348} (12 nhóm đôi); {2,6}; {10,22}; {14,30}; {18,38} (4 nhóm đôi) và {25}, {27) {49}, {26}, {34}, {42}, {46} (17 nhóm đơn) Vậy ta có 33
nhóm mà hai nhóm bắt kì không có thẻ chung
và mọi tắm thẻ 4 lấy phải thuộc một trong 33
nhóm này Nếu 4 lấy 34 tắm thẻ trở lên thì theo
nguyên tắc Dirichlet luôn tổn tại 2 tắm thẻ cùng
một nhóm hai phần tử nên # không có tắm thẻ
để lấy vì vậy số tắm thẻ mà 4 có thể lấy nhỏ hơn 34 Mặt khác 4 có thể lấy 33 tắm thẻ gồm các tắm thẻ có số 1, 3, 5, 23, 10, 14, 18, 25, 27 49, 26, 34, 42, 46 Vậy số tắm thẻ lớn nhất mà 4 có thể lấy là 33
LÊ ĐẠI HẢI
(Phòng GDPT, Sở GD&ĐT Hà Nội) Giới thiệu
: TOÁN HỌC