Hình học không gian lớp 11

Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác BCD và AD  BC Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O.. Các góc của tam giác ABC đều nhọn Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy AB

BÀI TẬP VECTƠ – QUAN HỆ VUÔNG GÓC KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG

GIAN

GV: ĐỖ VĂN THỌ

Chương II: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

A Vectơ trong không gian:

I Kiến thức cơ bản:

- Sự đồng phẳng của các vectơ đồng phẳng: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

- Điều kiện ba vectơ đồng phẳng:

 Cho ba vectơ , ,a b c trong đó a và b không cùng phương Điều kiện cần và

đủ để ba vectơ , ,a b c đồng phẳng là có các số m, n sao cho c ma nb (m,

n là duy nhất)

 Nếu , ,a b c là ba vectơ không đồng phẳng thì với vectơ d, ta tìm được các số

m, n, p sao cho d ma nb pc, hơn nữa m, n, p là duy nhất

- Điều kiện cùng phương: vectơ b cùng phương với vectơ a, a 0 khi và chỉ khi b ma m; R

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC

O

II Bài tập:

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh rằng AB AD AE AG

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Chứng minh rằng

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình

bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF Chứng minh rằng ba vectơ BD IK GF đồng phẳng , ,

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS 2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 1

2

NB NC Chứng minh rằng ba vectơ , ,

AB MN SC đồng phẳng

MN AB SC

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của

các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH

a Chứng minh ba vectơ MN FH PQ đồng phẳng , ,

b Chứng minh ba vectơ IL JK AH đồng phẳng , ,

HD: a MN FH PQ có giá cùng song song với (ABCD) , ,

b IL JK AH có giá cùng song song với (BDG) , ,

Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J K lần lượt là trung điểm của AE,

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD

và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’

Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau

HD: chứng minh ' 1 5 ' , ', '

8

GG AB AA AB AA GG đồng phẳng

Bài 10: Cho ba vectơ , ,a b c không đồng phẳng và vectơ d

a Cho d ma nb với m n, 0 Chứng minh các bộ vectơ sau không đồng phẳng

Bài 12: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA' a AB; b AC; c

Hãy phân tích các vectơ ' ;B C BC theo các vectơ ' a b c , ,

HD: a B C' c a b

b BC' a c b

Bài 13: Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a Phân tích vectơ OG theo các vectơ OA OB OC ; ;

b Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ

Bài 14: Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp

a Phân tích hai vectơ OI và AG theo ba vectơ OA OC OD , ,

b Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE FG FI , ,

2

OI OA OC OD AG OA OC OD

b BI FE FG FI

Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.EFGH

a Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC AF AH, ,

b Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC AF AH, ,

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Có thể sử dụng một trong các cách sau:

1 Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90 0

2 chứng minh hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với

nhau

3 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng ( như định lý pitago,…)

Bài 1: Cho tứ diện S.ABCD có SA=SB=SC và ASB BSC CSA Chứng minh rằng

a Chứng minh AO vuông góc với CD

b Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa AC và BM

HD: b   3

,

6

cos AC BM 

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành với AB=a, AD=2a, SAB là

tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q

a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông

b Đặt AM=x Tính diện tích của MNPQ theo a và x

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng

a d

a

a' b

P

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  P , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong

(P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) mà    Q P

 Chứng minh d a và a  P  d  P

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc

 Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là tứ giác lồi Biết hai tam giác SAB và

BAD vuông tại A Chứng minh rằng AB SAD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA=SC

và SB=SD Chứng minh SOABCD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi Giả sử SA=SC Chứng

minh AC SBD

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SAABCD Gọi

AE, AF là đường cao của các tam giác SAB và SAD Chứng minh rằng

SC  AEF

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Gọi I, J là trung

điểm AB, CD và giả sử SA=SB Chứng minh rằng CD  SIJ

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có H, K là trực tâm các tam giác ABC và DBC Giả sử

rằng HK DBC Chứng minh AH, DK và BC đồng quy

Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có SAABC Gọi H và K lần lượt là trực tâm các

tam giác ABC và SBC Chứng minh

a AH, SK và BC đồng quy

b SC BHK

c HK SBC

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD Chứng minh AB CD

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SAABCD Chứng

minh BD SC

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD và ABCD là hình chữ nhật

Chứng minh bốn mặt bên (SBA), (SBC), (SCD), (SAD) đều là những tam giác vuông

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có ABCD AC; BD Gọi H là hình chiếu của A

xuống (BCD) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác BCD và AD  BC

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O SAABCD, gọi H,

I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD

a Chứng minh rằng: BC SAB CD, SAD BD, SAC

b Chứng minh rằng: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra 3 đường thẳng

AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng

c Chứng minh rằng: HK SAC Từ đó suy ra HK  AI

Bài 13: Cho tứ diện S.ABCD có tam giác ABC vuông tại B; SAABC

a Chứng minh BC SAB

b Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH  SC

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA=SC;

b Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng minh AH BCD

Bài 16: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là

hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng

a BC OAH

b H là trực tâm của tam giác ABC

c 1 2 12 12 1 2

OH OA OB OC

d Các góc của tam giác ABC đều nhọn

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB

là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI SCD SJ; SAB

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH  AC

c Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM  SA Tính AM theo a

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam

giác đều và SC a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a

Bài 20: Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng

vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’

a Chứng minh CC'MBD

b Gọi K là hình chiếu của H trên AB CMR: K là trực tâm của tam giác BCD

Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuôn tâm O, SA vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông

b Chứng minh BD vuông góc với (SAC)

c Chứng minh AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra ba đường thẳng

AH, AK, AI đồng phẳng

c Chứng minh HK vuông góc với (SAC), suy ra HK vuông góc với AI

Bài 22: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng AC’ vuông góc

với mặt phẳng (CB’D’)

Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Mặt

bên SAB là tam giác đều và SC bằng a 2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a Chứng minh SH vuông góc với (ABCD)

b Chứng minh AC vuông góc SK và CK vuông góc SD

Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có ABa 2,

AD a; SA vuông góc với (ABCD) và SA=a

a Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh DM vuông góc với (SAC)

b Gọi E là một điểm trên cạnh SB sao cho SB=3SE Chứng minh SB vuông góc với (DAE)

* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

 Tìm giao điểm O của a với (P)

 Chọn điểm A thuộc a và dựng AH  P Khi đó AOH  a P, 

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC) Gọi I là trung điểm của cạnh BC Biêt góc giữa SB và (ABC) bằng 450, tính góc giữa SI và mặt phẳng (SAC)

2 Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của (H) trên (Q),      P , Q  Khi đó 'S S cos 

 Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

 Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật

 Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

 Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c thì đường cheo có độ dài là

d  a b c

 Hình lập phương có cạnh a thì d a 3

II Bài tập:

* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh    P  Q , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  Q

 Chứng minh       0

P Q 

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng d  P , ta có thể chứng minh bởi một trong các

cách sau:

 Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong (P)

 Chứng minh d song song với đường thẳng b vuông góc với (P)

 Chứng minh d  Q với    Q  P và d vuông góc với giao tuyến c

của (P) và (Q)

 Chứng minh d    Q  R với    Q  P và    R  P

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SAABC và tam giác ABC vuông tại A

Chứng minh SAC  SAB

Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD và ABCD là hình vuông Chứng minh rằng SAB  SBC ; SBD  SAC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và SAABCD Gọi E và F là hình chiếu của A lên SB và SD Chứng minh rằng

AEF  SCD ; AEF  SAC

Bài 3: Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC  và tam giác ABC vuông cân tại B Gọi I và J là trung điểm AC và BC Chứng minh rằng

SAC  ABC   ; SIJ  SBC

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB cân tại S và ABCD là hình chữ

nhật Gọi I là trung điểm AB và giả sử SAB  ABCD Chứng minh rằng

SI  ABCD BC  SAB

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều, hai mặt phẳng (SAC) và

(SAB) cùng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm BC, còn O và H lần lượt là trực tâm hai tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng

SA ABC SAI  SBC SB  COH OH  SBC

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB=a, SO

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

2

a

SO Gọi I, J lần lượt là trung điểm của

các đoạn AD, BC Chứng minh rằng SAC  SBD;   SIJ  SBC;

SAD  SBC

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên (ABC), (ABD) cùng vuông góc với

(DBC) Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD

a Chứng minh AB BCD

b Chứng minh ABE  ACD ; DFK  ACD

c Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD Chứng minh

OH vuông góc với (ACD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên

(SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh SI ABCD;AD SAB

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N là hai điểm lần lượt ở trên hai cạnh bên BC và DC sao cho , 3

c Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD CMR:

ACF  SBC ; AEF  SAC

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và cạnh

SA ABCD CMR

a SAB  SBC ; SAC  SBD

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD CMR AMN  SAC

c Gọi I là trung điểm của cạnh AD và H là giao điểm các đường chéo hình vuông CMR: SIH  SAD

Bài 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có 3 mặt bên là các hình vuông

a Gọi M là trung điểm của cạnh AA’ Chứng minh rằng MBC'  BCC B' '

b Chứng minh rằng MBC'  AB C' 

Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là hình vuông cân ABC

vuông tại C và AC=CC’ Chứng minh rằng AB C'   BA C' '

Bài 14: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF bằng nhau, nằm trong hai mặt

phẳng khác nhau, có cạnh AB=a, 0

BC  a CBF  Gọi M là trung điểm của cạnh BC CMR AMF  BDF

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA=a và các cạnh còn lại bằng 1 Gọi M,

N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC CMR MBD  NBD

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC và các cạnh

SB  SC Gọi M là trung điểm của cạnh BC Giả sử chân đường vuông góc kẻ

từ A xuống SM nằm trên đoạn thẳng SM Mặt phẳng đi qua AH và song song với

BC cắt SB tại K và SC tại L CMR AKL  SBC

Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C và cạnh SA

vuông góc với (ABC) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với SB và d là giao tuyến của (ABC) với (P) CMR d SAB

Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C và cạnh SA

vuông góc với (ABC) Trên cạnh BC ta lấy điểm M Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB CMR MN SAB

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và cạnh SA vuông góc

với (ABCD) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với BD cắt SB và SD tương ứng tại các điểm M, N CMR MN SAC

Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A và

SA ABC Kẻ SM BC BK; SC Gọi H là giao điểm của SM và BK CMR

 

AH  SBC

Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và cạnh

SA ABCD Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SB Đường thẳng

đi qua M và song song với BC cắt SC tại N Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ

N xuống AD CMR NH SBC

Bài 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B

và AB=BB’ Gọi D là điểm đối xứng với B qua trung điểm của AC CMR

C D  A BC

Bài 23: Cho hình chóp S.ABC có SAABC Gọi H là trực tâm tam giác ABC

và K là trực tâm tam giác SBC Chứng minh rằng KH SBC

Bài 24: Cho tam giác ABC có trực tâm H Trên đường thẳng (D) vuông góc với

(ABC) tại A lấy điểm M Gọi O là trực tâm của tam giác MBC

a Chứng minh OCH  MBC ; OBH  MBC

b Chứng minh OH MBC

Bài 25: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SAABCD và SAa 3 Tính góc giữa các mặt phẳng sau:

a SBC ; ABCD `b  SBD ; ABCD c  SAB ; SCD d  SAC ; SBD 

Bài 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân với

AB=BC=a, SAABC và SA=a Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, AC Tính góc giữa các cặp mặt phẳng

a SAC ; SBC  b SEF ; SBC 

Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD, SB Chứng minh rằng:

a ABCD  SAD ; ABCD  SAB b SBD  SAC

Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A Dựng BD, CE cùng vuông góc với

(ABC) với D, E nằm cùng phía đối với (ABC)

a.Chứng minh ABD  ABC

b Hạ AH BC AK;  DE;H  BC K; DE Chứng minh rằng

BCED  AHK ; ADE  AHK

Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a,

SA ABCD SAa Gọi M là trung điểm BC

a Xác định điểm N trên cạnh CD sao cho MN SAM

- Cách 2: Tìm mặt phẳng    đi qua M và vuông góc với  tại H Khi đó

 , 

d M  MH

α

H M

* Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Phương pháp: Dựng MH  P với H    Khi đó d M P ,   MH

* Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng    trong đó     : Là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đường thẳng  đến mặt phẳng   

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b là đoạn thẳng cùng vuông góc với

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Gọi I là trung điểm của cạnh SC

và M là trung điểm của đoạn AB

a Chứng minh đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM

Bài 2: Cho tam giác ABC với AB 7cm, BC 5cm, CA8cm Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho AO 4cm Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng BC

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm cạnh BC Trên đường

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại I ta lấy điểm S sao cho tam giác SBC là tam giác đều Tính: d S ABCD ,  ;d A SID ,  ;d I SAD ,  ;d B SAD ,  

HD: 3; 2 ; 21; 21

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy là a, cạnh bên 2a, Gọi I là

trung điểm của cạnh AD Tính d I SBC ,  

Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, chiều

a b

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B

SA ABC Biết AC 2 ,a SAa Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,

BC, SB

a Chứng minh MP SAC Tính d MP SAC ,  

b Chứng minh MNP SAC Tính d MNP , SAC 

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC đều cạnh a

Cạnh bên B’C tạo với mặt đáy (AA’C’C) góc 0

30

a Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ

b Gọi N là trung điểm của B’C’, I là trung điểm A’C Tính khoảng cách giữa NI với (ABB’A’)

Bài 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng

a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’ Tính d B M CN  ' , 

Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=a Gọi

M là điểm trên cạnh AD sao cho MA=3MD Tính d M ,AA C C' '   và

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, CA=a,

CB=2a, SAa 3 và SAABC Gọi D là trung điểm của AB

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,

Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA

vuông góc với đáy và SAa 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Bài 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AA’ và BC, I là tâm của hình vuông BCC’B’

a Tính d A B D  , ' '

b Chứng minh rằng MN DIA' Tính d MN DIA , ' 

c Tính d A DMN ,  

HD: ) 6; ) 2; ) 2

Bài 26: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông

cạnh a Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A’C’, C’B’ Tính

Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang cân, AD BC,

AB=BC=CD=a, AD=2a, SA vuông góc với (ABCD) và SA=2a

HD:

2

212

a a

HD:

2

a

Bài 30: Cho hình thoi ABCD có tâm O cạnh bằng a, AC=a Từ trung điểm H của

cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH=a Tính

HƯỚNG DẪN

A Véctơ:

Bài 1: AG  AE  AB AD

G F

B A

G F

Q P

K

J

I

H G

Từ (1), (2), (3), ba véctơ AJ GI HK, , có giá cùng song song với mặt phẳng (ABC) nên AJ GI HK, , đồng phẳng

b

Trong tam giác ADF, ta có PM AD

13

B A