Thông tin tài liệu
Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách BÀI TẬP VECTƠ – QUAN HỆ VNG GĨC KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN GV: ĐỖ VĂN THỌ Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Chương II: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian A Vectơ không gian: I Kiến thức bản: - Sự đồng phẳng vectơ đồng phẳng: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng - Điều kiện ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c a b khơng phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng có số m, n cho c ma nb (m, n nhất) Nếu a, b, c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d , ta tìm số m, n, p cho d ma nb pc , m, n, p - Điều kiện phương: vectơ b phương với vectơ a , a b ma; m R - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AB AD AC AE AG B C A D - Quy tắc hình hộp: Để cộng ba vectơ khác không đồng phẳng D B A O C II Bài tập: Bài 1: Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh AB AD Vectơ – Quan hệ vuông góc – Khoảng cách Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Chứng minh SA SC SB SD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD Chứng minh 2 2 SA SC SB SD Bài 4: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM 3MD cạnh BC lấy điểm N cho NB 3NC Chứng minh ba vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Bài 5: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABFE K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCGF Chứng minh ba vectơ BD, IK , GF đồng phẳng Bài 6: Cho tứ diện S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS 2MA đoạn BC lấy điểm N cho NB NC Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng HD: chứng minh MN AB SC 3 Bài 7: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH a Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng b Chứng minh ba vectơ IL, JK , AH đồng phẳng HD: a MN , FH , PQ có giá song song với (ABCD) b IL, JK , AH có giá song song với (BDG) Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN b Gọi M, N hai điểm AF CE cho Các FA CE đường thẳng vẽ từ M N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N trung điểm CD DD’; G G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ Chứng minh đường thẳng GG’ mặt phẳng (ABB’A’) song song với Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách HD: chứng minh GG ' AB AA ' AB, AA ', GG ' đồng phẳng Bài 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng vectơ d a Cho d ma nb với m, n Chứng minh vectơ sau không đồng phẳng i b, c, d ii a, c, d b Cho d ma nb pc với m, n, p Chứng minh vectơ sau không đồng phẳng i a, b, d ii b, c, d iii a, c, d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng Bài 11: Cho ba vectơ a, b, c khác ba số thực m, n, p Chứng minh ba vectơ x ma nb ; y HD: Chứng minh px ny pb mz mc ; z nc pa đồng phẳng Bài 12: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA ' Hãy phân tích vectơ B ' C ; BC ' theo vectơ a; AB b; AC c a, b, c HD: a B ' C c a b b BC ' a c b Bài 13: Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a Phân tích vectơ OG theo vectơ OA; OB; OC b Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA; OB; OC HD: a OG OA OB OC b OD OA OB OC Bài 14: Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a Phân tích hai vectơ OI AG theo ba vectơ OA, OC , OD b Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE , FG, FI HD: a OI OA OC OD ; AG OA OC OD b BI FE FG FI Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.EFGH a Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC , AF , AH b Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC , AF , AH HD: a AE AF AH AC b AG AF AH AC Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a Xác định góc cặp vectơ: AB A ' C ' ; AB A ' D ' ; AC ' BD b Tính tích vơ hướng cặp vectơ AB A ' C ' ; AB A ' D ' ; AC ' BD B HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I Kiến thức bản: Vectơ phương đường thẳng: a VTCP đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Góc hai đường thẳng: a ' a; b ' b a, b a ', b ' Giả sử u VTCP đường thẳng a vectơ v VTCP đường thẳng b, u, v Khi a, b nÕu 00 1800 1800 nÕu 900 1800 Nếu a b a b a, b 00 Chú ý 00 a, b 900 Hai đường thẳng vng góc: a b a, b 900 Giả sử u VTCP đường thẳng a v VTCP đường thẳng b Khi a b u.v Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo II Bài tập: Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 chứng minh hai vectơ phương đường thẳng vng góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng ( định lý pitago,…) Bài 1: Cho tứ diện S.ABCD có SA=SB=SC ASB BSC CSA Chứng minh SA BC; SB AC; SC AB HD: Chứng minh SA.BC Bài 2: Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD a Chứng minh AO vng góc với CD b Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM HD: b cos AC , BM Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành với AB=a, AD=2a, SAB tam giác vng cân A, M điểm cạnh AD (M khác A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang vng b Đặt AM=x Tính diện tích MNPQ theo a x Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh Chứng minh AC B ' D '; AB ' CD '; AD ' CB ' C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng I Kiến thức bản: - Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b P , a b O d P d a, d b Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách d a P O b - Tính chất: a b P b P a a b a b a P , b P P Q a Q a P P Q P Q P a , Q a a P ba b P a P a P a b , P b - Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (P) đường thẳng a’ Khi ấy, đường thẳng b nằm (P) vng góc với a b vng góc với a’ a b a' P - Góc đường thẳng mặt phẳng Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Nếu d P d , P 900 Nếu d khơng vng góc với (P) d , P d , d ' với d’ hình chiếu d lên mặt phẳng (P) Chú ý: 00 d , P 900 II Bài tập: * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d P , ta chứng minh cách sau Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) Chứng minh d vng góc với (Q) mà Q P Chứng minh d a a P d P * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a , ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a Sử dụng định lý ba đường vng góc Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD tứ giác lồi Biết hai tam giác SAB BAD vuông A Chứng minh AB SAD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O SA=SC SB=SD Chứng minh SO ABCD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi Giả sử SA=SC Chứng minh AC SBD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật SA ABCD Gọi AE, AF đường cao tam giác SAB SAD Chứng minh SC AEF Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi I, J trung điểm AB, CD giả sử SA=SB Chứng minh CD SIJ Bài 6: Cho tứ diện ABCD có H, K trực tâm tam giác ABC DBC Giả sử HK DBC Chứng minh AH, DK BC đồng quy Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có SA ABC Gọi H K trực tâm Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách tam giác ABC SBC Chứng minh a AH, SK BC đồng quy b SC BHK c HK SBC Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AC=AD BC=BD Chứng minh AB CD Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi SA ABCD Chứng minh BD SC Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD ABCD hình chữ nhật Chứng minh bốn mặt bên (SBA), (SBC), (SCD), (SAD) tam giác vuông Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB CD; AC BD Gọi H hình chiếu A xuống (BCD) Chứng minh H trực tâm tam giác BCD AD BC Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng tâm O SA ABCD , gọi H, I, K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a Chứng minh rằng: BC SAB , CD SAD , BD SAC b Chứng minh rằng: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c Chứng minh rằng: HK SAC Từ suy HK AI Bài 13: Cho tứ diện S.ABCD có tam giác ABC vng B; SA ABC a Chứng minh BC SAB b Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH SC Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA=SC; SB=SD a Chứng minh SO ABCD b Gọi I, J trung điểm cạnh AB, BC Chứng minh IJ SBD Bài 15: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a Chứng minh BC AID b Vẽ đường cao AH tam giác AID Chứng minh AH BCD Bài 16: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh a BC OAH b H trực tâm tam giác ABC Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách 1 1 c OH OA2 OB OC d Các góc tam giác ABC nhọn Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh SI SCD ; SJ SAB b Gọi H hình chiếu vng góc S IJ Chứng minh SH AC c Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM SA Tính AM theo a a a a HD: a a, , c 2 Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a Chứng minh SH ABCD b Chứng minh AC SK CK SD Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB a, BC a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vng D có SD a a Chứng minh SA ABCD tính SA b Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mặt phẳng (HIJ) Chứng minh AK SBC , AL SCD c Tính diện tích tứ giác AKHL 8a DH: a a c 15 Bài 20: Cho tam giác MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C’ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC’ a Chứng minh CC ' MBD b Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm tam giác BCD Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình tâm O, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A lên SB, SC, SD a Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vng b Chứng minh BD vng góc với (SAC) 10 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Bài 3: S I A C E J B * Chứng minh SAC ABC AB SE AB SIE AB SI 1 AB EI SI AC (1), (2) SI ABC Mà SI SAC SAC ABC * Chứng minh SIJ SBC BC SJ BC SJI BC JI Mà BC SBC SJI SBC Bài 4: S A I B D C * Chứng minh SI ABCD 46 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách SAB ABCD SAB ABCD AB SI ABCD SI AB * Chứng minh BC SAB BC AB BC SAB BC SI Bài 5: S H A C O I B * Chứng minh SA ABC SAB ABC SA ABC SAC ABC SAB SAC SA * Chứng minh SAI SBC Dễ dàng chứng minh SAB SAC SB SC SBC cân S SI đường cao SBC BC AI BC SAI BC SI Mà BC SBC SAI SBC * Chứng minh SB OCH OC AB OC SAB OC SB OC SA 47 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách SB OC SB OCH SB CH * Chứng minh OH SBC Ta có: SB OCH Mà SB SBC SBC OCH OCH SBC OH SBC SAI SBC OCH SAI OH Bài 7: A H K B D F O E C a ABC ABD AB AB BCD ABC BCD ABD BCD b * Chứng minh ABE ACD Ta có AB BCD AB CD (1) CD BE (2) 1 , CD ABE Mà CD ACD ACD ABE * Chứng minh DFK ACD 48 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách DF BC DF ABC DF AC (1) DF AB DK AC (2) AC DKF Mà AC ACD DFK ACD c Chứng minh OH ACD ABE ACD OH ACD DFK ACD ABE DFK OH Bài 22: D C A B A' C' B' Chứng minh: C ' D A ' BC BC CD BC CDC ' C ' D BC (1) BC CC ' Dễ dàng chứng minh (AB’C’D) hình bình hành Ta có ABB ' A ' hình vng nên AB ' A ' B C ' D AB ' C ' D A ' B 2 AB ' A ' B 1 ; C ' D A ' BC Bài 23: 49 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách S N K A C M H I B BC SA BC SAI BC HK (1) Ta có BC SI BM AC BM SAC BM SC BM SA Lại có SC BN SC BMN HK SC (2) (1), (2) HK SBC Bài 24: M O A C F H E B * Chứng minh OCH MBC CH AB CH MAB CH MB 1 CH MA OC MB 1 , MB OCH Mà MB MBC OCH MBC 50 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách * OBH MBC BH AC BH MAC BH MC 1 Ta có BH MA OB MC 1 , MC OBH Mà MC MBC OBH MBC * Chứng minh OH MBC OCH MBC OH MBC OBH MBC OCH OBH OH Bài 25: S d a B A O D a C a SBC , ABCD BC AB BC SAB BC SB Ta có BC SA SBC ABCD BC SB SBC , AC ABCD SBC , ABCD AC , SB SBA SB BC , AC BC SA a SBA 600 AC a b SBD , ABCD Dễ dàng ta chứng minh SBD cân S SO BD tan SBA 51 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách SBD , ABCD SO, AO SOA SA a tan SOA AO a 2 c SAB , SCD Xét SAD , SD SA2 AD2 3a2 a2 4a Xét SAC, SC SA2 AC 3a 2a 5a Dễ dàng chứng minh SCD vuông D SD CD SAB SCD d đường thẳng qua S đồng thời song song với AB CD d CD SD d Do SD CD SA d , SA SAB SAB , SCD SD, SA DSA SD d , SD SCD a tan DSA DSA 300 a d SAC , SBD SAC , SBD DOA 900 Bài 26: S d H a a A C F E a a B a SAC , SBC Gọi AH đường cao SAB 52 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Dễ dàng ta chứng minh SAB SBC AH BH BH đường cao SBC BH SC; AH SC SAC , SBC AH , BH AHB SAC SBC SC 1 1 2a a AH AH AH SA2 AC a 2a 2a 3 Ta có AHB cân H, có HE đường cao a AE sin AHE AH a 6 6 6 AHE arcsin AHB arcsin b SEF , SBC Gọi SEF , SBC d đường thẳng qua S đồng thời song song với BC EF BC SAB BC SB BC d SB d (1) a2 3a 5a 2 2 Dễ dàng ta tính được: EF ; SF ; SE 4 2 SF SE EF SEF vuông E SE EF EF d SE d (2) EF SE SB d ; SE d Từ (1), (2): SB SBC , SE SEF SBC , SEF SE , SB ESB SBC SEF a a ; SB a Xét SEB có EB ; SE 2 EB SE SB 2SE.SB cos ESB 53 Vectơ – Quan hệ vuông góc – Khoảng cách 5a a2 2a SE SB EB 4 10 cos ESB 2SE.SB 40 a .a 2 KHOẢNG CÁCH Bài 1: a Chứng minh IO ABCD Rõ ràng ta có OI đường trung bình Mà SA ABCD OI ABCD SAC OI SA b Tính d I , CM S N I D A M O B C Gọi N trung điểm SB MN đường trung bình SAB MN SA MN SA OI SA Mà ta có OI SA OI MN Do đó, d I , CM d M , CM MN OI MN 54 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách a a MN SA d I , CM 2 Bài 2: Ta có ABC tam giác vuông B Bài 3: S D A O B C I * Tính d S , ABCD Ta có SI ABCD d S , ABCD SI SBC cạnh a SI d S , ABCD * Tính d A, SID a a S D A K d M OH B I C Qua A, ta dựng đường thẳng (d) song song với ID Gọi M trung điểm AD, đường thẳng MC cắt (d) K 55 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách K A M B d I H D C Ta chứng minh MC DI Rõ ràng hai tam giác DIC MCB MCI IDC CMB DIC Xét tam giác HIC , ta có MCI HCI CMB HIC Mà MCI CMB 900 HCI HIC 900 CDI 900 MC DI Do đó, d A, SID d K , SID KH KM MH KM IC sin KAM KM AM sin KAM AM sin IDC AM AM ID a a2 a IC , ID a a KM 1 a HC HC IC CD a a a a a 3a MH MC HC 5 a 3a 2a 2a KH d A, SID 5 5 56 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách c Tính d I , SAD S Q D A P O B C I Gọi P trung điểm AD, từ I dựng IQ vng góc với SP, ta có AD SI AD SIP AD IQ AD IP IQ SP IQ SAD d I SAD IQ IQ AD 1 a 21 Lại có SIP vng I nên, IQ IP SI IP 3a a 3a d Tính d B, SAD Do BI SAD d B, SAD d I , SAD Bài 4: S H B A I D M O C Gọi M trung điểm BC 57 a 21 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Trong mặt phẳng (SIM), dựng IH vng góc với SM Dễ dàng chứng minh BC SIM BC IH (1) IH SM 1 , 2 IH SBC d I, SBC IH Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD O trung điểm IM Xét tam giác SIM cân S: 1 SO.IM SSIM SO.IM IH SM IH 2 SM 2 a 7a a 14 SO SD OD 4a SO 2 a 15a a 15 2 2 SM SC MC 4a SM 4 a 14 a a 14 IH a 15 15 Bài 5: S A C H I B Dễ dàng chứng minh SA SBC SA BC (1) Dựng SI BC (2) (1), (2) BC SAI 58 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Dựng SH AI SH AI SH ABC d S , ABC SH SH BC 1 SA.SI Xét tam giác SAI vuông S, SSAI SA.SI SH AI SH 2 AI SB.SC bc SI BC SB.SC SI BC b2 c b2c a 2b a c b c a 2b a c b c AI SA SI a AI b c2 b2 c2 b2 c2 bc a 2 abc b c SH a 2b a c b c a 2b a c b c b2 c2 Bài 6: 2 2 D I A C O M H B Gọi H trung điểm BC a a d A, BC AH b Dựng AI HD Dễ dàng chứng minh BC AHD BC AI AI HD AI BCD d A, BCD AI AI BC 59 Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Gọi O tâm tam giác ABC SO ABC SO AH 1 OD AH Xét tam giác AHD, SAHD OD AH AI HD AI OD (do 2 HD AH HD ) 2 a a AO AH 3 a 2a a 2 2 OD AD OA a OD 3 a d A, BCD 60 ... Khoảng cách Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Hình hộp... bình hành Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình hộp có tất mặt hình vng Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Hình hộp chữ nhật có kích thước...Vectơ – Quan hệ vng góc – Khoảng cách Chương II: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc không gian A Vectơ không gian: I Kiến thức bản: - Sự đồng phẳng vectơ đồng phẳng: Ba vectơ gọi đồng
Ngày đăng: 09/12/2017, 19:37
Xem thêm:
