Cơ chất lỏng, ví dụ và bài tập dùng cho cao học

CCL-THÍ DỤ VÀ BÀI TẬP (Cho Cao Học) 1.Chuyển động thế, vận tốc, hàm dòng Dòng chẩy mà phần tử chất lỏng khơng có chuyển động quay đơn gọi chuyển động khơng xốy hay chuyển động thế, có véc tơ xốy khơng, (1.1)   .V  hay x  0;  y  0; z  hay RotV = (trong   RotV / ) Trong chất lỏng không xoáy V  hay:  uz u y   z  y   ux uz   u y ux   j   i   k  x   x y    z (1.2) Rot toán tử, biến véc tơ thành véc tơ khác i  RotV  x ux j  y uy k  z uz (1.3) u z u y u x u z u y u x ; ;    z x y z x y Biểu thức (1.4) điều kiện cần đủ để tồn hàm   x, y, z, t  cho RotV=0 tức là: ux  (1.4)    , uy  , uz  x y z (1.5) Hàm  gọi hàm tốc độ, đó: V  grad   Trường tốc độ gọi dòng (hay dịng khơng xốy) đó:    d  dx  dy  dz  ux dx  u y dy  u z dz x y z (1.6) (1.7) Mặt có   const hay d  = mặt đẳng vận tốc Đối với dòng chẩy phẳng (dòng chẩy hai chiều) thường ký hiệu trục tung y trục hoành x, góc quay quanh trục z dịng thế:  u y u x   x y z   u y u x     hay x y  (1.8) Phương trình đường đẳng vận tốc dòng chẩy phẳng chẩy ổn định là:   d  ux dx  u y dy  dx  dy  Đặt x   u y   ux  x y (1.9) y hàm  ( xy) gọi hàm dịng Đối với đường dịng ta có: uxdy – uydx =   dq  d  dy  dx  y (1.10a) (1.10b) x 2 Hiệu số hai đường dòng ( 2- 1) lưu lượng hai đường dòng, q   d    1 Trong chuyển động phẳng có liên hệ hàm hàm dòng     x y     y x      (1.11)      0 x x y y dẫn đến: (1.12) Biểu thức (1.12) họ đường dòng  = const họ đường  = const trực giao với tạo thành lưới thủy động dòng chẩy phẳng; nghĩa tất điểm giao cắt hình thành góc vng tích độ dốc (hay hệ số góc ) chúng -1(Hình 1.1) Hình 1.1(a) Sơ đồ đường trực giao Hình 1.1(b) Dòng // với trục x uy dy  dx  const u x Dọc theo đường dòng  =const Dọc theo đường đẳng  =const Dòng tạo góc α với trục x ta có: Thế tốc độ Hàm dòng Thành phần tốc độ Trong tọa độ cực 2: Lưu số xốy Lưu số định nghĩa là: Hình 1.1(c) Dịng tạo góc α với trục x u dy  x dx  const uy φ = V0 ( x cosα + y sinα) ψ = V0 ( y cosα - x sinα) ux = V0 cosα, uy = V0 sinα   f (r ,  )   d  dr  d r     us ds (1.13) (1.14) Trong dịng chẩy phẳng tọa độ Oxy có dA  dxdy  u y ux  ABCD    y  x   dxdy   z dA  (1.15a) Đây định lý Stốc Đối với đường cong C C   ucos ds    z dA (1.15b)  Điểm nguồn điểm tụ Điểm nguồn điểm mà chất lỏng từ chẩy theo hướng dọc theo phương bán kính Ngược lại chất lỏng từ hướng chẩy theo phương bán kính ta có điểm tụ 3.1 Hàm   cho điểm nguồn (q > 0) Tại điểm M(r,  ) có tốc độ: q x qx  2 r 2 r r 2 r q q y qy u y  V sin   sin    2 r 2 r r 2 r u x  V cos    nguôn  q cos  q q y  hay  ngn  arctg 2 2 x Hình 1.2 Điểm nguồn Định nghĩa cho ta lưu lượng q từ điểm nguồn tâm vịng trịn có bán kính r q  2 rV q  xdx  ydy  2 r x2  y  r  xdx  ydy  rdr q  ln r  C 2 q q nguôn  ln r  ln x  y 2 2 (1.16) d  ux dx  u y dy  Biết: Tích phân cho Ta có Tìm hàm dòng  Biết d  ux dy  u y dx  (1.17) q  xdy  ydx  2 r Vì dọc theo đường dịng  = const làm cho xdy = ydx Tích phân cho lny = lnx + C hay y = Cx phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, đường dòng đường thẳng dọc theo phương bán kính Hàm   x, y   C thay đổi theo  đó:   C1 hay   C1tg y x (1.18) Tìm số C1 Biết q    với   0 ;   2 thì: q  C1 2 , rút C1  hàm dịng  có dạng : hay q , 2 q  2 q y  nguôn  arctg 2 x  nguôn  (1.19a) (1.19b) 3.2 Hàm   cho điểm tụ (q < 0) Tương tự ta có hàm   cho điểm tụ với chiều ngược lại Trong tọa độ cực ta có tu   q q ln r   ln x  y 2 2 (1.20)  tu   q y arctg 2 x (1.21)   f  r , t  đó: d  ur  rdt   u dr Do dịng chẩy theo phương bán kính u  , nguồn ur  (1.22a) q 2 r làm cho d  Tích phân cho   q rd 2 r (1.22b) q   C ,khi  = C = 0, điểm nguồn ta có 2  ngn  q  tu   q  2 2 (1.23) Xoáy tự Trong xoáy tự lưu số  > (quay ngược chiều kim đồng hồ),  < (quay thuận chiều kim đồng hồ)   2     ln r 2  Thế tốc độ: Hàm dòng: Các thành phần tốc độ: vr  0, v  (1.24) (1.25)  2 r (1.26) Hình 1.3 Xốy tự Lưỡng cực 5.1Vấn đề lý thuyết (Hình 1.4) Đặt nguồn gốc tọa độ, tụ cách nguồn ds phía dương trục x q q    d  2 2 qd   r ,    2   r ,   Hình 1.4 Quy luật hàm sin cho m = sin d sin   Khi ds   sin d  d r-dr  r dẫn đến ds r  dr ds sin  d  r qd qds sin  sin    r ,      m (1.27a) 2 2 r r qds cường độ lưỡng cực, thể hàng loạt vòng trịn có tâm trục oy, 2 m sin  y/r y   x, y     m  m (1.27b) r r x  y2 Tọa độ: u  x, y   m y  x2 x  y2  ., v  x, y   2m xy x  y2  (1.28) 5.2 Hàm dòng tốc độ nguồn tụ đối xứng Gọi cường độ lưỡng cực m  Thế tốc độ: Hàm dòng: mcos r m sin   r   Thành phần tốc độ: mcos vr   qa r ; v   (1.29) (1.30) (1.31) m sin  r2 (1.32) Hình 1.5 Nguồn đối xứng tụ qua trục y 5.3 Dòng kết hợp với nguồn Dòng song song với trục ox có tốc độ xa vô V0 kết hợp với nguồn gốc tọa độ Oxy ta được: Hình 1.6 Dịng kết hợp với nguồn Thế tốc độ: Hàm dòng: Thành phần tốc độ: q ln r 2 q   V0 r sin    2 q vr   ; v  V0 sin  2 r   V0 r cos   (1.33) (1.34) (1.35) 5.4 Ôvan Rankin (a) Định nghĩa Hình 1.7 Ovan Rankin Ovan Rankin: kết hợp dòng V0 với nguồn tụ trục ox cách gốc tọa độ –a a Thế tốc độ: Hàm dòng: q  ln r1  ln r2  2 q  2ar sin     V0 r sin   tg 1  2  2  r a    V0 r cos   (1.36) (1.37) Điểm dừng có tốc độ khơng, điểm dịng tách đơi bao lấy nguồn tụ coi vật thể có dạng ơvan 1/2  qa  l   a2    V0  2 2 V0 h h a h tg 2a q Chiều dài nửa vật thể: Chiều rộng nửa vật thể: (1.38) (1.39) Nếu khoảng cách a→ 0, nguồn chập vào tụ van hình thành đường trịn (b) Nguồn vị trí (x0,y0) Hàm dịng tốc độ: q 1  y  y0  tg   2  x  x0  x  x0 q u 2  x  x0 2   y  y0 2  v (1.40) y  y0 q 2  x  x0 2   y  y0 2 (c) Đường có tốc độ khơng để xác định hình dạng vật thể khí động học (Hình 1.8) Hàm dịng đường có giá trị giống giá trị điểm dừng dòng chẩy kết hợp với nguồn q    q (1.41)  s  v0 y   V0  2 2 y = trục x, có đường đường dòng đường dòng s   q Hình 1.8 (d) Vật thể Rankin kết hợp dòng với nguồn tụ Cho nguồn (x0,y0) tụ (x1,y1) có hàm dòng:   V0 y  tốc độ u  V0  q 1  y  y0  q 1  y  y1  tg  tg    2  x  x1   x  x0  2 x  x0 x  x0 q q  2 2  x  x0    y  y0  2  x  x1 2   y  y1 2 (1.42) (1.43) Khi y0 = y1 = đồng thời x0 = - a, x1 = a có điểm dừng tạo vật thể Rankin-các điểm dừng: q  xa xa     2   x  a   x  a 2    q  xa xa    V0   2 2  x  a x  a2  q  2a      V0  2  x  a     V0             x2  a2   qa  V0 Dòng chẩy bao trụ tròn 6.1 Hàm dòng, tốc độ   V0 y  m Hàm dịng (1.44) sin  r (1.45) Gọi hình trụ có đường kính d, bán kính a xác định thông qua điểm dừng (r=a) Tại mặt trụ y  a sin  sin  (1.46)   V0a sin   m a Cho   mặt trụ V0a = m/a, m = V0a2 hay a  m / V0  a2   r2  (1.47) m cos  r (1.48) Hàm dòng   V0 y 1   Thế tốc độ:   V0 r cos   Thành phần tốc độ  a2   a2  vr  V0 1   cos ; v  V0 1   sin   r   r  (1.49) Hình 1.9 Dịng chẩy bao trụ trịn Các điểm dừng điểm có v  , mặt trụ r = a; v  2V0 sin    0= 00  0= 1800, góc  = 900  = 2700 có giá trị V ( max)  2V0 6.2 Áp lực lên trụ Mơ hình chất lỏng khơng nhớt (Hình 1.9) Áp suất nén tác dụng lên phần tử diện tích ds = rdθ df = pds = p rdθ, thành phần lực theo trục x df = - p rdθcosθ (1.50) Tích phân cho tổng áp lực lên đơn vị chiều sâu trụ 2 f    pr cos  d , sử dụng hệ số áp suất: Cd  p  p0 f , Cp  1 V02 D V02 2 2 Cd      2 p  pr cos  d cos    C p   d  V02 D V02  2   Hình 1.10 Sơ đồ tính áp lực lên trụ Vì thành phần thứ hai tích phân khơng, đó: 2  Cd  C p cos  d (1.51) Hình 1.11 hệ số áp lực Cp thay đổi dọc theo dịng chẩy Hình 1.12 Quan hệ thành phần tọa độ xoy tọa độ cực Hình 1.13 Hàm dịng tốc độ Hình 1.14 (a) So sánh phân phối tốc độ với bước = 0,2vr Hình 1.14 (b) So sánh phân phối áp suất 6.3 Các lực tác dụng vào hạt đất chân trụ 6.3.1 Dòng chẩy bao trụ tròn Ψ = V0rsinθ[1-(a/r)2] (1.47) Ψ- hàm dịng, V0 – tốc độ trung bình dịng chẩy đến trụ, r- bán kính cực, θ- góc cực, a- bán kính trụ = b/2 Phương trình đường dòng cho thành phần tốc độ theo phương bán kính vr theo góc cực Vθ là:   V0 cos  1  (a / r )  Vr = (1.49a) r    V0 sin 1  (a / r )  Vθ= (1.49b) r Tốc độ v là: V = v  v  V0 r 2 a a      cos 2  r r (1.49c) Hình1.15(a) Đường dịng bao trụ (lý tưởng) Hình1.15(b) Đường dịng bao trụ(chất lỏng thực) Hình1.15(c) Sơ đồ trụ trịn tọa độ độc cực Hình1.16.Đường đẳng gradien chuẩn hóa dịng chẩy bao trụ trịn Áp suất điểm dòng chẩy là: p - p0 = Đặt V= v/v0, R= r/a P =  v v v p  p0  1   hay  v0   v0  (1.52) p  p0 p p  ps  p0  v0 / V= 1 1      cos 2  R R 1 P = -  R       cos 2   R   Gradien áp suất véc tơ mà giá trị chiều lớn thay đổi đồng thời (1.53) (1.54) P P eˆr  eˆ (1.55) R R      3        P  4      cos 2   eˆr  8   sin  cos   eˆ (1.56) R R R                  P - gradien áp suất chuẩn hóa, eˆr - véc tơ đơn vị theo phương bán kính, eˆ - véc P  tơ góc đơn vị Độ lớn gradien áp suất điểm dòng chấy (trừ vùng xoáy trục đứng sau trụ) là:  dP  1 P     4   dN  R 1 1      cos 2  R R (1.57) N = n/a tọa độ chuẩn hóa theo hướng thay đổi lớn áp suất, n tọa độ có đơn vị theo hướng thay đổi lớn áp suất Đường đẳng độ lớn gradien áp suất chuẩn hóa P cho Hình1.16 cho thấy: nơi tập trung đường hai bên trụ nơi xói cục xuất trụ Hình1.16 cịn thể vùng xốy trục đứng sau trụ nơi hàm không tồn (chất lỏng thực, Hình 1.15b) 6.3.2 xem xét lực tác dụng vào hạt đất chân trụ Độ lớn lực mà dòng nước tác động vào hạt đất xác định theo biểu thức; Fd= CdρAu2/2 (1.58) Fd- áp lực dòng nước tác động vào hạt đất, Cd – hệ số áp lực mặt, ρ- khối lượng riêng nước, A- diện tích hình chiếu hạt lên phương vng góc với chiều u πc2, với hạt hình cầu bán kính c = d50/2, u -tốc độ dòng đến đỉnh hạt.Giả sử hạt có dạng hình cầu, lực gradien áp suất gây tích phân thành phần lực hướng thay đối gradien áp suất lớn mặt hạt (xem sơ đồ hình 3) Hình 1.17 Sơ đồ hạt hình cầu chịu gradien áp suất Hình 1.18.Đường đẳng lực gradien áp suất tương đối b/d50 = 44,Cd = 1,5, V0/u =3 Gọi p áp suất tâm hạt, lực lên vi phân dA mặt hạt : dFp = - (p + p c cosβ)dA n (1.59) dA = 2π(c sinβ)cdβ = (2πc2sinβ)dβ, β – tọa độ góc hình thành từ chiều dương trục n theo chiều ngược kim đồng hồ Thành phần lực lên phương n là: Fp(n) = dFpcosβ (1.60) Tích phân thành phần lực áp suất theo phương n mặt hạt cho :  Fp(n) = 2 c  p sin  cos  d    4 c3  v02      1  sin  cos  d    cos          0 a R  R R   (1.61) 8 c  v02   Fp(n) =   3a  R  1 1      cos 2  R R (1.62) Giá trị tương đối gradien áp suất với áp lực dòng chẩy vào hạt : Fp ( n ) Fd    8 c  v0      1 2   cos    / Cd  c u       a R R R           hay Fp ( n ) Fd 16     Cd   v0    1 1   u   R    R    R  cos 2       b        d50  (1.63) Tỷ số tăng tỷ số b/d50 Độ lớn tương đối lực phụ thuộc vào hệ số áp lực Cd, tỷ số v0/u b/d50 Hệ số Cd thay đổi theo Red hạt cát, Red ≥ 102 Cd ≈ 1,5.Gosselin (1997) đo tốc độ gần đáy vùng lân cận trụ phạm vi 30% đến 70% tốc độ trung bình, tỷ lên phần trăm giảm nhanh theo khoảng cách xa trụ Đường đẳng giá trị tuyệt đối lực b/d50 = 44, Cd = 1,5, v0/u =3, vùng xốy trục đứng sau trụ xấp xỉ diện tích khơng phù hợp cho dịng thể Hình1.18 Khi V0/u =10 lực gradien áp suất > 12 lần áp lực mặt Tỷ số Fp ( n ) / Fd thay đổi theo b/d50 θ = π/2, Cd = 1,5, v0/u =3,6,9,12 Hình 1.19 Hình 1.19 Tỷ số Fp ( n ) / Fd thay đổi theo b/d50, Khi Cd = 1,5 R = 1,0 ... P cho Hình1.16 cho thấy: nơi tập trung đường hai bên trụ nơi xói cục xuất trụ Hình1.16 cịn thể vùng xốy trục đứng sau trụ nơi hàm khơng tồn (chất lỏng thực, Hình 1.15b) 6.3.2 xem xét lực tác dụng... u y dy  Biết: Tích phân cho Ta có Tìm hàm dịng  Biết d  ux dy  u y dx  (1.17) q  xdy  ydx  2 r Vì dọc theo đường dịng  = const làm cho xdy = ydx Tích phân cho lny = lnx + C hay y =... lên trụ Mơ hình chất lỏng khơng nhớt (Hình 1.9) Áp suất nén tác dụng lên phần tử diện tích ds = rdθ df = pds = p rdθ, thành phần lực theo trục x df = - p rdθcosθ (1.50) Tích phân cho tổng áp lực