Chƣơng 2 DÒNG CHẢY TRONG ỐNG

Chƣơng DỊNG CHẢY TRONG ỐNG 2.1 TỔNG QUAN Dịng chuyển động ống vấn đề có ứng dụng rộng rãi kỹ thuật thiết kế hệ thống cấp nước, dẫn nước, thoát nước, đường ống máy bơm, hệ thống tưới tiêu ;nghiên cứu trạng thái chuyển động chất lỏng đường ống;tính tốn tổn thất lượng đường ống (đối với toán đường ống: cho biết thơng số hình học (đường kính, chiều dài) cấu trúc đườg ống (van, đoạn uốn cong, nhánh…)); xác định tổn thất lượng; tính lưu lượng công suất bơm cần thiết….Các kết nghiên cứu liên quan dòng chuyển động đường ống từ thực nghiệm nhiều lý thuyết Nội dung gồm phương trình cho dịng chuyển động ống phân bố vận tốc ống; tổn thất dọc đường đường ống; tổn thất cục đường ống Dòng chảy chia thành: - Ổn định  (t), ( dV dV  ), - Không ổn định  (t), ( a  0) dt dt - Chảy tầng (số Re < 2000), - Chảy rối (Re  4000); Số Reynolds Re = Vd   - Chảy (  đường đi, công trọng lực gây chuyển động công lực cản trở chuyển động), - Chảy không (  đường đi, công trọng lực gây chuyển động không cân với công lực cản trở chuyển động) 2.2 ĐƢỜNG DÒNG, DÒNG NGUN TỐ, DỊNG CHẢY 2.1 Đƣờng dịng: Định nghĩa: Đường dòng đường cong cho điểm đường cong véc tơ vận tốc phần tử chất lỏng tiếp tuyến với đường cong điểm thời điểm Như đường dòng đường tưởng tượng loạt phần tử chất lỏng nối tiếp thời điểm cho, hướng chuyển động thời điểm dọc theo đường dịng thời điểm Đường dịng trùng với quỹ đạo chuyển động ổn định Hình 2.1 Sơ đồ đường dịng Phương trình đường dịng: dr dx dy dz    dV u x u y u z (2.1) Đường dòng mặt phẳng xy:  dy  u y (dọc đường dòng)    dx  u x (2.2) Hình 2.2 Sơ đồ ống dòng Định nghĩa Tập hợp đường dòng qua tất điểm đường cong khép kín vơ nhỏ tạo thành ống dịng Chất lỏng khơng xun qua ống dịng Như vậy, chất lỏng chảy ống dòng chảy ống bình thường Ống dịng thay đổi theo thời gian chuyển động khơng ổn định Dịng chảy tập hợp vơ số dịng ngun tố Hình 2.3 (a)Dịch chuyển dòng chảy ống dòng; (b)Biểu đồ tốc độ; (c)Đường dòng bao vật 2.2 Lƣu lƣợng lƣu tốc trung bình Lưu lượng dịng chảy tổng số lưu lượng nguyên tố mặt cắt ướt toàn dòng: (2.3) Q   dQ   udA A A Lưu tốc trung bình dịng chảy mặt cắt tỷ số lưu lượng Q diện tích A mặt cắt ướt đó, ký hiệu V, đơn vị đo m s, cm s : V Q A (2.4) 2.3 MỘT SỐ DẠNG QUEN THUỘC CỦA TÍCH PHÂN BERNOULLI 2.3.1 Bốn giả thiết hay bốn điều kiện: • Chất lỏng lý tưởng (chất lỏng khơng có ma sát) • Chảy ổn định • Chất lỏng mơi trường liên tục khơng nén • Chất lỏng chảy dọc theo đường dòng hay ống dòng 2.3.2 Tích phân phương trình Euler động Tích phân dọc theo đường dòng chất lỏng lý tưởng, chuyển động ổn định cho ta ba dạng: p us2 z   C1 (2.5a) g 2g gz  p   us2  C2 (2.5b) p us2   C3 (2.5c)  Biểu thức (2.5a), (2.5b) (2.5c) gọi tích phân hay phương trình Bécnuli Các số hạng vế trái biểu thức thể lượng đơn vị trọng lượng, đơn vị thể tích đơn vị khối lượng Tuy nhiên tích phân Bécnuli cịn áp dụng cho chất lỏng chuyển động không ổn định số điều kiện định, cho dòng chất lỏng chịu nén nhiệt độ không thay đổi số Mach (M) nhỏ thua 0,20; hay khơng có thay đổi lớn tốc độ hay độ cao, chẳng hạn lực gió lên cơng trình dịng khí hệ thống thơng gió Tích phân Bernoulli áp dụng cho chất khí chịu nén đoạn nhiệt: gz   k p u C    k  1  2 gz   (2.6) Cp gọi số đoạn nhiệt Cp Cv tỷ nhiệt đẳng áp tỷ nhiệt Cv đẳng tích Giá trị k khác loại chất khí Trong k  2.4 PHƢƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DỊNG CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH 2.4.1 Phƣơng trình Bécnuli viết cho tia dịng chất lỏng thực chảy ổn định: Phương trình Bernuolli cho chuyển động chất lỏng lý tưởng định luật bảo tồn lượng dịng chảy: cột áp mặt cắt đầu cột áp mặt tiếp theo: Hd  Hd (2.7a) Đối với chất lỏng thực, phần lượng bị tiêu hao để thắng lực ma sát (khơng có Hd  Hd lực ma sát chất lỏng lý tưởng) nên: Hd1  Hd  h f hay (2.7b) hf tổn thất lượng đơn vị trọng lượng chất lỏng để thắng lực ma sát trong, dịch chuyển từ mặt cắt đến mặt cắt (Hình) Như vậy, phương trình Bécnuli viết cho tia dịng chuyển động ổn định chất lỏng thực: p u12 p u22 z1    z2    hf  2g  2g (2.8) Nhớ rằng: (a) Khi chất lỏng chuyển động đường cong, lượng lực ly tâm tạo khơng tính vào phương trình Bernoulli (b)Năng lượng bị dịng hàm khí khơng tính vào phương trình Be rnoulli 2.4.2 Phƣơng trình Bécnuli viết cho tồn dịng chất lỏng thực chảy ổn định: 2.4.2.1 Giả thiết dịng chảy đổi dần • Các đường dòng gần đường thẳng song song, thành phần nằm ngang vận tốc nhỏ bỏ qua, ta xét thành phần vận tốc dọc trục; • Bán kính cong đường dịng lớn bỏ qua lực qn tính ly tâm; • Mặt cắt ướt coi mặt phẳng, đường dịng vng góc với mặt cắt ướt đó; • Áp suất phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh, tức mặt cắt ướt dịng chảy đổi dần có phương trình: z p  const  2.4.2.2 Hệ số hiệu chỉnh vận tốc khơng Trong tính tốn thuỷ lực, ta thường thay lưu tốc thực lưu tốc trung bình mặt cắt dòng chảy dẫn đến việc cần xác định hệ số hiệu chỉnh lưu tốc khơng nhị vào ba tích phân: lưu lượng, động lượng lượng (a) Tích phân lưu lượng Lưu lượng chất lỏng viết dạng tích phân: Q   ud (2.9a) Thay vận tốc điểm u vận tốc trung bình V độ lệch V0 Q   v  v0 d  v   v0 d (2.9b)  V dA  Vì Q  VA nên: Do đó, tính lưu lượng thay vận tốc điểm lưu tốc trung bình mặt cắt, V (b) Tích phân động lượng Tích phân động lượng chuyển động chất lỏng với khối lượng  đơn vị thời gian dược viết: K t   udu    u d (2.10a) Thay vận tốc điểm vận tốc trung bình ta có:    K t    V  V0  dA   V A  2V  V0 dA   V02 dA   V A   V02dA  đó:  V dA  (2.10b) Phương trình (2.10b) xếp sau:  v02 d    K t  v    v 2 1      v 2   K tb   v   ký hiệu: V  dA V 2A ; (2.10c) 0   K tb  V A -là động lượng tính theo vận tốc trung bình V Rõ ràng   , tức động lượng xác định theo vận tốc trung bình ln nhỏ động lượng thực, hệ số điều chỉnh vận tốc  hệ số không thứ nguyên, tỷ số động lượng thực chất lỏng xét với động lượng tính theo lưu tốc trung bình mặt cắt: 0  V dA A V A = 0 V  1 2 dA V A  Kt K tb (2.11) 2.4.3.3 Phương trình Bécnuli cho tồn dịng chảy (a) Năm giả thiết hay điều kiện viết phương trình: (1) dịng chảy ổn định, (2) lực khối trọng lực, (3) chất lỏng không nén được, (4)lưu lượng không đổi, (5) mặt cắt mà ta chọn viết tích phân dịng chảy phải đổi dần, cịn hai mặt cắt dịng chảy khơng thiết phải đổi dần (b) Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật lượng cho tồn dịng chảy có dạng: z1  (c) Chú ý:• Trị số ( z  p1   1v12 2g  z2  p2    v22 2g  hf (2.12) p v  ) không đổi cho điểm mặt cắt ướt,  2g viết phương trình Bécnuli cho điểm mặt cắt ướt, song nên chọn điểm viết cho viết phương trình đơn giản • Áp suất p1 p2 điểm chọn hai mặt cắt phải loại • Thực 1   , song thực tế tính tốn thường lấy 1   Hình 2.4 Thí dụ phạm vi khơng áp dụng phương trình Bernoulli 2.5 ỨNG SUẤT TIẾP RỐI VÀ PHÂN PHỐI TỐC ĐỘ TRONG DÒNG CHẢY RỐI 2.5.1 Lƣu tốc thực, lƣu tốc trung bình thời gian, lƣu tốc mạch động Hình 2.5 Thí dụ (a) Dòng tầng, (b)Dòng rối, (c) Mạch động rối tốc độ ux Lưu tốc điểm thay đổi trị số phương hướng theo thời gian, riêng thành phần ux dọc theo trục dịng chảy (H.2.5c) đường dích dắc phức tạp khơng thể biểu diễn phương trình cụ thể Song thời gian Tx đủ dài ux có quy luật, tăng giảm xung quanh giá trị khơng đổi u x - lưu tốc trung bình thời gian Phương pháp thống kêcho thấy ba trục tọa độ ta có thành phần lưu tốc là: ux  ux  u,x  , uy  uy  uy  , uz  uz  uz ux  đó: (2.13) T u x dx T 0 (2.14) Tương tự cho u y , u z Giá trị trung bình tốc độ mạch đơnhj khơng, T u   u x, dt  T0 , x (2.15) Giá trị trung bình thời gian ux dọc trục x theo (2.14) là: hay T T T , u dt  u dt  u x dt x x T 0 T 0 T 0 T u x  u x,   u x, dt T Do u x,  , tương tự ta có u y ,  u x ,  Cùng với tượng mạch động lưu tốc, động áp lực có tượng mạch động, biểu thị thay đổi không ngừng mực nước ống đo áp xung quanh trị số trung bình thời gian P  P  P, (2.16) Cho tới có bốn khái niệm lưu tốc nêu ra: (1) Lưu tốc thực, (2) lưu tốc trung bình thời gian u , (3) Lưu tốc mạch động u  , (4) Lưu tốc trung bình mặt cắt V; u V lưu tốc tưởng tượng 2.5.2 Ứng suất tiếp dòng chảy rối Buxinétscơ (1887) đề nghị: r   du dy (2.17a) Râynôn (1895) chứng minh:  r   ux, u ,y (2.17b) Pơrantơ (1926) áp dụng nguyên lý biến thiên động lượng hai lớp chất lủng kề cho: r   l2( du ) dy (2.17c)  Hình 2.6 Trao đổi rối dòng rối Thực vậy, xáo trộn phần tử chất lỏng xem xáo trộn lớp chất lỏng tưởng tượng, chúng có trao đổi động lượng làm xuất ứng suất tiếp rối chúng Sử dụng định lý biến thiên động lượng xác định ứng suất tiếp dịng chảy rối ống Phần tử lớp có u lọt vào hẳn lớp có lưu tốc là: u  du l dy khối lượng chất lỏng chuyển qua thời gian t là: m   dA uy t động lượng lớp thay đổi là: K  m du du l    dA uy t l dy dy K = xung lực T lên dA thời gian t , T   r  t Hình 2.7 Trao đổi động lượng K = T   r   uy l  du dy ux  l  So sánh (2.17b) với (2.17d) cho uy  k ux , tức Giả sử độ lớn (2.17d) du dy u ,y  kl , du dy (2.18) Thay (2.18) vào (2.17d) ta được:  r   k l 2 ( du ) dy (2.19a) với l  k l 2 l gọi độ dài đường xáo trộn hai lớp chất lỏng, ta có  r : r   l2( du ) dy (2.19b) So sánh (2.19b) với (2.17a) ta thấy:    l2 du dy (1.20) Tổng quát, ứng suất tiếp dòng rối gồm: (1) ứng suất tiếp trao đổi động lượng rối (2) ứng suất nhớt (nội ma sát) phần tử chất lỏng chất lỏng với thành rắn: du du   l ( )2 (1.21) dy dy Biểu thức (1.21) sử dụng để tìm  quy luật thay đổi tốc độ mặt cắt biết l  l ( y ) , song thật khó có khả áp dụng cho dòng chảy trường hợp chung   t  r   Hình 2.8 ứng suất tiếp phân phối tốc độ thay đổi theo bán kính r dịng rối ống 2.5.3 Phân bố lƣu tốc dòng chảy rối Áp dụng biểu thức (1.19b) cho ống trịn có bán kính r0 : u*   du l  dy (1.22) Chiều dài đường xáo trộn l  y , với  số (hằng số Karman), (1.22) là: u*   y du dy (1.23) Sắp xếp lại tích phân ta phân bố lưu tốc theo quy luật Logarit khoảng cách y từ thành rắn: u u*  ln r0  C1 (1.24) u* (1.25) Tại trục ống y  r0 có u = umax: umax   Kết hợp (1.24) với (1.25), xếp lại ta có: ln r0  C1 umax  u r0  ln u*  y (1.26) Biểu thức (1.26) biểu thị quy luật phân bố Logarit độ hụt lưu tốc tương đối, không phụ thuộc vào lưu lượng tính chất thành rắn Song để hiểu rõ quy luật phân bố dòng chảy rối ta xét cụ thể cho thành trơn nhám thủy lực 2.5.3.1 Thành trơn thủy lựcvà thnàh nhám thủy lực Dòng chảy rối chia làm ba khu vực tùy thuộc vào độ lớn Re*  u* y  phụ thuộc vào mật độ độ nhớt chất lỏng thể đẳng thức: Quan hệ  u uy u  f ( * )  f (Re* ) u*  (1.27) • Lớp mỏng chảy tầng sát thành rắn: 0 u* y  4 • Vùng độ:  u* y   30  70 u* y y  30  70 ,  0,20    t  r có độ lớn • Vùng rối: Hình 2.9 Thành trơn thành nhám thủy lực du gần thẳng  chủ yếu  sinh dy u u u ra, dịng trung bình dịng chảy tầng - lớp mỏng chảy tầng ( t ) ;  t   2t hay t  * t  N u* u*  Thật vậy, sát thành rắn có vùng, ut  N gọi số Nicuratsơ, u* N =(10,5  11,1), lấy N  10,6 thì: 10,6 (1.28a) t  u* Tỷ số Thay u*  gRJ J  hd  v  vào l d 2g biểu thức (1.28a)  t viết lại: t  30d Re  (1.28b) Hình 2.10 Phân phối tốc độ dịng chảy rối ống Hình 2.11 (b) Phân phối tơc độ theo quy luật số mũ dòng chảy rối ống; n=7trong thực hành (a) Hình 2.11(a) So sánh phân phối tốc độ thành rắn dòng chảy rối ống; Vùng sát thành rắn – vùng có lớp mỏng chảy tầng: uy u  * u*  Vùng độ, đặt uy u  u  ; *  y  ta có phương trình: u*  uy u  2,5ln *   u   2.5ln y   u*  (2.29) (2.30) Quan hệ (2.30) xác (4  5) < y 