Chƣơng 2 DÒNG CHẢY TRONG ỐNG

Chương 2 DÒNG CHẢY TRONG ỐNG 2.1 TỔNG QUAN Dòng chuyển động trong ống là vấn đề có ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật như thiết kế hệ thống cấp nước, dẫn nước, thoát nước, đường ống của

Chương 2 DÒNG CHẢY TRONG ỐNG 2.1 TỔNG QUAN

Dòng chuyển động trong ống là vấn đề có ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật như thiết kế

hệ thống cấp nước, dẫn nước, thoát nước, đường ống của máy bơm, hệ thống tưới tiêu ;nghiên cứu các trạng thái chuyển động của chất lỏng trong đường ống;tính toán tổn thất năng lượng trong đường ống (đối với bài toán đường ống: cho biết thông số hình học (đường kính, chiều dài) và cấu trúc đườg ống (van, đoạn uốn cong, nhánh…)); xác định tổn thất năng lượng; tính lưu lượng và công suất của bơm cần thiết….Các kết quả nghiên cứu liên quan dòng chuyển động trong đường ống từ thực nghiệm nhiều hơn lý thuyết Nội dung chính gồm phương trình

cơ bản cho dòng chuyển động đều trong ống phân bố vận tốc trong ống; tổn thất dọc đường trong đường ống; tổn thất cục bộ trong đường ống

Dòng chảy được chia thành:

- Ổn định (t), (dV 0

dt  ), - Không ổn định (t), (a dV 0

dt

- Chảy tầng (số Re < 2000), - Chảy rối (Re 4000); Số Reynolds Re = Vd

- Chảy đều (đường đi, công trọng lực gây chuyển động bằng công của lực cản trở chuyển động), - Chảy không đều (đường đi, công trọng lực gây chuyển động không cân bằng với công của lực cản trở chuyển động)

2.2 ĐƯỜNG DÒNG, DÒNG NGUYÊN TỐ, DÒNG CHẢY

2.1 Đường dòng:

Định nghĩa: Đường dòng là đường cong sao cho tại mỗi điểm của đường cong véc tơ vận tốc của các phần tử chất lỏng tiếp tuyến với đường cong tại điểm ấy trong

đường tưởng tượng của một loạt các phần tử chất lỏng nối tiếp nhau trong thời điểm đã cho, chỉ ra hướng của chuyển động tại mỗi thời điểm dọc theo đường dòng tại thời điểm đó Đường dòng trùng với quỹ đạo trong chuyển động ổn định

Hình 2.1 Sơ đồ đường dòng

Phương trình đường dòng:

x y z

dV  u  u  u (2.1)

Đường dòng trong mặt phẳng xy:

x

y x

u dy

  

  (dọc đường dòng) (2.2)

Hình 2.2 Sơ đồ ống dòng

Định nghĩa Tập hợp các đường dòng qua tất cả các điểm của một đường cong khép kín vô

lỏng chảy trong ống dòng cũng như chảy trong ống bình thường Ống dòng thay đổi theo thời

gian trong chuyển động không ổn định Dòng chảy là tập hợp vô số các dòng nguyên tố.

Hình 2.3 (a)Dịch chuyển dòng chảy trong ống dòng; (b)Biểu đồ tốc độ; (c)Đường dòng bao vật

2.2 Lưu lượng và lưu tốc trung bình

Lưu lượng của dòng chảy là tổng số các lưu lượng nguyên tố ở mặt cắt ướt của toàn dòng:

A A

Lưu tốc trung bình của dòng chảy tại một mặt cắt là tỷ số lưu lượng Q đối với diện tích A của mặt cắt ướt đó, ký hiệu bằng V, đơn vị đo bằng m , s cm s:

Q V A

2.3 MỘT SỐ DẠNG QUEN THUỘC CỦA TÍCH PHÂN BERNOULLI

2.3.1 Bốn giả thiết hay bốn điều kiện:

• Chất lỏng lý tưởng (chất lỏng không có ma sát)

• Chảy ổn định

• Chất lỏng là môi trường liên tục không nén được

• Chất lỏng chảy dọc theo đường dòng hay ống dòng

2.3.2 Tích phân phương trình Euler động

Tích phân dọc theo đường dòng của chất lỏng lý tưởng, chuyển động ổn định cho ta được

ba dạng:

1

2

g 2

u g

p

2 2

u p

gz  s 

3 2

2 C

u p

gz  s 

Biểu thức (2.5a), (2.5b) và (2.5c) được gọi là tích phân hay phương trình Bécnuli Các số

hạng ở vế trái của biểu thức lần lượt thể hiện năng lượng đối với một đơn vị trọng lượng, một đơn vị thể tích và một đơn vị khối lượng

Tuy nhiên tích phân Bécnuli còn áp dụng cho chất lỏng chuyển động không ổn định trong

một số điều kiện nhất định, cũng như cho dòng chất lỏng chịu nén nếu nhiệt độ không thay đổi

và số Mach (M) nhỏ thua 0,20; hay không có sự thay đổi lớn về tốc độ hay độ cao, chẳng hạn

như lực gió lên công trình và dòng khí trong các hệ thống thông gió

Tích phân Bernoulli cũng áp dụng cho chất khí chịu nén đoạn nhiệt:

C 2

u p 1 k

k gz

2





















Trong đó

v

p

C

C

k gọi là chỉ số đoạn nhiệt C p và C v lần lượt là tỷ nhiệt đẳng áp và tỷ nhiệt

đẳng tích Giá trị k khác nhau đối với từng loại chất khí

2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH

2.4.1 Phương trình Bécnuli viết cho tia dòng của chất lỏng thực chảy ổn định:

Phương trình Bernuolli cho chuyển động của chất lỏng lý tưởng là định luật bảo toàn

năng lượng của dòng chảy: cột áp tại mặt cắt đầu bất kỳ luôn bằng cột áp tại mặt tiếp theo:

2

Đối với chất lỏng thực, một phần năng lượng bị tiêu hao để thắng lực ma sát (không có lực ma sát này đối với chất lỏng lý tưởng) nên: H 1 H 2

trong đó h f là tổn thất năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng để thắng lực ma sát trong, khi dịch chuyển từ mặt cắt 1 đến mặt cắt 2 (Hình)

Như vậy, phương trình Bécnuli viết cho tia dòng chuyển động ổn định của chất lỏng thực:

f

2 2 2 2

2 1 1

g

u p z g

u p



Nhớ rằng: (a) Khi chất lỏng chuyển động trong đường cong, năng lượng do lực ly tâm tạo

ra không được tính vào phương trình Bernoulli (b)Năng lượng bị mất đi trong dòng hàm khí không được tính vào phương trình Be rnoulli

2.4.2 Phương trình Bécnuli viết cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn định:

2.4.2.1 Giả thiết của dòng chảy đổi dần

• Các đường dòng gần là các đường thẳng song song, trong đó thành phần nằm ngang của vận tốc rất nhỏ có thể bỏ qua, ta chỉ xét thành phần vận tốc dọc trục;

• Bán kính cong của đường dòng khá lớn và như vậy có thể bỏ qua lực quán tính ly tâm;

• Mặt cắt ướt được coi như mặt phẳng, các đường dòng vuông góc với mặt cắt ướt đó;

• Áp suất phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh, tức là trên mặt cắt ướt của dòng chảy đổi dần



2.4.2.2 Hệ số hiệu chỉnh của vận tốc không đều

Trong tính toán thuỷ lực, ta thường thay lưu tốc thực bằng lưu tốc trung bình mặt cắt của

dòng chảy dẫn đến việc cần xác định hệ số hiệu chỉnh lưu tốc không đều nhò vào ba tích phân: lưu lượng, động lượng và năng lượng

(a) Tích phân lưu lượng

Lưu lượng của chất lỏng viết dưới dạng tích phân:



 ud

Thay vận tốc điểm u bằng vận tốc trung bình V và độ lệch V 0

 v v d v v d

Vì rằng Q VA nên: V dA0  0

Do đó, khi tính lưu lượng có thể thay vận tốc điểm bằng lưu tốc trung bình mặt cắt, V.

(b) Tích phân động lượng

Tích phân động lượng của chuyển động chất lỏng với khối lượng  trong đơn vị thời gian có thể dược viết:

 udu  u d

Thay vận tốc điểm bằng vận tốc trung bình ta có:

t

K  V V dA V A V V dA V dA  V AV dA

trong đó:

V dA

Phương trình (2.10b) có thể được sắp xếp như sau:

0 2

2

2 0 2

v

d v 1 v





















trong đó ký hiệu:

2 0 2

V dA

V A

  ;  1

0

2

tb

K V A -là động lượng tính theo vận tốc trung bình V

Rõ ràng 0, tức là động lượng xác định theo vận tốc trung bình luôn nhỏ hơn động lượng thực, hệ số điều chỉnh vận tốc 0 là một hệ số không thứ nguyên, bằng tỷ số giữa động lượng thực của chất lỏng đang xét với động lượng tính theo lưu tốc trung bình mặt cắt:

2

A

V dA

V A

  

=

2 0

tb

2.4.3.3 Phương trình Bécnuli cho toàn dòng chảy

(a) Năm giả thiết hay điều kiện viết phương trình:

(1) dòng chảy ổn định, (2) lực khối chỉ là trọng lực, (3) chất lỏng không nén được, (4)lưu lượng không đổi, (5) tại mặt cắt mà ta chọn viết tích phân dòng chảy phải là đổi dần, còn giữa hai mặt cắt đó dòng chảy không nhất thiết phải là đổi dần

(b) Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật năng lượng cho toàn dòng chảy có dạng:

f

h g

v p

z g

v p

2 2

2 2 2 2 2

2 1 1 1 1







(c) Chú ý:• Trị số )

2 (

2

g

v p

 

 không đổi cho mọi điểm trên cùng một mặt cắt ướt, vậy

có thể viết phương trình Bécnuli cho bất kỳ điểm nào trên mặt cắt ướt, song nên chọn điểm viết sao cho viết phương trình được đơn giản

• Áp suất p 1 và p 2 tại điểm đã chọn ở hai mặt cắt phải là cùng loại

• Thực ra 1 2, song thực tế tính toán thường lấy 1 2

Hình 2.4 Thí dụ về phạm vi không áp dụng được phương trình Bernoulli

2.5 ỨNG SUẤT TIẾP RỐI VÀ PHÂN PHỐI TỐC ĐỘ TRONG DÒNG CHẢY RỐI

2.5.1 Lưu tốc thực, lưu tốc trung bình thời gian, lưu tốc mạch động

Lưu tốc ở một điểm luôn thay đổi cả về trị số và phương hướng theo thời gian, chỉ riêng

thành phần u x dọc theo trục dòng chảy (H.2.5c) cũng là một đường dích dắc khá phức tạp

không thể biểu diễn bằng phương trình cụ thể Song trong thời gian T x đủ dài u x cũng có quy

luật, tăng giảm xung quanh giá trị không đổi u x- lưu tốc trung bình thời gian Phương pháp thống kêcho thấy ba trục tọa độ ta có các thành phần lưu tốc là:

























, , ,

z z z

y y y

x x x

u u u

u u u

u u u

T

u

0

1

Tương tự cho u , y u z Giá trị trung bình của tốc độ mạch đônhj bằng không,



T x

x u dt T

u

0

, ,

0

1

(2.15)

Giá trị trung bình thời gian của u x dọc trục x theo (2.14) là:

T x  T x  T u x dt

T dt u T dt u

, 0

1 1

1

T u u

0 , , 1

Do đó u,x 0, tương tự ta có u y, u x, 0 Cùng với hiện tượng mạch động lưu tốc, động áp lực cũng có hiện tượng mạch động, biểu thị sự thay đổi không ngừng của mực nước trong ống đo áp xung quanh trị số trung bình thời gian

,

P P

Cho tới đây đã có bốn khái niệm về lưu tốc được nêu ra: (1) Lưu tốc thực, (2) lưu tốc trung bình thời gian u, (3) Lưu tốc mạch động u, (4) Lưu tốc trung bình mặt cắt V; trong đó u

và V đều là các lưu tốc tưởng tượng

2.5.2 Ứng suất tiếp trong dòng chảy rối

Buxinétscơ (1887) đề nghị:

dy

du

r 

  (2.17a)

Râynôn (1895) chứng minh:

, ,

y x

r u u

   (2.17b)

Pơrantơ (1926) áp dụng nguyên lý biến

thiên động lượng của hai lớp chất lủng kề nhau cho:

2 2 ) (

dy

u d l

r 

  (2.17c)

Thực vậy, sự xáo trộn của các phần tử chất lỏng có thể xem như sự xáo trộn của các lớp chất lỏng tưởng tượng, giữa chúng có sự trao đổi động lượng làm xuất hiện ứng suất tiếp rối giữa chúng Sử dụng định lý biến thiên động lượng xác định ứng suất tiếp dòng chảy rối trong ống

Hình 2.7 Trao đổi động lượng

Phần tử lớp 1 có u lọt vào hẳn lớp 2 sẽ có lưu tốc là: u du l

dy 

 khối lượng chất lỏng chuyển qua trong thời gian t là:

y

m  dA u t

động lượng lớp 2 thay đổi là: K m du l dA u y t du l

K

 = xung lựcT lên dA trong thời giant, T r t

K

 = T  r u l y du

dy

    (2.17d)

So sánh (2.17b) với (2.17d) cho u x l du

dy

  

Giả sử độ lớn của u y k u x , tức là

dy

u d kl

u y,  , (2.18) Thay (2.18) vào (2.17d) ta được:

( )

r

du

k l dy

hoặc với 2 2

l k l và lđược gọi là độ dài đường xáo trộn của hai lớp chất lỏng, ta cór:

2 2 ) (

dy

u d l

r 

So sánh (2.19b) với (2.17a) ta thấy:

u d

l2



Tổng quát, ứng suất tiếp trong dòng rối gồm: (1) ứng suất tiếp do trao đổi động lượng rối

và (2) ứng suất nhớt (nội ma sát) của các phần tử chất lỏng và giữa chất lỏng với thành rắn:

2 2 ) (

dy

u d l dy

u d

r

t   



Biểu thức (1.21) sẽ được sử dụng để tìm  và quy luật thay đổi tốc độ mặt cắt nếu biết )

( y

l

l  , song thật khó có khả năng áp dụng cho dòng chảy trong trường hợp chung

Hình 2.8 ứng suất tiếp và phân phối tốc độ thay đổi theo bán kính r của dòng rối trong ống

2.5.3 Phân bố lưu tốc trong dòng chảy rối

Áp dụng biểu thức (1.19b) cho ống tròn có bán kính r0:

*

du

dy





Chiều dài đường xáo trộn l y, với  như là hằng số (hằng số Karman), (1.22) là:

*

du

dy



Sắp xếp lại và tích phân ta được phân bố lưu tốc theo quy luật Logarit của khoảng cách y

từ thành rắn:

*

0 1

ln r

u



Tại trục ống yr0 có u = umax:

* max u ln r0 1



Kết hợp (1.24) với (1.25), sắp xếp lại ta có:

*

1 ln

 

(1.26)

Biểu thức (1.26) biểu thị quy luật phân bố Logarit của độ hụt lưu tốc tương đối, không

phụ thuộc vào lưu lượng và tính chất của thành rắn Song để hiểu rõ các quy luật phân bố của dòng chảy rối ta hãy xét cụ thể cho thành trơn và nhám thủy lực

2.5.3.1 Thành trơn thủy lựcvà thnàh nhám thủy lực

Dòng chảy rối chia làm ba khu vực tùy thuộc vào độ lớn của *

*

Re u y



 Quan hệ giữa  và u

phụ thuộc vào mật độ và độ nhớt của chất lỏng thể hiện bởi đẳng thức:

*

*

* (u y) (Re )

u

• Lớp mỏng chảy tầng sát thành rắn:

4

0 * 



y u

• Vùng quá độ: 0 * 3070



y u

• Vùng rối: *  30  70



y u

, 0,20

 y

ở đấy t và r có cùng độ lớn

Hình 2.9 Thành trơn và thành nhám thủy lực

Thật vậy, ở sát thành rắn có một vùng, tại đó

dy

du

gần như thẳng và  chủ yếu do sinh

ra, dòng trung bình là dòng chảy tầng - lớp mỏng chảy tầng ( )t ; 2

*

u

u t

t 

u

u t t









*

*

Tỷ số N

u

u t



* được gọi là số Nicuratsơ,

N =(10,511,1), nếu lấy N 10,6 thì:

*

6 , 10

u

t



Thay u*  gRJ và

g

v d l

h

2

2





biểu thức (1.28a) thì t được viết lại:



 Re

30d

t  (1.28b)

Hình 2.10 Phân phối tốc độ của dòng chảy rối trong ống

(a)

Hình 2.11 (b) Phân phối tôc độ theo quy luật số mũ

của dòng chảy rối trong ống; n=7trong thực hành

Hình 2.11(a) So sánh phân phối tốc độ của thành rắn và dòng chảy rối trong ống;

Vùng sát thành rắn – vùng có lớp mỏng chảy tầng:

*

*

u y u

Vùng quá độ, đặt *

*

;u y

u

u      ta có phương trình:

*

* 2,5lnu y 5 2.5ln 5

u

Quan hệ (2.30) chính xác đối với (45) < y<30

Quan hệ số mũ của tốc độ đối với dòng chảy trong ống (Hình 2.11 (b)):

1

    

2.5.4 Công thức ứng suất tiếp trung bình và tốc độ trung bìnhcủa dòng chảy đều trong ống

1.5.4.1 Những yếu tố ảnh hưởng đến ứng suất tiếp ở thành rắn trong dòng chảy rối

Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm dòng chảy trong ống tròn cho thấy ứng suất tiếp tại thành rắn 0 phụ thuộc vào 05 yếu tố (1) lưu tốc trung bình V, (2) đường kính ống d, (3) khối

lượng chất lỏng ,(4) hệ số nhớt  và (5) độ nhám tuyệt đối của thành rắn 

0 f V d( , , , , )

Theo nguyên tắc đồng thứ nguyên của Fuariê (1882) ta có:

e d c b a

d

trong đó: k- hằng số; a, b, c, d, e là những số mũ chưa biết

Gọi: M- khối lượng, L- chiều dài, T- thời gian thì (2.32) được viết ở dạng thứ nguyên của từng

đại lượng là:

e d d

d b a

a

L T L

M L T

L L T

Cân bằng thứ nguyên đối với từng đại lượng:

đối với M :1cd

đối với L:1ab3cde

đối với T:2ad

Giải a, b, c theo d và e được: a 2d; c1d; bde

Thay giá trị của a, b và c vào (2.32) biểu thức ocó dạng:

e d d e d d

d

      

hay:

2

d vd





hay:

2 ) , (

2 1

0

v d

vd





hay:

2 ) (Re,

2 2

0

v d

đặt 2(Re, )

d



thì (2.34) được viết là:

2

2 0

v



1.5.4.2 Ứng suất tiếp ở thành rắn trong dòng chảy rối là dòng chảy đều

Để rút ra phương trình quan hệ phụ thuộc của tổn thất cột nước h f vào lực cản dọc chiều

dài l của đoạn dòng chảy ổn định khi không có lực cản cục bộ Viết phương trình động lượng dọc theo phương chảy cho thể tích đoạn dòng chảy đầy ống giữa hai mặt cắt (1) và (2) có A và Q

là hằng số ta có:

0



     

Vế trái của (2.36) là độ dốc đo áp J p của đoạn dòng chảy đều, và là hằng số vì lực cản dọc theo chiều dài là hằng số, do vậy:

p

p J

trong đó R A

p

 là bán kính thuỷ lực của mặt cắt ướt, J=Jp; J là độ dốc năng lượng

1.5.4.3 Công thức tính tổn thất dọc đường trong dòng chảy đều

Trong dòng chảy đều có: 0 RJ (2.36c) Biết rằng

l

h

J  d do dó

l

h

gR d



0  (2.37a) Cân bằng (2.36c) với (2.37a) ta có:

2 2

d

h

g



Trong ống tròn

4

d

R nên tổn thất dọc đường đối với ống tròn là:

2 4

2

d

l V h



Đặt 4 hay , (2.39 a) được viết là:

2 4R 2

d

h

(2.39b)

Công thức (2.39b) chỉ ra tổn thất dọc đường tỷ lệ với cột nước tốc độ

g

v

2

2 , do Darcy

(Đácxy) tìm ra 1856, trong đó là hệ số ma sát không thứ nguyên, xác định chủ yếu bằng thí nghiệm (Re, )

d



 Dạng khác của (2.37a) là: