CHUONG 4 (Dai luong 2 chieu) OTCH - V2.2

ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/05/2015  Một đại lượng ngẫu nhiên X, Y xét đồng thời gọi ĐLNN chiều, ký hiệu V= (X,Y) Thường ta quan tâm X Y có ảnh hưởng lẫn hay không  Nếu X, Y rời rạc V ĐLNN chiều rời rạc  Nếu X, Y liên tục V ĐLNN chiều liên tục  VD:  Xét đồng thời chiều cao (X) trọng lượng (Y) người  Xét đồng thời số buổi học môn XSTK (X) điểm thi môn XSTK (Y)  Xét đồng thời độ tuổi (X) nhan sắc (Y) người phụ nữ (X,Y) không ĐLNN chiều CHƯƠNG IV: ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN CHIỀU I ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN CHIỀU (rời rạc) Tính chất: Bảng phân phối xác suất đồng thời (X,Y) có dạng: Y y1 yj yn X x1 p11 p1j p1n xi pi1 pij pin xm pm1 pmj pmn 0≤ pij ≤1 , i,j   pij  i j Lưu ý: Ta không xét ĐLNN chiều liên tục Trong đó: X nhận giá trò x1, x2 ,…, xm Y nhận giá trò y1, y2 ,…, yn Xác suất X nhận giá trò xi Y nhận giá trò yj lúc là: pij = P(X=xi ,Y = yj ) ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/05/2015 II PHÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN) Ví dụ 1: Cho ĐLNN chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời Y 1) Phân phối lề X Ví dụ 1: X 1/8 2/8 1/8 1/8 2/8 1/8 0 Nhận xét: Để xác đònh bảng phân phối lề đơn giản, ta lập bảng sau:  1/8 2/8 0 3/8 1/8 1/8 2/8 4/8 1/8  2/8 2/8 2/8 2/8 Y X P 3/8 4/8 1/8 P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)] X 1/8 = P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)   00  8 P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) = 0   8 8 Tương tự cho P(X=6) X P 3/8 4/8 1/8 Kỳ vọng: E(X) =  xi P( X  xi ) = 2  4  6  8 i Phương sai: var(X) = (xi  EX)2.P(X=xi) i = (2  7)2.3  (4  7)2  (6  7)2.1  8 Hoaëc var(X) = E(X2)-{E(X)}2 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/05/2015 2) Phân phối lề Y: III ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y Ví dụ 1: Y X,Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j P 2/8 2/8 2/8 2/8 P(Y=1) = P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] = P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)=    8 Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) Kỳ vọng: E(Y) =  y P(Y  y ) = 1        j 8 8 j j Ví dụ 1: P(X=2,Y=1) =  = P(X = 2).P(Y = 1) 88 Vậy X,Y không độc lập Phương sai: var(Y) =  (yj -EY)2 P(Y=yj) j = (1  ) 2  (2  ) 2  (3  ) 2  (4  ) 2  8 8 10 ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X VÀ Y Bài toán ngược: VD2: Bảng phân phối xác suất đồng thời X Biết bảng pp xs X Y, lập bảng pp xs đồng thời (X,Y) Y 1/18 3/18 2/18 6/18 2/18 6/18 4/18 12/18 3/18 9/18 6/18 VD3: X Y độc lập, có bảng pp xs: Bảng phân phối lề X -1 Y P 1/3 2/3 P 1/5 2/5 2/5 X Y P 1/3 2/3 P 1/6 3/6 2/6 Ta coù: P(X=0,Y=1) = 3/18 = (1/3).(3/6) = P(X=0).P(Y=1) Lập bảng pp xs đồng thời (X,Y) ? Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 11 Vậy X Y độc lập xác suất 12 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH Giải: X, Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 13/05/2015 IV LẬP BẢNG PP XS CHO X.Y, TÍNH E(X.Y) Ví dụ 1: XY P(X=-1,Y=0) = P(X=-1).P(Y=0) = (1/3)(1/5) = 1/15 P P(X=2,Y=1) = P(X=2).P(Y=1) = (2/3)(2/5) = 4/15 Tương tự cho xác suất laïi X Y -1 2 1/15 2/15 2/15 2/15 4/15 4/15 13 12 16 18 24 1/8 3/8 0 1/8 2/8 1/8 P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8 P(XY=4) = P(X=2,Y=2) + P(X=4,Y=1) = 2/8+1/8 = 3/8 P(XY=6) = P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3) = 0+0 = E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8) = 19/2 14 Lưu ý: Để xác đònh giá trò X.Y tính xác suất cho dễ, ta lập bảng phụ:  Bài tập:  1) Lập bảng ppxs cho X+Y?  2) Tính E(X+Y), var(X+Y)?  3) Có sử dụng công thức sau: Y X 15  E(X+Y) = E(X)+E(Y) ?  Var(X+Y) = var(X)+var(Y) ? 8 12 16 12 18 24 16 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/05/2015 V PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN Giả sử biến cố F xảy P(F) > Phân phối X theo điều kiện F là: P(X  x ,F ) i P(X=xi /F) = =P iF P (F ) Ví dụ 1: Xét F = (Y=1) Phân phối có điều kiện X theo F là: XF PiF ½ 1/2 17 Phân phối Y theo điều kiện F laø: P (Y  y j , F ) P(Y=yj /F) = = PFj P (F ) Ví dụ 1: Xeùt F = (X=4) YF PFj 1/4 ¼ 2/4 P ( X  , Y  1)   P(Y=1/X=4) = 4 P ( X  4) Tính chaát: 19 0