NGUYỀN CÔNG PHƯONG - TRƯƠNG NGỌC TUẤN BÀI TẬP ĐIỀU KHIÊ N Tự ĐỘNG N H À X U Ấ T BẢN KHOA H Ọ C VÀ K Ỹ T H U Ậ T HÀ NÔI PH ẨN I CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUN TÍNH CỦA ĐIỀU CHỈNH TựĐỘNC Chương CÁC PHƯƠNG TR ÌN H VI PHÂN VÀ CÁC HÀM TRUYỂN CỦA CÁC KHÂU VÀ CÁC HỆ T ự ĐỘNG 1.1 CÁC PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI PHÂN VÀ CÁC HÀM TRUYỂN c ủ a c c k h â u dạng tổng quát ta lâp phương trình vi phân điện từ trường có lò xo cuộn cảm (hình la ), đại lượng đầu vào điện áp u, đầu dịch chuyển phần ứng X coi biết lực lò xo F tác dụng vào điểm A, cuộn cảm F[), điện từ trường Fe lực quán tính Fpi bỏ qua ảnh hưởng lực ma sát khô B i giải Ta chọn g ố c toạ độ, hình la Ta lập phương trình cân lực tác dụng vào điểm A: m x + C|X + C2 X = F g ( i ,x ) (1) phương trình cân điện áp: - , 5, d i dL (ỗ ,i ) u = iR + L(5, i) — + i dt dt \ ( 2) m X = Fp - lực quán tính tỷ lệ với gia tốc X khối lượng quy đ ổi cá c phần động m; Cị X = Fd - lực cuộn cảm tỷ lộ với tốc độ X hệ số cuộn cảm C[; C2 X = F d - lực lò xo tỷ lệ với dịch chu yển X hệ s ố đàn h i hay độ cứng lò xo C2: u, i - điên áp dòng điện; L = L(5, i) - độ cảm ứng cuộn dây đ iệ n từ trường dạng tổng quất phụ thuộc vào khe hở làm v iệ c dòng điện 777777777 i (khi bão hoà m ạch từ); R - trở điện cuộn dây điện từ trường; F e - F e (ì, x) - lực điên từ m pì trường hàm hai biến Ta giả thiết ln có khe làm việc ơ() ^ H ình Điện từ trường có thoả mãn biểu thức; Fe (i, x) = c-ịì^nc'^ > 5q, lò xo cuộn cảm (3) đây, C3 - hệ số không đổi Sự tồn khe hở khơng khí (ỗ > ơo) giá trị làm việc (bị giới hạn) dòng đ iện i loại trừ bão hồ mạch từ V ì độ cảm ứng khòns phụ thuộc vào dòng điện mà phụ thuộc vào độ dịch chuyển L = L(x) Trên sở giả thiết độ lệch nhỏ ta cho L = L() = const lân cận giá trị chọn không đổi X = X() Khi phương trình khơng tuyến tính trở thành tuyến tính: u = iR + L o ^ dt (4) Trong phương trình (1), (3) (4) số hạng phần bên phải phương trình (1) hay biểu thức (3) khơng tuyến tính Ta làm tuyến tính nó, ta viết dạng: F(Fe, i, x) = Fe - C3iV ^ = (5) Khi phương trình tuyến tính độ lệch nhỏ giá trị biến tương đối xác lập tĩnh (i = io, X = Xq, Fe = Feo) có dạng: ỠF ap, Nếu tìm đạo hàm riêng s() ỔF AFc + Ai + Ax = (6) ,ổ i, ỠF ỠF ỔF ỠFe di từ (5) giá trị biến xác lập ôx vào chúng, ta có: AFe - kiAi + k2Ax = hay APg = k|A i - IC2AX (7) đây, k| = c3ÌoXo'^, k2 = C3Ỉ0^ Xo'^ Dấu trừ (7) cho thấy tăng Ax lực AFe giảm Các hệ số truyẻn ki k2 đồ thị tìm từ đậc tính tĩnh Fe = 03X0’^ Fg = cách xác định tangen góc lệch tiếp tuyến tương ứng vạch điểm (io, Fe) (X(), Feo) Nếu biểu diễn Ai từ (7) vào (4), kết thu cho phép AFe - vào ( 1) biến đổi ta có; ( T E P + l) ( T 2V + T , p + l ) x ( t ) = ku(t) đây, T e = — R - số thời gian cuộn cảm điện từ trường m Ti = C2 +k; ỵ c + k k= R(C2 + k 2) p = — - toán tử hay ký hiệu dt vi phân Hãy tìm hàm truyền cấu thừa hành thuỷ lực (hình 2a) sử dụng với đo ly tâm tốc độ góc (BĐ TL) để điều chỉnh tốc độ quay động nhiệt Giá trị đầu vào dịch chuyển X khớp nối đo tốc độ góc ly tâm (BĐTL) 3, đầu - dịch chuyển y van chắn hay điều chỉnh (PO) động nhiệt (hình 2b) B ài giải Động thuỷ lực (ngăn kéo với pittông 1) với quân (lò xo với cuộn cảm ) trạng thái tĩnh vị trí xác định đòn bẩy 4, lò xo trạng thái không ứng suất ngăn kéo - vị trí trung bình (như hình 2) Khi khớp nối đo tốc độ góc ly tâm (BĐTL) vị trí t n g ứng vởi vận tốc góc cho Q độ lệch với giá trị cho khớp nối dịch chuyển, ngăn kéo dịch chuyển toàn hệ chuyển động, lúc tốc độ Q chua xác định Phương trình động thuỷ lực lực pittône lực vượt nhiều trở lực lực qn tính, bỏ qua ảnh hưởng chúng Khi đó, khơng tính tới độ nén chất lỏng cho diện tích cửa ngăn kéo mở tỷ lệ với độ dịch chuyển z, phương trình động thuỷ lực là: dy = kịZ h a y p y = k|Z ( 1) dt k| - hệ số truyền Phương trình đòn bẩy liên quan với khớp nối, quân ngăn kéo Sự dịch chuyển khớp nối X gây dịch chuyển ngăn kéo z pittổng lực, dịch chuyển pittơng cuộn cảm x„j; theo hướng ngược dịch chuyển khớp nối Do ổ) đó, ta có phương trình: z = k2 (X - kgXo,) Q K k2 = —— , k-Ị = — - số truyền; a+ b ■ a m p) (2) Hình C cấu thừa hành thuỷ lực a, b - chiểu dài cánh tay đòn (xem hình 2) Phương trình mạch liên hệ ngược Trong mạch ngược có cuộn cảm, lò xo đòn bẩy Ta lập phương trình cân lực: C iX o c + C X0 C = C ỳ (3) Cị x,,^ = F p - lực cuộn cảm tỷ lệ tốc độ dịch chuyển pittông cuộn cảm X(,^.; C2 X0 C= Fn ■ lực lò xo; C3 ỳ = F( - lực pittông phát động; C |, C2 , C3 - số không đổi Sau biến đổi phương trình (3) ta có: (T „ cP + l)x „ e = k4py (4) đây: T qc = — - số thời gian mạch liên hệ ngược; C2 IC4 = — - hệ số truyền Ta tìm X(,c từ (2) z từ phương trình (1) vào biểu thức nó, ta có: Xqc = “ k3 X - —py k ,k (5) Nếu (5) vào (4) ta tìm phương trình vi phân cấu thừa hành thuỷ lực: (Tp + l)p y(t) = k(T„cP + 1) x(t) đây: T= k ,k 1^2 k= l + k ik k (6 ) (7) + k] Suy hàm truyền cần tìm: k(T„,p + l) W (p) = p(Tp + l) Hãy tìm hàm truyền phương trình vi phân mạch điện thụ động (hình 3) điện áp U| U2Bài giải Để tìm hàm truyển mạch điện tương tự hình 3, sử dụng dạng tốn tử biểu diễn thuận tiện điện trở, cảm ứng - pL, điện dung - 1/pC trở - R, p = d/dt - ký hiệu hay tốn tử vi phân Ta biến đổi mạch điện hình mạch tuơng đương với (hình 4), ,R pC R ,+ + pLi = R ị i V + T il P + I) ( 1) T,cP + l pC (p)- ' ^ ^ P , _ R2(T2 P + T l P + J) R + L P C 2P P(T2 , 4- T | p ) (2 ) t ,= V c ; l 7, t , l = ^ t , c = r ,c , (3) T = V c ; l7 T L = ^ T 2C - R 2C2 R2 Thứ nguyên tất số thời gian (3) [T] = s - Jỉf- rvy-\ -íá L - (p) R, U/ >2^ ụ pì Ỉ X H ìn h Sơ đ cho -0 H ìn h Sơ đ tương đương Bởi sụt điện áp điện trở nối tiếp tỷ lệ giá trị điện trỏ, hàm truyển mạch tưcfng đương (hình 4) xác định tỷ số: W(p) = ^ 2( p ) ^ Z^a(P) |( p ) Zj3x(p ) (4) Z|(p) -!-Z2(p) Nếu (1), (2) vào (4), ta có hàm truyền tìm mạch điện: R 2(b()P'^ +bjp^ + b 2P + b3) W(p) = (5) R 2(b()P^ +bjp^ + b 2P + b3) + R|(dQp'* +điP^ + ^ 2?^ +^3?) b| - T2 + T 2lT |c , b o = T |T , c , '2 n r d, = T ,% c + T 2^T,l b - T 2L + T jc, - d2 = T u T 2c + T 2^ d, Phương trình vi phân mạch điện đáng nghiên cứu điện áp có dạng: [R2(bop'^ + + b ,) + Ri(d„p'‘ + + d3p)] U2(t) = r2(bop^ + + b3)u,(t) ( 6) Hãy lập phương trình vi phân tìm hàm truyền máy biến áp (hình 5) điện áp U| U2- Các thông số điện máy phát hình B i giải Cắc phương trình vi phân cân cùa điện áp mạch cuộn sơ cấp thứ cấp máy biến áp có dạng Ui = r ] i i + L i p i i + MpÌ2 (1) = Ĩ2Ỉ2 + L 2PÌ2 + Mpii + U2 (2) đây, Tị, L ], ij - trở điện, độ cảm ứng dòng điện cùa cuộn sơ cấp; I 2, L2, Ì2 - tương ứng cuộn thứ cấp; R - trở điện phụ tải; Ui, U2 - điện áp đầu vào H in h Sơ đ ổ máy đẩu máy biến áp; M - hệ số cảm ứng tương hỗ biến áp cho cuộn Nếu tìm biểu thức dòng điện iị từ phương trình (1) vào (2), ta có phương trình vi phân m áy biến áp: L j L “ M^ LịT) + Lj (R + Ĩ2 ) p + rj (R + f2 ) h (R + T2 ) p + U2(t)= - MR pU|(t) (3) rj(R + r2 ) hay: (T1T2 - Tị)p'^ + (T | + T )p + iJ U2 (t) = -k T |p U |(i) đây: L2 T ,= tL T ^ = Ĩ1 R + Ĩ2 M , - , 13ri , k= yri(R + r2 ) ’ (4) R R + Ĩ2 Thứ nguyên hệ số Xị cùa tất số thời gian [Tj] = s (i = 1, 2, 3) Bởi hệ số liên hệ M /- J h ịL ^ biến áp có lõi thép gần đcm vị, M « -JL iL L 1L » hay T |T - « Khi phương trình máy biến áp (4) đơn giản: [(Ti + T2)P + l]U (t) = -kT,pUị(t) Đ ối với chế độ không tải (R = 00, T2 = 0) ta có: (5) ( T ịP + 1) U2 O) = -T ip U |(t) Trên sở phương trình vi phân (5) viết hàm truyển máy biến áp theo điện áp; W (p) = u,(p) -i ĩ i ỉ — ( T i + T )p + mà từ rõ ràng m áy biến áp khâu vi phân phần quán tính Dấu trừ phương trình vi phân biến áp có nghĩa pha điện áp đầu thay đổi tới I 80'’ điện áp đầu vào Hãy lập phương trình vi phân máy biến áp (hình 5), giá trị đầu vào dòng điện ii, giá trị đầu điện áp U2Bài giải Ta viết phương trình vi phân (1) dạng: Ui = r i i i ( l + T ip ) + Mp U2 R ) Nếu Ui từ (1) vào phương trình (4) biến đổi, ta có: (T2P + l ) u 2(t) = -k M p ii(t) (2) hệ số T2, k, M tương ứng ký hiệu Đ ối với chế độ không tải (R = 00, T2 = 0, k = 1) ta có: U2 (t) = -M p ij(t) (3) Từ rõ ràng ch ế đô không tải máy biến áp khâu vi phân lý tưởng, giá trị đầu vào dòng điện, đầu - điện áp Hãy tìm phương trình vi phân hàm truyền điện áp U| U2 mạch điện thụ động RC dạng cầu (hình ) Bài giải Các dòng điện nhánh cầu (xem lời giải 3) il = T P + Ti = Ri C] , T = R 2C2, p= dt Khi đó: 1-T T 2P ' Ui(t) U2(t) = - ^ Ì ( t ) - R i i i ( t ) = C 2P (T,p + 1)(T2P + 1) H ìn h Từ suy phương trình vi phân cần tìm có dạng: _2 (T |P + 1)(T2P + l)U (t) = (1 - Tf p )u,(t) ( 1) hàm truyền bằng: (2) W (p) = (T , p + 1)(T2P + 1) đây: 10 x] = T |T (T , p + 1)(T2P + 1) Hãy tìm hàm truyền cầu điện (hình ), ỉiếii trở diện điện trở R| = điện dung tụ điện C ị = C2 B i giải, đẳng thức điện trở điện d -ing nhánh đối cáu (hình ) số thời gian T ị = = T hàm truyền (2 1và có dạng: W (p )= i= ộ ^ = Ị :;lE (l + Tp)" + Tp Hãy tìm hàm truyền cuộn cảm thuỷ lực (hình 7), bỏ qua ảnh hưởng khối lượng phần dịch chuyển đại lượng đầu vào lực F, đầu dịch chuyển pittông X JL' B i giải Lực đạt F lực cuộn cảm Fd = C |X , C] - hệ sô' cuộn cảm tỷ lệ độ nhớt chất lỏng diện tích F, 7/77777>'ZV pittơng tỷ lệ nghịch với diện tích lỗ qua Khi ta có px = kF, k = c -1 H inh Pittơng có xi lanh (cuộn cảm) W (p )=f£i F(p) Hãy tìm hàm truyền theo điều kiện tốn trước, tính khối lượng phần chuyển động Đ p số: F(p) p(Tp + l) c, m - khối lượng phần dịch chuyển 10 Hãy tìm hàm truyền mạch điện (hình 8a) ihco tín hiệu mơdul hình bao với tẩn số mang (ừ^ = 2nf^, - tần số mạng điên B i giải Trên sở công thức (4) ^ hàm truyén m ạch điên (xem hình W(p) = W(jco) L pf- y 'w v a' a) Tco (2) Phân tích phụ thuộc (2) đồ thị ĐTB mạch điện hình a có dạng biểu diễn hình 8b, tần số cộng hưởng 0) = Cú() = 1/T(ị, ĐTB lấy giá trị cực đại A((Oo) = 1, < co< coo (0(, < 0) < co; A (co)< Đặc tính tần số biên độ hình 8b tương ứng ĐTB khâu khơng chu kỳ bậc có hệ số truyền k = Cùị) = Ta tìm điều kiện, mở ĐTB với độ xác đủ lớn đối xứng tần số cộng hưởng H ình Sơ đồ đồ thị Cúo, có nghĩa xem ĐTB khâu khơng chu kỳ cho 10 11 bậc tần số cộng hưởng CÙQ V ì ta tìm tần số CO) 0)2 từ điểu kiện triệt tiêu tần số biên khâu không chu kỳ bậc đầu mạch điện (xem hình 8b): A (c o )= Ậ = -^ ^Ỉ2 - ã (3) Nếu (2) vào (3), ta có phương trình: (4) V(1 - T o W ) + T W V2 N ếu giải nó, ta tìm biểu thức tần số biên: - T + Vt + T (ỪỊ — -’ 2To' T + t 2+4T(? ^2 ” õ ’ 2X2 Để ĐTB biểu diẻn hình 8b đối xứng tần số cộng hưởng (0,, = T, ‘ , cần thiết để thực điều kiện: ©1 +CÙ2 _ T +— 4To' ( 6) (Oo Đ iểu kiện (6 ) thực khi: < T0/ CÓ nghĩa ■2 ’ ^0 T < 2To , hay R< (7) Do đó, mạch điện (hình 8a) có thổ dạng khâu không chu kỳ bậc đầu theo tín hiệu điều biến đường bao, thực điều kiện (7) tần số mang hay tần số mạng điện COc = ®0 Đ ể xác định số tương đương thời gian khâu không chu kỳ bậc đầu theo tín hiệu điều biến đường bao cần tìm dải qua mạch điện nghiên cứu: Acd„ = c0 - 0)i = T R In ^ (8) Hằng số tương đương thời gian: (9) =2 Tp = Acú, R Khi thực điều kiện (7) chọn thông số L, c cho (Oo = 00^., biểu diễn hàm truyến mạch điện hình 8a theo tín hiệu điều biến đường bao dạng: W (p) = ( 10) Te P + 11 Hãy tìm hàm truyển mạch điện (hình 8a) theo tín hiệu điều biến đường bao R = 1000 Q, c = 0,2 ^F, L = 0,8 H tần số mang tín hiệu đầu vào B i giải Ta sử dụng công thức toán trước 12 = 0 Hz 32 M ật độ tiêu chuẩn xác suất có quy luật phân b'0't heo tiêỉu ch u ẩn ■) Các giá trị hàm (0(z) = ' V2 tc Bảng P.14 0,0 0,399 399 399 399 399 398 398 398 398 397 0,2 391 390 389 389 388 387 386 385 384 383 0,4 368 367 365 364 362 360 359 357 356 354 0,6 333 331 329 327 325 323 321 319 317 314 0,8 290 287 285 283 280 278 276 273 271 269 1,0 0,242 240 237 235 232 230 228 225 223 220 1.2 194 192 189 187 185 183 180 178 176 174 1.4 150 148 146 144 142 139 137 135 133 132 1,6 111 109 107 106 104 102 101 099 097 096 1,8 079 078 076 075 073 072 071 069 068 067 2,0 0,054 053 052 051 050 049 048 047 046 045 2,2 036 035 034 033 033 032 031 030 030 029 2,4 022 022 021 021 020 020 019 019 018 018 2,6 014 013 013 013 012 012 012 011 011 011 2,8 008 008 008 007 007 007 007 007 006 006 3,0 004 004 004 004 004 004 004 004 004 003 433 33 Mỏ hình hố phần tử sơ đồ cấu trúc hệ tiêu chuẩn khuếch đại chức Bảng P.15 TT Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử Bộ tổng ^n+l - ■ ^ o T ^ U , ÍĨR, > R, JL Bộ đảo „U -= -.-R^ oU„ , - - U , R R„ = R Ui Khâu khơng qn tính R, Khâu khơng k= R chu kỳ bậc W(p) = > Tp + T = RoC Khâu không W(p) = ĩịp^ chu kỳ bậc hai c + T |P + R 4R \i- R,R, ĩ > J_ Ơ7 R4R-)R3C |C-i T ,= ỵ < T, = Rr, R4R2R^C R 5R Ti > 2T2 434 Bảng P.I5 (tiếp theo) 'H ' Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử K hâu dao S đ t r ù n g v i SLT đ ố c h ọ n k h â u k h ô n g động c h u k ỳ b ậ c t h ứ h a i ( v ị t r í 5), C ũ n g x e m T -p- +2^Tp + hình 344, 345 k = R 4R R ,R , R, R R R 3C R 5R 6C ^ ỉ Bộ tích p h â n W (P) = p ( T p + I) q u n tính k(l + Tp) ■Ih -í”/ O'/ ± 10 > > R k = — — , T = R3C2 C R R ; K hâu quân bàng íT W (p)= - + k | —' > ± ::ị: R ,c T = R2C 435 Bảng P.I5 (tiếp theo) Hàm truyền phương TT Tên phần tử 11 Khâu vi phân k = R2C quán tính T = ( R | + R 2)C Mẫu phần tử trình phần tử k= W(p) = kp Tp+1 R 4R 3C R, T R 4R 2R 3C R 5R Chú thích: Khâu khơng chu kỳ bậc hai thu nhờ hai mơ hình nối tiếp khâu khơng chu kỳ bậc 436 h ìn h h ố đặc tính tĩnh phi tuyến khuếch dại chức nâng Bả Đặc tính tĩnh Sơ đồ mơ hình hố Phương trình hay biểu diễn đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh Tuyến tính có giới - kU| , < hạn hay bão hồ I ■¥i ỵ u - U Uj > U2 = < k u , , - ^ < u , X" _ k= Ro rpoBp - ĩDnp r.T Ĩ4 « U2 = i R() = 00, TdoBP = Ĩ3 T4 « R| - T R, = Uj, kllĩ u, 50 u u < ữ 00 , R J Tonp' Bảng P.16 ( Phương trình hay biểu diẻn Sơ đồ mơ hình hố Đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh đặc tính tĩnh - k ( U j - Ư )khi Tuyến tính có vùng Uj U2 =