HSG Khoi 12 nam 08 - 09 (co DA)

Trờng THPT cẩm thuỷ I đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 12 năm học 2008-2009 Môn : Toán Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (2,5 điểm) Cho hàm số y = (m+3)x 3 - 3(m+3)x 2 - (6m+1)x + m + 1 (C m ) a) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến? b) Chứng minh rằng: họ đờng (C m ) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Câu 2 : (3,0 điểm) Cho (C): y= 2 1x x + , M là điểm bất kỳ trên (C), (d) là tiếp tuyến với (C) tại M, (d) cắt các đờng tiệm cận của (C) tại A và B. Chứng minh rằng: a) M là trung điểm của AB. b)Tìm diện tích tam giác OAB. Câu 3 : (1,5điểm) Giải hệ += += x xy y yx 1 2 1 2 2 2 Câu 4: (1,5 điểm) Giải phơng trình: 2 1 cos tan 1 sin x x x = Câu 5: (2,0 điểm) Tìm m để bất phơng trình: 3 1mx x m + có nghiệm? Câu 6: (2,0 điểm) Cho ABC. Chứng minh rằng: cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: sinA, sinB, sinC cũng theo thứ tự này lập thành cấp số cộng. Câu 7: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 1 12 1 0 2 . 2 )1( =++++ n n n n n n n n CC Cn nC với * n N Câu 8: (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho: asinx + b = sin(ax+b) đúng với mọi x thực? Câu 9: (2,0 điểm) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b + + < + + + + + + + + . Câu 10: (2,0 điểm) Cho dãy vô hạn { } n u , n =1, 2, 3, . xác định nh sau: 1 1 1 2 1 1 . n n u u u u u + = = + với n =1, 2, 3, . đặt 1 1 n n k k S u = = . Tìm lim n n S Họ tên thí sinh Số báo danh. Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm. Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009 đáp án - Hớng dẫn chấm môn toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Đáp án điểm Câu 1: (2,5đ) a) 1,5 điểm *) m=-3 (C -3 ):y=17x-2 đb với: x > 2/17 =>m=-3 loại *) m 3 có y =3(m+3)x 2 - 6(m+3)x - 6m - 1 luôn đb 0 3 0 10 3 0 ( 3)(9 10) 0 9 a m m m m > + > < + + 0,75đ 0,75đ b)1,0 điểm +)M(x;y) 3 2 3 2 ( ) ( 3 6 1) 3 9 1 0 m C m x x x m x x x y m + + + = 3 2 3 2 3 6 1 0 3 9 1 x x x x x x y + = + = +) f(x)=x 3 - 3x 2 - 6x+1 có f(-10)=-1239; f(0)=1; f(1)=-7; f(10)=641 nên f(x) có 3 nghiệm p/b +) y=3( x 3 -3x 2 -6x+1 )+17x-2 =17x-2 => 3 điểm cố định thẳng hàng. 0,5đ 0,5đ Câu 2: (3,0 đ) a) 2 điểm t/c đứng (d 1 ): x=0 và t/c xiên (d 2 ): y=x; Tiếp tuyến tại M(x M ;y M ) là (d): :y= 2 2 1 2 M M M x x x x + Cắt (d 1 ): ở A(0; 2 M x ) và (d 2 ): ở B(2x M ;2x M ) do A,B,M nằm trên (d) mà x A +x B =2x M nên M là trung điểm của AB. 1,0đ 0,5đ 0,5đ b)1 điểm 1 2 OAB S OAh = với h=k/c(B;d 1 )= B x 1 1 2 2 2 2 2 OAB A B M M S y x x x = = = (Đv diện tích) 0,5đ 0,5đ Câu 3: (1,5 đ) ĐK x,y 1 ;xy 1 1 0 1 xy < < Do đó: 2 2 1 1 1 2 2 ( )(2 2 1 ) 0x y y x x y x y y x xy = + + + = y x = Khi đó 2x 2 =x+ 3 2 2 1 2 1 0 ( 1)(2 1) 0 1x x x x x x x = + + = = nghiệm (1;1) 1,0đ 0,5đ Câu 4: (1,5 đ) 2 1 1 1 tan 1 0 1 sin 1 1 cos x cos x cos x x x sin x sin x + = = ữ ữ + 1,0đ 2 1 4 x k cos x k N sin x cos x x k  = Π  =  ⇔ ⇔ ∈  Π  = = + Π     2 , 4 x m x n m n Z = Π   ⇔ Π  = + Π ∈  m 0,5® C©u 5: (2,0 ®) t= [ ) 3 0;x − ∈ +∞ (1) 2 , , 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( 2) t t t m f t f t f t t t + − − + ⇔ ≤ = ⇒ = ⇒ = + + 1 3t⇔ = − + f(t) ®b ) ) 0; 1 3 & 1 3;nb   − + − + +∞   => [ ) 0; 1 3 4 ( ) t Max f t ∈ +∞ + = Bpt cã nghiÖm khi ®êng y=m kh«ng n»m phÝa trªn ®êng y=f(t) vËy m 1 3 4 + ≤ 1,0® 0,5® 0,5® C©u 6: (2,0 ®) ÷ cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C ⇔ cot cot 2 cot 2 2 2 A C B + = s s 2 2 2 sin sin sin 2 2 2 B B co co A C B ⇔ = sin 2 cos ( s s ) 2 2 2 B A C A C B co co − + ⇔ = − . 2sin sin sinB A C ⇔ ⇔ = + 1,5® 0,5® C©u 7: (1,5 ®) f(x)= 0 1 1 1 . n n n n n n n n C x C x C x C − − + + + + , 0 1 1 (1) ( 1) . n n n n f nC n C C − ⇒ = + − + + (1) f(x)=(x+1) n , 1 (1) 2 n f n − ⇒ = (2) Tõ (1)&(2) cã §pCM 0,75® 0,75® C©u 8: (2,0 ®) víi x=0 b=sinb Z∈ 0b ⇔ = => sin sina x ax = víi x= 0 sin a a k a k Z Π ⇒ = Π ⇔ Π = Π ⇔ = ∈ sin 1 2 a a Π = ≤ nªn a=-1,a=0,a=1 thö l¹i ®îc (a,b) { } ( 1;0), (0;0),(1;0)∈ − 1,0® 1,0® C©u 9: (2,0 ®) Víi x,y>0 tõ m>0 & 1 x x x m y y y m + < ⇒ < + VT< 2 (1) a c b a c b a b c b c a c a b + + + + + < + + + + + + VP= ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + 2 (2) 2 2 2 a b c a b c a b c a b c + + = + + + + + + Tõ (1) vµ (2) suy ra §PCM 1,0® 1,0® C©u 10: (2,0 ®) u k+1 =1+u 1 u 2 .u k =>u k+1 -1=u 1 u 2 .u k =u k (u 1 u 2 .u k-1 +1-1)=u k (u k -1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 k k k k k k k k u u u u u u u u + + = = − ⇒ = − − − − − − 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 n n n n k k k k k k k S u u u u u u = = = + = = + = + − − − ∑ ∑ ∑ = 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 n n u u u u + + + − = − − − − Do u n+1 -1=u 1 u 2 .u n =u 2 u 3 .u n >2 n-1 V× u 2 =1+u 1 =2; u 3 =1+u 1 u 2 >1+u 1 = 2; u 4 =1+u 1 u 2 u 3 >1+u 1 =2 . mµ 1 lim 2 n n − →∞ = +∞ nªn 1 1 lim 0 1 n n u →∞ + = − vËy lim 2 n n S →∞ = 1,0® 1,0® . = +) f(x)=x 3 - 3x 2 - 6x+1 có f (-1 0)= -1 23 9; f(0)=1; f(1) =-7 ; f(10)=641 nên f(x) có 3 nghiệm p/b +) y=3( x 3 -3 x 2 -6 x+1 )+17x-2 =17x-2 => 3 điểm. Khối 12 THPT - Năm học 2 00 8- 2 009 đáp án - Hớng dẫn chấm môn toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Đáp án điểm Câu 1: (2,5đ) a) 1,5 điểm *) m =-3 (C -3 ):y=17x-2