Đề thi HSG Kim Sơn năm 08 - 09 kèm đáp án

Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 2009 Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức : ( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 x A x x x + = + a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm GTNN của biểu thức A Bài 2 (4 điểm) Giải các hệ phơng trình sau: a) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 16 x y xy x y xy + + = + = b) 2 2 2 2 1 2 x y xy x = + = Bài 3 (3điểm) Giả sử a và b là hai số nguyên dơng sao cho 1 1a b b a + + + là số nguyên. Gọi d là ớc số của a và b. Chứng minh rằng: d a b + Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác của góc A cắt BC tại E và cắt đờng tròn tại M. a) Chứng minh : OM vuông góc với BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A cắt đờng tròn tại N. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F. Chứng minh: FB. EC = FC. EB d) Gọi giao điểm của OM và BC là I. Chứng minh : góc AMI = góc CFA Bài 5: ( 3 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 + 2002 là số chính phơng b) Cho 1 1 1 1 2 3 100 S = + + + + . Chứng minh rằng S không phải là số nguyên Đáp án đề thi học sinh giỏi huyện Kim Sơn Năm 08 09 Bài 1: a) Để biểu thức A xác đinh thì 0 1 0 x x 0 1 x x b) Với x 0 và x 1 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 x A x x x x x x x x x x x x x x + = + + = + + + = + + = + + Vậy : 2 1 1 A x x = + + với x 0 và x 1 c) Ta có : x 0 Suy ra: x 2 + x + 1 0 2 1 1 1x x + + 2 1 1 1 A x x = + + , dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy : GTNN của biểu thức A bằng 1 , giá trị này đạt đợc khi x = 0 Bài 2: Kết quả : a) Hệ phơng trình có 4 nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 3; 1 , 1;3 , 1; 3 , 3;1x y = c) Hệ phơng trình có hai nghiệm là ( ) ( ) ( ) { } ; 1;1 , 1; 1x y = Bài 3: Xét TH: d 1. Hiển nhiên BĐT: d a b + đúng với điều kiện ở đề bài Xét TH: d 2. Đặt : a = d.m và b = d .n (m;n 1 và m;n thuộc Z) 1 1a b b a + + + = k (k là số nguyên) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 . a b a b kab a b a b k ab a b a b k d ab + + + + + + + + + + + M M M Vì d là ớc của a và b nên ( ) 2 2 a b d + M mà ( ) 2 2 2 .k d ab d+ M Do đó: 2 a b d+ M a+ b d 2 . mặt khác a và b là hai số nguyên dơng và d 2. Suy ra: d a b + Tóm lại : d a b + với các điều kiện ở đề bài; Dấu đẳng thức xảy ra tại các giá trị thích hợp của a và b. Chẳng hạn: a = 2 và b = 2. Bài 4: ( Quá dễ) Bài 5: a) Đặt 2 2 2002 ( )n m m Z+ = ( ) ( ) 2002m n m n + = (*) Vì m và n là hai số nguyên nên ( ) ( ) ;m n m n + là ớc của 2002 Mặt khác (m n ) và (m + n ) là hai số có cùng tính chẵn lẻ. Suy ra :Phơng trình (*) vô nghiệm Vậy không tìm đợc số n để n 2 + 2002 là số chính phơng. b) Trớc hết ta chứng minh: ( ) ( ) 1 2 1 2 1n n n n n + < < với n 1, n N Thật vậy: Ta có : ( ) 1 2 2 2 1 1 n n n n n n n = > = + + + + ( ) 1 2 2 2 1 1 n n n n n n n = < = + + Từ đó ta có: ( ) ( ) 1 1 1 2 101 2 2 100 1 2 3 100 < + + + < Mà ( ) ( ) 2 101 2 2 100 1,5 < Do đó: 1 1 1 17 18 2 3 100 < + + + < Suy ra: 1 1 1 18 1 19 2 3 100 < + + + + < Vậy S không phải là số tự nhiên. . + + + . Chứng minh rằng S không phải là số nguyên Đáp án đề thi học sinh giỏi huyện Kim Sơn Năm 08 09 Bài 1: a) Để biểu thức A xác đinh thì 0 1 0 x x. Đề thi học sinh giỏi năm học 2 008 2 009 Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4 điểm) Cho biểu