CONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIACCONG PHA TOAN 2 CHUONG 1 LUONG GIAC
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƢỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lƣợng giác cung α Ð Ð Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM : Hình 1.1 Gọi M x; y với tung độ M y OK , hoành độ x OH ta có: sin OK cos OH sin cos tan ; cos cot ; sin cos sin Các giá trị sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác cung Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin ; cos xác định với Và ta có: sin k 2 sin , k ; cos k 2 cos , k 1 sin ; 1 cos k , k cot xác định với k , k tan xác định với Ð Dấu giá trị lượng giác cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM đường trịn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II Giá trị lượng giác III IV cos + + + sin tan + + cot + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lƣợng giác Công thức sin x cos2 x + - Cung đối sin x sin x cos x cot x sin x Công thức cộng sin x y sin x cos y cos x sin y Cung bù sin x sin x cos x y cos x cos y sin x sin y cos x cos x tan x tan y tan x tan y Công thức đặc biệt sin x cos x sin x cos x 4 4 tan x tan x tan x tan x y sin x cos x sin x cos x 4 4 Góc nhân đơi sin x 2sin x cos x cos x 2cos2 x 1 2sin x cos2 x sin x Góc nhân ba sin 3x 3sin x 4sin3 x cos3x 4cos3 x 3cos x cos x cos x tan x tan x Góc chia đơi sin x 1 cos x cos x 1 cos x Góc chia ba sin x 3sin x sin 3x cos3 x 3cos x cos3x tan 3x tan x tan x tan x STUDY TIP Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos y cos x y cos x y sin x sin y cos x y cos x y sin x cos y sin x y sin x y Biến đổi tổng thành tích x y x y cos x cos y 2cos cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 x y x y sin x sin y 2sin cos 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 Giá trị lƣợng giác cung đặc biệt (độ) (radian) 0 30 45 60 90 180 sin 1 tan 3 3 2 cos 2 2 Không xác định STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt: 30 45 60 90 sin Các giá trị tử số tăng dần từ đến 2 Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số y sinx hàm số y cos x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin , kí hiệu y sinx Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cosin cos góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cos , kí hiệu y cos x Tập xác định hàm số y sinx; y cos x a) Hàm số y sinx Nhận xét: Hàm số y sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D đối xứng sinx sin x Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì 2 Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số y sinx đoạn ; biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y sinx đoạn ; sau: STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f x xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T cho với x x T D; x T D thuộc D ta có f (x T) f x Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hồn Đồ thị hàm số: Nhận xét: Do hàm số y sinx hàm số lẻ hàm số y sinx tuần hồn với chu kì 2 nên vẽ đồ thị ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn 0; , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y sinx đoạn ; , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh ta đoạn có độ dài 2 ; 4 , STUDY TIP Hàm số y sinx đồng biến khoảng ; Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm 2 số y sinx đồng biến khoảng k2 ; k2 ,k Z Tương tự ta suy hàm số y sinx nghịch biến khoảng 3 k2 ; k2 ,k Z GHI NHỚ Hàm số y sinx : - Có tập xác định - Có tập giá trị 1;1 - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2 - Đồng biến khoảng k2 ; k2 ,k 3 k2 ,k - Nghịch biến khoảng k2 ; 2 b) Hàm số y cos x Ta thấy cos x sin x nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái đoạn có 2 độ dài , ta đồ thị hàm số y cos x Bảng biến thiên hàm số y cos x ; Đồ thị hàm số y cos x : STUTY TIP Hàm số y cos x đồng biến khoảng ;0 Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm số y cos x đồng biến khoảng k2 ; k2 ,k Tương tự ta suy hàm số y cos x nghịch biến khoảng k2 ; k2 ,k GHI NHỚ Hàm số y cos x : - Có tập xác định - Là hàm số chẵn - Là đường hình sin - Đồng biến khoảng k2 ; k2 ,k - Nghịch biến khoảng k2 ; k2 ,k Đọc thêm Hàm số y a.sin x b c, a,b,c, ,a hàm tuần hồn với chu kì sở vì: 2 a.sin x T b c a.sin x b c, x a.sin x b T a.sin x b , x T k2 , k T k 2 , k Và đồ thị đường hình sin Tương tự hàm số y a.cos x b c, a,b,c, ,a hàm tuần hồn với chu kì sở 2 đồ thị đường hình sin Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y tan x hàm số y cot x trục côtang B S M T + x A' O A trục tang B' Hình 1.7 sin x \ k k , quy tắc đặt tương ứng số x D1 với số thực tan x cos x 2 gọi hàm số tang, kí hiệu y tan x Hàm số y tan x có tập xác định D1 Với D1 Với D2 \ k k , quy tắc đặt tương ứng số x D2 với số thực cot x cos x sin x gọi hàm số cơtang, kí hiệu y cot x Hàm số y cot x có tập xác định D2 Nhận xét: - Hai hàm số y tan x hàm số y cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hoàn với chu kì a) Hàm số y tan x t B H A' O A x K + M B' T Hình 1.8 đến điểm M chạy đường tròn 2 lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B B ) Khi điểm T thuộc trục tang Sự biến thiên: Khi cho x OA, OM tăng từ cho AT tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ đến (qua giá trị x ) Giải thích: tan x AT tan x MH AT AT AT OH OA Nhận xét: Hàm số y tan x đồng biến khoảng k ; k , k Đồ thị hàm số y tan x nhận đường thẳng x Đồ thị hàm số: k , k làm đường tiệm cận \ k k tuần hoàn với chu kì 2 Nhận xét: Do hàm số y tan x hàm số lẻ nên vẽ đồ thị hàm số y tan x \ k k ta cần vẽ đồ thị hàm số 2 0; , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y tan x 0; , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP Hàm số y tan x nhận đường thẳng x k , k làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y tan x : \ k k 2 - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập xác định D1 - Là hàm số lẻ - Có tập giá trị - Đồng biến khoảng k ; k , k - Đồ thị nhận đường thẳng x k , k làm đường tiệm cận b) Hàm số y cot x Hàm số y cot x có tập xác định D2 \ k k hàm số tuần hoàn với chu ki Tương tự khảo sát hàm số y tan x ta vẽ đồ thị hàm số y cot x sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y cot x : - Có tập xác định: D2 \ k k - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị - Đồng biến khoảng k ; k , k - Đồ thị nhận đường thẳng x k , k làm đường tiệm cận B Các dạng toán liên quan đến hàm số lƣợng giác Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định hàm số lƣợng giác Cách Cách Tìm tập D x để f x có nghĩa, tức Tìm tập E x để f x khơng có nghĩa, tìm D x f x tập xác định hàm số D CHÚ Ý A Với hàm số f x cho biểu thức đại số ta có: f x f1 x , điều kiện: * f1 x có nghĩa f2 x * f x có nghĩa f x f x m f1 x , m f x f1 x 2m f2 x ,m , điều kiện: f1 x có nghĩa f1 x , điều kiện: f1 x , f x có nghĩa f x B Hàm số y sin x; y cos x xác định , nhƣ y sin u x ; y cos u x xác định u x xác định * y tan u x có nghĩa u x xác định u x k ; k * y cot u x có nghĩa u x xác định u x k ; k STUDY TIP Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số sau: Hàm số y sin x y cos x xác định Hàm số y tan x xác định \ k k 2 Hàm số y cot x xác định \ k k \E Ví dụ 1 là: 2cos x 5 k 2 k A D \ k 2 , B D 3 5 k 2 k C D k 2 , D D 3 Chọn A Lời giải Cách 1: Hàm số cho xác định Tập xác định hàm số y \ k 2 k 3 5 \ k 2 k 3 cos x cos x k 2 cos x ,k cos x cos 5 x 5 k 2 3 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị hàm số y 5 x x 2cos x 3 ta thấy hàm số không xác định, từ ta chọn A STUDY TIP Đối với hàm cơsin, chu kỳ tuần hồn hàm số 0; 2 tồn hai góc có số đo 5 5 thỏa mãn cos cos ta kết luận điều kiện 3 Cách bấm sau: Nhập vào hình : cos X Ấn r gán X X máy báo lỗi, tương tự với trường hợp 5 Từ suy hàm số khơng xác định Ví dụ Tập xác định hàm số y A D C D 5 3 cot x là: sin x \ k 2 k 3 \ k 2 ; k 2 D D Chọn C Lời giải Hàm số cho xác định + cot x xác định sin x + sin x 1 x k sin x ,k x k sin x \ k k \ k 2 k 2 B D STUDY TIP Lời giải Chọn B Hàm số y cos 2017 x xác định cos 2017 x Mặt khác ta có 1 cos 2017 x nên cos 2017 x 0, x STUDY TIP Với toán chứa thức ta ý hệ số tự để áp dụng bất đẳng thức 1 sin x;cos x 1, Ví dụ Tập xác định hàm số y A D \ k | k C D \ k | k 4 sin x B D D D \ k 2 | k 4 Lời giải Chọn B Ta có sin x sin x , x Vậy hàm số cho xác đinh với x Một dạng khác b i án i n quan đến tìm tậ xác định h ượng giác sau: Ví dụ Để tìm tập xác định hàm số y tan x cos x , học sinh giải theo bước sau: sin x Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa cos x x k ;k Bước 2: x k \ k ; k | k 2 Bài giải bạn chưa? Nếu sai, sai bắt đầu bước nào? A Bài giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải Chọn B Nhận thấy hàm số cho xác định tan x xác định (do cos x xác định với x ) Bước 3: Vậy tập xác định hàm số cho D Do hàm số xác định cos x x k , k xác định sin x \ k 2 | k B x Ví dụ 10 Hàm số y A x C x k , k D x k 2 , k Lời giải Chọn A Hàm số cho xác định sin x sin x 1 sin x 1 (do k 2 , k Dạng chứa tham số toán liên quan đến tập xác định hàm sô lƣợng giác sin x 1, x ) x Với S D f (là tập xác định hàm số f x ) f x m, x S max f x m f x m, x S f x m S S x0 S , f x0 m f x m x0 S , f x0 m max f x m S S Ví dụ Cho hàm số h x sin x cos4 x 2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 1 1 A m B m C m 2 2 Lời giải Chọn A cos x m sin 2x sin x cos x 2sin x cos X t hàm số g x sin x 2 2 D m 2 2 x m sin x sin 2 x m sin x Đặt t sin x t 1;1 Hàm số h x xác định với x g x 0, x t mt 0, t 1;1 t 2mt 0, t 1;1 Đặt f t t 2mt 1;1 Đồ thị hàm số ba đồ thị Ta thấy max f t f 1 max f t f 1 1;1 1;1 f 1 Ycbt f t t 2mt 0, t 1;1 max f t 1;1 f 1 1 2m 1 m 2 1 2m Ví dụ Tìm m để hàm số y A m 2 2; 2 3x 2sin x m sin x xác định D m 2 2 B m 2 2; 2 C m ; 2 2; Lời giải Chọn B 2; 2sin x m sin x 0, x Hàm số xác định Đặt t sin x t 1;1 Lúc ta tìm điều kiện m để f t 2t mt 0, t 1;1 Ta có t m2 TH 1: t m2 2 m 2 Khi f t 0, t (thỏa mãn) m 2 TH 2: t m2 (thử lại hai trường hợp không thỏa mãn) m 2 m 2 TH 3: t m2 tam thức f t 2t mt có hai nghiệm m 2 phân biệt t1; t2 t1 t2 m m2 m2 m VN t1 Để f t 0, t 1;1 t2 1 m m 1 m2 m VN Vậy m 2 2;2 thỏa mãn yêu cầu toán Chú ý: Với toán dạng ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ giá trị m Ở toán TH3 áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngồi cùng” Tức khoảng hai nghiệm dấu với hệ số a , khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lƣợng Giác Định Nghĩa Cho hàm số y f x xác định tập D a, Hàm số y f x gọi hàm số chẵn với x thuộc D , ta có x D f x f x b, Hàm số y f x gọi hàm số lẻ với x thuộc D , ta có x D f x f x STUDY TIP: Để kết luận hàm số y f x khơng chẵn khơng lẻ ta cần điểm x0 D cho f x0 f x0 tập xác định f x tập đối xứng f x0 f x0 hương há chung: Bƣớc 1: Tìm tập xác định D hàm số, Nếu D tập đối xứng (tức x D x D ), ta thực tiếp bước Nếu D tập đối xứng(tức x D mà x D ) ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ Bƣớc 2: Xác định f x : Nếu f x f x , x D kết luận hàm số hàm số chẵn Nếu f x f x , x D kết luận hàm số hàm số lẻ Nếu không thỏa mãn hai điều kiện kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ Các kiến thức học hàm lƣợng giác bản: 1, Hàm số y sin x hàm số lẻ D 2, Hàm số y cos x hàm số chẵn D 3, Hàm số y tan x hàm số lẻ D \ k | k 2 4, Hàm số y cot x hàm số lẻ D \ k | k Ví dụ Hàm số sau hàm số chẵn? A y 2cos x B y 2sin x C y 2sin x D y sin x cos x Lời giải Chọn A Cách 1: Với kiến thức tính chẵn lẻ hsố lượng giác ta chọn ln A Xét A: Do tập xác định D nên x x Ta có f x 2cos x 2cos x f x Vậy hàm số y 2cos x hàm số chẵn Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x x Với A: Nhập vào hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp x (hình bên trái) trường hợp x 1 (hình bên phải) đưa kết giống Vì f x f x ta chọn A STUDY TIP: Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên ý tập xác định hàm số xem có phải tập đối xứng khơng Ví dụ X t tính chẵn lẻ hàm số y A Hàm số chẵn C Không chẵn không lẻ sin x y f x 2cos x B Hàm số lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn B Cách 1: Tập xác định D Ta có x D x D sin 2 x sin x f x f x Vậy hàm số cho hàm số lẻ 2cos x 2cos x Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x x Với A: Nhập biểu thức hàm số vào hình sử dụng CALC với trường hợp x (hình bên trái) trường hợp x 1 (hình bên phải), ta thấy f 1 f 1 hàm số cho hàm số lẻ STUDY TIP: Trong toán này, tập xác định D 2cos x 0, x Ví dụ X t tính chẵn lẻ hàm số y f x cos x sin x , ta y f x là: 4 4 A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn D Cách 1: 1 Ta có y cos x sin x cos x sin x sin x cos x 4 4 2 Ta có tập xác định D Hàm số y vừa thỏa mãn tính chất hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất hàm số lẻ, nên hàm số vừa chẵn vừa lẻ Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự toán ta nhập hàm số sử dụng CALC để thử thấy hai trường hợp kết Mà y vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm nên ta chọn D STUDY TIP: Hàm số y vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm 3sin x g x sin x Kết luận sau tính x 3 chẵn lẻ hai hàm số này? A Hai hàm số f x ; g x hai hàm số lẻ Ví dụ Cho hai hàm số f x B Hàm số f x hàm số chẵn; hàm số f x hàm số lẻ C Hàm số f x hàm số lẻ; hàm số g x hàm số không chẵn không lẻ D Cả hai hàm số f x ; g x hàm số không chẵn không lẻ Lời giải Chọn D 3sin x có tập xác định D \ 3 x 3 Ta có x 3 D x D nên D khơng có tính đối xứng Do ta có kết luận hàm số f x không chẵn không lẻ a, Xét hàm số f x b, Xét hàm số g x sin x có tập xác định D2 1; D thấy D2 tập đối xứng nên ta kết luận hàm số g x không chẵn không lẻ Vậy chọn D STUDY TIP: Khi xét tính chẵn lẻ hàm số ta cần ý xét tập xác định để giải tốn cách xác Ví dụ X t tính chẵn lẻ hàm số f x sin 2007 x cos nx , với n Hàm số y f x là: A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn C Hàm số có tập xác định D Ta có f x sin 2007 x cos nx sin 2007 x cos nx f x Vậy hàm số cho không chẵn không lẻ sin 2004 n x 2004 , với n X t biểu thức sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D 2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số phát biểu sáu phát biểu A B C D Ví dụ Cho hàm số f x Lời giải Chọn B k , k Vậy phát biểu sai Ở ta cần ý : phát biểu 2; 3; 4; 5; để xác định tính sai ta cần x t tính chẵn lẻ hàm số cho Ta có tập xác định hàm số D ¡ \ k k ¢ tập đối xứng 2 Hàm số xác định cos x x f x sin 2004 n x 2004 sin 2004 n x 2004 f x cos x cos x Vậy hàm số cho hàm số chẵn Suy đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy Vậy có phát biểu phát biểu Từ ta chọn B STUDY TIP Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua tâm O Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy Ví dụ Cho hàm số f x x sin x Phát biểu sau hàm số cho? A Hàm số cho có tập xác định D ¡ \ 0 B Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng C Đồ thị hàm số cho có trục xứng D Hàm số có tập giá trị 1;1 Lời giải Chọn B Hàm số cho xác định tập D ¡ nên ta loại A Tiếp theo để x t tính đối xứng đồ thị hàm số ta x t tính chẵn lẻ hàm số cho f x x sin x x sin x f x Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Vậy ta chọn đáp án B STUDY TIP Với toán ta nên x t B C trước thay x t A, B, C, D Ví dụ Xác định tất giá trị tham số m để hàm số y f x 3m sin4x cos 2x hàm chẵn A m B m 1 C m D m Lời giải Chọn C Cách 1: TXĐ: D ¡ Suy x D x D Ta có f x 3m sin4 x cos2 x 3m sin4x cos2 x Để hàm số cho hàm chẵn f x f x , x D 3m sin4x cos x 3m sin4x cos x, x D 4m sin x 0, x D m Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Với tốn ta sử dụng máy tính cầm tay để thử giá trị Với A C, ta thử trường hợp để loại hai đáp án lại, tương tự với B D Ở ta sử dụng CALC để thử giá trị x x Ví dụ: Nhập vào hình bên = Ấn CALC để gán giá trị cho m Ta thử với m ấn Chọn x bất kì, sau làm lại lần gán x cho x ban đầu so sánh (ở ta thử với x 5) Ta thấy f x f x Vậy C Ta chọn ln C loại phương án cịn lại DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số lƣợng giác hương há chung: Ở phần lý thuyết, với hàm số lƣợng giác bản, ta biết rằng: Hàm số y sin x : * Đồng biến khoảng k 2; k 2 , k ¢ * Nghịch biến khoảng k 2; k 2 , k ¢ 2 Hàm số y cos x : * Đồng biến khoảng k 2; k 2 , k ¢ * Nghịch biến khoảng k 2; k 2 , k ¢ Hàm số y tan x đồng biến khoảng k ; k , k ¢ Hàm số y cot x nghịch biến khoảng k; k , k ¢ Với hàm số lƣợng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu ta sử dụng định nghĩa Ví dụ Xét hàm số y sin x đoạn ; 0 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; 2 B Hàm số cho đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 2 ;0 C Hàm số cho nghịch biến khoảng ; đồng biến khoảng ; 2 D Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Từ lý thuyết hàm số lượng giác ta có hàm số y sin x nghịch biến khoảng đồng biến khoảng 2 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay ;0 Do đề bài, phương án A, B, C, D xuất hai khoảng ; nên 2 ta dùng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f X ta nhập sin X START? Nhập END? Nhập STEP? Nhập 10 Lúc từ bảng giá trị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến khoảng đồng 2 biến khoảng ; Ví dụ Xét hàm số y cos x đoạn ; Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 0; B Hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng 0; C Hàm số nghịch biến khoảng đồng biến khoảng 0; D Hàm số đồng biến khoảng 0; Lời giải Chọn B Theo lý thuyết ta có hàm số y cos x đồng biến khoảng k 2; k 2 , k ¢ k 2; k 2 , k ¢ Từ ta có với k hàm số y cos x đồng biến khoảng nghịch biến khoảng 0; Tiếp theo ta đến với hàm số y tan nx; n ¢ , Ta có ví dụ nghịch biến khoảng Ví dụ Xét biến thiên hàm số y tan x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận đúng? A Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 4 2 B Hàm số cho đồng biến khoảng nghịch biến khoảng ; 4 4 2 C Hàm số cho đồng biến khoảng 0; 2 D Hàm số cho nghịch biến khoảng đồng biến khoảng ; 4 4 2 Lời giải Chọn A Tập xác định hàm số cho D ¡ \ k | k ¢ 4 Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì , dựa vào phương án A; B; C; D ta x t tính đơn điệu hàm số 0; \ 4 Dựa theo kết khảo sát biến thiên hàm số y tan x phần lý thuyết ta suy với hàm số y tan x đồng biến khoảng ; 4 4 2 STUDY TIP Ở ta khơng chọn C hàm số khơng liên tục 0; , hàm số bị gián đoạn x 2 (tức hàm số khơng xác định x ) Ví dụ Xét biến thiên hàm số y sin x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận sai? A Hàm số cho nghịch biến khoảng ; B Hàm số cho nghịch biến khoảng 0; 2 C Hàm số cho đồng biến khoảng ; 2 D Hàm số cho nghịch biến khoảng 2 Lời giải Chọn D Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 kết hợp với phương án đề ta x t 3 biến thiên hàm số ; 2 Ta có hàm số y sin x : * Đồng biến khoảng ; 2 * Nghịch biến khoảng ; 2 Từ suy hàm số y sin x : * Nghịch biến khoảng ; 2 * Đồng biến khoảng ; Từ ta chọn D 2 Dưới đồ thị hàm số y sin x hàm số y sin x ¡ Ví dụ Xét biến thiên hàm số y sin x cos x Trong kết luận sau, kết luận đúng? 3 A Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 3 B Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 C Hàm số cho có tập giá trị 1; 1 D Hàm số cho nghịch biến khoảng ; 4 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có y sin x cos x sin x 4 Từ ta loại đáp án C, tập giá trị hàm số 2; Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 ta x t biến thiên hàm số đoạn ; Ta có: * Hàm số đồng biến khoảng ; 4 * Hàm số nghịch biến khoảng ; Từ ta chọn A 4 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự ví dụ 1, ta sử dụng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f X ta nhập sinX cosX Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta có kết hình dưới: 0, 785 đến 2, 3561 4 3 giá trị hàm số tăng dần, tức hàm số đồng biến khoảng ; 4 Từ bảng giá trị hàm số f x ta thấy x chạy từ 7 5, 49778 giá trị hàm số giảm dần, tức đến 4 hàm số nghịch biến khoảng ; 4 Phân tích thêm: Khi x chạy từ STUDY TIP 3 Ta ý có , 2 nên ta suy STEP phù hợp Trong 4 4 gán STEP Ví dụ Chọn câu đúng? A Hàm số y tan x luôn tăng B Hàm số y tan x luôn tăng khoảng xác định C Hàm số y tan x tăng khoảng k ; 2 k 2 , k ¢ D Hàm số y tan x tăng khoảng k ; k 2 , k ¢ Lời giải Chọn B Với A ta thấy hàm số y tan x không xác định điểm x ¡ nên tồn điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số tăng Với B ta thấy B hàm số y tan x đồng biến khoảng k k , k ¢ Từ loại C D Ví dụ X t hai mệnh đề sau: 3 : Hàm số 2 3 (II) x ; : Hàm số y giảm cos x 2 (I) x ; Mệnh đề hai mệnh đề là: A Chỉ (I) B Chỉ (II) y giảm s inx D Cả C Cả sai Lời giải Chọn B Cách 1: Như toán x t xem hàm số tăng hay giảm Ta lấy x1 x ; Lúc ta có f x f x1 3 2 1 s inx1 s inx sinx sinx ` s inx1 s inx Ta thấy x1 x ; 3 sinx1 sinx sinx1 sinx 2 sinx1 sinx sinx1 sinx f x1 f x Vậy y hàm tăng sinx1 sinx s inx Tương tự ta có y hàm giảm Vậy I sai, II cos x Cách 2: Sử dụng lệnh TABLE để x t xem hàm số tăng hay giảm máy tính Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( ) s inx MODE Nhập hàm f x hình bên: SI N ALPH A ) ) = START? ; END? 3 STEP? 10 hình bên Ta thấy giá trị hàm số tăng dần x chạy từ đến s inx 3 3 Nên ta kết luận ; hàm số y tăng s inx Tương tự với II kết luận Của hàm số y Ví dụ Khẳng định sau ? A y tan x đồng biến ; 2 2 B y tanx hàm số chẵn D R \ k | k Z C y tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ 2 D y tanx nghịch biến ; Lời giải Chọn B Ta đồ thị hình vẽ Ta thấy hàm số y tanx nghịch biến ;0 đồng 2 biến 0; Nên ta loại A D Với B ta có f x tan x tan x f x hàm số y tan x hàm số chẵn Với C ta thấy đồ thị hàm số cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ ta chọn B STUDY TIP Ta suy di n đồ thị hàm hàm số y f x từ đồ thị hàm số y f x từ suy khoảng đơn điệu hàm số y f x - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x nằm phía trục Ox - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x phía trục Ox qua Ox - Hợp hai phần ta đồ thị hàm số y f x STUDY TIP Với tốn ta khơng suy di n đồ thị mà làm theo hướng tư sau: - Với A: y tan x không xác định x nên đồng biến ; 2 - Từ B suy C;D sai DẠNG Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số lƣợng giác *Các kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số y f x xác định miền D R f x M, x D Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y f x D x D, f x M f x m, x D Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y f x D x D, f x m Một số kiến thức ta sử dụng tốn này: Tính bị chặn hàm số lượng giác Điều kiện có nghiệm phương trình bậc sin Bảng biến thiên hàm số lượng giác Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay cos 10 ) 2016 2017 B y 1;maxy 4033 D y 1;max y 4022 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y 2017 cos(8 x A y 1;maxy 4033 C y 1;maxy 4022 Phân tích Ta có bước để giải toán sau: Bƣớc 1: Chỉ f x M, x D Bƣớc : Chỉ x D cho f x M Kết luận : max f x M D Tương tự với tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải Chọn B Cách 1: Hàm số xác định R Ta có 1 cos 8x 10 1, R 2017 10 2017 2017 cos 8x 2016 4033, R 2017 10 1 2017 cos 8x 2016 4033, R 2017 10 10 Ta có y 1 cos 8x 1 1 ; y 4033 cos 8x 2017 2017 Vậy y 1;maxy 4033 Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay Trong bốn phương án có hai giá trị max 4022; 4033 Chỉ có hai giá trị 1;-1 Lúc ta sử dụng chức SHIFT CALC để thử giá trị: Ví dụ ta nhập vào hình 2017 cos 8x 10 2016 4033 ta thấy phương trình có 2017 nghiệm Tương tự nhập 2017 cos 8x 10 2016 1 ta thấy phương trình có nghiệm 2017 Từ ta chọn B STUDY TIP Trong toán ta chọn thử hai giá trị 4033 giá trị lớn 1 giá trị nhỏ nên ta thử trước Nếu phương trình khơng có nghiệm trường hợp cịn lại Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sƣ Phạm TPHCM ... 8x 10 1, R 20 17 10 ? ?20 17 20 17 cos 8x 20 16 4033, R 20 17 10 ? ?1 20 17 cos 8x 20 16 4033, R 20 17 10 10 Ta có y ? ?1 cos ... ? ?1; 1 max f t ? ?1; 1 f ? ?1? ?? ? ?1 2m 1 m 2 ? ?1 2m Ví dụ Tìm m để hàm số y A m ? ?2 2; 2 3x 2sin x m sin x xác định D m ? ?2 2? ?? ... ? ?1; 1 t 2mt 0, t ? ?1; 1 Đặt f t t 2mt ? ?1; 1 Đồ thị hàm số ba đồ thị Ta thấy max f t f ? ?1? ?? max f t f ? ?1? ?? ? ?1; 1 ? ?1; 1 f ? ?1? ?? Ycbt f t t 2mt