Các định lí hình học phẳng

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Tăng Vũ Đường thẳng Euler Bài toán Trong tam giác trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp nằm đường thẳng (Đường thẳng gọi đường thẳng Euler tam giác.) Chứng minh Cho tam giác ABC, gọi G, H, O trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 1.1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H tâm ngoại tiếp O Gọi P điểm đối xứng H qua O Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PAC PAB Chứng minh G 1A = G2B = G3C G1A, G2B , G3C đồng quy Hướng dẫn: Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (J) đường tròn bàng tiếp thuộc góc A tam giác ABC (J) tiếp xúc BC, AB, AC tai M N P Chứng minh OJ đường thẳng Euler tam giác MNP Hướng dẫn: Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), với đường cao AA’, BB’ CC’ Gọi da, db, dc đường thẳng Euler tam giác AB’C’, BA’C’ CA’B’ Gọi d’a, d’b, d’c đường thẳng đối xứng với da, db, dc qua AI, BI CI Chứng minh d’a, d’b, d’c đôi song song Hướng dẫn: Gọi B1, C1 đối xứng với B’, C’ qua AI, d’a đường thẳng Euler tam giác AB1C1, mà B1C1 //BC, suy d’a song song với đường thẳng Euler tam giác ABC Chứng minh tương tự d’b, d’c song song với đường thẳng Euler tam giác ABC Bài tốn 1.4 Cho tam giác ABC có trực tâm H Khi đường thẳng Euler tam giác HAB, HAC HBC đồng quy HD: Đồng quy trung điểm OH Đến người ta tìm tính chất thú vị liên qua đến đường thẳng Euler, năm 2006 kiến trúc sư người Hy Lạm Rostas Vittasko có đưa toán sau: Bài toán 1.5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có đường chéo cắt P Khi đường thẳng Euler tam giác PAB, PBC, PCD, PAD đồng quy Đường tròn Euler Bài tốn Trong tam giác điểm gồm: trung điểm cạnh, trung điểm đoạn thẳng nối từ trực tâm đến đỉnh, chân đường cao thuộc đường tròn (Người ta gọi đường tròn điểm hay đường tròn Euler) Chứng minh Sau số tính chất đường tròn Euler, xem tập Bài tốn 2.1 Tâm đường tròn Euler trung điểm đọan thẳng nối trực tâm tâm ngoại tiếp Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC trực tâm H Tia Hx cắt đường tròn Euler M đường tròn ngoại tiếp N Khi M trung điểm HN Bài tốn 2.3 Cho tam giác ABC có trực tâm H Khi đường tròn Euler tam giác ABC đường tròn Euler tam giác HAB, HAC HBC (Từ toán 2.3 suy toán 1.4) Sau định lý hay đẹp hình học tam giác Bài tốn 2.4 (Định lý Feuerbach) Trong tam giác đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp Chứng minh định lý Feuerbach dựa công cụ mạnh, phép nghịch đảo, nhiên có cách làm sơ cấp Sau bổ đề dùng để chứng minh định lý Feuerbach Xem tập Ta sử dụng ký hiệu toán Bài toán 2.4.1.Giả sử A1A3 > A2A3 Khi đường thẳng M1T tiếp xúc với đường tròn Euler M1 tạo với A2A3 góc α2- α3 Bài toán 2.4.2 Gọi D1 giao điểm phân giác góc A với A2A3 Gọi X1P tiếp tuyến đến đường tròn nội tiếp (I), X 1P’ tiếp tuyến đường tròn bàng tiếp góc A (P, P’ tiếp điểm) Khi PX1P’ song song với M1T Bài toán 2.4.3 Gọi Q giao điểm M1P với (I), Q thuộc đường tròn Euler Bài tốn 2.4.4 Hai đường tròn Euler đường tròn nội tiếp giao Q Chứng minh chúng có chung tiếp tuyến Một số tốn liên quan đến đường tròn Euler Bài toán 2.5 (VMO 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định A, B (A khỏc B) Một điểm C di động trờn mặt phẳng cho ∠ACB = α = const (00 < α < 1800) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lươt D, E, F AI, BI cắt EF M, N a) Chứng minh rằng: MN cú độ dài khụng đổi b) Chứng minh rằng: (DMN) qua điểm cố định C lưu động Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC trung tuyến AM, O tâm ngoại tiếp Khi đường thẳng qua M vng góc với AO tiếp xúc với đường tròn Euler tam giác ABC Bài toán 2.7 Chứng minh đường thẳng da, db, dc toán 1.3 đồng quy điểm thuộc đường tròn Euler Bài tốn 2.8 Tam giác ABC có đường cao AD, BE CF đồng quy trực tâm H DE cắt CF M, DF cắt BE N Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh OA ⊥ MN Đường thẳng Simson Bài toán Cho tam giác ABC P điểm mặt phẳng tam giác không trùng với đỉnh tam giác Gọi P 1, P2, P3 hình chiếu P cạnh BC, AC AB Khi P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC P1, P2, P3 thẳng hàng (Đường thẳng qua điểm P1, P2, P3 gọi đường thẳng Simson tam giác ABC ứng với điểm P) Chứng minh Sau số tính chất liên quan đến đường thẳng Simson Bài tốn 3.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P điểm thuộc đường tròn, lấy Q thuộc (O) cho đường thẳng CQ CP đối xứng qua phân giác góc C Khi CQ vng góc với đường thẳng simson tam giác ABC ứng với điểm P Sau số hệ toán 3.1 Bài toán 3.1.1 Nếu hai điểm đối xứng qua tâm đường thẳng simson ứng với hai điểm vng góc với Tổng qt góc hai đường thẳng dựng hai điểm P, Q nửa số đo cung nhỏ PQ Bài toán 3.1.2 Tam giác tạo đường thẳng simson dựng điểm đồng dạng với tam giác tạo thành từ điểm Bài toán 3.2 Đường thẳng simson ứng với điểm chia đơi đoạn thẳng nối từ điểm đến trực tâm tam giác Hơn trung điểm đoạn thẳng thuộc đường tròn Euler Bài tốn 3.2.1 Đường thẳng simson ứng với hai điểm đối xứng qua tâm cắt điểm thuộc đường tròn Euler Bài toán 3.3 Cho tứ giác ABCD, gọi dA, dB, dC, dD đường thẳng simson ứng với điểm A, B, C, D tam giác BCD, ACD, ABD ABC Chứng minh dA, dB, dC, dD đồng quy Hướng dẫn Chứng minh đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tam giác với đỉnh lại qua trung điểm I Sau chứng minh đường thẳng simson qua I Theo toán 3.2 Một số toán liên quan tới đường thẳng simson Bài toán 3.2.(Chuyên Toán PTNK 2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một điểm M thay đổi cung BC không chứa A Gọi P, Q hình chiếu A MB MC Chứng minh PQ qua điểm cố định Bài toán 3.3 (Nguyễn Tăng Vũ) Cho tam giác ABC, M điểm thay đổi BC Gọi D, E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh trung điểm PQ thuộc đường cố định M thay đổi BC Bài toán 3.4 (IMO 2007) Xét điểm A, B, C, D, E cho ABCD hình bình hành B, C, D, E tứ giác nội tiếp Gọi d đường thẳng qua A Giả sử d cắt đoạn DC F BC G Giả sử EF = EG = EC Chứng minh d phân giác góc ∠DAB Bài tốn 3.5 Trên đường tròn (O) cho điểm A, B, C, D, E, F Ta gọi dE, dD, dF đường thẳng simson ứng với điểm D,E, F tam giác ABC Chứng minh giao điểm đường thẳng tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác DEF Đường thẳng Steiner Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm thay đổi đường tròn Gọi D, E , F điểm đối xứng M qua BC, AC AB Chứng minh D, E, F thuộc đường thẳng đường thẳng ln qua trực tâm tam giác ABC (Đường thẳng gọi đường thẳng Steiner) Chứng minh Bài toán 4.1 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) hai điểm P, Q (O) Kí hiệu Pa điểm đối xứng P qua BC A’ giao điểm QPa BC Tương tự xác định B’, C’ Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Đường tròn Apollonius Định lý Ptolemy Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Ceva, Menelaus ứng dụng Đường thẳng Newton 10 Định lý bướm 11 Các toán khác