trắc ngiệm toán cao cấp a2
BÀI TẬP ÔN THI MÔN TOÁN CAO CẤP CHO CT15 VÀ CT16 Bài 1. Tìm hạng của các ma trận sau: 1 0 3 1 2 1 2 1 3 1. 2. 2 1 2 3. 4 5 3 7 2 0 3 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 7 1 4. 1 2 3 5. 4 5 3 6. 1 1 3 5 4 8 12 2 0 1 10 2 4 15 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 3 7 1 7. 5 1 2 8. 9. 1 1 1 1 1 1 1 3 5 3 8 7 1 1 1 1 1 10 2 4 15 1 1 1 1 1 Bài 2. Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 6 0 3 4 2 0 x x x x x x x x x . Ta có ma trận hệ số 1 1 1 2 6 1 3 4 2 A , det( ) 11 0D A , 1 1 1 1 0 6 1 8 0 4 2 D , 2 1 1 1 2 0 1 7 3 0 2 D , 3 1 1 1 2 6 0 26 3 4 0 D . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 2 3 8 7 26 , , 11 11 11 x x x . Bài 3 Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1mx x x x mx x m x x mx m . Ta có ma trận hệ số 1 1 1 1 1 1 m A m m , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( 1) 1 2 1 2 m m A m m m m m m m m m m m Nếu 2 1 0 1 2 0 2 m A m m m . Với 1m hệ trở thành 1 2 3 1x x x suy ra 1 2 3 1x x x . Điều này có nghĩa là 1 x phụ thuộc vào hai tham số 2 3 ,x x . Do đó nếu cho 2 3 ,x x tùy ý thì ta sẽ có được 1 x . Vậy hệ có vô số nghiệm có dạng 1 2 3 1 , , 1 , , , .x x x a b a b a b R Với 2m hệ trở thành 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 (1) 2 2 (2) 2 4 (3) x x x x x x x x x .Hệ vô nghiệm. Nếu 1 0 2 m A m . Theo công thức Cramer, hệ có nghiệm duy nhất. Để viết ra các nghiệm ta cần tính 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 1 1 m m D m m D m D m m m m m m m và 2 31 2 1 2 3 1 1 2 1 ; ; 2 2 2 DD Dm m m x x x A m A m A m . Bài 4. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 3 5 3 1 4 3 8 4 0 x x x x x x x x x x x x . Ta có 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 1 5 3 1 0 7 4 0 4 4 3 8 4 0 0 0 0 0 2 A B . Suy ra ( ) 3r A B . Mà ( ) 2 ( )r A r A B . Vậy hệ vô nghiệm. Bài 5. Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 x x x x x x Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 0 1 5 0 A B 1 0 4 1 0 1 5 0 . ( ) ( ) 2 3r A r A B n nên hệ có vô số nghiệm. Hệ được viết lại 1 3 1 3 2 3 2 3 4 1 1 4 5 0 5 x x x x x x x x . Vậy tập nghiệm của hệ có dạng 1 2 3 1 4 5 ( ) x t x t t R x t Bài 6 Giải các HPT 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 2 2 1 ) 1 ) 3 2 6 5 2 7 3 x x x x x x a x x x b x x x x x x x x 2 3 2 1 2 2 1 4 3 2 2 ) 3 2 1 ) 16 9 3 3 2 5 0 4 7 7 4 x y z t x y z t x y z t c x y z t c x y z t x y z t x y t z Bài 7 Cho ma trận 1 0 1 1 1 1 1 2 2 A . Tìm 1 A . Bài 8 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau: a) 0 2 1 2 3 2 1. x y z x y mz x y z b) 2 2 2 3 7 5 2 4 7. x y z x y z x y mz Bài 9 Xét sự hội tụ 2 1 ln dx x Ta có 1 ( ) 0 ln f x x , 1 ( ) 0 1 g x x , 1x Suy ra 1 1 1 ( ) ( 1) 1 lim lim lim 1 1 ( ) ln x x x f x x g x x x (quy tắc L’hospital) mà 2 1 1 1 dx x phân kỳ ( 1 ) do đó 2 1 ln dx x phân kỳ Bài 10 Xét sự hội tụ 1 0 1 x dx e Ta có 1 ( ) 0 1 x f x e . Chọn 1 2 1 1 ( ) , (0 1) ( 0) g x x x x 0 0 ( ) lim lim 1 ( ) 1 x x x f x x g x e mà 1 0 dx x hội tụ ( 1 1 2 ). Do đó 1 0 1 x dx e hội tụ Bài 11 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng 1 2 1 1) dx x .Ta có 1 2 1 dx x 0 1 2 2 1 0 dx dx x x 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 lim lim lim 1 c c c c dx dx c x x x c . Suy ra 1 2 0 dx x phân kỳ, vậy 1 2 1 dx x phân kỳ 2 3 0 2) 1 dx x Ta có 2 1 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 dx dx dx x x x 1 2 3 3 3 1 1 0 0 3 3 lim lim ( 1) 1 2 2 1 1 c c c dx dx c x x 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 3 lim lim 1 ( 1) 2 2 1 1 c c c dx dx c x x Vậy 2 3 0 1 dx x hội tụ và 2 3 0 3 3 0 2 2 1 dx x Bài 12 Xét sự hội tụ của 2 1 cos 1 x dx x Ta có 2 2 2 cos 1 1 1 1 x x x x nên 2 1 cos 1 x dx x hội tụ, vậy 2 1 cos 1 x dx x hội tụ tuyệt đối Bài 13 Xét 2 1 1 dx x x Ta thấy: 2 2 1 1 , [1, ]x x x x mà 2 1 1 dx x hội tụ suy ra 2 1 1 dx x x hội tụ Bài 14 Xét 3 0 1 1 1 dx x Ta có 3 3 1 1 1 1 1x x , mà 3 0 1 1 dx x phân kì nên 3 0 1 1 1 dx x phân kì. Bài 15 Xét sự hội tụ của chuỗi 1 3 1 n n n Ta có 1 lim lim 0 3 1 3 n n n n a n nên chuỗi đã cho phân kỳ. Bài 16 Xét sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 1 n n n Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n a n n n n n n n n n n Suy ra 2 1 lim lim 1 1 1 n n n a n n nên chuỗi đã cho phân kỳ. Bài 17 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi 1 n n x n Ta có 1 1 . 1 1 1 lim n n n n n a a suy ra 1r Tại 1x ta có chuỗi 1 ( 1) n n n là chuỗi đan dấu có các số hạng giảm và dần về 0 nên chuỗi hội tụ. Tại 1x ta có chuỗi 1 1 n n là chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ là [1,1)D . Bài 18 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: a) 1 n n x n ; ds ( 1;1) b) 2 2 0 . ( 1) n n n n n x n ; ds ( ; )e e c) 1 1 ( 1) n n n x n ; ds ( 1;1] c) 2 0 1 ( 2) 2 1 n n n n x n Bài 19 Tìm cực trị của hàm số 3 3 ( , ) 6f x y x y xy . Ta có ' 2 ' 2 3 6 , 3 6 ( , ) x y f x y f y x x y hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng. Các điểm dừng là nghiệm của 2 2 1 2 2 2 1 2 3 6 0 3 6 0 y x x y y x x y . Giải hệ ta được hai điểm dừng 0 (0;0)M và 1 (2;2)M Xét điểm 0 (0;0)M : Ta có: 0 '' (0;0) 6 0 xx M A f x , '' (0;0) 6 xy B f , 0 '' (0;0) 6 0 yy M C f y . 2 36 0B AC nên tại M 0 không phải là cực trị. Xét điểm 1 (2;2)M : Ta có: 1 '' (2,2) 6 12 xx M A f x , '' (2,2) 6 xy B f , 1 '' (2,2) 6 12 yy M C f y . 2 108 0B AC . Mà 12 0A . Do đó (2,2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là (2,2) 8 8 24 8f Bài 20 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 4 2 2 8 5z x x y b) 2 2 2 1z x y x c) 2 2 z x y d) 3 2z xy x y b) 2 2 z x y c) 2 2 4( )z x y x y Bài 21 Khai triển Maclaurin hàm số ( ) ln(4 )f x x Ta viết ln(4 ) ln 4(1 ) ln 4 ln 1 4 4 x x x rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 22 Khai triển Maclaurin hàm số 2 ( ) sinf x x Ta viết 2 1 sin 1 cos2 2 x x , rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 23 Khai triển Maclaurin hàm số 1 ( ) 7 f x x Ta viết 1 1 7 7 1 7 x x , rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 24 Tính tích phân 8 1 dx x theo công thức hình thang với số đoạn chia 4n .Đánh giá sai số Bài 25 Tính tích phân 8 1 dx x theo công thức Simpson với số đoạn chia 2 8n .Đánh giá sai số Bài 26 Tính tích phân 2 2 0 1 dx x theo công thức Simpson với số đoạn chia 2 4n . Ths. Nguyễn Quốc Tiến