Đang tải... (xem toàn văn)
trắc ngiệm toán cao cấp a2
BÀI TẬP ÔN THI MÔN TOÁN CAO CẤP CHO CT15 VÀ CT16 Bài 1. Tìm hạng của các ma trận sau: 1 0 3 1 2 1 2 1 3 1. 2. 2 1 2 3. 4 5 3 7 2 0 3 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 7 1 4. 1 2 3 5. 4 5 3 6. 1 1 3 5 4 8 12 2 0 1 10 2 4 15 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 3 7 1 7. 5 1 2 8. 9. 1 1 1 1 1 1 1 3 5 3 8 7 1 1 1 1 1 10 2 4 15 1 1 1 1 1 Bài 2. Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 6 0 3 4 2 0 x x x x x x x x x . Ta có ma trận hệ số 1 1 1 2 6 1 3 4 2 A , det( ) 11 0D A , 1 1 1 1 0 6 1 8 0 4 2 D , 2 1 1 1 2 0 1 7 3 0 2 D , 3 1 1 1 2 6 0 26 3 4 0 D . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 2 3 8 7 26 , , 11 11 11 x x x . Bài 3 Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1mx x x x mx x m x x mx m . Ta có ma trận hệ số 1 1 1 1 1 1 m A m m , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( 1) 1 2 1 2 m m A m m m m m m m m m m m Nếu 2 1 0 1 2 0 2 m A m m m . Với 1m hệ trở thành 1 2 3 1x x x suy ra 1 2 3 1x x x . Điều này có nghĩa là 1 x phụ thuộc vào hai tham số 2 3 ,x x . Do đó nếu cho 2 3 ,x x tùy ý thì ta sẽ có được 1 x . Vậy hệ có vô số nghiệm có dạng 1 2 3 1 , , 1 , , , .x x x a b a b a b R Với 2m hệ trở thành 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 (1) 2 2 (2) 2 4 (3) x x x x x x x x x .Hệ vô nghiệm. Nếu 1 0 2 m A m . Theo công thức Cramer, hệ có nghiệm duy nhất. Để viết ra các nghiệm ta cần tính 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 1 1 m m D m m D m D m m m m m m m và 2 31 2 1 2 3 1 1 2 1 ; ; 2 2 2 DD Dm m m x x x A m A m A m . Bài 4. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 3 5 3 1 4 3 8 4 0 x x x x x x x x x x x x . Ta có 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 1 5 3 1 0 7 4 0 4 4 3 8 4 0 0 0 0 0 2 A B . Suy ra ( ) 3r A B . Mà ( ) 2 ( )r A r A B . Vậy hệ vô nghiệm. Bài 5. Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 x x x x x x Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 0 1 5 0 A B 1 0 4 1 0 1 5 0 . ( ) ( ) 2 3r A r A B n nên hệ có vô số nghiệm. Hệ được viết lại 1 3 1 3 2 3 2 3 4 1 1 4 5 0 5 x x x x x x x x . Vậy tập nghiệm của hệ có dạng 1 2 3 1 4 5 ( ) x t x t t R x t Bài 6 Giải các HPT 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 2 2 1 ) 1 ) 3 2 6 5 2 7 3 x x x x x x a x x x b x x x x x x x x 2 3 2 1 2 2 1 4 3 2 2 ) 3 2 1 ) 16 9 3 3 2 5 0 4 7 7 4 x y z t x y z t x y z t c x y z t c x y z t x y z t x y t z Bài 7 Cho ma trận 1 0 1 1 1 1 1 2 2 A . Tìm 1 A . Bài 8 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau: a) 0 2 1 2 3 2 1. x y z x y mz x y z b) 2 2 2 3 7 5 2 4 7. x y z x y z x y mz Bài 9 Xét sự hội tụ 2 1 ln dx x Ta có 1 ( ) 0 ln f x x , 1 ( ) 0 1 g x x , 1x Suy ra 1 1 1 ( ) ( 1) 1 lim lim lim 1 1 ( ) ln x x x f x x g x x x (quy tắc L’hospital) mà 2 1 1 1 dx x phân kỳ ( 1 ) do đó 2 1 ln dx x phân kỳ Bài 10 Xét sự hội tụ 1 0 1 x dx e Ta có 1 ( ) 0 1 x f x e . Chọn 1 2 1 1 ( ) , (0 1) ( 0) g x x x x 0 0 ( ) lim lim 1 ( ) 1 x x x f x x g x e mà 1 0 dx x hội tụ ( 1 1 2 ). Do đó 1 0 1 x dx e hội tụ Bài 11 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng 1 2 1 1) dx x .Ta có 1 2 1 dx x 0 1 2 2 1 0 dx dx x x 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 lim lim lim 1 c c c c dx dx c x x x c . Suy ra 1 2 0 dx x phân kỳ, vậy 1 2 1 dx x phân kỳ 2 3 0 2) 1 dx x Ta có 2 1 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 dx dx dx x x x 1 2 3 3 3 1 1 0 0 3 3 lim lim ( 1) 1 2 2 1 1 c c c dx dx c x x 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 3 lim lim 1 ( 1) 2 2 1 1 c c c dx dx c x x Vậy 2 3 0 1 dx x hội tụ và 2 3 0 3 3 0 2 2 1 dx x Bài 12 Xét sự hội tụ của 2 1 cos 1 x dx x Ta có 2 2 2 cos 1 1 1 1 x x x x nên 2 1 cos 1 x dx x hội tụ, vậy 2 1 cos 1 x dx x hội tụ tuyệt đối Bài 13 Xét 2 1 1 dx x x Ta thấy: 2 2 1 1 , [1, ]x x x x mà 2 1 1 dx x hội tụ suy ra 2 1 1 dx x x hội tụ Bài 14 Xét 3 0 1 1 1 dx x Ta có 3 3 1 1 1 1 1x x , mà 3 0 1 1 dx x phân kì nên 3 0 1 1 1 dx x phân kì. Bài 15 Xét sự hội tụ của chuỗi 1 3 1 n n n Ta có 1 lim lim 0 3 1 3 n n n n a n nên chuỗi đã cho phân kỳ. Bài 16 Xét sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 1 n n n Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n a n n n n n n n n n n Suy ra 2 1 lim lim 1 1 1 n n n a n n nên chuỗi đã cho phân kỳ. Bài 17 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi 1 n n x n Ta có 1 1 . 1 1 1 lim n n n n n a a suy ra 1r Tại 1x ta có chuỗi 1 ( 1) n n n là chuỗi đan dấu có các số hạng giảm và dần về 0 nên chuỗi hội tụ. Tại 1x ta có chuỗi 1 1 n n là chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ là [1,1)D . Bài 18 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: a) 1 n n x n ; ds ( 1;1) b) 2 2 0 . ( 1) n n n n n x n ; ds ( ; )e e c) 1 1 ( 1) n n n x n ; ds ( 1;1] c) 2 0 1 ( 2) 2 1 n n n n x n Bài 19 Tìm cực trị của hàm số 3 3 ( , ) 6f x y x y xy . Ta có ' 2 ' 2 3 6 , 3 6 ( , ) x y f x y f y x x y hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng. Các điểm dừng là nghiệm của 2 2 1 2 2 2 1 2 3 6 0 3 6 0 y x x y y x x y . Giải hệ ta được hai điểm dừng 0 (0;0)M và 1 (2;2)M Xét điểm 0 (0;0)M : Ta có: 0 '' (0;0) 6 0 xx M A f x , '' (0;0) 6 xy B f , 0 '' (0;0) 6 0 yy M C f y . 2 36 0B AC nên tại M 0 không phải là cực trị. Xét điểm 1 (2;2)M : Ta có: 1 '' (2,2) 6 12 xx M A f x , '' (2,2) 6 xy B f , 1 '' (2,2) 6 12 yy M C f y . 2 108 0B AC . Mà 12 0A . Do đó (2,2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là (2,2) 8 8 24 8f Bài 20 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 4 2 2 8 5z x x y b) 2 2 2 1z x y x c) 2 2 z x y d) 3 2z xy x y b) 2 2 z x y c) 2 2 4( )z x y x y Bài 21 Khai triển Maclaurin hàm số ( ) ln(4 )f x x Ta viết ln(4 ) ln 4(1 ) ln 4 ln 1 4 4 x x x rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 22 Khai triển Maclaurin hàm số 2 ( ) sinf x x Ta viết 2 1 sin 1 cos2 2 x x , rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 23 Khai triển Maclaurin hàm số 1 ( ) 7 f x x Ta viết 1 1 7 7 1 7 x x , rồi áp dụng công thức trong sách. Bài 24 Tính tích phân 8 1 dx x theo công thức hình thang với số đoạn chia 4n .Đánh giá sai số Bài 25 Tính tích phân 8 1 dx x theo công thức Simpson với số đoạn chia 2 8n .Đánh giá sai số Bài 26 Tính tích phân 2 2 0 1 dx x theo công thức Simpson với số đoạn chia 2 4n . Ths. Nguyễn Quốc Tiến