ADMIN NVH 35 DẠNG TOÁN HÀM SỐ

Trang 1

CAC DANG TOAN LIEN QUAN DEN KHAO SAT HAM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y= ƒ(x,m) có tập xác định D Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D Cách giải

e Ham s6 đồng biến trênD y >0,Vxe

e_ Hàm số nghịch biến trên D & y <0,VxeD Chú ý: a<0 có sa >0 ' Néu y =ax*+bx+c thi: y>0,VERO “ vay <0,VERS A<0 A<0 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= ƒ(x,m) đơn điệu trên một khoảng (z;b)

e_ Hàm số đồng biến trên (z;ð) © y >0,Vxe (a;ð)

e Hàm số nghịch biến trên (z;b)<> y <0,Vxe(4a;b) e Sử dụng kiến thức:

m = fx) Wx € (0) €> m > max ƒ (4) và ms f(x),Vx €(a,b) > ms min f(x)

Dang 3: Tim điều kiện của tham số m dé ham số y=f(x,m)= ax? +bx* +cx+d don điệu trên một khoảng

có độ dài bằng k cho trước e Taco: y =3ax” + 2bx +c Ƒ ` Ƒ ' a x 0 e Ham sô đông biên trên khoảng (x¡;x;)©PT: y =0 có hai nghiệm phân biét x, va x, © (i 0 (1) >

e Bién déi |x, —x,|=k thanh (x, +x)? —4x,x, =k? 1 2 1 2 1°2 (2)

e Sw dung dinh lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m

e_ Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tìm điêu kiện của tham sô m đê hàm sô y= f(x,m) co cuc tri

e_ Đối với hàm số: y =ax) +bx” +cx+d Khi đó, ta có: y =3ax? +2bx+c

Trang 2

SUCCES Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= ƒ(x,m) đạt cực trị tại điểm Xo

e Hàm số đạt cực trị tại điểm Xq thi: y (%) = (0 GPT nay ta tim duge gia tri cua m e Thử lại các giá trỊ của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?

" Nếu y=B3 hoặc y=B4 thì vận dụng kiến thức: y (xạ)<0 => xạ là điểm CD

y (xạ)>0=— xạ là điểm CT " Nếu y= — thi kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m đề hàm số y= ƒ(x,m) có cực trị tại hai điểm *¡, Xạ Và Các điểm cực trị đó thỏa mãn một hệ thức (ID nào đó

e Tìm điều kiện của m để hàm số có cực tri (1)

e Van dung định lý Viet, ta có hé thirc lién hé gitta x, va x,

e_ Biến đổi hệ thức (1) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m

e_ Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 7: Viết phương trình đường thắng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y= ƒ(z)

Cách giải e_ Đối với hàm số y=ax) +bx”+cx+d:

" Thực hiện phép chia đa thức y cho y va viét ham sé duéi dang: y =u(x) y + Mx+N

=" Goi A(x; ¥,) va B(x; y>) là hai điểm cực trị Khi đó: y, =Mx,+N va y) =Mx,+N

= Do đó, phương trình đường thắng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y= Ä4x+ M

2

e Đối vớihàm số p= TOF mx+n

Trang 3

e A vaB nam vé hai phía đối với trục y © x¡x; <0 (sử dụng hệ thức (2)) e _ Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết qua

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y= ƒ(x,m) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối

với trục hoành

e Tim diéu kiện của m để hàm số có các điểm cực trị xị và xa (1)

e Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa xị và x› (2) e Tính các giá trị yị và y; (tính giống như ở Dạng 7)

e_ Các điểm cực trị năm về hai phía đối với trục y © y¡y; <0 (sử dụng hệ thức (2))

e_ Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m dé dé thi ham sé y = f(x,m) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thắng đ: 4x+ By+C =0 cho trước

Cách giải

e Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị XI VÀ X¿ (1) e Vận dụng đmh lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x, va x, (2)

e Tính các giá frị y¡ và y› (tính giống như ở Dạng 7) — Tọa độ các điểm cực trị: A(xi;: vị), BŒ¿; y2) e A vaB nam vé hai phía đối với đ © (4Axị + By + CJ(4x;¿ + By; +C)<0— kết qua

Dang 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y= ƒ(x,m) có các điểm CÐ và CT đối xứng với

nhau qua đường thắng d: Ax+By+C =0

e Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x, va x, (2)

e_ Tính các giá trị y¡ và y; (tính giống như ở Dạng 7) => Tọa độ các điểm cực trị: 4(x¡;y¡), BŒ¿; y;) AB Ld

e A và B đôi xứng với nhau qua đ © [ cd_ trong đó l là trung điểm của AB => gia trim

e Két hop véi diéu kién (1) dua ra kết qua

Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = ƒ(x,m) có các điểm CÐ và CT cách đều đường thắng ở: Ax+By+C=0

e Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa xị và x› (2)

Trang 4

SUCCES Dang 13: Tim điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y= ƒ(x,m) có các điểm cực trị A và B thỏa mãn một hệ thức nào đó (VD: 4B =k, 4B ngắn nhất, O4 =^/2OB ) Cách giải

e Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị *ị VÀ X¿ (1) e Van dung dinh ly Viet ta co hé thitc lién hé gitta x, va x, (2)

e Tinh cac gia tri y, va y, (tinh giống như ở Dạng 7) — Tọa độ các điểm cực tri: A(xi: ị), BŒa; y2) e Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được gia tri cua m

Dang 14: Tìm điểm M thuộc đường thắng đ: 4x+ By+C =0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y= ƒ(z) là nhỏ nhất

Cách giải

e Tìm các điểm cực trị A(i;yị) và B(x;; y;) của ĐTHS y= ƒ(x)

e _ Viết phương trình đường thắng AB

e Kiém tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thang d

+ Nếu: (Axị + Bụị + C)(4x; + By; +C) <0— A và B nằm về hai phía đối với d

Khi đó: 44+ MB > AB Do đó: M4+ MB nhỏ nhất © M là giao điểm của AB với đường thẳng d

+ Nếu: (Axị + Bụị + C)(4x; + By; +C)>0=> A vaB nam về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thắng d

- Khi đó: M4+ MB = MA +MB> AB Do đó: MA+MB nhỏ nhất © M là giao điểm của AB

với đường thắng d B ;

A M

` ` ` ` A

A, B nam vé hai phia A, B năm về cùng một phía

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y= ƒ(x,m) có các điểm CÐ, CT và đường thắng đi

qua hai điểm cực trị tạo với đường thắng đ: 4x+ By+C =0 một góc bằng ø

Cách giải

Trang 5

Dang 16: Tim điều kiện của tham số m đề đồ thị hàm số y= ax’ +bx? +c c6 cdc diém CD, CT tao thanh mot tam giác vuông cân

Cách giải

e Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1) e Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của DTHS

e_ Xác địnhxem AABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

e Khido: AABC vuông cần < OA.OB =0=> gia tri cua m

e Két hop véi diéu kién (1) dua ra kết quả

Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CD, CT <> DTHS cé ba diém

cực trỊ

Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS y= “— chắn trên hai trục tọa độ một tam

giác có điện tích bằng k ~

Cách giải y

e Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS

e Tim tọa độ giao điểm A(x 4:0) và B(0; yp) của TCX với các trục tọa độ

e Tir dé, suy ra két quả của m "

Dang 18: Tim các điểm M trên đồ thị (C): y= — b sao cho tông khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất ”

Cách øiải

e Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS => Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận

e _ Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho đưới đạng: y= p+ = F (voi p,geER)

e Goi M m pt — 7 c (C) Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

e©_ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm — kết quả

Trang 6

SUCCES

e Tinh y Từ đó suy ra: y (%)

e Phuong trình tiếp tuyến cần tìm: y= y()\(x —*g)+ 7ọ

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y= ƒ(z) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k e Xác địnhk

e Tính ƒ (x) và giải phương trình ƒ (x)=k để tìm hoành độ tiếp điểm xạ Từ đó suy ra: yạ = ƒ(%ạ) e PT tiép tuyén can tim: y =k(x- *g)+ 7g

Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 4(x AYA) e_ Gọi A là đường thắng đi qua điểm 4(x„;y„) và có hệ số góc k PT A:y=k(x-x,)+y, (*)

e — A là tiếp tuyến của (C) c» HPT: 4 1=

k= f (x) (2)

e Thay k tir (2) vao (1) ta được: f(x) =f (x\(x-x,)+y, @)

e Giai phuong trinh (3) ta duge x => k (thay vao (2)) => PT tiếp tuyến cần tim (thay vao (*)) Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thê kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C): y= ƒ(%)

Cách giải

e Gia su: M(x9; yo) Phương trình đường thắng A qua M và có hệ số góc k có dạng: y= &(x— *o)+ 0o

e A là tiếp tuyến của (C) © HPT: ye - Ha %0)+ Yo 0) có nghiệm

k=f (x) (2)

e_ Thay ktừ (2) vào (1) ta được: ƒ(x)= ƒ (xx—xg)+ya @})

e_ Khi đó, từM kẻ được n tiếp tuyến đến (C) PT (3) có n nghiệm phân biệt — kết quả

Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thê kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C): y= ƒ(%) và hai tiếp

tuyên đó vuông góc với nhau

Cách giải

e Gia su: M(x9; yo) Phương trình đường thang A qua M và có hệ số góc k có dạng: y= &(x— *g)+7g

e —A là tiếp tuyến của (C) © HPT: 4 â) - Ma-m)tƠ OO nghiém

k= f (x) (2)

e_ Thay ktừ (2) vào (1) ta được: ƒ(x)= ƒ (xx—xg)+ya @})

Trang 7

Dạng 24: Tìm các giá trị cua m dé dé thi (C,): y= f(x,m) cat d6 thi (C,): y = g(x) tain diém phan biệt

(C,) cat (C>) tain diém phan biét <= PT: f(x,m) = g(x) co nnghiém phân biệt 1 2

e Tìm m băng một sô cách: dựa vào điêu kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biên thiên, dựa vào đồ thị .—> kêt quả

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F(x,m) =0

Cách giải

e Bién đối phương trình Ƒ(zx,m)=0 về dạng: ƒ(x) = gứn), trong đó đồ thị y = ƒ(x) đã vẽ đồ thị e Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị (C):y= ƒ(z) với đường thang

d:y=g(m)

e Dựa vào sô giao điệm của Z với (C) => ket qua

Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thắng Z: y= px+g cắt đồ thi (C): y= ax+b cx +

tai hai diém phan biét

M,N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất Cách giải e2 cất (C) tại hai điểm phân biệt c>PT: ®“ÈỞ = px+q co hai nghiém phan biệt cx+d © PT: 4x7+Bx+C =0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác a C

— điều kiện của m (*)

e Khidd, d cat (C) tai hai diém phan biét M(x; y,) va N(%;;y;) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ gitta x, va x» (x, va x; là hai nghiệm của pt (1))

e_ Tính: MN” =(x;ạ—x¡)“+(y; - y¡)” = kết quả của m để MN là nhỏ nhất

Chú ý: - Khi tính y¡ và y; ta thay xị và x; vào phương trình của đường thắng đ

- AOMN vng © OM.ON =0<© XIXa + yịy;¿ =0 ke pe ad aps oo ya -Ã ax” + bx +¢ - Đơi với đô thị của hàm sô (C): y==——————— cách làm hoàn toàn tương tự mx+n Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thắng đ:y= px+q cat dé thi (C): y= ax+b tai hai diém phan biét cx+d thuộc cùng một nhánh của (C) e Xác định tiệm cận đứng của (C) e 4 cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) <> PT: ax +b cx+d = px+q co hai nghiém phan biét nam vé cing mét phia déi voi TCD C Trang 7

Trang 8

SUCCES Dang 28: Tim giá trị cua m để đường thắng đồ thị (C): y = ax’ +bx* +cex+d_ cat truc Ox tai 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Cách giải e Điều kiện cần: " Hoành độ các giao điểm *¡›*a,%*s là nghiệm của PT: ax? +bx* +cx+d =0 (1) te xế: , b # Theo dinh ly Viet, ta cO: x, + x5 +33 =-— (2) a A ` A A A A A ` b "m Do x;,x;,x; lập thành một câầp sô cộng, nên: xị + x; =2x; Thay vào (2) ta được: x; = _ a

= Thay vao (1), ta được gia tri cua m

e Điều kiện đủ: Thử lại các giá trỊ của mm vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không e Két luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị (C): y = ax” +bx” +cx+đ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân se Điều kiện cần: = Hoanh độ các giao điểm *¡,*,xa là nghiệm của PT: ax)+bx” +cx+d =0 (1) tt Tử Xi d "Theo định lý Viet, ta có: xịxaxs =—— (2) g A ` a, _k kK A A 2 x ‹ 3 d

"Do x¡,x;,x; lập thành một cầp sô nhân, nên: xx; = x5 Thay vào (2) ta được: xạ =— 7

= Thay vao (1), ta duge giá trị của m

e Diéu kién du: Tht lai cdc gia tri cua m vira tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không e Kết luận: Đưara gia tri cua m

Dang 30: Cho họ đường cong (C,,): y= f(x,m), voim la tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên

di qua với mọi giá frỊ của m

4=0 ` A kK 4:

Dang 31: Cho ho duong cong (C,,): y= f(x,m), voi m la tham số Tìm các điểm mà họ đường cong trên

Trang 9

Dang 32: Cho dé thi (C): y = f(x) Vé d6 thi cua ham s6 y= t (|x) Cách giải e _ Vẽ đồ thị của hàm số (C): y= ƒ(>) éu x>0 e Tacó: y= Z(El = PO) ¬ 7 ƒ(-x) nêu x<0

= Phan 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox Dạng 33: Cho đồ thị (C): y= ƒ(z) Vẽ đồ thị của hàm số y = |ƒ(2®)| Cách giải e_ Vẽ đồ thị của hàm sé (C): y = f(x) nếu ƒ(x)>0 ° Ta có: y=|ƒ(>)|= PO) F I) —f(x) nêu ƒ(x)<0

e Do đó, đồ thị của hàm số y= | ƒ (x) là hợp của hai phần:

= Phần l: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox

= Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị (C): y = f(x) Vé d6 thi của hàm số |y|= ƒ(>)

e _ Vẽ đồ thị của hàm số (C): y= ƒ(>)

f(x)20

° Tacó: |=ƒ(+)< È = f(x)

y=—f (x)

e_ Do đó, đồ thị của hàm số Ly = f(x) la hop cua hai phan:

= Phan 1: la phan cua đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox = Phan 2: là phần đối xứng với phần l qua trục Ox

Dang 35: Cho dé thi (C): y = ƒ(z) Vẽ đồ thị của hàm số y = ƒ(z) = Iu()|.v(2) e_ Vẽ đồ thị của hàm số (C): y= f(x)

Taco: y= u(x).v(x) Tiêu u(x)=0 _- {mn néu u(x) <0

¢ Do dé, dé thi cha ham sé y = f(x) =|u(x)|.v(x) 1a hop cia hai phan: = Phần l: là phần của đồ (C) trên miền u(x) >= 0

n

= Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền u(x) <0 qua truc Ox

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	4,34 MB