DeThiHSG.Com Dap an va de thi hoc sinh goi mon toan lop 12 So GD

DeThiHSG.Com S thi h c sinh gi i, chuyên GIÁO D C VÀ ÀO T O V NH PHÚC Môn: TỐN – THPT chun Th i gian: 180 phút, khơng k th i gian giao Ngày thi: 02/11/2012 ng trình y 3y z 3z x x 3x 5y y2 5z z2 Câu (1,5 i m) Cho a, b, c, d s th c d 3a a b c 3 ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! K THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P 12 THPT N M H C 2012-2013 THI CHÍNH TH C Câu (2,5 i m) Gi i h ph b id x, y , z 5x ng Ch ng minh r ng bc a b a b c d 4 2b3d 81 a b a b c d ng cho 3n Câu (2,0 i m) Gi s n m t s nguyên d d c a n 11n 2012 n chia cho 25 2n chia h t cho Tìm s Câu (3,0 i m) Cho hình bình hành ABCD G i P i m cho trung tr c c a o n th ng CP chia ôi o n AD trung tr c c a o n AP chia ôi o n CD G i Q trung i m c a o n th ng BP a) Ch ng minh r ng ng th ng BP vng góc v i ng th ng AC b) Ch ng minh r ng BP 4.OE , ó E trung i m c a AC O tâm ng tròn ngo i ti p tam giác AQC Câu (1,0 i m) Cho m, n m n úng m ph n t c a n 1 Cn2 Cn3 Cn4 t p n s nguyên d h p S S cho t p h p Ai Aj v im i j Ch ng c n ph n t ta ln ch n x1 , x2 , , xn Ak 1, 2,3, , m ng A m t t p h p có x y xi x A, y minh r ng n u ôi m t phân bi t A , i 1, n th a mãn k j, k 1, n -H t - - Thí sinh khơng c s d ng máy tính c m tay - Giám th khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: ………………………………………………….S báo danh…………… DeThiHSG.Com - thi h c sinh gi i, chuyên b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! DeThiHSG.Com - thi h c sinh gi i, chuyên GIÁO D C VÀ ÀO T O V NH PHÚC S b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! K THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P 12 THPT N M H C 2012-2013 Mơn: TỐN – THPT chun H NG D N CH M (G m 04 trang) L u ý ch m bài: - áp án ch trình bày m t cách gi i bao g m ý b t bu c ph i có làm c a h c sinh Khi ch m n u h c sinh b qua b c khơng cho i m b c ó -N u h c sinh gi i cách khác, giám kh o c n c ý áp án cho i m -Trong làm, n u m t b c ó b sai ph n sau có s d ng k t qu sai ó khơng c i m -H c sinh c s d ng k t qu ph n tr c làm ph n sau -Trong l i gi i câu n u h c sinh khơng v hình ho c v sai hình khơng cho i m - i m tồn tính n 0,25 khơng làm tròn Câu (2,5 i m) N i dung Xét hàm s i u ki n: x, y, z f' t t2 2t 0, g ' t 5t 1 ; g t ngh ch bi n 5t Khi ó ta có 0, t ; Mà f t , g t hàm s liên t c t t 3t 2, g t f t ng bi n suy f t Không m t tính t ng quát ta gi s x ; x, y, z Khi ó ta có: N u x y z Do v y x y g x g y y,t c x2 3x t h x g y g z f x f x f y z x x c x x x 5x x x 3x x 1, x ; g z y , vơ lí x ng t lí lu n nh ta x 3x DeThiHSG.Com - f z g x f y f z suy y z suy x y z Thay tr l i h ta x (1) D thi h c sinh gi i, chuyên2 th y hàm s b id ng bi n ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! DeThiHSG.Com - thi h c sinh gi i, chuyên b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! N i dung ; h h ph x nghi m nh t c a ph ng trình ã cho x y ng trình (1) V y nghi m c a z Câu (1,5 i m) N i dung t P 3a a b c d ng b t 2a a b bc a b a b c d 33 b 2b3 d 81 a b Khi a b c d ó áp 33 81 a b a b c 3c a b a b c a b c d b a b c d 2b3 d 3 a b a b c a b c 3c a b c a b 44 44 ng th c AM-GM ta có: a b 2a a b a b c bc a b a b c d 33 i m 4 a b c d b a b 2d a b c d b 2d a b a b c d C ng t ng v b t ng th c ta c: a b a b c a b c d P a b a b c a b c d D u ng th c x y ch a b c d 25 Câu (2,0 i m) N i dung t n 3q r ; q, r 3n Do ó 2n ,0 26 k +) 11n 116 k +) 2012 n 2k Khi ó 3n q 3r mod Suy n có d ng n +) 2n r 6k , ý n u a,7 6k T (1), (2) (3) ta DeThiHSG.Com - mod q 27 q.3r 8q.2r a6 q 3r 2k 1, r 113 2 (1) 43 mod 20126 k 2r mod mod Do ó ta có: mod 11k 2012 2r 2n i m 6k 20129 (2) 39 273 mod (3) c thi h c sinh gi i, chuyên3 b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! thi h c sinh gi i, chuyên DeThiHSG.Com - ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! b id N i dung 2n 11n 2012 n i m 1 mod V y s d c n tìm Câu (3,0 i m) A B Q I P O M E J D C N N i dung i m a) (2,0 i m) G i M, N, I, J theo th t trung i m c a o n th ng AD, CD, AP, CP Khi ó NI AP, MJ CP Do I trung i m c a AP, Q trung i m c a BP nên IQ AB IQ AB t ó suy IQ CN IQ CN Suy t giác CNIQ hình bình hành Suy CQ NI T Ch ng minh t ó, NI ng t , c ng AP nên CQ c AQ (1) AP (2) CP T (1) (2) suy P tr c tâm c a tam giác ACQ suy PQ AC hay BP AC Do P tr c tâm c a tam giác AQC nên OA OC OQ OP OA OC 4OE V y BP OP OB OP OA OC OP OB 4OE BP BP OB OP 4.OE 4.OE Câu (1,0 i m) N i dung Xét t p h p B x y z t x, y , z , t B DeThiHSG.Com - i m A Ta s ch b t ng th c sau: Cn2 Cn3 Cn4 (1) thi h c sinh gi i, chuyên4 b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! thi h c sinh gi i, chuyên DeThiHSG.Com - ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! b id N i dung i m Th t v y, ta xét tr ng h p sau: +) N u s x, y, z , t u b ng s s d ng x +) N u s x n y z t +) N u s úng s x, y, z , t có x t suy có t i a C s y z t b ng b ng nhau, gi x z x +) N u s x, y, z , t m t khác có t i a Cn4 s n n Do ó có nhi u nh t C C C s d ng x (1) G i x1 S t C1 S \ x x1 x B suy C1 A2 S Cn Khi C1 c A2 C n \ x xn Cn ó ta ki m tra x1 , x2 , , xn n B Ti p theo C2 Ki m tra B x t C2 B , A1 z t Khi A3 ó y có t i a Cn3 s d ng x2 C1 ó suy b t x2 x1 x3 x2 C ti p t c nh v y nb x3 x y z t y z t.T C1 \ x x2 x n B A3 y y t có t i a Cn2 s d ng ã xét y z t n x y z t x, y, z, t có úng s b ng Khi ó n u x này, n u x D th y A1 s ng th c B suy C2 c th n , ta t B Cn c Ai B n n B Aj v i m i i xn Cn xn xn j V y t n t i ph n t S th a mãn yêu c u toán -H t - DeThiHSG.Com - thi h c sinh gi i, chuyên5 b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! ... 3x DeThiHSG.Com - f z g x f y f z suy y z suy x y z Thay tr l i h ta x (1) D thi h c sinh gi i, chuyên2 th y hàm s b id ng bi n ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! DeThiHSG.Com - thi h c sinh. .. t x, y , z , t B DeThiHSG.Com - i m A Ta s ch b t ng th c sau: Cn2 Cn3 Cn4 (1) thi h c sinh gi i, chuyên4 b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! thi h c sinh gi i, chuyên DeThiHSG.Com - ng HSG... mod Do ó ta có: mod 11k 2 012 2r 2n i m 6k 2 0129 (2) 39 273 mod (3) c thi h c sinh gi i, chuyên3 b id ng HSG mi n phí c p nh t liên t c! thi h c sinh gi i, chuyên DeThiHSG.Com - ng HSG mi n phí