Nhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau
Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính sau nửa mặt I1 = � �xdydz + ydzdx + zdxdy S phía cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S I2 = � zdxdy + y dxdz S phía vật thể gh � ≤z ≤1-x2-y2 S 2 I3 = � y dzdx + x dydz - zdxdy S phía nửa � mặt cầu x2+y2+z2=4, S z≥0 I4 = � �( y - z )dydz + (z - x )dzdx + ( x - y )dxdy S S phía ngồi phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 x 2 I5 = � zdxdy + ( + ) dydz + ( y + z )dxdz S phía � x S phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn -1≤y≤1 Bài tập tích phân mặt S phía nửa mặt I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy � cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S Pt mặt S F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: �F = (2 x,2y ,2z ) S phía tức pháp vecto S hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị “+” u r n = + ( x, y , z ), z �0 Tiếp theo, ta chọn cách: Tính trực tiếp chuyển mặt loại Bài tập tích phân mặt Với này, ta chuyển mặtu rloại cách dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g) � �Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy S =� �( P cos a + Q cos b + R cos g) ds S u r Từ I1 = � �xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + ( x, y , z ), z �0 S 2 x + y + z Suy ra: I1 = � ) ds �2 ( S Với mặt loại này, ta có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) 2dxdy 2 Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds = 2 4- x - y Bài tập tích phân mặt 2dxdy I1 = � Vậy: � Dxy - x2 - y 2 dr x=rcosφ 2p �dj �r y=rsinφ 4- r =16π Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y dxdz S phía ngồi vật thể gh � 0≤z≤1-x2-y2 S Mặt S gồm mặt: S1 phía mp z=1, S2 phía mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S1: ur n1 = - (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị mặt S2: uu r n2 = + (2 x,2y ,1) 2 x + y +1 Bài tập tích phân mặt Ta tính mặt S1 cách ur chuyển mặt loại S1 mặt phẳng có n1 = - (0,0,1) I21 = � zdxdy + y dxdz = � � �( (- 1)z ) ds = S1 ( z=0) Còn mặt S2 ta tính trực tiếp I22 = � zdxdy + y dxdz � S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 uu r Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) → cosγ>0 x + y +1 p 2 �(1- x - y )dxdy ↔ I221 = Suy ra: I221 = +� Dxy Bài tập tích phân mặt 2 I = y dxdz Pt mặt: y =z+x -1 � Tp theo dxdz: 222 � S2 uu r (2 x,2y ,1) Suy ra: Pháp vecto: n2 = + 2 x + 4y +1 cosβ dấu với y, tức ta phải chia S2 thành nửa ứng với y dương y âm Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên nửa đối xứng qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 nửa Do đó, I222 chia thành mà sau chuyển kép tổng kép trái dấu Tức là: I222=0 Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y dxdz S phía ngồi vật thể gh � 0≤z≤1-x2-y2 S S mặt cong kín phía ngồi nên ta áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh CT Gauss: � �Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = �� )dxdydz � �(Px�+ Qy�+ Rz� V Ta có: I2 = +� � �(0 + 2y +1)dxdydz V Bài tập tích phân mặt I2 = +� � �(0 + 2y +1)dxdydz V I2 = 1- x - y � � dxdy x +y �1 2p 0 � (2y +1)dz I2 = �dj �r (2r sin j +1)(1- r )dr p I2 = Bài tập tích phân mặt 2 I3 = � y dzdx + x dydz - zdxdy S phía nửa � mặt cầu x2+y2+z2=4, S z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với biến x, y nên tính theo dydz, dzdx ta chia S thành nửa đối xứng có pháp vecto tương ứng ngược dấu Vậy trở thành tổng kép có miền lấy nhau, hàm dấu trái dấu §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2- x - y � �dxdy � ( x + y )dz I9 = x +y �1 I9 = � �( x + y )( x +y 2 2- x - y - 2 x + y )dxdy x +y �1 2p I9 = � dj 2p r ( r cos j + r sin j )( r - r )dr � I9 = � (cos j + s inj )dj I9=0 2 r ( r - r )dr � §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 Ví dụ 10 : Đổi tích phân I10 �d � dr sau tọa độ Descartes 0 4r 2 r � dz Trước tiên, ta xem xét cận tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, � �2 � D:� �r �1 � 1 �x �1 � � �� x �y � x � Suy D: x2+y2≤1 -1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau cận tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn với ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 cuối xem xét đến hàm dấu tích phân để đổi tọa độ Oxyz : f ( x, y , z ) = r = x + y Vậy: I10 �dx 1 x2 y � dy x2 y 4 x y � x y dz §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích a2 x phân sau sang I11 �dx � dy a tọa độ cầu tính a2 x � xdz a2 x y Ta cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy � �a �x �0 D:� 2 2 � a x �y � a x � � �3 a -a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 Cận tích � x y z � a 2 phân theo a x y �z �0 � � �z �0 dz cho ta ½ hình cầu nằm phía mặt phẳng z = Cắt dọc miền lấy tích phân mặt phẳng chứa trục Oz x = ta ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy π/2 ≤ θ ≤ π 0≤ ρ≤a -a z Cuối thay x=ρsinθcosφ vào 3 a I11 �d �d � sin sin cos d a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân miền V: x2+y2=1, z=0, 2 2 2 x +y =z (z≥0) hàm f ( x, y , z ) = x + y + z mặt giới hạn V khơng có mặt cầu hàm f(x,y,z) mà ta đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu V xuống mp z=0 hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V mp x=0 ta D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta gặp đường thẳng tương ứng mặt trụ không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu p sin q p � sin q � � � � I12 = � dj � d q �r sin qr dr = � dj � sin qd q� r � � � � � � � p p 0 4 2p 2p I12 = � dj p I12 = (2 p 2p 2p 1 dq = � dj � sin q p 2- - ln ) 2 +1 p 2 - d cos q 2 � (1 co s q ) p §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học 1.dxdydz Thể tích miền Ω tính V () � � � Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn y x , y x , x z 6, z Hai mặt trụ song song với trục Oz y = √x, y = 2√x tựa lên đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = để miền đóng D hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x §2 Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = tức ứng với ≤ – x nên miền Ω ta có bất đẳng thức 0≤z≤ 6–x O x x 6 x Vậy: V () � dxdydz � dx �dy �dz � � 2√6 √6 D §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn �x y z �4, x �y Ta tính thể tích cách đổi tích phân bội ba V () � dxdydz � � sang tọa độ cầu bình thường Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy nửa hình tròn D: x y �4, x �y π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz y = x ta miền D1 hình vành khăn D §2 Tích phân bội ba – UD hình học nên ≤ θ ≤ π D1 Trong miền D1 ta theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1≤ρ≤2 5 Vậy: V ( ) �d � d � 2sin d 5 3� � V () ( ) cos � � 4 � � 14 V () §2 Tích phân bội ba – UD hình học D D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn x y z �2z, z � x y Ta tìm hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước x2 + y +(x2 + y ) = x2 + y � x2 + y =1 Ta hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz mặt x = ta miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên ≤ θ ≤π/4 theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp mặt cầu với phương trình x2 � y2 z2 2z 2 cos � �2cos §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 I14 �d �d 0≤ρ ≤2c os θ 0 ≤ θ ≤π/4 2cos � sin d ... dx 4- y 2 S(D5 ) = � dy - �dx y 1- S(D5 ) = 2p -2 Bài tập phần UD hình học tích phân kép Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn mặt V1: x2+y2+z2 =2, z2=x2+y2, z≥0 V2: x2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần... học tích phân kép z2 = 2- x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2 Như vậy, hình chiếu V1 xuống mp z=0 hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 2- x2-y2 (Làm ngược lại với pt trên) Tức ta xác định mặt nằm trên, nằm miền V1 2 2... z=0 V9: z=4-y2, z=y2 +2, x=-1, x =2 10 V10: z=x2+y2, z=2x2+2y2, y=x, y=x2 11 V11: x2+z2=4, y=0, y=x, z=0, z≥0 Bài tập phần UD hình học tích phân kép Trong mặt cho có hình trụ kín x2+y2=4 nên ta hình