TICH PHAN

Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 NGUYÊN HÀM I.Kiến thức cơ bản: 1.Bài toán mở đầu: 2.Định nghĩa: -Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x ∈ (a;b) thì F'(x)=f(x). -Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x). -Kí hiệu: ∫ += CxFdxxf )()( -Chú ý: F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] nếu ∀ x ∈ (a;b) ta có F'(x)=f(x);F'(a + )=f(a) và F'(b - )=f(b). 3.Các tính chất: 3.1. ∫ = )()')(( xfdxxf 3.2. ∫ ∫ ∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 3.3. ∫ ∫ ∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 3.4. ∫ ∫ = dxxfdxxf )()( αα 3.5. ∫ ∫ ∫ === )()()( duugdttfdxxf 3.6.Nếu f và g là các hàm có nguyên hàm và f ≤ g thì ∫ ∫ ≤ dxxgdxxf )()( 3.7. ∫ += . ))(()(')).(( CxFdxxxf ϕϕϕ 4.Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 5.Bảng nguyên hàm: NhómI: Đại số 1. ∫ += Cxdx 2. C x dxx + ∫ + + = 1 1 α α α 3. Cxdx x + ∫ = ln 1 1. ∫ += Cudu 2. C u duu + ∫ + + = 1 1 α α α 3. Cudx u + ∫ = ln 1 NhómII: Lượng giác 1. ∫ +−= Cxxdx cossin 2. ∫ += Cxxdx sincos 3. Cx x += ∫ tan 2 cos 1 4. Cx x +−= ∫ cot 2 sin 1 1. ∫ +−= Cuudu cossin 2. ∫ += Cuudu sincos 3. Cu u += ∫ tan 2 cos 1 4. Cu u +−= ∫ cot 2 sin 1 1 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 NhómIII: Siêu việt 1. ∫ += C x edx x e 2. ∫ += C a x a dx x a ln 1. ∫ += C u edx u e 2. ∫ += C a u a dx u a ln II. Các phương pháp cơ bản tính nguyên hàm: 1.Phương pháp phân tích: 1.1.Đa thức,hữu tỉ: Ví dụ 1:Tính dx bax x n ∫ + )( 2 Áp dụng: dx x x ∫ − 27 2 )1( Ví dụ 2:Tính ∫ ++ n cbxax dx )( 2 Áp dụng: Bài 1. ∫ +− 23 2 xx dx Bài 2. ∫ ++ 22 2 xx dx Bài 3. ∫ + 2 )2(x dx Bài 4. dx xx xxx . 65 116102 2 23 ∫ +− −+− Bài 5. dx x xx ∫ + −+ . 1 22 3 2 Bài 6. ∫ ++ 22 )2()1( xx dx Bài 7. dx xx x . 23 47 3 ∫ +− − Bài 8. dx xx xxx . 14 34 23 ∫ + −−− 1.2.Lượng giác: Dạng 1: ( ) ( ) dx bxax ∫ ++ sin.sin 1 Bài 1. dx xx ∫ −+ ) 6 sin(). 4 sin( 1 ππ Bài 2. dx xx ∫ −+ ) 3 cos(). 4 sin( 1 ππ Bài 3. ∫ + dx x 1sin2 1 Bài 4. ∫ + xdxx tan) 4 tan( π Dạng 2: 1.3.Vô tỉ: Bài 1. 2 1 2 3 dx x x+ − + ∫ Bài 2. 1 dx x x+ − ∫ 1.4.Mũ-Logarit: 2 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 2.Phương pháp đặt ẩn phụ: Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số u=g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu u'(x) và hàm số y=f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là y'(u) thì hàm số hợp y=f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu là y'(x) và ta có y'(x)=y'(u).u'(x). Định lí: -Giả sử f là một hàm xác định và có nguyên hàm là F trên (a;b). +Nếu ϕ :( βα ; ) → (a;b) là hàm khả vi thì: ∫ += . ))(()(')).(( CxFdxxxf ϕϕϕ x ∈ );( βα +Nếu ϕ :( βα ; ) → (a;b) là hàm khả vi liên tục có đạo hàm ngược ψ sao cho g=(f. ϕ ) ϕ ' có nguyên hàm G trên ( βα ; ) thì: ∫ +=+= . ))(()()( CxGCxFdxxf ψ x ∈ (a;b) -Từ định lí trên ta có phương pháp tính nguyên hàm bằng đổi biến số như sau: Giả sử cần tính I= ∫ dxxf )( +Nếu f(x)=g( ϕ (x)). ϕ '(x) thì đặt ϕ (x)=u khi đó: ∫∫∫ == duugdxxxgdxxf )()(')).(()( ϕϕ Áp dụng: 2.1.Đa thức,hữu tỉ: Bài 1. dx x x . )4( 28 3 ∫ − Bài 2. dx x x ∫ + − . 1 1 4 2 Bài 3. ∫ − dxxx 823 )32( Bài 4. dx x ∫ + 6 1 1 Bài 5. dx x x ∫ + + 1 1 6 4 Bài 6. ∫ + dx x x 1 2 Bài 7. 2 4 1 1 x dx x + + ∫ Bài 8. 2 4 1 1 x dx x − + ∫ 2.2.Lượng giác: Bài 1.Tính dx x ∫ sin 1 Bài 2. ∫ + dx x xx 1 2 sin 3 sin.cos Bài 3. ∫ dx x x 8 2 sin cos Bài 4. ∫ dxxx .cos.sin 5 Bài 5. ∫ xdxtan 2.3.Vô tỉ: Bài 1. ∫ − dx x x 1 2 Bài 2. 2 1 2 x dx x+ ∫ 2.4.Mũ-Logarit: 3 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 1. ∫ − 2 x x ee dx Bài 2. ∫ dx x eax . 2 . +Nhiều bài toán ta đặt x= ϕ (t) khi đó: ∫∫ = dtttfdxxf )(')).(()( ϕϕ Áp dụng: Bài 1. ∫ − dxx 2 1 Bài 2. ∫ − dx x 1 2 1 Bài 3. ∫ + dx x 1 1 2 Bài 4. ∫ + dxx 1 2 Bài 5. ∫ − 32 )1( x dx Bài 6. ∫ − 1 2 2 x dxx Bài 7. ∫ + 32 )1( x dx 3.Phương pháp nguyên hàm từng phần: Giả sử u;v là hai hàm khả vi trên khoảng (a;b) nào đó.Khi đó: (uv)'=u'.v+v'.u Từ đó ta có: ∫ ∫ −= vduuvudv 3.1.Đa thức,hữu tỉ: 3.2.Lượng giác: Bài 1. ∫ + dxbaxxp ).sin().( Bài 2. ∫ + dxbaxxp ).cos().( Bài 3. ∫ dxxx .sin. 2 Bài 4. 2 .tanx xdx ∫ 3.3.Vô tỉ: 3.4.Mũ-Logarit: Bài 1. ∫ + dxexp bax .).( Bài 2. ∫ + dxbaxxp ).ln().( Bài 3. ∫ + + dxdcxe bax ).cos(. Bài 4. ∫ + + dxdcxe bax ).sin(. Bài 5. ∫ + dx x ex ).3( Bài 6. ( ) 3 2 1 sinx xdx + ∫ Bài 7. ∫ xdxe x cos. Bài 8. ∫ dxxe x .cos. 2 Bài 9. ∫ dxxx .ln. 3 Bài 10. ∫ −+− dxexxx x223 ).12( 3.5.Tổng hợp: Bài 1. ∫ + ++ 1 )1ln( 2 2 x dxxxx Bài 2. ∫ dxx)cos(ln Bài 3. dx x x ∫ 2 cos )ln(cos Bài 4. sin 2 . cosx x e dx ∫ 4 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 5. ( ) 3 2 sin x x cos xdx+ ∫ Bài 6. 2 .tanx xdx ∫ 4.Xác định nguyên hàm bằng nguyên hàm phụ: Bài 1 ∫ + dx xx x 44 4 sincos sin Bài 2. ∫ − − dx ee e xx x Bài 3. ∫ dxxx .2cos.sin.2 2 Bài 4. ∫ + dx xx x cossin sin TÍCH PHÂN: I.Kiến thức cơ bản: 1.Định nghĩa: 2.Ý nghĩa hình học: 3.Các tính chất: Tính chất1. 0)( = ∫ a a dxxf Tính chất2. ∫ ∫ −= b a a b dxxfdxxf )()( Tính chất3. ∫ ∫ = b a b a dxxfkdxxfk )(.)(. Tính chất4. dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a ∫∫ ∫ +=+ )()()]()([ Tính chất5. dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a ∫∫ ∫ −=− )()()]()([ Tính chất6. dxxfdxxfdxxf b c b a c a ∫∫ ∫ += )()()( Tính chất7.Nếu f(x) ≥ 0, ];[ bax ∈∀ thì ∫ ≥ b a dxxf 0)( Tính chất8.Nếu f(x) ≥ g(x), ];[ bax ∈∀ thì ∫ ∫ ≥ b a b a dxxgdxxf )()( Tính chất9.Nếu m ≤ f(x) ≤ M, ];[ bax ∈∀ thì m(b-a) ≤ ∫ b a dxxf )( ≤ M(b-a) Tính chất10.Cho ];[ bat ∈ thì G(t)= ∫ t a dxxf )( là một nguyên hàm của hàm số f(t) và G(a)=0. II.Các dạng bài tập: 1.Tính tích phân bằng phương pháp phân tích: 1.1.Đa thức-Hữu tỉ: 5 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 1. 2 ( ) n x dx ax b β α + ∫ Bài 2. 1 2 7 0 (2 1) x dx x + ∫ Bài 3. 2 2 5 1 ( 2) x x + ∫ Bài 4. 0 2 9 1 (1 ) x dx x − − ∫ Bài 5. 2 1 ( ) n dx ax bx c β α + + ∫ Bài 6. 4 2 2 3 1 ( 3 2) dx x x− + ∫ Bài 7. ( ) 1 2 0 1 xdx x + ∫ Bài 8. 2 4 3 2 2 1 3 2 2x x x x dx x x + + + − + ∫ Bài 9. 4 2 3 3 2 x dx x x− + ∫ Bài 10. ( ) ( ) 3 2 3 3 2 1 1 1 x dx x x − − + ∫ Bài 11. 1 3 2 0 2 1 x dx x x+ + ∫ Bài 12. 0 3 1 7 4 3 2 x dx x x − − − + ∫ Bài 13. 2 4 2 1 4 3 dx x x+ + ∫ Bài 14. 3 3 2 3 2 2 3 6 5 6 x x x dx x x x − + + − + ∫ 1.2.Lượng giác: Bài 1. 0 sin 1 sin 2 3 x cosx dx x cosx π − + + + ∫ Bài 2. 4 4 0 dx cos x π ∫ Bài 3. 2 0 sin sin x dx x cosx π + ∫ Bài 4. 2 3 0 cos xdx π ∫ Bài 5. ( ) 4 4 4 0 sincos x x dx π − ∫ Bài 6. 3 0 5cos xcos xdx π ∫ Bài 7. 2 6 1 sin 2 2 sin x cos x dx x cosx π π + + + ∫ Bài 8. 2 0 1 sin xdx π + ∫ Bài 9. 2 2 4 0 sin .x cos xdx π ∫ Bài 10. 2 4 0 sin xdx π ∫ 6 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 11. 4 0 .sin 4 dx cosx x π π   +  ÷   ∫ Bài 12. 2 0 1 2sin 1 dx x π + ∫ Bài 13. 3 6 sin .sin 6 dx x x π π π   +  ÷   ∫ 1.3.Vô tỉ: Bài 1. 1 0 1 dx x x+ + ∫ Bài 2. 5 4 3 4 xdx x x− − + ∫ 1.4.Mũ-Logarit: Bài 1. 1 2 0 3 x dx e + ∫ Bài 2. ln2 0 5 5 x dx e+ ∫ 2.Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: Dạng I: 2.1.Đa thức-Hữu tỉ: Bài 1. ∫ + + 2 1 4 2 1 1 dx x x Bài 2. ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x Bài 3. ∫ − 1 0 635 )1.( dxxx Bài 4. 1 4 2 0 1 x dx x x+ + ∫ Bài 5. 1 21 0 (1 )x x dx − ∫ Bài 6. 1 5 2 0 1 x dx x + ∫ Bài 7. 1 2 10 0 (1 3 )(1 2 3 )x x x dx+ + + ∫ Bài 8. 1 2 4 6 10 2 1 1 x dx x + + + ∫ Bài 9. 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ Bài 10. 1 3 0 3 1 dx x+ ∫ Bài 11. 3 2 9 2 (1 ) x dx x− ∫ Bài 12. 2 2 4 3 2 1 ( 1) 2 2 1 x dx x x x x − + − + + ∫ Bài 13. 2 2 4 2 1 ( 3) ( 3 2) x dx x x x − + + ∫ Bài 14. 4 3 10 2 ( 1) x dx x − ∫ 7 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 15. 3 3 1 dx x x+ ∫ 2.2.Lượng giác: Bài 1. ∫ + 4 0 22 cos2sin 2sin π dx xx x Bài 2. ∫ + 2 0 sin1 sin π x xdx Bài 3. ∫ ++ 2 0 3cossin π xx dx Bài 4. 3 2 2 0 .cos 1 cos sinx x dx x π + ∫ Bài 5. 6 2 0 cos 6 5sin sin x dx x x π − + ∫ Bài 6. 3 3 0 sin 2 x dx cosx π + ∫ Bài 7. 2 0 sin 2 sin 1 3 x x dx cosx π + + ∫ Bài 8. 2 0 sin 2 . 1 x cosx dx cosx π + ∫ Bài 9. 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x π − + ∫ Bài 10. 2 6 3 5 0 1 sincos x xcos xdx π − ∫ Bài 11. 3 2 0 sin tanx xdx π ∫ Bài 12. 4 2 0 1 sin x dx cos x π + ∫ Bài 13. ( ) 2 2 0 sin 2 2 sin x dx x π + ∫ Bài 14. 2 3 sin 2 x dx cos x cosx π π − ∫ Bài 15. 4 0 tan 2 t x dx cos x ∫ 0 4 t π   < <  ÷   Bài 16. 3 2 0 tan sin x dx cos x cosx x π − ∫ Bài 17. 2 2 2 2 2 0 sin sin xcosx dx a cos x b x π + ∫ Bài 18. 4 3 sin 2 dx x π π ∫ Bài 19. 2 3 6 6 sin x dx cos x π π ∫ Bài 20. 4 2 0 sin 4 1 x dx cos x π + ∫ Bài 21. 2 0 1 sin dx cosx x π + + ∫ Bài 22. 2 3 4 0 .sincos x xdx π ∫ 8 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 23. 2 5 7 0 sin .x cos xdx π ∫ Bài 24. 3 4 6 sin . dx x cosx π π ∫ 2.3.Vô tỉ: Bài 1. ∫ + 2 1 2 1. xx dx Bài 2. 1 0 1x xdx− ∫ Bài 3. 3 5 2 0 . 1x x dx+ ∫ Bài 4. 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ Bài 5. 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ Bài 6. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ Bài 7. 7 3 0 2 1 x dx x + + ∫ Bài 8. 10 5 2 1 dx x x− − ∫ Bài 9. 5 2 2 1 dx x x − ∫ Bài 10. 1 4 0 1 1 x dx x + + ∫ Bài 11. 2 2 1 1 dx x x+ + ∫ Bài 12. ( ) 3 3 0 2 2 2 2 2 a xdx a x a x+ + + ∫ Bài 13. 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x + + ∫ Bài 14. 1 2 0 1 1 x dx x − + ∫ Bài 15. ( ) ( ) 1 0 1 8 dx x x+ + ∫ Bài 16. ( ) 1 5 0 1 1 x dx x − + ∫ Bài 17. 1 3 2 0 1 x dx x x+ + ∫ Bài 18. 1 2 1 1 1 dx x x − + + + ∫ Bài 19. ( ) ( ) 0 3 2 2 2 1 . 1 4 4 .x x x x x dx − + + − + ∫ 2.4.Mũ-Logarit: Bài 1. 2 1 1 ln e x dx x + ∫ Bài 2. ln2 0 2 x dx e + ∫ 9 Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn ĐT: 0978414932 Bài 3. ln5 ln3 2 3 x x dx e e − + − ∫ Bài 4. 0 1 3ln .ln e x x dx x + ∫ Bài 5. ( ) ln3 3 0 1 x x e dx e + ∫ Bài 6. ln3 2 ln2 1 x x e dx e − ∫ Bài 7. 3 2 1 ln ln 1 e x dx x x + ∫ Bài 8. 1 3 2ln 1 2ln e x dx x x − + ∫ Bài 9. 1 2 0 1 3 ln 9 3 x dx x x + − − ∫ Bài 10. 1 0 x x e e dx + ∫ Bài 11. 1 0 1 x x e dx e − − + ∫ Bài 12. ln 2 0 1 x e dx− ∫ Bài 13. ( ) 2 1 0 1 x x e dx e + ∫ Bài 14. ( ) 2 1 2 0 1 1 x x e dx e + + ∫ Bài 15. ln2 0 3 3 x dx e+ ∫ Bài 16. 3 2 1 ln 2 ln e x x dx x + ∫ Dạng II. Bài 1. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx Bài 2. ∫ − 2 0 22 4. dxxx Bài 3. ∫ + 1 0 32 3 )1( x dxx Bài 4. ∫ − 2 3 2 2 1. xx dx Bài 5. ∫ − 1 2 2 2 2 1 dx x x Bài 6. ∫ − 1 0 2 2 4 x dxx Bài 7. ∫ + a xa dx 0 222 )( Bài 8. 2 3 2 2 0 1 x dx x − ∫ Bài 9. dx x x ∫ + 2 3 2 3 2 2 29 Bài 10. ∫ − − + 0 a dx xa xa 10