SKKN-PTBH

Toán cực trị đại sô với học sinh thcs Một số sai lầm thờng gặp A. Đặt vấn đề 1) Lí do chọn đề tài: Nh các bạn đ biết Toán học là bộ môn khoa học đóng vai trò đóng vai trò hết sức quanã trọng trong việc phát triển và nâng cao năng lực t duy cho học sinh. Một đặc trng quan trọng của môn toán là t duy suy luận logíc. Trong chơng trình toán học phổ thông, hệ thống kiến thức đợc xắp xếp có trình tự, đảm bảo tính logíc hệ thống, phù hợp với t duy logíc của học sinh, đáp ứng đợc mọi yêu cầu về nhận thức của học sinh. Các bài toán nhằm bồi dỡng và nâng cao năng lực trí tuệ xuất hiện ngày càng nhiều ở SKG theo chơng trình mới. Toán cực trị là một loại toán nh vậy. Đây là loại toán vô cùng khó đối với học sinh trung học cơ sở vì nó đòi hỏi phải có khả năng suy luận chặt chẽ và t duy cao. Tuy xuất hiện một cách rời rạc trong SGK nhng lại có vai trò vô cùng quan trọng trong việc bồi dỡng và nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh. Đặc biệt nó thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối năm, cuối cấp, đề thi phát hiện học sinh giỏi. Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy các em thờng rất khó khăn thi giải loạii toán này (phần vì quá khó, phần vì trong SGK không trang bị các phơng pháp giải cụ thể) đặc biệt mắc nhiều sai sót trong khi giải, rất ít học sinh có lời giải đầy đủ và chặt chẽ. Chính vì vậy tôi viết đề tài về loại toán này với mong muốn đợc trao đổi với các bạn đồng nghiệp về phơng pháp giảng dạy loại toán này sao cho có hiệu quả nhất. Vì phạm vi có hạn nên tôi xin đợc trao đổi với các bạn về cách dạy toán cực trị đại số Toán cực trị đại số với học sinh THCS Những sai lầm thờng gặp 2) Mục đích của đề tài: 1. Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán cực trị đại số phù hợp với trình độ nhận thức 2. Giúp các em tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống, chủ động, sáng tạo, rèn khả năng tự học, tự đọc. 3. Tháo gỡ những vớng mắc, khó khăn, tránh đợc một số sai lầm khi giải toán cực trị đại số để có lời giải đảm bảo chặt chẽ, Logíc 4. Thông qua việc giải toán cực trị học sinh thấy rõ hơn mục đích của việc học tập toán, đồng thời góp phần nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất lợng giáo dục đại chà và bồi dỡng học sinh giỏi. 3) Đối tợng nghiên cứu và thực hiện: Học sinh lớp 8, 9 4) Phơng pháp nghiên cứu: 1.Nghiên cứu kỹ chơng trình SGK, đọc thêm STK 2.Điều tra tình hình học sinh khi làm các bài toán cực trị 3.Dùng phơng pháp kiểm nghiệm thông qua việc ra đề kiểm tra 4.Trao đổi với các đồng nghiệp, học hỏi kinh nghiệm -1- B. Nội dung cơ bản của đề tài I. Lý thuyết cơ bản 1. Định nghĩa : a) Cho biểu thức f(x,y, .) xác định trên miền D, ta nói m (const) là giá trị lớn nhất của f(x,y, .) nếu hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả m n :ã +Với mọi x, y, . thuộc D sao cho f(x,y, .) m +Tồn tại x 0 , y 0 , . thuộc D sao cho f(x 0 , y 0 , .) = m Ký hiệu: maxf(x,y, .) = m b) Cho biểu thức f(x,y, .) xác định trên miền D, ta nói n (const) là giá trị nhỏ nhất của f(x,y, .) nếu hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả m n :ã +Với mọi x, y, . thuộc D sao cho f (x,y, .) n +Tồn tại x 0 , y 0 , . thuộc D sao cho f (x 0 , y 0 , .) = n Ký hiệu: minf(x,y, .) = n 2. Các kiến thức th ờng dùng : 1) x 2 0; [ f(x)] 2k 0 với mọi xR; kZ từ đó suy ra : [ f(x)] 2k +m m ; n- [ f(x)] 2k n 2) a. x 0 b. x+y x + y ; dấu = xảy ra x y 0 c. x-y x - y ; dấu = xảy ra y (x-y) 0 3) Bất đẳng thức cổ điển (ở dạng đơn giản): a) BĐT Côsi: Với a 0; b 0 thì a+b 2 ab * Một số hệ qquả 1. (a+b) 2 4ab; dấu = xảy ra a=b 2. 2 a b b a + (với a.b > 0); dấu = xảy ra a=b 3. Với a 0; b 0 . a+b=k (không đổi) thì (ab)max a=b 4. Với a 0; b 0 . a.b=k (không đổi) thì (a+b)min a=b b) BĐT Bunhiacôpski: (ax+by) 2 (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ); dấu = xảy ra a b x y = 3. Đ ờng lối chung để giải: 1. Phơng pháp bất đẳng thức: Nội dung phơng pháp này dựa trực tiếp vào định nghĩa .Tức là phải chứng minh: a) f(x,y, .) m ; f(x,y, .) n b) Tồn tại x 0 , y 0 , . thuộc D sao cho F(x 0 , y 0 , .) = m hoặc F(x 0 , y 0 , .) = n Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 - 4x + 9 Giải: Ta có A = x 2 - 4x + 4 + 5 = (x-2) 2 + 5 Do (x-2) 2 0 với mọi x nên A 5. Dấu = xảy ra (x-2) 2 = 0 x = 2 Vậy minA = 5 (x = 2) 2. Phơng pháp miền giá trị của hàm số: -2- Giả sử tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác định D . Ta gọi y 0 là một giá trị nào đó của f(x) với x thuộc D. Điều này có nghĩa là phơng trình f(x) = y 0 phải có nghiệm x Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 - 4x + 9 Giải: Giả sử A 0 là một giá trị nào đó của A . Thế thì phơng trình sau phải có nghiệm x A 0 = x 2 - 4x + 9 x 2 - 4x + 9 - A 0 = 0 Ta có: / = (-2) 2 - (9 - A 0 ) = 5 A 0 Phơng trình có nghiệm / 0 0 0 5 0 5A A A 0 =5 x = 2 Vậy maxA = 5 x = 2 3. Phơng pháp dùng BĐT cổ điển: Nội dung của phơng pháp này là áp dụng kết quả có sẵn của các BĐT cổ điển để giải quyết bài toán cực trị. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 16 2 x x + (với x>2) Giải: 16 16 2 2 2 2 B x x x x = + = + + Do x > 2 nên x- 2> 0; Theo BĐT Côsi ta có 16 16 2 2 ( 2). 8 2 2 x x x x + = . Suy ra B 10 2 16 10 2 ( 2) 16 2 4 6; 2 2 B x x x x x x = = = = = = Vì x > 2 nên x = 6 (thoả m n) ; x= -2 (không thoả m n)ã ã Vậy minB = 10 ( x=6) 4. Chú ý quan trọng: - Phần này nhằm trang bị cho học sinh có kiến thức cơ bản về cực trị đại số - Cần chứng minh tất cả các tính chất, các BĐT sử dụng khi giảng dạy (vì giới hạn bài viết nên không chứng minh) -Cần cho học sinh nắm thật chắc định nghĩa để tránh sai lầm khi giải toán, cụ thể : + Chỉ tìm đợc f(x,y, .) m, f(x,y, .) n đ vội vàng kết luận mà không để ý đến ã sự tồn tại của x 0 , y 0 , + Không chú ý đến miền xác định D -3- II. Một số dạng toán thờng gặp 1- Dạng 1: Đa thức bậc nhất có dấu trá trị tuyệt đối Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất của A = 2 - 5-3x Giải Ta có 5-3x 0 với mọi x . Nên A 2 Dấu = xảy ra 5-3x = 0 x = 5 3 Vậy MaxA = 2 x = 5 3 Ví dụ2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x-1996 + x-2000 Giải: Cách 1: Chia khoảng để xét + Nếu x < 1996 thì B = x + 1996 x + 2000 = 3996 2x (1) Do x < 1996 nên 2x > - 3992. Suy ra B > 4 +Nếu 1996 x 2000 thì B = x 1996 + 2000 x = 4 (2) +Nếu x > 2000 thì B = x- 1996 + x 2000 = 2x 3996 Do x > 2000 nên 2x > 4000 . Suy ra B > 4 (3) Từ (1);(2) và (3) ta có minB = 4 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng BĐT x+y x+ y ; dấu = xảy ra x, y cùng dấu Ta có B = x-1996 + x-2000 = x-1996 + 2000-x x-1996+2000-x = 4 B = 4 (x-1996)(2000-x) 0 1996 x 2000 minB = 4 1996 x 2000 2. Dạng 2: Đa thức bậc hai Bài toán tổng quát: Xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = a x 2 + bx + c (a 0) Giải: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 . ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 4 2 b b b b b b A ax bx c a x x c a x c a x m a a a a a a = + + = + + + = + + = + + ( với 2 4 b m c a = ) +Nếu a > 0 thì 2 ( ) 0 4 b a x a . Nên A m minA = m 2 b x a = +Nếu a < 0 thì 2 ( ) 0 4 b a x a . Nên A m maxA = m 2 b x a = Ví dụ3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x 2 - 6x - 1 -4- Giải: A = 3x 2 - 6x +3 4 = 3(x-1) 2 + (- 4) Do (x-1) 2 0 nên A - 4 Dấu = xảy ra (x-1) 2 = 0 x = 1 Vậy minA = -4 Cách khác: +Với học sinh lớp 9 đ thành thạo về căn bậc hai có thể viết A nhã sau: 2 2 ( 3 ) 2.( 3 ). 3 3 4 ( 3 3) 4 4A x x x = + + = + +Hoặc Có thể làm theo phơng pháp miền giá trị nh đ nêu ở phần Đã ờng lối giải Ví dụ4: Tìm giá trị lớn nhất của B = 4x - x 2 + 1 Giải: B = 5 - x 2 + 4x 4 = 5 (x-2) 2 Do (x-2) 2 0 nên B 5 Dấu = xảy ra (x-2) 2 = 0 x = 2 Vậy maxB = 5 x = 2 Ví dụ 5: Tìm x, y để C đạt giá trị nhỏ nhất C = x 2 + xy + y 2 - 3x 3y + 2009 Giải : C = (x 2 -2x+1) + (y 2 -2y+1) +xy-x-y+1+2006 = (x-1) 2 +(y-1) 2 +(x-1)(y-1)+2006 2 2 2 2 2 ( 1) 1 3 ( 1) 2( 1). ( 1) 2006 4 2 4 1 3 ( 1) ( 1) 2006 2006 2 4 y y x x y y x y = + + + + = + + + Dấu = xảy ra 1 1 0 1 2 1 0 y x x y y + = = = = Khi đó minC = 2006 Vậy với x = y = 1 thì C đạt giá trị nhỏ nhất 3. Dạng 3: Đa thức bậc cao ví dụ6: Tìm giá trị lớn nhất của M = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 Giải : M = x 4 - 6x 3 + 9x 2 + x 2 - 6x + 9 = (x 2 3x) 2 + (x 3) 2 0 Dấu = xảy ra 2 0 3 0 3 3 3 0 3 x x x x x x x = = = = = = minM = 0 x = 3 Ví dụ7: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = x(x+1)(x+2)(x+3) Giải : N = x(x+3)(x+1)(x+2) = (x 2 +3x)( x 2 +3x +2) Đặt y = x 2 +3x+1 thì N = (y-1)(y+1) = y 2 1 - 1 -5- Dấu = xảy ra y = 0 x 2 +3x+1 3 5 2 x = Vậy minN = - 1 3 5 2 x = Ví dụ8: Tìm giá trị lớn nhất của Q = 3 - (x 2 -x+1) 2 Giải: 2 2 1 3 3 ( ) 2 4 Q x = + Do 2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 3 9 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 4 4 2 4 4 16 x x x + + 9 39 3 16 16 Q = . Dấu = xảy ra 2 1 1 ( ) 0 2 2 x x = = Vậy 39 1 max 16 2 Q x = = 4. Dạng 4: Phân thức: 4.1 Tử là hằng số, mẫu là đa thức bậc hai Ví dụ9: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 1 2 4x x Giải: 2 2 1 1 2 4 ( 1) 3 A x x x = = + + Do (x-1) 2 0 (x-1) 2 +3 3 2 2 1 1 1 1 ( 1) 3 3 ( 1) 3 3x x + + Dấu = xảy ra (x-1) 2 = 0 x = 1 Vậy minA = 1 1 3 x = 4.2 Phân thức có mẫu là bình phơng một nhị thức Ví dụ10: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 ( 1) x x D x + + = + Giải : Cách 1: ĐK: (x -1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 6 3 2 1 3( 1) ( 1) 3 ( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4( 1) x x x x x x x x x D x x x x + + + + + + + + = = = = + + + + + Do 2 2 ( 1) 3 0 4( 1) 4 x D x + . Dấu =xảy ra x = 1 (thoả m nĐK)ã Vậy minD = 3 4 x = 1 -6- Cách 2: 2 2 2 ( 2 1) ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) x x x D x x x + + + + = = + + + + Đặt 1 1 y x = + thì 2 2 1 3 3 1 ( ) 2 4 4 D y y y = + = + Dấu =xảy ra 2 1 1 1 1 ( ) 0 1 2 2 1 2 y y x x = = = = + (thoả m nĐK)ã 3 min 1 4 D x = = 4.3 Phân thức dạng khác Ví dụ11: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2 2 1 1 x P x x + = + Giải: Cách 1: +Tìm giá trị lớn nhất của P: 2 2 2 2 2 2( 1) ( 2 1) ( 1) 2 1 1 x x x x x P x x x x + + = = + + Do 2 2 2 2 2 1 3 ( 1) ( 1) 0; 1 ( ) 0 0 2 4 1 x x x x x x x + = + > + Do đó P 2. Dấu = xảy ra (x-1) 2 = 0 x = 1 Vậy maxP = 2 x = 1 +Tìm giá trị nhỏ nhất của P: 2 2 2 2 2 2 2 3( 1) 2( 1) ( 2 1) 2 ( 1) 3( 1) 3( 1) 3 3( 1) x x x x x x P x x x x x x + + + + + + = = = + + + + Do 2 2 2 2 2 1 3 ( 1) ( 1) 0; 1 ( ) 0 0 2 4 1 x x x x x x x + + + = + + Dấu = xảy ra (x+1) 2 = 0 x = -1 Vậy 2 min 1 3 P x= = Cách 2: Dùng phơng pháp miền giá trị sẽ thuận lợi hơn Do x 2 -x+1 > 0. Nên P tồn tại giá trị max, min khi và chỉ khi phơng trình sau có nghiệm: 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 0 1 x P P x x x P x Px P x x + = + = + + = + (*) Nếu P = 1 thì x = 0 Nếu P 1: thì (*) là phơng trình bậc hai có = P 2 - 4(P-1) 2 = - 3P 2 +8P 4 Phơng trình (*) có nghiệm 2 2 2 8 4 0 3 8 4 0 0 3 3 4 4 4 2 2 ( ) 2 3 9 3 3 3 P P P P P P P + + -7- Dấu = xảy ra 2( 1) P x P = ; P = 2 x = 1 ; 2 1 3 P x= = Vậy maxP = 2 x = 1; 2 min 1 3 P x= = 5. Dạng 5: Biểu thức có căn thức Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của 2 4A x x= + Giải: ĐK: 2 x 4 Ta xét: 2 2 4 2 ( 2)(4 ) 2 2 ( 2)(4 )A x x x x x x= + + = + áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm x 2 và 4 x ta có : ( 2)(4 ) ( 2) ( 4) 2x x x x + = . Do đó A 2 4. Suy ra A 2 (do A > 0) Dấu = xảy ra x 2 = 4 - x x = 3 (thoả m n ĐK)ã Vậy minA = 2 x = 3 Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của 2 5 3 1 x B x = Giải: ĐK: 1-x 2 0 - 1 x 1 Khi đó 5 3x > 0 nên B > 0 Ta xét : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 25 30 9 (9 30 25 ) 16 16 ( ) 1 1 1 (3 5 ) 16(1 ) (3 5 ) 16 1 1 1 x x x x x x B x x x x x x x x x + + + = = = = + = + Do 1-x 2 0 nên B 2 16. Suy ra B 4 (do B > 0) Dấu = xảy ra 3 5x = 0 x= 5 3 Vậy minB = 4 x= 5 3 6. Dạng 6: cực trị có điều kiện ràng buộc Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 3 + y 3 +xy biết x+y = 1 Giải: A = (x+y)(x 2 -xy+y 2 )+xy = x 2 -xy+y 2 +xy = x 2 +y 2 Đến đây có nhiều cách giải Cách 1: Biểu thi y theo x rồi đa về tam thực bậc hai đối với x Thay y = 1-x ta có A = x 2 +(1-x) 2 = 2(x 2 -x)+1= 2 1 1 1 2( ) 2 2 2 x + Dấu = xảy ra 2 1 1 1 ( ) 0 ; 2 2 2 x x y = = = Vậy 1 1 1 min ; 2 2 2 A x y = = = Cách 2: Sử dụng điều kiện đ cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A ã -8- Do x+y = 1 (x+y) 2 1 x 2 +2xy+y 2 = 1 (1). Mặt khác (x-y) 2 0 x 2 -2xy+y 2 0 (2) Từ (1) và (2) ta có 2(x 2 +y 2 ) 1 (x 2 +y 2 ) 1 2 Dấu = xảy ra 2 1 1 2 ( ) 0 x y x y x y + = = = = Vậy 1 1 1 min ; 2 2 2 A x y = = = Cách 3: Sử dụng điều kiện đ cho để đã a về một biến mới Đặt 1 1 2 2 x a y a = + = . Khi đó 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 A x y a a a = + = + + = + Dấu = xảy ra 2 1 0 0 2 a a x y = = = = Vậy 1 1 1 min ; 2 2 2 A x y = = = Ví dụ 15: Cho a,b,c là ba số dơng thoả m n điều kiện ã 1 1 2 a c b + = . Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức 2 2 a b c b M a b c b + + = + Giải: Ta có 1 1 2 2 2 . a c ac b a c b b a c a c + + = = = + . Thay b và M ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : (2 ) ( ) : (2 ) 3 3 3 3 3 3 3 . . . 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ac ac ac ac M a a c c a c a c a c a c a ac a c c ac a c a c c a a c a a c a c a a c c a c a a c c a = + + + + + + + + + + + + + = + = = + + = + + + + Vì 3 2 1 ( ) 4 4 2 a c a c M c a c a + + + . Dấu = xảy ra a=c ; thay vào (*) ta có b=a Vậy minM = 4 a=b=c III. Một số sai lầm thờng gặp 1. Ví dụ 1: Ta xét bài toán ở Ví dụ9 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 1 2 4x x 1.1. Lời giải sai 1: 2 2 1 1 2 4 ( 1) 3 A x x x = = + + Do (x-1) 2 0 (x-1) 2 +3 3 2 2 1 1 1 1 ( 1) 3 3 ( 1) 3 3x x + + -9- Vậy minA = 1 3 * Phân tích sai lầm 1: Do không nắm chắc định nghĩa nên thiếu ĐK2: cha chỉ ra sự tồn tại của x 0 để A (x 0 ) = 1 3 đ vội vàng kết luận minA = ã 1 3 1.2. Lời giải sai 2: 2 2 1 1 2 4 ( 1) 3 A x x x = = + + Do (x-1) 2 0 (x-1) 2 +3 3 2 1 1 ( 1) 3 3x + Vậy A không có giá trị min *Phân tích sai lầm 2: HS này mắc sai lầm ở chỗ sử dụng quy tắc so sánh hai phân số một cách máy móc mẫu càng lớn thì phân số càng bé mà không chú ý đến trờng hợp hai phân số có giá trị âm Chính vì vậy khi giảng dạy giáo viên cần lu ý học sinh phải cẩn thận khi dùng quy tắc so sánh hai phân số 1.3. Lời giải sai 3: Do A có tử bằng 1 (không đổi) nên minA max 1 A Xét 1 A = - x 2 + 2x- 4 = - 3 (x-1) 2 - 3 (do (x-1) 2 0) Dấu = xảy ra (x-1) 2 = 0 x = 1. Khi đó max 1 A = -3. Suy ra minA = 1 3 Vậy minA = 1 3 *Phân tích sai lầm 3 : HS này mắc sai lầm ở chỗ sử dụng minA max 1 A mà không chú ý: điều này chỉ đúng khi A > 0 2. Ví dụ 2: Ta xét bài toán ở Ví dụ14 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 3 + y 3 +xy biết x+y = 1 2.1. Lời giải sai 1: A = (x+y)(x 2 -xy+y 2 )+xy = x 2 -xy+y 2 +xy = x 2 +y 2 Do (x-y) 2 0 x 2 -2xy+y 2 0 x 2 +y 2 2xy . Dấu = xảy ra 1 2 x y = = Do đó 1 1 1 min 2. . 2. . 2 2 2 A x y = = = * Phân tích sai lầm 4: HS này mắc sai lầm khi kết luận giá trị nhỏ nhất là một biểu thức (2xy) chứa biến (mặc dù kết quả đúng) 2.2. Lời giải sai 2: A = (x+y)(x 2 -xy+y 2 )+xy = x 2 -xy+y 2 +xy = x 2 +y 2 0 (do x 2 0; y 2 0) Dấu bằng sảy ra x = y = 0 -10-