MỘT số KINH NGHIỆM tìm GTNN,GTLN

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TÌM GTNN,GTLN TRONG ĐẠI SỐ Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lí chọn đề tài a) Cơ sơ lí luận Trong q trình phát triển thời đại, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp phát triển người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln tìm tòi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng nhà nước đề Trong chương trình tốn trường THCS kiến thức ‘ Giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số “ chưa nhiều song lại quan trọng Đó lại tiền đề để em học lên THPT Khi giải toán ‘GTLN, GTNN biểu thức” đòi hỏi em phải nắm vững kiến thức phép biến đổi biểu thức đại số,….để vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giải đến phức tạp Qua việc giải toán “cực trị” giúp em phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng ý thức, thái độ, long say mê học toán cho em b) Cơ sở thực tiễn ‘GTLN, GTNN biểu thức” loại toán mà học sinh trường THCS coi loại tốn khó nhiều học sinh khơng biết giải dạng tốn nào, có phương pháp nào? Trên thực tế giảng dạy môn tốn lớp 8,9 qua nhiều năm tơi nhận thấy học sinh dường khơng có “hào hứng, bế tắc” với dạng tốn này, tốn khơng theo định hướng nên em lung túng việc giải toán đặc biệt dạng tốn sách giáo khoa nhắc đến có tài liệu tham khảo nên gây khó khăn cho em việc học tập, việc bồi dưỡng giáo viên Thực trậng khiến tơi băn khoăn suy nghĩ “ làm để học sinh không thấy ngại, không thấy khó khăn có thêmhào hứng gặp dạng tốn này” Vứi trách nhiệm người giáo viên tơi thấy cần giúp em học tốt phần Tôi giành nhiều thời gian đọc tài liệu, nghiên cưus đề thi, thực tế giảng dạy than số đồng nghiệp, qua tìm tòi thử nghiệm giúp đỡ bạn đồng nghiệp mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Một số kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN đại số lớp 8” Với đề tài hi vọng giúp đỡ phần cho học sinh lớp khơng bỡ ngỡ, khó khăn việc tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số II Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu cách tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số lớp nhằm giúp học sinh giáo viên nang cao lực tự nghiên cứu, đồng thời mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiẹu - Nghiên cứu vấn đề nắm thuận lợi, khó khăn dạy phần tìm GTLN, GTNN việc bồi dưỡng học sinh giỏi nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn III Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hoá kiến thức GTNN, GTLN chương trình đại số lớp - Tìm hiểu mức độ kết triển khai đề tài - Phân tích rút học kinh nghiệm IV Phạm vi đối tượng nghiên cứu 1) Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu GTLN, GTNN - Giáo viên học sinh lớp trường THCS 2) Phạn vi nghiên cứu Các tốn tìm GTLN, GTNN đại số V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp điều tra, khảo sát - Phương pháp thử nghiệm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức a) Cho biểu thức f ( x, y, ) ta nói M giá trị lớn (GTLN) cuả biểu thức f ( x , y , ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y, ) xá định f(x,y, ) ≤ M ( M số) - Tồn x0 , y0 , cho f ( x0 , y0 , ) cho f ( x0 , y0 , ) = M b) Cho biểu thức f ( x, y, ) ta nói M giá trị nhỏ (GTNN) cuả biểu thức f ( x , y , ) kí hiệu f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x, y, để f(x,y, ) xá định f(x,y, ) ≥ M ( M số) - Tồn x0 , y0 , cho f ( x0 , y0 , ) cho f ( x0 , y0 , ) = M ( Cả hai trường hợp phải dấu “=” xẩy nào) c Không thiếu hai điều kiện tìm GTLN, GTNN biểu thức Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức: A = ( x − 1)2 + x - Lời giải sai học sinh: Ta có: ( x − 1)2 ≥ 0; x ≥ nên A ≥ Vậy A = - Ta thấy lời giải không đúng, sai làm lời giải chứng tỏ A ≥ chưa dấu xẩy lúc Dấu đẳng thức khơng xẩy khơng thể đồng thời ( x − 1)2 = 0; x = Lời giải đúng: A = ( x − 1)2 + x = x + x − x + = 2( x − )2 + 2 1  Vì  x − ÷ ≥ với x Dấu “=” xẩy x = 2  1 ⇒ 2( x − ) + ≥ , ∀x 2 Do A = hay A ≥ với ∀x 1 x = 2 Vậy A = 1 x = 2 Kiến thức cần nhớ Để tìm GTNN,GTLN biểu thức đại số cần nắm vững số kiến thức sau: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc.: * a ≥ , tổng quát a n ≥ (n ∈ N * ) Dấu đẳng thức xẩy a = * −a ≤ , tổng quát −a n ≤ (n ∈ N * ) Dấu đẳng thức xẩy a = * a ≥ Dấu đẳng thức xẩy a = * − a ≤ Dấu đẳng thức xẩy a = * a + b ≥ a + b Dấu đẳng thức xẩy a.b ≥ * a − b ≤ a − b Dấu đẳng thức xẩy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ a b * a ≥ b; a.b > ta có: ≤ Dấu đẳng thức xẩy a = b II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Trong trình giảng dạy tham khảo tài liệu tiến hành phân loại dạng tìm GTNN, GTLN chương trình đại số hướng dẫn học sinh kiến thức có liên quan để giải dạng Củ thể phân loại số dạng sau: Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN biểu thức tam thức bậc hai dạng ax + bx + c(a ≠ o) a, b số cho Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: A = x + x + Hướng dẫn giải - Để tìm GTNN biểu thức A ta phải biến đổi dạng: A ≥ M củ thể A = [ f ( x )] + M (M số) thoả mãn với biến x cần dấu đẳng thức - Lưu ý đẳng thức: (a ± b)2 = a ± 2ab + b Lời giải: A = x + x + = x + x.1 + 12 + = ( x + 1) + Vì ( x + 1)2 ≥ 0, ∀x nên A = ( x + 1)2 + ≥ với x Dấu “=” xẩy x = −1 Vậy GTNN A x = −1 Ví dụ : Tìm GTNN biểu thức B = x + 10 x − - Ở tập ta thấy dạng ví dụ việc biến đổi biểu thức B dạng [ f ( x)] + M phép biến đổi phức tạp so với ví dụ Sau số cách biến đổi : Cách : 2  1     1  B = x + 10 x − =  x + x −  =  x + 2.x +  ÷ −  ÷ −  2        2 5 27 27  =  x +  + (− ) ≥ − 2 2  Dấu đẳng thức xẩy x + = ⇔ x = − Vậy GTNN B − 27 x = − 2 Cách : Ta có : B = 2(2 x + 10 x − 1) = x + 20 x − = (2 x) + 2.2 x.5 + − 52 − B = (2 x + 5) − 27 ≥ −27 =>2B nhận giá trị nhỏ -27 ⇔ x + = ⇔ x =  B nhận GTNN − −5 27 ⇔x=− 2 Cách : Ta có : B x + 10 x − 1 25 27 = = x + x − = x + 2.x + − 2 2 4 B   27 27 =x+ ÷ − ≥−  2 4 => B 27 −5 nhận GTNN − x + = ⇔ x = 2 Do GTNN biểu thức B − 27 27 = − ⇔x=− 2 Cách Ta có : B= 2(2 x + 10 x − 1) x + 20 x − (2 x) + 2.2 x.5 + 25 − 27 (2 x + 5) 27 27 = = = − ≥− 2 2 2 Do GTNN biểu thức B : − 27 ⇔ 2x + = ⇔ x = − 2 Cách : 25 27   27 27 B = ( x) + 2 x + − =  2x + − ≥−   2 2 2  GTNN biểu thức B − 27 5 ⇔ 2x + =0⇔ x=− 2 Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức C = −3 x + x + Gợi ý : Để tìm GTLN biểu thức C ta phải biến đổi biểu thức C dạng C = − [ f ( x ) ] + M ≤ M với giá trị biến x Lời giải :  4  10 10    C = −3x + x + = −3  x − x  + = −3  x − 2.x + −  + = −3  x −  + ≤  9 3 3    2 2 2   Vì với giá trị x  x −  ≥ nên −3  x −  ≤ 3 3   Nên biểu thức C đạt GTLN 10 2 ⇔ x− =0⇔ x = 3 (Các cách biến đổi để tìm GTLN biểu thức C tương tự ví dụ 2) Từ ví dụ ta rút tập tổng quát Ví dụ : Cho tam thức bậc hai : P = ax + bx + c (a,b,c số đa cho) a) Tìm GTNN P a > b) Tìm GTLN P a < Gợi ý: Biến đổi P = a [ f ( x)] + M sau xét trường hợp a > a < để tìm GTNN, GTLN Lời giải: 2 P = ax + bx + c = a ( x +  b b b2  b2 b  b2  x) + c = a  x + 2.x + ÷+ c − = a x + ÷ + c − a 2a 4a  4a 2a  4a   b2 b   Đặt c − = M Do  x + ÷ ≥ 0, ∀x nên : 4a 2a   b   a) Nếu a> a  x + ÷ ≥ 0, ∀x 2a   P ≥ M Vậy GTNN P M x = − b 2a b   b) Nếu a< a  x + ÷ ≤ 0, ∀x 2a   P ≤ M Vậy GTLN P M x = − b 2a Sau học sinh biết cách tìm GTNN, GTLN dạng cố cho học sinh tự làm tập sau: 1) Tìm GTNN biểu thức: b) B = x − x + c) C = x − x + 14 ; D = x( x − 6) + 15 a ) A = x + 12 x − 2) Tìm GTLN biểu thức: b) B = − x − x + 16 c) C = −4 x − x + 14 ; D = x(9 − x) + 15 a ) A = −5 x + x − Dạng 2: Bài tốn tìm GTNN, GTLN đa thức bậc hai, hai biến ba biến Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = x2 − 2x + y − y + Gợi ý: Biến đổi A dạng: [ f ( x)] + [ g ( y ) ] + M 2 Lời giải: A = x − x + y − y + = ( x − x + 1) + 2( y − y + 1) + = ( x − 1) + 2( y − 1) + ≥ Vì ( x − 1)2 ≥ với x 2( y − 1)2 ≥ với ∀y x −1 = x = ⇔  y −1 = y =1 Dấu ‘=’ xẩy  Vậy GTNN A x = y = Đối với dạng thường đưa dạng A = [ f ( x)] + [ g ( y )] + M [ f ( x, y ) ] + [ g ( y , y ) ] 2 + M để tìm GTNN để tìm GTLN ta đưa dạng A = −([ f ( x) ] + [ g ( y) ] ) + M A= 2 −([ f ( x, y ) ] + [ g ( y, y ) ] ) + M 2 Sau hướng dẫn giải tập dạng cho học sinh làm thêm số tập khác để cố kiến thức: 1)Tìm GTNN biểu thức: A= x + xy + y + y − 21 ; B = x + y + z − 18 x + z − y + 30 C = y + 2( x + 1) − y ( x + 1) − 15 ; D = x − x + y − 12 y + 2)Tìm GTLN biểu thức: A = − x + x − y − y + 31 ; B = − x − y + x + 12 y − 13 Dạng 3: Bài tốn tìm GTNN, GTLN đa thức cao hai Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: A = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) Gợi ý: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa dạng 1: Lời giải: A = x ( x − 3)( x − 4)( x − 7) = [ x( x − 7) ] [ ( x − 3)( x − 4) ] = ( x − x)( x − x + 12) Đặt y = x − x + , ta có A = ( y − 6)( y + 6) = y − 36 ≥ 36 Do GTNN A -36 y =0 ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − 6) = ⇔ x1 = x2 = Ở ví dụ ta lưu ý dạng ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) + e a+ c = b + d Ví dụ 2:Tìm GTNN biểu thức: B = ( x + x + 1)2 Gợi ý: -Ta nhận thấy B = ( x + x + 1)2 ≥ GTNN có hay khơng? Vì sao? - Học sinh phải nhận thấy được: B ≥ GTNN A khơng thể B ≠ với x Do để tìm GTNN B ta phải tìm GTNN biểu thức x + x + 10 Bài giải: 2 1 1 1 3  Ta có: x + x + = x + 2.x +  ÷ −  ÷ + =  x + ÷ + ≥ 2 2 2 4  2 Do GTNN biểu thức x + x + ⇔x=− 2 3 Vậy GTNN B  ÷ = x = −   16 Ví dụ 3:Tìm GTNN biểu thức: C = x − x3 + 10 x − x + 12 Gợi ý: - Hãy viết biểu thức C dạng: ( f ( x) ) + ( g ( x) ) + M ≥ M 2 - Xét xem dấu “=” xẩy nào? GTNN biểu thức bao nhiêu? Bài giải: C = x − x3 + 10 x − x + 12 = ( x ) − 2.x 3x + (3 x) + x − x.3 + 32 + = ( x − x) + ( x − 3) + ≥  x =  x − 3x =  x ( x − 3) =  ⇔ ⇔   x = ⇔ x = Dấu “=” xẩy ⇔  x − = x − = x =  Vậy GTNN biểu thức C x = Qua ví dụ dạng ta nhận thấy có phần phức tạp so với dạng 1, dạng song ta cần khắc sâu cho học sinh phương pháp giải đặc biệt ý đến đẳng thức bình phương tổng hiệu Sau đay tập cố cho dạng này: Tìm GTNN biểu thức:( Bằng cách đặt ẩn phụ) A = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 13 11 B = ( x − 1)( x − 3)( x − x + 5) C = ( x + x − 6)( x + x + 2) D = x − x3 + 3x − x + E = ( x + 6)4 + ( x + 8)4 Dạng 4: Tìm GTNN, GTLN dạng phân thức a) Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm GTLN A = x − 4x + Gợi ý: - tử số dương không đổi nên A đạt GTLN mẫu đạt GTNN a - Hoặc sử dụng tính chất a ≥ b, a.b > ⇒ ≤ b Bài giải: 2 A = x − x + = ( x − 2)2 + ≤ ( x − 2)2 + ≥ 5, ∀x Do GTLN A ⇔ x−2=0⇔ x =2 Ví dụ 2: Tìm GTNN B = 2x − x2 + Bài tập giải tương tự; 1 B = x − x + = − ( x − 1)2 + 1 1 2 Vì ( x − 1) ≥ ⇒ ( x − 1) + ≥ ⇒ ( x − 1)2 + ≤ ⇒ − ( x − 1) + ≥ − với x Vậy GTNN B − ⇔ x − = ⇔ x = 12 Khi giải dạng học sinh thường mắc sai lầm lập luận rằng; Tử số hằn số nên biểu thức đạt GTNN (hoặc GTLN) mẫu nhỏ lớn Chảng hạn: Tìm GTLN C = x −2 Học sinh biến đổi sau: C đạt GTLN mẫu thức x − có GTNN -2 khoi x = Nhưng với x = ⇒ 1 = − GTLN x −2 2 2 Vì tìm giá trị x để C lớn − , chẳng hạn x =2 C = > − 2 1 Như từ - 2< suy − > a b Qua cho ta thấy a ≥ b ⇒ ≤ ⇔ a.b > tức a, b dấu b)Phân thức mẫu bình phương nhị thức Ví dụ: Tìm GTNN biể thức: A = x − 3x + x2 − 2x + Gợi ý: Cách 1: Đổi biến cách đặt x-1 =y=> x = y+1 Lời giải: x − x + ( y + 1) − 3( y + 1) + y − y + 1 A= = = = 1− + 2 x − 2x + y y y y 1 3 lại đặt y = z ta có: A = z − z + = ( z − )2 + ≥ 4 Do GTNN A ⇔ z = ⇔ y = ⇔ x −1 = ⇔ x = Cách 2: Gợi ý : Viết biểu thức A dạng tổng số biểu thức không âm  f ( x)  A=   +M  g ( x)  13 Bài giải: A= x − x + 4( x − x + 3) (3 x − x + 3) + ( x − x + 9) = = x − x + 4( x − x + 1) 4( x − 1) 2 3( x − 1) + ( x − 3)  x −  3 = =  + ≥ 4( x − 1)  2( x − 1)  4 GTNN A ⇔ x−3= ⇔ x = c) Các dạng phân thức khác Ví dụ 1: Tìm GTLN phân thức E = x + x + 11 x2 + 2x + Hướng dẫn giải: k -Biến đổi dạng M + f ( x) ( k, M số thực) Trả lời: E = x + x + 11 2( x + x + 3) + 5 = = 2+ ) 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + - Bài tián xuất điều mới? Trả lời: Bài tốn trở thành tìm GTLN biểu thức: Hãy tìm GTLN 5 x + 2x + suy GTLN E? x + 2x + 5 Trả lời: x + x + = ( x + 1) + ≤ ( ( x + 1) + ≥ 2, ∀x Nên GTLN biểu thức 5 ⇔ x + = ⇔ x = −1 x + 2x + 2 Vậy GTLN E + = ⇔ x = −1 Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN A = − 4x x2 + Hướng dẫn giải: 14 Để tìm GTNN, viết A dạng: A= − x x − x + − x − ( x − 2) = = − ≥ −1 x2 + x2 + x +1 => GTNN A -1 ⇔ x = -Để tìm GTLN, viết A dạng: A = => GTLN A ⇔ x = − − x x2 + − x2 − x −1 (2 x + 1) = = − ≤4 x2 + x2 + x2 + 1 Một số tập áp dụng: 1) Tìm GTNN biểu thức sau: A= x2 − 4x + x2 B= x2 − 6x + x2 − 4x + D= x − 16 x + 41 x − x + 22 E= x + 27 x − 3x3 + x − x + C= F= 3x − x + 19 x2 − 2x + x + 512 x2 + 2) Tìm GTLN biểu thức sau: A= x ( x − 10) B= x ( x + 100) 3) Tìm GTNN, GTLNcủa biểu thức sau: A= 27 − 12 x x2 + B= 8x + x2 + C= 2x + x2 + D= 3x − x + x2 + Dạng 5: Tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức: A = x−2 + x−3 Gợi ý: - Dùng tính chất giá trị tuyệt đối a + b ≥ a + b dấu đẳng thức xẩy a,b dấu 15 - Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu ngoặc tìm GTNN A Bài giải: Cách 1: A = x − + x + = − x + x − ≥ − x + x − = Dấu “=” xẩy (2 − x)( x − 3) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy GTNN A ⇔ ≤ x ≤ Cách 2: *Xét khoảng x< A = x − + x − = − x + − x = − 2x > *Xét khoảng ≤ x ≤ Ta có A = x − + x − = − x + x − = * Xét khoảng x> Ta có : A = x − + x − = x − + x − = x − >1 So sánh giái trị khoảng ta thấy GTNN A ≤ x ≤ Bài tập áp dụng: Tìm GTNN biểu thác sau: A = x −3 + x +7 C = x2 − x + + x2 − x − B = 2x −1 + 2x − D = x2 + x + + x2 + x − Như đa đưa dạng để tìm GTNN, GTLN chương trình đại số lớp 8, ngồi dạng có số phương pháp khác tìm GTNN, GTLN cách vận dụng đẳng thức biết bất đẳng thức Côsy; Bunhiacopxky… Tuy nhiên việc vận dụng bất đẳng thức sẻ vân dụng nhiều chương trình lớp 16 PHẦN 3: KẾT LUẬN Kết quả: Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải tốn khơng lúng túng trước Kết thu sau áp dụng đề tài thể bảng sau: TT Tổng Giỏi SL % Khá SL % TB SL % Yếu SL % 17 Nhón thực nghiệm 40 10 25 12 30 15 37,5 7,5 Nhóm đối chứng 40 7,5 15 21 52,5 10 25 Và thực tế giảng dạy trường đứng thứ toàn huyện kỳ thi thi khảo sát chất lượng cuối học kỳ, thi vào lớp 10, thi giải toán qua mạng thi học sinh giỏi -Trong trình dạy phần “ Các tìm GTNN, GTLN đại số 8” theo nội dung đề tài kết mà thu khả quan Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngoài liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói tốn cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có PP hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng u cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải toán học Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Bài học kinh nghiệm: Với đề tài “Một số kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN đại số lớp 8” Tôi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ 18 có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị đại số Bên cạnh tơi đưa ví dụ tốn tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn Tuy nhiên q trình giảng dạy có nhiều học sinh bỡ ngỡ qúa trình giải tốn tìm GTNN, GTLN, lập luận chưa có cứ, suy diễn chưa hợp logic đặc biệt số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy , cô và bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm trình giảng dạy m×nh thêi gian sau Tân kỳ, ngày 20 tháng năm 2017 19 Mục lục : Nội dung Phần I: phần đầu trang I.Lý chọn đề tài II.Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Phạm vi đối tượng nghiên cứu V.Phương pháp nghiên cứu Phần II:phần nội dung I kiến thức II biện pháp thực Phần kết luận 3 15 20 Tài liệu tham khảo: SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân SBT Toán NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dục- Nguyễn Văn Lộc 4.Toán bồi dỡng học sinh lớp Đại số-NXB Giáo dục Trần San Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên Các toán đại số hay khó NXB Giáo dục Nguyễn Đễ PP dạy học môn toán NXB Giáo dục Phạm Gia Đức 21 ... đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Bài học kinh nghiệm: Với đề tài Một số kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN đại số lớp 8” Tôi cố gắng hệ thống số dạng... thi, thực tế giảng dạy than số đồng nghiệp, qua tìm tòi thử nghiệm giúp đỡ bạn đồng nghiệp mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Một số kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN đại số lớp 8” Với đề tài hi vọng... 2 Kiến thức cần nhớ Để tìm GTNN,GTLN biểu thức đại số cần nắm vững số kiến thức sau: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen