Sáng kiến Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (file có thể chỉnh sửa)

MỤC LỤC Nội dung ĐỀ TÀI: CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A.Đặt vấn đề, lý chọn đề tài B.Giải vấn đề: 1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.1 Dạng tổng quát: 1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ: 1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ: GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN: 2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm hệ phương trình 2.2 Dạng - Giải hệ phương trình 2.3 Dạng 3- Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.4 Dạng -Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình 2.5 Dạng - Một số toán điều kiện nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ C.Đánh giá kết đạt D.Kết luận khuyến nghị Tài liệu tham khảo, chuyên đề viết gần Cam kết người viết Trang 2 2 2 4 5 7 9 12 14 14 15 16 KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY MƠN TỐN THCS Chuyên đề: “Hệ hai phương trình bậc hai ẩn.” A.Đặt vấn đề, lý chọn đề tài Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế nhà trường, việc đạo hoạt động dạy học, trường THCS Tam Cường thực việc dạy chủ đề tự chọn bám sát cho mơn Tốn tất khối lớp thông qua chuyên đề gắn với trọng tâm kiến thức Trong chương trình Đại số – Học kỳ II, xác định kiến thức hệ hai phương trình bậc ẩn đơn vị kiến thức quan trọng Bởi lẽ: Thứ thực tế giảng dạy nhiều năm tự nhận thấy việc giải dạng toán liên quan đến hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh lớp : Thuần thục mức độ nhận biết song lại gặp khó khăn mức độ vận dụng Thứ hai, nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng tài liệu SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm Thứ ba, nhận thấy liên thông kiến thức bậc học thường xây dựng theo “hình xoắn ốc” Vì cho thấy giải tốt vấn đề sở để học sinh có nhiều thuận lơi việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ phương trình chương trình Tốn lớp 10 Và sở để thực chuyên đề “Hệ hai phương trình bậc hai ẩn” B.Giải vấn đề: 1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.1 Dạng tổng quát: (I) Phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x,y 1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: xoay quanh phương pháp sau 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: * Cách thực hiện: - Vẽ đường thẳng (1), (2) - Số nghiệm hệ (I) số giao điểm hai đường thẳng (1) (2) - Toạ độ giao điểm (1) (2) có nghiệm hệ (I) * Minh họa: Vị trí tương Đường thẳng (1) (2) Đường thẳng (1) Đường thẳng (1) đối song song (2) trùng (2) cắt điểm Hình vẽ Số nghiệm Hệ phương trình Hệ phương trình Hệ phương trình hệ vơ nghiệm vơ số nghiệm có nghiệm * Xét dạng đồ thị hàm số bậc (tạm hiểu trường hợp đưa hay nói khác phép biến đổi sau có nghĩa ) thì: Khi đó: Vị trí Đường thẳng (1) Đường thẳng (1) Đường thẳng (1) tương (2) cắt điểm (2) song song (2) trùng đối Số Hệ phương trình có Hệ phương trình vơ Hệ phương trình vơ số nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm hệ Mối => liên hệ hệ số * Nhận xét: + Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị giải vấn đề nghiệm hệ phương trình thể trực quan sinh động Bên cạnh tích hợp nhiều kỹ kỹ vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối hai đường thẳng, học sinh có điều kiện tiếp cận với cách giải có tính vận dụng cao tạo môi trường để phát huy sáng tạo cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu + Hạn chế: Thực phương pháp đồ thị để giải tập hệ hai phương trình bậc hai ẩn, bên cạnh việc số nghiệm, biện luận số nghiệm hệ phương trình nhanh chóng thuận tiện vấn đề đặt tìm nghiệm (nếu có) hệ thực tế phức tạp, thiếu tính xác đặc biệt khó khăn với hệ phương trình có chứa tham số hệ số đơn giản hệ lại có nghiệm khơng ngun Bên cạnh nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc cách giải cịn có nhiều vấn đề tồn điều kiện xác định phép chia phép biến đổi nêu Dù vậy, sau chương trình Tốn 10 giải trọn vẹn vấn đề thông qua việc thiết lập định thức để đưa mối liên hệ hệ số tương ứng với trường hợp nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ: *Cách thực : + Từ phương trình hệ cho, biểu diễn ẩn theo ẩn + Thế vào phương trình cịn lại phương trình có ẩn + Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ cho (Tr13,15 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) 1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ: * Cách thực hiện: + Nhân vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) (sao cho hệ số ẩn hai phương trình đối nhau.) + Áp dụng quy tắc cộng đại số để phương trình ẩn + Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho (Tr18 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) *Nhận xét: Điểm chung hai phương pháp 1.2.2 1.2.3 nguyên tắc quy từ việc giải hệ phương trình bậc ẩn việc giải phương trình 1ẩn dạng : Ax+B = (hoặc Ay+B =0) (3) Ở đây, số nghiệm phương trình (3) định số nghiệm hệ (I) + Nếu A≠0 – (3) có nghiệm - Hệ (I) có nghiệm + Nếu A=0; B=0 – (3) vô số nghiệm - Hệ (I) vô số nghiệm + Nếu A=0; B≠0 – (3) vô nghiệm - Hệ (I) vơ nghiệm Trên sở này, giúp giải tốt tập hệ phương trình (I) + Xác định số nghiệm hệ + Tìm nghiệm hệ - giải hệ + Giải biện luận số nghiệm hệ theo tham số + Các tốn nghiệm hệ Đây ưu điểm hẳn nói phương pháp vận dụng để giải tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp nêu GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN: 2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm hệ phương trình Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau có nghiệm? a) b) c) Đồ thị Hai đường thẳng (1) (2) trùng Hai đường thẳng (1) (2) cắt 1điểm Hai đường thẳng (1) (2) song song Liên hệ hệ Ta có Ta có Ta có sơ PP Cộng đại số (vô nghiệm) (1) y=2x-1 vào Phươn Từ (2) ta có: g pháp -4x+2(2x-1)=2 Thế 0x=4 (vơ nghiệm) Hệ phương trình KL vơ nghiệm => 3x = -1 (nghiệm nhất) (vô số nghiệm) Từ (1) y =x-1 vào (2) ta có: -2x+2(x-1)=-2 0x=0 (vơ số nghiệm) Hệ phương trình có vơ số nghiệm Từ (1) x=y+2 vào (2) ta có: 2(y+2) +y = -3 3y = -7 (nghiệm nhất) Hệ phương trình có nghiệm 2.2 Dạng - Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình a) PP PP cộng đại số Từ (2) y=2-x (2’) Thay vào (1) ta có: 2x-(2-x)=1 3x = x=1 thay vào (2’) ta có: y=1 b) c) Từ (1) x=4-2y(1’) Thay vào (2) ta có: 2(4-2y)+4y=8 0y = (vô số nghiệm) Từ (1) x=y+1(1’) Thay vào (2) ta có: -2(y+1)+2y=2 0y = (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình Vậy hệ phương trình có vơ Vậy hệ phương trình có nghiệm số nghiệm vô nghiệm (x=1;y=1) (x=4-2y; yR) Bài Giải hệ phương trình sau (Gợi ý biến đổi tương đương đưa hệ phương trình có hệ số ngun tiến hành giải) b) a) c) chuyển hệ số nguyên KL PP PP cộng đại số KL (2) x= 2y-4 (2’) (2’) vào (1) ta có: 3(2y-4)-8y=4 -2y=16y=-8 Thay vào (2’) ta có x=-20 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x=-20;y=-8) Bài Giải hệ phương trình sau a) (1) y = 4-2x (1’) Thế (1’) vào (2) ta có: 10x+5(4-2x)=20 0x=0 (vơ số nghiệm) Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm (xR ,y=4-2x;) b) (2) y= (2’) Thay (2’ vào (1) ta có: -4x-3 =6 0x =18 (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Phương pháp Phương pháp cộng đại số KL Thế (1’) vào (2) có: (1’) =2 6x =6 x= 1/ => y =-1/ (2) y = 4-2 -4x (2’) (2’) vào (1) ta có: thay vào (1’) thay vào (2’) => y = -2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm (x= 1/ ; y = -1/ ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x= ; y = -2 ) 2.3 Dạng 3- Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn Bài Giải hệ phương trình b) Bài a) Khai triển – thu gọn PP PP cộng đại số KL => ĐK: x≠y (2) y = 5x-2 (2’) Thế (2’)vào (1) có 5x + 15(5x-2)=-4 80x = 26 x = 13/40 thay vào (2’) => y = -3/8 Trừ vế (1) (2) => 16y = -6 (1) y = x (1’) thay (1’) vào (2) có : 6x =6 x = thay vào (1’) => y = Cộng vế (1) (2) => 6x = => x = thay vào (1) => 1-y = => y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1) (x = 13/40; y = -3/8) 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải hệ phương trình Bài Đặt ẩn phụ Sơ lược giải b) a) Đặt ĐK:uv≠0 c) Đặt Đặt ĐK:uv≠0 ĐK: u,v≥0 Hệ thành: Hệ thành: Hệ pt thành: Giải hệ pt ta (u=1, v=-1) - thoả mãn ĐK ( Giải hệ ta )- thoả ĐK Giải hệ pt ta => (x= 1; y = -1) Suy Giải hệ ta có ( ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) Vậy hệ pt có nghiệm (x=1;y=-1) (u=2;v=0)-thoả mãn ĐK Suy Giải hệ ta có (x=1;y=-1) Vậy hệ phương trình co nghiệm (x=1;y=-1) 2.4 Dạng -Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Bài Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau theo tham số m a) b) Ta có (1) x= Thay (1’) vào (2) ta có: (1’) *) Nếu m=2, pt(3) thành 0y = (vơ số nghiệm ) => Hệ phương trình vô số nghiệm (x= ) *) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vơ nghiệm) • Hệ phương trình vơ nghiệm *) Nếu m ≠ ±2 pt(3) có nghiệm y= thay vào (1’) ta có x = Vậy *)Nếu m=2, hệ phương trình có vô số nghiệm Nghiệm TQ: (x= ) *) Nếu m =-2, hệ phương trình vơ nghiệm *) Nếu m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm (x= ,y= ) Ta có (2) x = 4-my (2’) Thay (2’) vào (1) ta có: m(4-my)+4y=10-m (4-m2)y=10-5m (3) *) Nếu m =2, pt (3) thành : 0y = (vô số nghiệm) => Hệ pt vô số nghiệm: (x=4-my; yR) *) Nếu m = -2, pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm) => Hệ pt vô nghiệm *) Nếu m ≠ ±2 pt(3) có nghiệm y = Thay vào (2’) có x= Vậy *)Nếu m=2, hệ phương trình có vơ số nghiệm Nghiệm TQ: (x=4-my; yR) *) Nếu m =-2, hệ phương trình vơ nghiệm *) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có nghiệm (x= ,y = ) (Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải toán trên,bắt buộc phải nhân hai vế hai phương trình với m nên mắc thiếu sót khơng phân trường hợp m=0 hay m≠0.) 2.5 Dạng - Một số toán điều kiện nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Thường gặp toán này, học sinh phải thực bước sau đây: • Hệ phương trình có nghiệm nào? • Khi nghiệm gì? • Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà toán đặt ra? Bài Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn (x>0;y (m 2+2)y = 2m1 (3) Do m2+2> m => (3) ln có nghiệm • hệ ln có nghiệm (x,y) *) Khi y = , thay vào (1’) ta có x= *) Để (x>0;y0;y y = thay vào (2’) ta có x = *) Điểm M(x;y) nằm góc phần tư thứ (x>0,y>0) Vậy với m>1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện điểm M (x;y) nằm góc phần tư thứ Bài 10 Tìm giá trị tham số m hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1Hướng dẫn giải: Xét hệ phương trình *) Từ (1) y = mx-2 (1’) Thay (1’) vào (2) ta có: 3x+m(mx-2)=5 (m2+3)x=2m+5 (3) – Ln có nghiệm (do m2+3>0) nên hệ phương trình ln có nghiệm m *) Khi (3) => x= thay vào (1’) ta có y = *) Để x+y=1thì + =1 m = Vậy với m = hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1Bài 11 Cho hệ phương trình a) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham số m b) Khi hệ có nghiệm (x;y) nhất, lạp hệ thức liên hệ x y độc lập với M Từ chứng tỏ M(x;y) nằm đường thẳng cố định c) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm thoả mãn x,y nguyên d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện x+y nhỏ Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình a) Từ (1) => y= (a+1)x-(a +1) (1’) Thay vào (2) ta có: a2x =a2+1(3) KL +) a ≠ hệ có nghiệm (x= ;y= ) +)a = hệ phương trình vơ nghiệm b) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= ;y= ) => x- y = hay y =x (hệ thức độc lập với m) => Khi hệ có nghiệm (x;y) điểm M(x;y) nằm đường thẳng y =x (cố định) ĐPCM c) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= ;y= ) Khi a nguyên, để x, y nguyên a2+1 chia hết cho a2 => chia hết cho a2 => a2 = => a = ±1 (thoả mãn a≠0) Vậy : d) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= ;y= ) Khi Dấ u “=” xảy a= -4 (thoả mãn a ≠ 0) => Min(x+y)- = a = -4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ DẠNG Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bài a) b) c) d) e) f) Bài a) b) c) Bài a) b) c) d) e) f) Bài a) b) c) DẠNG Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Bài a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) Bài a) b) d) e) g) h) c) 3.Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Một số tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài 7: f) a) Tìm m để hệ phương trình b) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham số m vơ nghiệm Bài Cho hệ phương trình với tham số m a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) nhất? b) Khi phương trình có nghiệm (x;y) 1)Chứng tỏ M(x;y) nằm đường thẳng cố định 2) Tìm m để M(x;y) nằm góc vng III 3) Tìm giá trị ngun m để x,y nguyên 4) Tìm giá trị m để tích xy đạt giá trị nhỏ C.Đánh giá kết đạt Tiến hành đánh giá kết đạt cách thực kiểm tra khảo sát với nội dung bám sát vấn đề mang tính trọng tâm đặt ra, thời lượng 30 phút Kết chung: Sau tham gia thực chuyên đề trên, học sinh có bước tiến việc tiếp cận với giải toán hệ phương trình bậc hai ẩn Những điểm hạn chế phát theo đánh giá sơ khắc phục Điểm Trung Khá Yếu Kém Ghi Bài khảo Giỏi bình sát ban đầu 15 Số điểm10: thu Số điểm10: 16 13 hoạch D.Kết luận khuyến nghị : Qua thực tế giảng dạy, thân có chủ quan suy nghĩ: Hệ phương trình nói chung hệ hai phương trình bậc hai ẩn nói riêng đơn vị kiến thức phân môn Đại số Việc tiếp cận tốt với vấn đề có tính chất mở đầu trình bày khơng củng cố, trang bị cho học sinh vốn kiến thức định mà tạo sở quan trọng để học sinh tiếp tục có phương pháp tiếp cận tốt giai đoạn mở rộng học tập, nghiên cứu nội dung Bên cạnh đó, nhận thấy việc ôn tập hệ thống kiến thức theo nội dung bám sát vấn đề thiết thực học sinh đại trà Với mơn Tốn, qua kinh nghiệm thân thấy rằng, muốn có chất lượng dạy – học hiệu giáo viên phải cần lựa chọn vấn đề chương trình, đơn vị kiến thức để tập trung giải Ở nên thực khảo sát đánh giá để hiểu thực trạng việc nắm bắt vận dụng kiến thức học sinh, đặc biệt quan tâm tới yếu, thiếu học sinh Trên sở này, tiến hành xây dựng nội dung phù hợp, kịp thời củng cố khắc sâu, lấp hổng kiến thức cho học sinh phương pháp tổ chức hoạt động dạy học cách hợp lý có lưu ý rằng, với trình độ không đồng học sinh, việc đặt yêu cầu thấp cao không khích lệ, khơi dậy niềm tin, hứng thú học tập, hạn chế khả hoạt động tích cực, sáng tạo cho em Với quan điểm vậy, chuyên đề hệ hai phương trình bậc hai ẩn mơn Toán 9-THCS xin nêu để đồng nghiệp trao đổi tham khảo Tam Cường tháng năm 2011 Người viết Lương Cao Trịnh Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa Sách tập toán – Tập hai (NXB GD) Sách số vấn đề phát triển đại số – NXB GD (năm 2001) 23 chuyên đề giải toán sơ cấp – NXB TRẺ Có sử dụng tham khảo số tư liệu đồng nghiệp phần BTĐN Các chuyên đề viết gần đây: Phương trình đường thẳng A A (Năm 2008) – XL Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình (Năm 2009) – XL Rèn kỹ giải phương trình dạng ax + b = phương trình quy dạng ax +b = (Năm 2010) – XL A CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ: Họ tên: LƯƠNG CAO TRỊNH Ngày, tháng, năm sinh: 16/06/1975 Đơn vị : Trường THCS Tam Cường Điện thoại: 0313884592 Di động 01278.388.498 E-mail: trinhlc@gmail.com II SẢN PHẨM: Đề tài : “ Chuyên đề hệ hai phương trình bậc hai ẩn " III CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm sản phẩm cá nhân Nếu có xảy tranh chấp quyền sở hữu phần hay toàn sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT tính trung thực Cam kết Tam Cường, ngày 20 tháng 01 năm 2011 Người cam kết (Ký, ghi rõ họ tên) Lương Cao Trịnh ... nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ: *Cách thực : + Từ phương trình hệ cho, biểu diễn ẩn theo ẩn + Thế vào phương trình cịn lại phương trình có ẩn + Giải phương trình ẩn. .. ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x= ; y = -2 ) 2.3 Dạng 3- Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn Bài Giải hệ phương trình. .. hệ phương trình Một số tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài 7: f) a) Tìm m để hệ phương trình b) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham số m vơ nghiệm Bài Cho hệ phương trình