Sang kien kinh nghiem 2.doc

phần I phần Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy và học là vấn đề thờng xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lợng học sinh ngày càng đợc nâng cao yêu cầu ngời giáo viên phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tợng học sinh. Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phơng trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phơng trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phơng trình đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy ngời giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chơng trình lớp 8. Các vấn đề trong đề tài đều đợc lựa chọn để mọi đối tợng học sinh đều có thể tiếp thu đợc. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó đợc diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lợng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải. Xuất phát từ yêu cầu và mong ớc trên, tôi đã chọn đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó. 2. Mục đích của đề tài: - Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. - Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. - Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. - Thấy đợc vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. 3. Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về 1 phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở: - Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9. - Sách giáo viên lớp 7, 8, 9. - Sách bồi dỡng thờng xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên. 2 Phần II Nội dung I. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của những đa thức bậc nhỏ hơn. Ví dụ: x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 + xy + y 2 ) Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp. Ph ơng pháp 1 : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số) 1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 12x 2 y - 18y 3 b. 3x 2 (y - 2z) - 15x(y - 2z) 2 Giải a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó: 12x 2 y - 18y 3 = 6y.2x 2 - 6y.3y 2 = 6y(2x 2 - 3y 2 ) b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z) Do đó ta có: 3x 2 (y - 2z) - 15x(y - 2z) 2 = 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z) 2. Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung. Chẳng hạn đa thức: 2x 2 (3y - z) + (z - 3y)(x + y) Có thể viết là: 2x 2 (3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y - z). Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. 1. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử a. 4x 2 - 12x + 9 c. 16x 2 - 9(x + y) 2 b. 27 - 27x + 9x 2 - x 3 b. 1 - 27x 3 y 6 Giải a. 4x 2 - 12x + 9 = (2x) 2 - 2.2x.3 + 3 2 = (2x - 3) 2 b. 27 - 27x + 9x 2 - x 3 = 3 3 - 3.3 2 x + 3.3x 2 - x 3 = (3 -x) 3 c. 16x 2 - 9(x + y) 2 = (4x) 2 - [3(x + y)] 2 = (x - 3y)(7x + y) 3 d. 1 - 27x 3 y 6 = 1 3 - (3xy 2 ) 3 = (1- 3xy 2 )(1 + 3xy 2 + 9x 2 y 4 ) 2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức, chẳng hạn: - x 4 y 2 - 8x 2 y - 16 = -(x 4 y 2 + 8x 2 y + 16) = - (x 2 y + 4) 2 Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử 1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) c. x 2 + 2x + 1 - y 2 = (x 2 + 2x + 1) - y 2 = (x + 1) 2 - y 2 = (x + y +1)(x - y + 1) 2. Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử. Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích nh sau: xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5) 3. Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp 3 phơng pháp kể trên. Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó tiếp tục phân tích sẽ đơn giản hơn. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x 5 y 2 - 10x 4 y 2 - 5x 3 y 4 - 10x 3 y 3 z - 5x 3 y 2 z 2 + 5x 3 y 2 = 5x 3 y 2 (x 2 - 2x - y 2 - 2yz - z 2 + 1) = 5x 3 y 2 [(x 2 - 2x +1) - (y 2 + 2yz + z 2 )] = 5x 3 y 2 [(x - 1) 2 - (y + z) 2 ] = 5x 3 y 2 (x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) Ph ơng pháp 4 : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 1. Dạng tam thức bậc hai: F (x) = ax 2 + bx + c Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x 2 - 6x + 8 Giải Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử. 4 Cách 1: x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x 2 - 6x + 8 = x 2 - 6x + 9 - 1 = (x - 3) 2 - 1 = (x - 2)(x - 4) Cách 3: x 2 - 6x + 8 = x 2 - 4x + 4 - 2x + 4 = (x - 2) 2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: x 2 - 6x + 8 = x 2 - 4 - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 5: x 2 - 6x + 8 = x 2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Cách 6: x 2 - 6x + 8 = 3x 2 - 6x - 2x 2 + 8 = 3x(x - 2) - 2(x 2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất. ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x. Trong đa thức x 2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trớc, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2). Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử và tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho: a b1 = 2b c , tức là b 1 .b 2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm tích a.c Bớc 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b. Trong ví dụ trên x 2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8. Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví dụ: (- 4, - 2). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x 2 + 6x - 8 Giải Cách 1: Cách hạng tử thứ 2 9x 2 + 6x - 8 = 9x 2 - 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) 5 Chú ý hệ số 6 đợc phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8). Cách 2: Tách hạng tử thứ 3 9x 2 + 6x - 8 = (9x 2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1) 2 - 9 = (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2) Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhau thờng nhằm mục đích: - Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1). - Làm xuất hiện hiệu của 2 bình phơng (cách 2). Chú ý: a. Đa thức dạng ax 2 + bxy + cy 2 khi phân tích cách làm tơng tự nh đa thức bậc 2 một biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x 2 - 7xy + 3y 2 Giải Cách 1: 4x 2 - 7xy + 3y 2 = 4x 2 - 4xy - 3xy + 3y 2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x 2 - 7xy + 3y 2 = 4x 2 - 8xy + 4y 2 + xy - y 2 = 4(x 2 - 2xy + y 2 ) + y(x - y) = 4(x - y) 2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b. Đa thức bậc hai ax 2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách 2 sau khi đa đa thức bậc 2 về dạng a(x 2 - k) thì k không phải là bình phơng của một số hữu tỷ. Chẳng hạn đa thức x 2 + 4x + 6 có tích a.c bằng 6 bằng 1.6, bằng 2.3 không có 2 thừa số nào có tổng bằng 4. Còn theo cách 2 thì: x 2 + 4x + 6 = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2 = (x + 2) 2 - ( - 2); -2 không phải là bình phơng của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x 2 + 4x + 6 không phân tích đợc thành tích. 2. Đa thức bậc 3 trở lên Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thờng dùng cách tìm nghiệm của đa thức. 2.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức 6 a. Định nghĩa nghiệm của đa thức Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau: b. Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức. c. Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức. d. Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ớc của hệ số tự do. Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì 1 )1( a f và 1 )1( + a f đều là số nguyên. Ví dụ: f(x) = 4x 3 - 13x 2 + 9x - 18 Có các ớc của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18. f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18 f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44 Hiển nhiên 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy: )13( 18 ; )16( 18 ; )19( 18 ; )118( 18 không nguyên nên - 3; 6; 9; 18 không là nghiệm của f(x); )12( 44 + không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x). Chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). e. Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x = q p thì p là ớc của hệ số tự do, q là ớc dơng của hệ số cao nhất. 2.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 - 5x 2 + 8x - 4 Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 là nghiệm của đa thức. Đa thức đã cho chứa thừa số là x - 1; ta tách các hạng tử nh sau: x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 - x 2 - 4x 2 + 4x + 4x - 4 = x 2 (x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) 7 = (x - 1)(x 2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2) 2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 - 5x 2 + 3x + 9 Ta thấy các hệ số của đa thức 1 + 3 = - 5 + 9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x + 1 Ta tách nh sau: x 3 - 5x 2 + 3x + 9 = x 3 - 6x 2 + x 2 - 6x + 9x + 9 = x 2 (x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x 2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3) 2 Ví dụ 3: f(x) = x 3 - x 2 - 4 Lần lợt kiểm tra với x = 1, 2, 4 Ta thấy f(2) = 2 3 - 2 2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0; đa thức có nghiệm là x = 2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta có: x 3 - x 2 - 4 = x 3 - 2x 2 + x 2 - 2x + 2x - 4 = x 2 (x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x 2 + x + 2) Ví dụ 4: 2x 3 - x 2 + 5x + 3 Ta thấy 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức, xét các số hữu tỷ dạng p/q vứi p là Ư (2) và q là Ư (3) gồm 2 1 ; 2 3 . Ta có - 2 1 là nghiệm của đa thức nên nó chứa thừa số 2x + 1. Vậy: 2x 3 - x 2 + 5x + 3 = 2x 3 + x 2 - 2x 2 + 6x - x + 3 = x 2 (2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x 2 - x + 3) Ph ơng pháp 5 : Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử 1. Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức Ví dụ: 4x 4 + 81 Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phơng (2x 2 ) 2 + 9 2 tơng ứng với 2 số hạng A 2 + B 2 của hằng đẳng thức A 2 + 2AB + B 2 còn thiếu 2AB. Vậy cần thêm bớt 2.2x 2 .9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức: Ta có: 4x 4 + 81 = (2x 2 ) 2 + 9 2 + 2.2x 2 .9 - 2.2x 2 .9 = (2x 2 + 9) 2 - (6x) 2 = (2x 2 - 6x + 9)(2x 2 +6x + 9). Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phơng thì mới làm tiếp bài toán đợc. 2. Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung Ví dụ: x 2 + x 2 + 1 = x 2 - x + x 2 + x + 1 8 = x(x 3 + 1)(x 3 - 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 + 1)(x - 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)[x(x 3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x 2 + x + 1)(x 5 - x 4 + x 2 - x + 1). Ph ơng pháp 6 : Phơng pháp đổi biến Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho đợc đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 Ta thấy nếu đặt (x 2 + x) = y thì đa thức có dạng y 2 + 4y - 12. Ta có: y 2 + 4y - 12 = y 2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tơng đơng với: (x 2 + x +6)(x 2 + x - 2) = (x 2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x 2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức đã cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x 3 + 7x + 10)(x 3 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x 3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y 2 - 1 - 24 = y 2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tơng đơng với (x 3 + 7x + 6)(x 3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x 3 + 7x + 16) Ph ơng pháp 7 : Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 4 - 6x 3 + 12x 2 + 14x + 3 Các hệ số 1; 3 là Ư (3) nhng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ. Nh vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả: x 4 + (b + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd 9 Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta đợc a + b = 6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = 3 Xét bd = 3 với b, d z; b { 1; 3}; với b = 3 thì d = 1. Hệ trên thành: a + b = - 6 ac = 8 a + bc = -14 2c = -14 -(-6) = 8 do đó c = - 4; a = - 2 Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x 2 - 2x + 3)(x 2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử: x 4 - 6x 3 + 12x 2 + 14x + 3 = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 4x 3 + 8x 2 - 12x + x 2 - 2x + 3 = x 2 (x 2 - 2x + 3) - 4x(x 2 - 2x + 3) + (x 2 - 2x + 3) = (x 2 - 2x + 3)(x 2 - 4x + 1) Ph ơng pháp 8 : Phơng pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phơng pháp này trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 2 (y - z) + y 2 (z - x) + z 2 (x - y) Nên thay x bằng y thì P = y 2 (y - z) + y 2 (z - y). Nh vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z nh nhau trong P nên P chứa x - y thì cũng chứa y - z và z - x. Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z Ta có: x 2 (y - z) + y 2 (z - x) + z 2 (x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2) 10 [...]... Bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau: x-1 x-3 0 Lập bảng xét dấu x 1 x-1 - x-3 - x 1 x +3 + 0 3 + + 0 0 + - 0 + Nghiệm của bất phơng trình là x 1và x 3 13 III Kết luận Với những kinh nghiệm nh đã trình bày, sau nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tôi thấy trình độ học sinh đợc nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh đã phân tích thành thạo các tam thức bậc 2 thành nhân... thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ ra sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tập các em có thể giải theo nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu nhất để trình bày IV Bài học kinh nghiệm Phần phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 là một nội dung quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các kiến thức về sau Do vậy trớc tiên giáo viên . 4x 2 - 12x + 9 c. 16x 2 - 9(x + y) 2 b. 27 - 27 x + 9x 2 - x 3 b. 1 - 27 x 3 y 6 Giải a. 4x 2 - 12x + 9 = (2x) 2 - 2. 2x.3 + 3 2 = (2x - 3) 2 b. 27 - 27 x. hằng đẳng thức: Ta có: 4x 4 + 81 = (2x 2 ) 2 + 9 2 + 2. 2x 2 .9 - 2. 2x 2 .9 = (2x 2 + 9) 2 - (6x) 2 = (2x 2 - 6x + 9)(2x 2 +6x + 9). Chú ý: Số hạng thêm bớt