phương pháp chứng minh bằng phản chứng

PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU NỘI DUNG BÁO CÁO I Tên đề tài II Lý chọn đề tài III Nhiệm vụ đề tài IV Phương pháp nghiên cứu V Cơ sở logic chứng minh phản chứng Cơ sở logic Các bước suy luận phản chứng Các phương pháp chứng minh phản chứng VI Một số toán áp dụng phương pháp phản chứng Chứng minh phản chứng Euclide Phản chứng toán bất đẳng thức 10 Phản chứng tốn hệ phương trình, phương trình 12 Phản chứng toán chia hết 14 Phương pháp chứng minh phản ví dụ nhỏ 17 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Phản chứng toán chứng minh không tồn 19 Chứng minh sử dụng mệnh đề phản chứng 22 Chứng minh mệnh đề phản chứng 23 Các toán chứng minh phản chứng khác 24 10 Một số định lý tính chất phương pháp phản chứng 28 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG LỜI GIỚI THIỆU Một tốn có nhiều cách giải Để có cách giải hay cho tốn q trình khơng đơn giản Mỗi phương pháp có hay riêng lớp toán định, ta phải chọn cách tiếp cận hợp lí Trong đề tài chúng tơi trình bày “Phép chứng minh phản chứng” Đây phương pháp thường dùng lập luận tốn học thể chặt chẽ, lý luận lơgic người giải toán Điều quan trọng phương pháp tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh, từ dẫn đến vơ lý với giả thiết toán hay mâu thuẫn với kiến thức toán học biết Lý chúng tơi lựa chọn đề tài “ Phép chứng minh phản chứng” phương pháp chứng minh toán học hay, áp dụng cho nhiều toán chứng minh Tuy nhiên, phương pháp chưa trọng nhiều giảng dạy bậc học cho học sinh Hi vọng tiểu luận giúp bạn thấy hay, tầm quan trọng “Phép chứng minh phản chứng” chứng minh toán học Từ đó, có áp dụng phù hợp cho trình học tập, giảng dạy Do thời gian kinh nghiệm chưa nhiều nên tiểu luận gặp số thiếu sót nên hi vọng góp ý nhiệt tình thầy bạn PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG NỘI DUNG BÁO CÁO I Tên đề tài: “ Những toán chứng minh phương pháp phản chứng” II Lý chọn đề tài  Phương pháp phản chứng phương pháp hay, vận dụng để giải nhiều toán Nhưng sách giáo khoa số lượng tập giải phương pháp không nhiều  Muốn bạn sinh viên sư phạm học sinh thấy hay quan trọng phương pháp giải toán III Nhiệm vụ đề tài  Tìm hiểu sở logic phương pháp chứng minh phản chứng  Phân loại toán chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận  Mục đích: Nhằm tìm hiểu sở lô-gic “Phép chứng minh phản chứng”  Cách tiến hành: Tìm hiểu từ tài liệu, sách có liên quan Phương pháp nghiên cứu thực tiễn  Mục đích: Nhằm tìm hiểu mức độ vận dụng “Phép chứng minh phản chứng”  Cách tiến hành: Nghiên cứu toán quan thuộc V Cơ sở logic chứng minh phản chứng Cơ sở lôgic Dựa vào hiểu biết logic mệnh đề, sử dụng chủ yếu phép liên kết logic chủ yếu Vậy phép liên kết lôgic gì? PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG  Phép liên kết lơgic hay gọi phép tốn lơgic, cho phép từ mệnh đề sơ cấp cho trước xây dựng mệnh đề ngày phức tạp  Các phép liên kết bao gồm:  Phép phủ định(  )  Phép hợp(  )  Phép giao(  )  Phép kéo theo(  )  Phương pháp lập luận Cần chứng minh mệnh đề A  B Để chứng minh A  B đúng, ta xây dựng giả thiết: A đúng, A  B sai  B  B thông qua số phép biến đổi tương đương dẫn đến  A Vì A  B sai, mà A nên B phải có giá trị sai Nghĩa là, Từ Từ giả thiết qua trình lập luận ta có A  mâu thuẫn  chứng tỏ giả thiết  A đồng thời  B sai Vậy B Hay A  B đúng( điều phải chứng minh) Các bước suy luận phản chứng:  Bước 1: Giả sử điều chứng minh sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng minh) Lưu ý: bước quan trọng tạo mệnh đề phủ định xác điều chứng minh xác  Bước 2: Từ điều giả sử ta suy số tính chất quan hệ mới, mà tính chất mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất ta biết PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG  Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu sai Từ đó, tốn chứng minh Các phương pháp chứng minh phản chứng Chứng minh phản chứng nói vũ khí quan trọng tốn học Nó cho phép chứng minh khơng tính chất đó, cho phép biến thuận thành đảo, biến đảo thành thuận, cho phép lý luận đối tượng mà không rõ có tồn hay khơng Trong nhiều tốn, phương pháp chứng minh phản chứng xem Chứng minh phản chứng sử dụng nhiều lĩnh vực khác toán học như: giải tích, hình học, đại số, số học, tổ hợp, … VI Một số toán áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng Chứng minh phản chứng Euclide Định lý Tồn vô số số nguyên tố Chứng minh Thế số nguyên tố? Một số tự nhiên lớn 1, gọi số nguyên tố, có ước Ví dụ số ngun tố : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Các số tự nhiên khác, khác 1, không số nguyên tố gọi hợp số Định lý số học khẳng định : “ Một số tự nhiên (khác 1): số nguyên tố, hợp số ” Vì số tự nhiên vô hạn, câu hỏi đặt : “ Có số nguyên tố?” “Có thể liệt kê chúng hay lập thành dãy vô hạn?” PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Theo Euclide khẳng định : “ Tồn vô số số nguyên tố ” Để chứng minh điều này, Euclide đưa lập luận đẹp, ơng giả sử ngược lại tồn hữu hạn số nguyên tố p1, p2, pn Ông tìm số ngun tố khơng nằm dãy số Từ suy phải có vô số số nguyên tố Để chứng minh tồn số nguyên tố mới, ông vận dụng kiện hai số tự nhiên liên tiếp ước số chung khác Ơng xét tích N=p1 p2 pn +1 N phải có ước số nguyên tố p Khi đó, p1, p2, , pn tất số nguyên tố nên tồn i cho p=pi Nhưng N khơng chia hết cho p (vì n khơng chia hết cho pi)mâu thuẫn Như vậy, ước số nguyên tố p N số nguyên tố không nằm dãy số nguyên tố Như điều giả sử ông sai Vậy khẳng định “ Tồn vô số số nguyên tố ” Cách chứng minh ông thật hay Chúng ta vận dụng phương pháp chứng minh để giải vài toán tương tự: Ví dụ 1: Chứng minh tồn vô số số nguyên tố dạng 4k+3 Chúng ta biết số nguyên tố chẵn nhất, tất số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Một số nguyên tố lẻ có dạng 4N+1 có dạng 4N+3 Muốn chứng minh có vơ số số ngun tố có dạng 4N+3, lý luận tương tự Giả sử rằng, có hữu hạn số nguyên tố p1, p2, , pk có dạng 4N+3, chứng minh có mâu thuẩn điều giả sử Chúng ta số nguyên tố không nằm dãy có dạng 4N+3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Đặt N= p1, p2, pk -1, số có dạng 4N+3 Số N có ước số ngun tố p có dạng 4N+3 Vì vậy? Bởi N số lẻ lớn 1, N khơng có ước số ngun tố có dạng 4N+3 tất ước số nguyên tố N có dạng 4N+1 Vậy N tích số có dạng 4N+1 Dễ dàng nhận thấy rằng, tích số có dạng 4N+1 số có dạng 4N+1 Cho nên N có dạng 4N+1 vơ lí Như N phải có ước số nguyên tố p có dạng 4N+3 Khi p1, p2, , pk tất số nguyên tố có dạng 4N+3, tồn i cho p=pi Nhưng N khơng chia hết cho p( N không hia hết cho pi)  mâu thuẫn Như vậy, ước số nguyên tố p N số nguyên tố không nằm dãy số nguyên tố  mâu thuẫn với điều giả sử Ví dụ 2: Chứng minh tồn vô số số nguyên tố dạng 4k+1 Làm theo phương pháp chọn N=4p1, p2 pk+1 tìm cách chứng minh N có ước số ngun tố có dạng 4k+1 Tuy nhiên, nhìn kỹ cách chứng minh khơng ổn, tích số có dạng 4k+3 số có dạng 4k+1 Do khả N tích số nguyên tố có dạng 4k+3, N khơng có ước số nguyên tố có dạng 4k+1 Trường hợp ta áp dụng cách giải nữa, cần phải tìm cách giải khác Chúng ta có bổ đề: “ Với số tự nhiên x x  khơng có ước ngun tố có dạng 4k  ” Để chứng minh bổ đề này, sử dụng định lý Fermat Theo định lý nhỏ Fermat với số nguyên tố p với số nguyên a không chia hết cho p , a p 1  (mod p) Chúng ta chứng minh bổ đề theo phương pháp phản chứng sau: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Giả sử x  có ước số nguyên tố p  4k  Tức là: x  1 (mod p ) Khi đó, ta có: x k    x  k 1   1 k 1  1 (mod p ) Theo định lý Fermat x k   (mod p ) Vậy = -1 (mod p ) hay 2=0 (mod p )  vô lý Vậy điều giả sử sai, bổ đề chứng minh Quay lại với toán, để chứng minh tồn vơ số số ngun tố có dạng 4k  , chứng minh rằng, với dãy số nguyên tố p1 , , p2 , , pk có dạng 4k  , tồn số nguyên tố khác có dạng N  khơng nằm dãy số nguyên tố Thực vậy, lấy n  p12 p2 pk  Vì N có dạng x  , nên theo bổ đề mà vừa chứng minh, n khơng có ước số ngun tố có dạng 4k  Vì n số lẻ nên toàn ước số nguyên tố n có dạng 4k  Mặt khác thấy không số pi dãy số ước số n Vậy tìm số ngun tố có dạng 4k+1 Tóm tại, lấy dãy số hữu hạn số nguyên tố có dạng 4N+1 lại tìm số nguyên tố có dạng 4N+1, có vơ hạn số nguyên tố có dạng 4k   Bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh tồn vô số số nguyên tố có dạng N  PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 2: Chứng minh tồn vô số số nguyên tố có dạng N  Bài 3: Thử chọn vài giá trị khác cho a b chứng minh tồn vơ số số ngun tố có dạng aN  b Phản chứng toán bất đẳng thức Trong chứng minh bất đẳng thức có trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh đơn giản điều kiện lại phức tạp Vì vậy, phương pháp phản chứng dùng để đảo điều kiện kết luận Ví dụ 1: Cho a , b c số thực không âm thoả mãn điều kiện a  b  c  abc  Chứng minh a  b  c  Giải Giả sử: a  b  c  Khi đó: a  b  c  a  b  c   abc    a  b  c   Theo bất đẳng thức Cauchy cho số không âm a , b , c Mà a  b  c   abc  (Mâu thuẫn) Vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh “ Nếu a , b , c ba số dương a  b3  c3  3abc ” Giải Giả sử : “ a  b3  c3  3abc ” Ta có : a  b3  c  3abc  a  b3  c  3abc    a  b  c   a  b  c  ab  bc  ac   2   a  b  c   a  b    b  c    c  a      Suy  a  b  c   Mà theo giả thiết  a  b  c   ( a , b , c dương) 10 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 1 Bài 2: Cho a  b  Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm: x  2ax  b  0, x  bx  a  Bài 3: Cho a , b , c cạnh ABC Chứng minh rằng: a)  a  b  c  x  4abx  a  b  c  có nghiệm b) c x   a  b  c  x  b  có nghiệm Phương pháp chứng minh phản ví dụ nhỏ Trong việc chứng minh số tính chất phương pháp phản chứng, ta có thêm số thông tin bổ sung quan trọng sử dụng phản ví dụ nhỏ Ý tưởng để chứng minh tính chất A cho cấu hình P, ta xét đặc trưng f(P) P hàm có giá trị nguyên dương Bây giả sử tồn cấu hình P khơng có tính chất A, tồn cấu hình P0 khơng có tính chất A với f(P0) nhỏ Ta tìm cách suy điều mâu thuẫn Lúc này, ngồi việc có cấu hình P0 khơng có tính chất A, ta có cấu hình P với f(P) < f(P0) có tính chất A Ví dụ Cho ngũ giác lồi ABCDE mặt phẳng toạ độ có toạ độ đỉnh nguyên a) Chứng minh tồn điểm nằm nằm cạnh ngũ giác (khác với A, B, C, D, E) có toạ độ nguyên b) Chứng minh tồn điểm nằm ngũ giác có toạ độ nguyên c) Các đường chéo ngũ giác lồi cắt tạo ngũ giác lồi nhỏ A1B1C1D1E1 bên Chứng minh tồn điểm nằm biên ngũ giác lồi A1B1C1D1E1 Giải 17 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG a) Ta giải toán theo nguyên lý Dirichlet Ngũ giác có điểm nên tồn điểm (ta đặt điểm H, K)trong điểm mà cặp tọa độ (x, y) chúng có tính chẵn lẻ, có trường hợp : (chẵn, chẵn), (chẵn, lẻ), (lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ) Như vậy, ta lấy trung điểm M điểm H, K ta có điểm (khác A, B, C, D, E) có tọa độ nguyên Vậy ta có điều phải chứng minh b) Giả sử tồn ngũ giác nguyên mà bên khơng chứa điểm có tọa độ ngun Có nhiều ngũ giác Chọn ngũ giác ABCDE có diện tích nhỏ Theo lý luận câu a, tồn đỉnh H, K có cặp tọa dộ có tính chẳn lẻ Trung điểm M HK có tọa độ ngun Vì bên ngũ giác ABCDE khơng có điểm ngun nên HK phải cạnh Ví dụ ta lấy cạnh AB( khơng tính tổng qt), ngũ giác MBCDE có tọa độ đỉnh nguyên có diện tích nhỏ diện tích ngũ giác ABCDE Do tính nhỏ ABCDE nên bên ngũ giác MBCDE có điểm ngun N Điều mâu thuẫn N nằm ngũ giác ABCDE Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: (Định lý Bezout) Chứng minh  a, b   tồn u , v cho au  bv  Chứng minh Xét b số: a ; 2a ; 3a ; ; ba Giả sử không tồn số nguyên dương k cho:  k  b ka  (mod b ) Khi đó: Mỗi số b số chia b dư 0; 2; 3; ; b (có b −1 số dư) Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, tồn số nguyên dương i, j mà i  j cho ia  ja (mod b ) 18 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG   j  i  a  b   j  i  b (1) Lại có:  j  i  b   ( j  i )  b (2) Từ (1), (2) mâu thuẫn nên điều giả sử sai Suy ra, tồn số nguyên dương k cho ka  (mod b ) Đặt u  k :  u , v  N  au  bv  (đpcm)  Bài tập áp dụng : Trên mặt phẳng đánh dấu số điểm Biết điểm chúng đỉnh tứ giác lồi Chứng minh tất điểm đánh dấu đỉnh đa giác lồi Phản chứng tốn chứng minh khơng tồn Ví dụ 1: Hình tròn chia đường kính thành 10 phần Ban đầu phần có biên bi, lần thực ta chọn viên bất kì, di chuyển chúng sang bên cạnh, viên theo chiều kim đồng hồ viên ngược chiều kim đồng hồ Hỏi sau hữu hạn lần thực hiện, ta chuyển, ta chuyển tất bi khơng? Giải Giả sử ta chuyển được: Ta bơi màu trắng đen xen kẽ nhau, từ ta thấy tổng số ô trắng(S trắng) tổng số ô đen(S đen) Giả sử tương đương với biến đổi S đen = 10 S trắng = (hoặc ngược lại) Nếu ta dịch chuyển theo u cầu ln ln xảy trường hợp tổng ô trắng tổng đen số lẻ Từ q ta chuyển S đen = S trắng = 1, mâu thuẫn với giả thiết Từ ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh không tồn số a,b,c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): |a| < |b−c|(1) |b| < |c−a|(2) 19 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG |c| < |a−b|(3) Giải: Giả sử tồn số a,b,c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3) Lúc đó:  |a| < |b−c| ⇒ (b−c)2 > a2⇒ −(a+b−c)(a−b+c) > (1′)  |b| < |c−a| ⇒ (c−a)2 > b2 ⇒ −(−a+b+c)(a+b−c) > (2′)  c| < |a−b| ⇒ (a−b)2 > c2 ⇒ −(a−b+c)(−a+b+c) > (3′) Nhân (1′),(2′),(3′) vế với vế, ta được: −[(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]2 > (vơ lý) Vậy tốn chứng minh Ví dụ :Hình vng 5x5 bỏ góc bên trái Chứng minh phần lại phủ bẳng qn trimino hình chữ L khơng thể phủ trimino kích thước 1x3 Tìm tất giá trị k cho phủ phần lại k qn trimino khích thước 1x3 8-k quân trimino hình L Ta chứng minh bỏ góc bên trái phần lại khơng thể phủ quân trimino cho Để làm điều này, ta đánh sô ô vuông sau: 1(bỏ) 2 2 2 2  Chứng minh phủ quân chữ L 20 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Giả sử ta khơng thể phủ trimino hình chữ L Ta có tổng 44, đồng thời hình chữ L khơng chia hết cho Nên từ giả sử ta suy : Không tồn số a, b, c, d thỏa a + b + c + d = (1) Và 4a + 5b + 7c + 8d = 44 (2) Với a ô chữ L chia dư b ô chữ L chia dư c ô chữ L chia dư d ô chữ L chia dư Từ (1) (2) ta suy khơng tìm a, b, c, d thỏa : b + 3c + 4d = 12 (Điều vô lý) Suy giả thiết sai nên ta điều cần cm  Chứng minh phủ ô trimino 1x3 Giả sử phủ đc trimino 1x3 Ta có tổng số ô trimino 1x3 chia hết cho 3, phủ ô trimino, nên tổng số ô trimino chia hết cho 3, tổng hình 5x5 bỏ 44 Suy giả sử sai nên ta điều cần chứng minh + Tìm k: Với 1x3, ta ghép lại thành hình chữ nhật, cần xem lắp ô chữ L vào mà ta chia phần lại thành hình chữ nhật lắp 1x3 ta nhân trường hợp Bằng phép thử ta tìm k = 1, 3, 5, Đồng thời từ trường hợp chứng minh ta có thêm k=0 Vậy k = {0, 1, 3, 5, 7}  Bài tập áp dụng 21 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 1: Trên vòng tròn ban đầu theo thứ tự tuỳ ý có số số Ở khoảng hai chữ số giống ta viết số khoảng hai chữ số khác ta viết số Các số ban đầu bị xoá Hỏi sau số lần ta thu gồm số 0? Bài 2: Xét hình vng  Tìm tất mà ta xóa phần lại phủ kín 15 quân trimino kích thước  quân trimino hình chữ L x Bài 3: Cho trước hàm số f1  x   x  x , f ( x)  x  , f3 ( x)  x  x Cho phép thực phép toán cộng hai hàm số, nhân hai hàm số, nhân hàm số với số tuỳ ý Các phép tốn tiếp tục thực nhiều lần fi kết thu Chứng minh thu hàm số từ hàm số f1 , f , f3 sử dụng phép toán x điều thực thiếu hàm f1 , f , f3 Chứng minh sử dụng mệnh đề phản đảo Chứng minh sử dụng mệnh đề phản đảo phương án chứng minh phản chứng hay sử dụng Cơ sở phương pháp : Để chứng minh A  B, ta chứng minh B  A Về mặt chất hai phép suy diễn giống nhau, thực tế lại khác Ta thử xem xét vài ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh hàm số f ( x)  x x2 1 đơn ánh từ R vào R Rõ ràng việc chứng minh x1  x2 suy f  x1   f  x2  khó khăn việc chứng minh f  x1   f  x2  suy x1  x2 , mặt logic, hai điều tương đương Ở ta chứng minh f  x1   f  x2   x1  x2 22 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Suy f  t  đồng biến R Do đó, f  x1  , f  x2  đồng biến R Mà f  x1   f  x2   x1  x2 Vậy ta có điều phải chứng minh  Bài tập áp dụng: Chứng minh  p  1 ! số nguyên tố p số ngun tố Gợi ý: Khơng cách khác cách chứng minh p hợp số, p  r  s  p  1! không chia hết cho p Chứng minh mệnh đề phản chứng Ví dụ 1: Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng a) Nếu a+b < hai số a b nhỏ b) Một tam giác khơng phải tam giác có góc (trong) nhỏ 600 c) Nếu x ≠ −1 y ≠ −1 x + y + xy ≠ −1 Giải: a) Giả sử a ≥ b ≥ Thế a+b ≥ (trái với giả thiết) Vậy a < b < b) Khơng làm tính tổng quát toán Ta giả sử Aˆ  Bˆ  Cˆ Vì tam giác ABC khơng phải tam giác đều, ta có Aˆ  Cˆ Nếu Cˆ  600 Aˆ  Bˆ  Cˆ  1800 (vơ lí) Vậy Cˆ  600 c) Giả sử: x + y + xy = −1 Suy ra: x + y + xy + 1=0 ⇒ (x+1)(y+1)=0 ⇒ x= −1 y= − (trái với giả thiết) Vậy: x + y + xy ≠ −1 23 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Ví dụ 2: Biết số π số vô tỉ Dùng phản chứng, chứng minh khai triển thập phân sốπ=3,1415 có chữ số xuất vơ hạn lần Giải: Giả sử ngược lại kết luận toán sai Khi chữ số i∈{0,1, ,9} xuất hữu hạn lần Giả sử số lần xuất số i sau dấu phẩy triển khai thập phân số π Như số π có a1+a2+ +a9 chữ số sau dấu phẩy khai triển thập phân Vậyπ phải số hữu tỉ, vơ lí, ta biết số π số vô tỉ Chú ý Bài tốn cải biên cách thay số π số vô tỉ nào, chẳng hạn 2, 3, … Ví dụ 3: Chứng minh “Nếu a, b, c ba số dương a3 + b3 + c3  3abc” Giải Giả sử ngược lại : a3 + b3 + c3 < 3abc (*) Khi : (*)  (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) <  (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ] < Do giả thiết a, b, c > nên bất đẳng thức cuối sai, a3 + b3 + c3  3abc Các toán chứng minh phản chứng khác Ví dụ 1: Cho cửa hàng bán 106 thùng sơn gồm bốn màu Đỏ, Xanh, Vàng, Trắng Chứng minh ta ln tìm số thùng 27 thùng có loại màu Giải: 24 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Giả sử ta không tìm 27 thùng sơn màu, loại sơn có khơng q 26 thùng loại Như vậy, bốn loại sơn có khơng q : 26.4 = 104 thùng Điều trái với giả thiết cửa hàng có tất 106 thùng sơn Vậy ta tìm thấy 27 thùng sơn màu Ví dụ 2: Chứng minh a b hai số nguyên tố tổng a+b tích a.b ngun tố Giải: Giả sử a + b a.b khơng ngun tố mà có ước chung d≠1 Như a.b ⋮ d theo giả thiết a,b nguyên tố nên hai số a b chia hết cho d; khơng tính tổng qt giả sử a ⋮ d Theo giả thiết, ta lại có a+b⋮d mà a⋮d suy b⋮d Như a b có ước chung d≠1 Điều trái với giả thiết a b nguyên tố Mâu thuẫn chứng tỏ a+b ab phải hai số nguyên tố Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng cắt ba cạnh tam giác qua đỉnh tam giác Giải: Rõ ràng đường thẳng qua đỉnh tam giác cắt ba cạnh tam giác Ngược lại, giả sử có đường thẳng d cắt ba cạnh tam giác ABC Ta chứng minh d phải qua đỉnh tam giác Giả sử ngược lại d không qua đỉnh tam giác Khi d chia mặt phẳng làm hai miền Theo nguyên tắc Dirichlet, tồn miền chứa hai đỉnh, không tổng quát đỉnh A đỉnh B 25 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Khi cạnh AB nằm hồn tồn nửa mặt phẳng khơng thể cắt d được, mâu thuẫn với giả thiết d cắt tất ba cạnh tam giác ABC Vậy d phải qua đỉnh tam giác ABC Ví dụ 4: Chứng minh tổng số hữu tỉ số vô tỉ số vơ tỉ Giải: Gọi số hữu tỷ , số vơ tỷ Giả sử số hữu tỷ số hữu tỷ mà số vô tỷ vô lý Vậy phải số vô tỷ đpcm Ví dụ 5: An có 13 hộp bi mà tổng số bi ba hộp số lẻ Hỏi tổng số bi 13 hộp có số lẻ khơng? Vì sao? Giải: Giả sử 13 hộp bi cho tồn hộp có số bi chẵn Kết hợp hộp bi chẵn với hộp lẻ ta có tổng số bi hộp số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn) Điều trái với đề tổng số bi hộp số lẻ Vậy điều giả sử sai Như tất 13 hộp bi số lẻ hộp Suy tổng số bi 13 hộp số lẻ Phân tích: Qua lời giải tốn trên, ta thấy xuất phát từ đề cho hộp bi có tổng số bi lẻ, có hai khả xảy ra: Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ  Trường hợp ta suy số bi hộp số lẻ nên tổng số bi 13 hộp số lẻ 26 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG  Trường hợp ta lấy hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ kết số chẵn suy trái với đề tổng số bi hộp số lẻ Từ nhận xét thấy ta hộp có số bi chẵn khơng thỏa mãn đề (lời giải trên) Như phương pháp phản chứng phép suy luận dựa nhận xét: “Nếu từ điều A mà suy diễn ta rút điều vô lý, điều A sai hay điều trái ngược với A đúng” Ví dụ 6: Hãy chứng tỏ 11 số tự nhiên phải có hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10 Giải: Giả sử 11 số tự nhiên cho khơng có hai số có hiệu chia hết cho 10 Đem 11 số chia cho 10 ta 11 số dư nằm khoảng từ đến Do điều giả sử nên 11 số dư phải đơi khác nhau, có hai số dư hiệu hai số bị chia chia hết cho 10 (điều trái với điều giả sử ban đầu) Vậy khoảng từ đến phải có 11 số tự nhiên khác Điều vơ lý từ đến có tất 10 số tự nhiên Từ chứng tỏ điều giả sử ban đầu sai Vậy 11 số tự nhiên phải có hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10 abc  (1) Ví dụ 7: Cho số a, b, c thỏa điều kiện :   ab  bc  ca  (2) abc  (3)  Chứng minh a  , b  , c0 Giải 27 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Giả sử ba số a, b, c khơng đồng thời số dương Vậy có số không dương Do a, b, c có vai trò bình đẳng nên ta giả sử : a  + Nếu a  mâu thuẫn với (3) + Nếu a  từ (3)  bc  Ta có (2)  a(b  c)  bc  a(b  c)   b  c   a  b  c  mâu thuẫn (1) Do a  Chứng minh tương tự : b  0, c  Vậy a  , b  , c  10 Một số đinh lý tính chất chứng minh phương pháp phản chứng Định lý: a) Nếu p số nguyên tố dạng 4k  tồn x cho x  chia hết cho p b) Nếu p số nguyên tố dạng 4k  khơng tồn x cho x  chia hết cho p c) Nếu p số nguyên tố dạng 6k  tồn x cho x  chia hết cho p; d) Nếu p số nguyên tố dạng 6k  khơng tồn x cho x  chia hết cho p Chứng minh a) Giả sử không tồn x cho x  chia hết cho p Xét tập A={1, 2, , p -1} , với a thuộc A, ta dễ dàng chứng minh tồn f (a) thuộc A cho a f (a)  1 (mod p ) Do không tồn x để x  chia hết cho p nên a  f (a) Như số A phân thành cặp  a, b   1 (mod p ) (bA, b Nhân đồng dư thức lại với ta có  p  1 !  (1) k  (mod p ) với 2k= 28 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Điều mâu thuẫn với định lý Wilson :  p  1 !  1 (mod p )! Vậy ta có điều phải chứng minh b) Giả sử tồn x cho x   (mod p ) x  1 (mod p ) x  2 k 1  1 (mod p )  x k   1 (mod p ) Theo định lý nhỏ Fermat ta có : x k   (mod p ) Suy (mod p ), mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh  Bài tập áp dụng Bài Chứng minh câu c d định lý Bài Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương a) 4xy  x  y  z ; b) x  y  Bài Chứng minh không tồn hàm số f : N   N  thoả mãn điều kiện: a) f (2)  ; b) f (mn)  f (m) f (n) m, n  N * ; c) f (m)  f (n) m  n Bài Hỏi có tồn hay khơng số ngun x , y , u , v , t thỏa mãn điều kiện sau x  y  ( x  1)  u  ( x  2)  v  ( x  3)  t 29 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG KẾT LUẬN Đề tài dùng cho học sinh, sinh viên sư phạm, bổ ích việc hình thành khả tư duy, lý luận chặt chẽ toán học ngành khoa học khác Chứng minh toán phương pháp phản chứng dạng toán hay, giúp giải tốn mà cách chứng minh khác khơng thể làm Trong đề tài, đưa sở lý thuyết, phân loại số dạng toán tiêu biểu với ví dụ để hiểu rõ dạng tốn Tuy nhiên, nhiều hạn chế Cuối cùng, chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích từ bạn đặc biệt thầy giảng dạy Trần Nam Dũng TP Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 12 năm 2014 30 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình logic học [2] Một vài trang web khác: http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/The/phuong-phap-phanchung, http://diendantoanhoc.net/forum/ 31 ...PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Phản chứng tốn chứng minh khơng tồn 19 Chứng minh sử dụng mệnh đề phản chứng 22 Chứng minh mệnh đề phản chứng 23 Các toán chứng minh phản chứng. .. nhiệt tình thầy bạn PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG NỘI DUNG BÁO CÁO I Tên đề tài: “ Những toán chứng minh phương pháp phản chứng II Lý chọn đề tài  Phương pháp phản chứng phương pháp hay, vận dụng để... loại toán chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận  Mục đích: Nhằm tìm hiểu sở lơ-gic “Phép chứng minh phản chứng  Cách