chuyên đề HSG

DÙNG BÀI TOÁN MAX, MIN DÙNG BÀI TOÁN MAX, MIN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRONG BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TOÁN CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ Môn toán trong trường THCS là bộ môn cơ bản để vận Môn toán trong trường THCS là bộ môn cơ bản để vận dụng cho kiến thức ở các lớp học tiếp theo. Trong chương dụng cho kiến thức ở các lớp học tiếp theo. Trong chương trình này việc giải phương trình là hết sức quan trọng, nó trình này việc giải phương trình là hết sức quan trọng, nó xuyên suốt hầu hết các bài học. xuyên suốt hầu hết các bài học. Đối với SGK đã trình bày đầy đủ các bước giải cơ bản Đối với SGK đã trình bày đầy đủ các bước giải cơ bản của dạng toán này. Nhưng trong thực tế có những bài của dạng toán này. Nhưng trong thực tế có những bài toán mà áp dụng các phương pháp giải đó thật là khó toán mà áp dụng các phương pháp giải đó thật là khó khăn cho học sinh hoặc không giải được. khăn cho học sinh hoặc không giải được. Trong 6 năm được trường phân công ôn thi HSG môn toán Trong 6 năm được trường phân công ôn thi HSG môn toán tôi nhận thấy rằng khi dạy học sinh phần giải phương trình, tôi nhận thấy rằng khi dạy học sinh phần giải phương trình, ngoài cách giải thông thường và một số cách giải khác ngoài cách giải thông thường và một số cách giải khác trong một số sách dành cho học sinh giỏi có phần dùng bài trong một số sách dành cho học sinh giỏi có phần dùng bài toán Max, Min để giải toán phương trình. toán Max, Min để giải toán phương trình. I. Lí do chọn chuyên đề. I. Lí do chọn chuyên đề. Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một phương pháp Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một phương pháp hoàn toàn mới, đòi hỏi một tư duy cao để nhận dạng hoàn toàn mới, đòi hỏi một tư duy cao để nhận dạng toán, nó dựa trên cơ sở chính của bài toán cực trò (Max, toán, nó dựa trên cơ sở chính của bài toán cực trò (Max, Min ) mà các em đã biết. Việc vận dụng phương pháp Min ) mà các em đã biết. Việc vận dụng phương pháp này trong giải một số phương trình là rất hiệu quả. Cách này trong giải một số phương trình là rất hiệu quả. Cách giải củng rất dễ hiểu và áp dụng cho một số dạng phương giải củng rất dễ hiểu và áp dụng cho một số dạng phương trình khác nhau như: phương trình một ẩn không chứa căn trình khác nhau như: phương trình một ẩn không chứa căn bậc hai, phương trình hai ẩn, phương trình vô tỉ, ……. bậc hai, phương trình hai ẩn, phương trình vô tỉ, ……. Với những suy nghó và thực tế đã qua trong một số năm Với những suy nghó và thực tế đã qua trong một số năm ôn thi HSG tôi đã tóm tắt được sơ lược về nội dung khi ôn thi HSG tôi đã tóm tắt được sơ lược về nội dung khi dạy dạng toán giải phương trình này cho học sinh và rút dạy dạng toán giải phương trình này cho học sinh và rút ra được những bài học kinh nghiệm cho bản thân. Tôi ra được những bài học kinh nghiệm cho bản thân. Tôi thực hiện chuyên đề này giới thiệu đến các đồng chí để thực hiện chuyên đề này giới thiệu đến các đồng chí để góp phần vào công tác giảng dạy ôn thi HSG. góp phần vào công tác giảng dạy ôn thi HSG. II. Biện pháp - Phương pháp thực hiện II. Biện pháp - Phương pháp thực hiện Để học sinh thực hiện được thành thạo cách giải này Để học sinh thực hiện được thành thạo cách giải này tôi đã thông qua quá trình dạy như sau: tôi đã thông qua quá trình dạy như sau: + Dạy cho học sinh bài toán cực trò ở dạng toán tìm giá trò + Dạy cho học sinh bài toán cực trò ở dạng toán tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của biểu thức ( đa thức, phân lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của biểu thức ( đa thức, phân thức đại số, căn thức đại số ….) Với yêu cầu giải tốt các thức đại số, căn thức đại số ….) Với yêu cầu giải tốt các dạng bài tập liên quan. dạng bài tập liên quan. + Bắt đầu nối những bài toán trên lại với nhau cho phù + Bắt đầu nối những bài toán trên lại với nhau cho phù hợp thành bài toán giải phương trình ( dạng tìm giá trò nhỏ hợp thành bài toán giải phương trình ( dạng tìm giá trò nhỏ nhất – dạng tìm giá trò lớn nhất ). Với yêu cầu tìm ra được nhất – dạng tìm giá trò lớn nhất ). Với yêu cầu tìm ra được giá trò bằng nhau của hai vế phương trình. giá trò bằng nhau của hai vế phương trình. + Nhận dạng và đưa những bài toán về dạng trên để giải. + Nhận dạng và đưa những bài toán về dạng trên để giải. PHẦN NỘI DUNG PHẦN NỘI DUNG x∀ I. I. Tóm tắt cách giải bài toán tìm giá trò nhỏ nhất, tìm Tóm tắt cách giải bài toán tìm giá trò nhỏ nhất, tìm giá trò lớn nhất. giá trò lớn nhất. 1. 1. Bài toán tìm giá trò nhỏ nhất (Min) Bài toán tìm giá trò nhỏ nhất (Min) Bài toán. Tìm giá trò nhỏ nhất của f(x). Bài toán. Tìm giá trò nhỏ nhất của f(x). Giải. Ta biến đổi Giải. Ta biến đổi 2 ( ) ( ) n x f x g a a = + ≥ Với và Vậy Khi g(x) =0 Với và Vậy Khi g(x) =0 n N ∈ ( ) in f x M a = 2. Bài toán tìm giá trò lớn nhất (Max) 2. Bài toán tìm giá trò lớn nhất (Max) Bài toán. Tìm giá trò lớn nhất của f(x). Bài toán. Tìm giá trò lớn nhất của f(x). Giải. Ta biến đổi Giải. Ta biến đổi n N ∈ x ∀ Với và Vậy Khi g(x) =0 Với và Vậy Khi g(x) =0 2 ( ) ( ) n x f x g a a= − + ≤ ( )f x Max a = * Lưu ý: với f(x) là phân thức hoặc biểu thức chứa * Lưu ý: với f(x) là phân thức hoặc biểu thức chứa căn thức bậc hai còn có điều kiện có nghóa. căn thức bậc hai còn có điều kiện có nghóa. 3. Một số ví dụ minh hoạ 3. Một số ví dụ minh hoạ 2 4 4 10x x − + Ví dụ1. Tìm giá trò nhỏ nhất của: Giải. Ta có: 2 2 ( ) 2 3 2 1 4f x x x x x= + − = + + − 2 ( 1) 4 4x = + − ≥ − Với x ∀ Vậy: ( ) 4 f x Min = − Khi x + 1 = 0 <=> x = -1 Ví dụ 2. Tìm giá trò nhỏ nhất của A = Giải. Ta có A = 2 2 4 4 10 4 4 1 9x x x x − + = − + + 2 (2 1) 9x = − + 9 3≥ = ( ) 2 2 1 0x − ≥ ; x ∀ Vì: Vậy Min A = 3 Khi 2x – 1 = 0 <=> x = 1 2 2 ( ) 2 3f x x x = + − Ví dụ Ví dụ 3 3 . Tìm giá trò lớn nhất của h(x) = . Tìm giá trò lớn nhất của h(x) = 2 13 6y y − + − Giải. Ta có: h(y) = 2 ( 6 9) 4y y− − + − 2 ( 3) 4 4 y = − − − ≤ − ≤ x∀ Vì –(y – 3) 2 0 với Vậy Max h(y) = -4 khi y -3 = 0 <=> y = 3 Ví dụ 4. Tìm giá trò lớn nhất của B = 2 16 16 1x x − + − Giải. Ta có: B = 2 2 16 16 1 16 16 4 3x x x x − + − = − + − + 2 4(4 4 1) 3x x= − − + + ≤ ≤ x ∀ = -4(2x – 1) 2 + 3 3 ; vì -4(2x – 1) 2 0 với Vậy Max B = 3 khi 2x – 1 = 0 <=> x = 1 2 II. II. Một số bài toán giải phương trình dùng giá trò lớn Một số bài toán giải phương trình dùng giá trò lớn nhất (Max), giá trò nhỏ nhất (Min) nhất (Max), giá trò nhỏ nhất (Min) 1. Dạng phương trình một ẩn. a. Học sinh có thể giải theo cách sau: 2 2 2 2 2 2 2 3 6 13 2 3 6 13 0 2 4 11 0 ( 4) 4.2.11 72 x x x x x x x x x x + − = − − <=> + − − + + = <=> − + = ∆ = − − = − Vậy: Phương trình vô nghiệm b.Dùng bài toán Max, Min 4 ≥ − x ∀ Giải. Ta có vế trái: = -(x + 1) 2 -4 với 2 2 2 3 6 13x x x x + − = − − Bài toán 1. Giải phương trình sau: 2 2 2 3 2 1 4x x x x+ − = + + − Vế phải: Vế phải: 2 2 6 13 ( 6 9) 4x x x x − − = − − + − ≤ x ∀ =-(x – 3 ) 2 – 4 -4 với Vậy dấu bằng xãy ra khi cả hai vế bằng -4 hay x – 1 = 0 <=> x = 1 và x – 3 = 0 <=> x = 3 Vậy: Phương trình vô nghiệm a. Học sinh có thể giải. 2 2 2 2 2 2 2 2 36 7 36 4 4 3 36 7 36 4 4 3 0 40 40 10 0 10(4 4 1) 0 4 4 1 0 (2 1) 0 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x − − − = + + <=> − − − − − − = <=> − − − = <=> − + + = <=> + + = <=> + = <=> = Bài tập 2. Giải phương trình: 2 2 36 7 36 4 4 3x x x x− − − = + + b.Duøng baøi toaùn Max, Min . trình. I. Lí do chọn chuyên đề. I. Lí do chọn chuyên đề. Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một phương pháp Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một. thực hiện chuyên đề này giới thiệu đến các đồng chí để thực hiện chuyên đề này giới thiệu đến các đồng chí để góp phần vào công tác giảng dạy ôn thi HSG. góp