Phép phân hoạch tập howpjvaf một số ứng dụng trong toán sơ cấp

Vì tầm quan trọng của nó trong những ứng dụng khác nhau, các nhà toán học đã nỗ lực tìm côngthức tính số phân hoạch một tập hợp.. Số phép phân hoạch trên một tập hợp n phần tử được gọi l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN DIỄN

PHÉP PHÂN HOẠCH TẬP HOWPJVAF MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

THÁI NGUYÊN 2015

Muc luc 1

Lêi nãi ®Çu 3

1.1 PhÐp ph©n hoach tËp hîp vµ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng 51.2 Sè Bell vµ sè Stirling lo¹i hai 101.3 Mét sè c«ng thøc tÝnh hµm ph©n ho¹ch tËp hîp 18

2.1 Ph©n ho¹ch ch½n, lÎ vµ øng dông trong to¸n s¬ cÊp 222.2 Mét sè øng dông gi¶i to¸n tæ hîp vµ h×nh häc s¬ cÊp 272.3 Ph©n hoach sè vµ øng dông trong to¸n s¬ cÊp 32

KÕt luËn 38

Tµi liÖu tham kh¶o 39

1

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS

Lê Thị Thanh Nhàn đã giúp tôi hoàn thành bản luận văn này Khi bắt đầunhận đề tài thực sự tôi cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mới mẻ Hơnnữa với vốn kiến thức ít ỏi cùng với kinh nghiệm làm đề tài lớn khôngnhiều nên tôi chưa thực sự tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù rất bận rộntrong công việc nhưng Cô vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việchướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện

đề tài Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận vănCô luân tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi Cho đến bây giờluận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Cô đã đôn đốcnhắc nhở và giúp đỡ tôi hết mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa toán-Tin và phòng Đàotạo của trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọngcảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quí báu cũngnhư tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này.Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè,những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện cho tôi.Vì năng lực bản thân cũng như thời gian còn hạn chế, luận văn chắc chắnkhông thể tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được sự đónggóp ý kiến nhận xét của Thầy, Cô để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Nam Định, ngày 15, tháng 4, năm 2015

Học viên

Nguyễn Văn Diễn

Lời nói đầu

Lí thuyết phân hoạch tập hợp có một lịch sử lâu dài (được quan tâm từThế kỉ 19), cho đến nay đây vẫn là một chủ đề nghiên cứu rất hấp dẫn vàthời sự Lí thuyết phân hoạch tập hợp đóng vai trò quan trọng trong nhiềulĩnh vực khác nhau của toán học như Tổ hợp, Lí thuyết Lie, Lí thuyết biểudiễn, Toán vật lí, Lí thuyết các hàm đặc biệt Vì tầm quan trọng của

nó trong những ứng dụng khác nhau, các nhà toán học đã nỗ lực tìm côngthức tính số phân hoạch một tập hợp Một trong số những công thức tính sốphân hoạch đầu tiên thuộc về Bell trong một bài báo trên tạp chí nổi tiếngAnnals of Mathematics năm 1934 và tiếp tục phát triển trong một bài báokhác trên Annals of Mathematics công bố năm 1938 Số phép phân hoạch

trên một tập hợp n phần tử được gọi là số Bell thứ n để ghi nhận đóng góp

to lớn của nhà toán học tên tuổi Eric Temple Bell (1883-1960), số này được

kí hiệu là Bn Nhiều công thức khác để tính số phân hoạch tập hợp n phần

tử như công thức được đưa ra bởi G C Rota trong bài báo “The Number

of Partitions of a Set” trên Amer Math Monthly năm 1964, công thứccủa W F Lunnon, P Pleasants, M N Stephens trong bài báo “ArithmeticProperties of Bell Numbers to a Composite Modulus” trên Acta Arith năm

1979, Ngày nay việc nghiên cứu số Bell vẫn rất được quan tâm, thểhiện trong công trình năm 2013 của E D Knuth tổng kết 2000 năm về toán

Tổ hợp (xem [K]), của D Berend và T Tassa năm 2010 (xem [BT]), của D.Callan năm 2006 (xem [Ca]),

Mục đích của luận văn là nghiên cứu lí thuyết phân hoạch tập hợp, một

số công thức tính số Bell Bn và ứng dụng để giải một số dạng toán sơ cấp,

đặc biệt là toán tổ hợp

Luận văn gồm 2 chương Trong Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày

khái niệm phép phân hoạch tập hợp, chỉ ra sự liên quan chặt chẽ giữa phépphân hoạch tập hợp và quan hệ tương đương trên cùng một tập hợp Tiết 1.2dành để chứng minh một số công thức tính số phân hoạch, số Stirling loại

2 và đưa ra một số công thức truy hồi để tính số Bell Chương này cũnggiới thiệu về tam giác Bell, đó là thành quả của việc tính toán dựa trên cáccông thức có được Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số ứng dụngcủa lí thuyết phân hoạch trong việc giải một số dạng toán sơ cấp, đặc biệt

là đối với những bài toán trong đại số tổ hợp hay hình học sơ cấp Chúngtôi cũng đưa ra lời giải một số bài toán liên quan đến nghiệm của phươngtrình, tính xác suất của biến cố hay bài toán phân hoạch của tập hợp số,

đặc biệt là những bài toán phân hoạch đa giác thành những tam giác tronghình học sơ cấp

Phép phân hoạch tập hợp

Mục tiêu của Chương 1 là trình bày khái niệm phân hoạch tập hợp, mốiquan hệ giữa phân hoạch tập hợp và quan hệ tương đương, tính chất cơ sởcủa số Bell và chứng minh một số công thức tính số Bell, tức là công thứctính hàm phân hoạch tập hợp

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi một phép phân hoạch tập X (hay một sự chia lớp

trên X) là một cách chia X thành một họ các tập con khác rỗng {Xi}i∈I

sao cho Xi ∩ Xj = ∅ với mọi i, j ∈ I, i 6= j và X = S

i∈I

Xi Nếu {Xi}i∈I làmột phân hoạch tập X thì mỗi tập con Xi được gọi là một khối của phân

hoạch; nếu I gồm k phần tử thì ta nói phân hoạch đó gồm k khối

1.1.2 Ví dụ (i) Nếu X = {a} thì X có đúng một phân hoạch, đó là phân

hoạch thành một khối X

5

(ii) Nếu X = {a, b} thì X có hai phân hoạch, phân hoạch thứ nhất thànhmột khối X; phân hoạch thứ hai gồm hai khối {a}, {b}.

(iii) Nếu X = {a, b, c} thì có 5 phép phân hoạch tập X, đó là

{{a}, {b}, {c}}; {{a, b}, {c}}; {{a, c}, {b}}; {{b, c}, {a}}; {{a, b, c}},trong đó có một phân hoạch thành 1 khối, ba phân hoạch thành 2 khối, vàmột phân hoạch thành 3 khối

(iv) Nếu X = {a, b, c, d} thì có 15 phép phân hoạch tập X, đó là

{{a, d}, {b}, {c}}; {{a, b}, {c}, {d}}; {{a, c}, {b}, {d}}

{{b, c}, {a}, {d}}; {{b, d}, {a}, {c}}; {{c, d}, {a}, {b}}

{{a, b, c}, {d}}; {{a, b, d}, {c}}; {{a, c, d}, {b}}

{{b, c, d}, {a}}; {{a, b}, {c, d}}; {{a, c}, {b, d}}

{{a, d}, {b, c}; {a, b, c, d}; {abcd}

Cụ thể:

Tập hợp gồm 4 phần tử có 1 phân hoạch thành 1 khối là {abcd}

Tập hợp gồm 4 phần tử có 1 phân hoạch thành 4 khối là {a, b, c, d}

Tập hợp gồm 4 phần tử có 7 phân hoạch thành 2 khối là

{{a, b, c}, {d}}; {{a, b, d}, {c}}; {{a, c, d}, {b}}; {{b, c, d}, {a}};

{{a, b}, {c, d}}; {{a, c}, {b, d}}; {{a, d}, {b, c}}

Tập hợp gồm 4 phần tử có 6 phân hoạch thành 3 khối là

{{a, d}, {b}, {c}}; {{a, b}, {c}, {d}}; {{a, c}, {b}, {d}};

{{b, c}, {a}, {d}}; {{b, d}, {a}, {c}}; {{c, d}, {a}, {b}}

1.1.3 Ví dụ Chú ý rằng phân hoạch không phụ thuộc vào thứ tự của các

khối Chẳng hạn, trong Ví dụ 1.1.2(iii) với X = {a, b, c}, phép phânhoạch {{a}, {b}, {c}} và {{b}, {a}, {c}} là nh− nhau; phép phân hoạch{{a, c}, {b}} và {{b}, {a, c}} là nh− nhau

Thực tế, có nhiều bài toán được quy về bài toán phân hoạch tập hợp nhưcác bài toán về xác xuất thống kê, về tổ hợp đồ thị,

1.1.4 Ví dụ Cho Ω là không gian mẫu của một phép thử nào đó Khi đó

hệ biến cố gồm n biến cố A1, A2, A3, , An được gọi là 1 phân hoạchcủa không gian mẫu Ω nếu Ai ∩ Aj = ∅, với mọi i, j = 1, 2, 3 n và

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ∪ An = Ω Hệ biến cố trên còn được gọi là hệ đầy đủ

và đôi một xung khắc với nhau Khi đó với B là một biến cố bất kì trongphép thử, ta có công thức đầy đủ và công thức Bayes như sau:

(i) P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) + + P (An)P (B/An)(ii) P (Ai/B) = P (Ai)P (B/Ai)

Tiếp theo, chúng ta trình bày mối quan hệ giữa các phép phân hoạch tập

X với các quan hệ tương đương trên X Nhắc lại rằng một tập con khác

rỗng của tích Descartes X ì X được gọi là một quan hệ (hai ngôi) trên X.

Ta thường kí hiệu các quan hệ bằng các chữ R, S, T, Ω, hoặc các kí hiệu

∼, 6, ≥, Cho Ω là một quan hệ hai ngôi trên X Nếu (a, b) ∈ Ω thì ta

viết là aΩb và ta nói a quan hệ với b (theo quan hệ Ω) Dưới đây là một số

tính chất quan trọng mà một quan hệ Ω có thể có

(i) Phản xạ: aΩa với mọi a ∈ X.

(ii) Đối xứng: Nếu aΩb thì bΩa với mọi a, b ∈ X.

(iii) Phản đối xứng: Nếu aΩb và bΩa thì a = b với mọi a, b ∈ X.

(iv) Bắc cầu: Nếu aΩb và bΩc thì aΩc với mọi a, b, c ∈ X Chẳng hạn, với

này bằng cách liệt kê như sau

Ω = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

1.1.5 Định nghĩa Một quan hệ trên X được gọi là quan hệ tương đương

nếu nó phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Theo truyền thống, quan hệ tương đương thường được kí hiệu bởi ∼

Giả sử ∼ là quan hệ tương đương trên X Với mỗi a ∈ X, ta gọi lớp tương

đương của a, kí hiệu bởi cl(a) (hay a, hoặc [a]) là tập các phần tử của X

quan hệ với a, tức là

cl(a) = {b ∈ X | b ∼ a}

Tập các lớp tương đương được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương

đương ∼ và được kí hiệu bởi X/ ∼ Như vậy

X/ ∼ = {cl(a) | a ∈ X}

Chú ý rằng a ∼ b khi và chỉ khi cl(a) = cl(b) với mọi a, b ∈ X Thật vậy,giả sử a ∼ b Cho x ∈ cl(a), tức là x ∼ a Do ∼ có tính bắc cầu nên x ∼ b.Vì thế x ∈ cl(b) Do đó cl(a) ⊆ cl(b) Tương tự, cl(b) ⊆ cl(a) Ngược lại,giả sử cl(a) = cl(b) Do ∼ có tính phản xạ nên a ∈ cl(a) Vì thế a ∈ cl(b),tức là a ∼ b

1.1.6 Ví dụ Cho m ≥ 1 là một số tự nhiên Ta định nghĩa quan hệ

≡ (mod m) trên Z như sau: với mọi a, b ∈ Z, a ≡ b (mod m) khi và chỉ

khi a ư b là bội của m Quan hệ này được gọi là quan hệ đồng dư theo

môđun m Quan hệ này là phản xạ, đối xứng và bắc cầu và không phản

xứng Do đó nó là quan hệ tương đương trên Z Nếu a ≡ b (mod m) thì

ta đọc là a đồng dư với b theo môđun m Với mỗi a ∈ Z, lớp tương đương của a thường được kí hiệu bởi a và gọi là lớp thặng dư theo môđun m với

đại diện là a Tập thương của Z theo quan hệ này được kí hiệu bởi Zm

và được gọi là tập các lớp thặng dư theo môđun m hay tập các số nguyên

mođunlô m Cho a ∈ Z Viết a = mq + r với 0 6 r 6 m ư 1 Khi đó a ư r

là bội của m, tức là a ≡ r (mod m) Suy ra a = r Hơn nữa, nếu r 6= s làcác số tự nhiên sao cho r, s 6 m ư 1 thì r ư s không là bội của m Do đó

r 6= s Vậy tập thương Zm gồm đúng m phần tử, đó là 0, 1, , m ư 1

1.1.7 Mệnh đề Cho ∼ là quan hệ tương đương trên X Khi đó.

(i) cl(a) 6= ∅ với mọi a ∈ X;

(ii) X = S

a∈X

cl(a);

(iii) Nếu cl(a) 6= cl(b) thì cl(a) ∩ cl(b) = ∅ với mọi a, b ∈ X.

Chứng minh (i), (ii) Với mỗi a ∈ X, do tính phản xạ nên ta luôn có

a ∼ a Vì thế a ∈ cl(a) Do đó cl(a) 6= ∅ và X = S

a∈X

cl(a)

(iii) Giả sử cl(a) ∩ cl(b) 6= ∅ Chọn c ∈ cl(a) ∩ cl(b) Ta có a ∼ c và

c ∼ b Giả sử x ∈ cl(a) Khi đó x ∼ a Do tính chất bắc cầu ta có x ∼ b.Vì thế x ∈ cl(b) Suy ra cl(a) ⊆ cl(b) Tương tự, cl(a) ⊇ cl(b) Do đócl(a) = cl(b)

Định lí sau đây là kết quả chính của tiết này, cho ta mối quan hệ giữacác phép phân hoạch với các quan hệ tương đương

1.1.8 Định lý Nếu ∼ là một quan hệ tương đương trên X thì tập các lớp

tương đương X/ ∼ = {cl(a) | a ∈ X} là một phân hoạch của X Ngược lại, nếu {Xi}i∈I là một phép phân hoach tập X thì tồn tại duy nhất một quan hệ tương đương trên X sao cho mỗi Xi là một lớp tương đương Chứng minh Giả sử ∼ là một quan hệ tương đương trên X Theo Mệnh

đề 1.1.7, tập X/ ∼ các lớp tương đương của X theo quan hệ tương đương

∼ làm thành một phép phân hoạch trên X Ngược lại, giả sử {Xi}i∈I là

một phân hoạch tập X Định nghĩa quan hệ Ω trên X như sau: với mọi

a, b ∈ X, aΩb khi và chỉ khi tồn tại i ∈ I để a, b ∈ Xi Dễ thấy Ω làquan hệ tương đương và mỗi Xi là một lớp tương đương Giả sử S là quan

hệ tương đương trên X cũng có tính chất mỗi Xi là một lớp tương đương.Cho (a, b) ∈ Ω Khi đó tồn tại i ∈ I để a, b ∈ Xi Theo giả thiết về S,tồn tại c ∈ X sao cho Xi = cl(c)S, trong đó ta kí hiệu cl(c)S là lớp tương

đương của phần tử c theo quan hệ tương đương S Do a, b ∈ Xi = cl(c)S

nên aSc và bSc Do tính đối xứng của S ta có aSc và cSb Vì S bắc cầunên aSb, hay (a, b) ∈ S Vậy Ω ⊆ S Cho (a, b) ∈ S Khi đó ∃i ∈ I đểcl(a)S = Xi Vì aSb nên b ∈ cl(a)S = Xi, và vì aSa nên a ∈ cl(a)S = Xi.Suy ra a, b ∈ Xi Do đó aΩb hay (a, b) ∈ Ω Vậy Ω = S

1.1.9 Hệ quả Giả sử X là tập hữu hạn Khi đó số phân hoạch tập X chính

là số quan hệ tương đương trên X.

Chứng minh Theo Định lí 1.1.8, ánh xạ cho ứng mỗi quan hệ tương đương

Ω trên X với phép phân hoạch gồm các lớp tương đương của X theo Ω, làmột song ánh

1.2 Số Bell và số Stirling loại hai

1.2.1 Định nghĩa Số phép phân hoạch tập hợp n phần tử được gọi là số

Bell thứ n và được kí hiệu là Bn

Theo Định lí 1.1.8, số Bell thứ n chính là số quan hệ tương đương trêntập n phần tử Ta quy ước số Bell thứ 0 là 1, tức là B0 = 1 Theo Ví dụ1.1.2, các số Bell thứ 1, 2, 3, 4 lần lượt là B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15.Một số số Bell đầu tiên trong dãy các số Bell là

B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, B7 = 877,

B8 = 4140, B9 = 21147, B10 = 115975

Để tính số Bell, tức là số phân hoạch tập hợp X gồm n phần tử, chúng tacần tính số phân hoach tập X thành k khối với k = 1, , n Các số này

được gọi là số Stirling lọai hai

1.2.2 Định nghĩa Cho X là tập có n phần tử Số phân hoạch tập X thành

k khối được gọi là số Stirling loại hai và được kí hiệu là S(n, k).

1.2.3 Ví dụ Bằng phương pháp liệt kê ta tìm được số phân hoạch tập hợp

tử của X Vì thế ta có công thức tính số Bell thông qua số Stirling loại hainhư sau

1.2.4 Bổ đề Bn = S(n, 1) + + S(n, n ư 1) + S(n, n)

1.2.5 Ví dụ Để tính B5, theo Bổ đề 1.2.4 ta cần tính S(5, k) với k =

1, 2, 3, 4, 5 Ta có S(5, 1) = 1, S(5, 2) = 15, S(5, 3) = 25, S(5, 4) = 10,S(5, 5) = 1 Do đó

B5 = S(5, 0) + S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) + S(5, 5) = 52

Từ Bổ đề 1.2.4 ta thấy rằng các số Stirling loại hai rất quan trọng trongviệc tính toán số Bell Do đó trong phần tiếp theo của tiết này chúng tanghiên cứu một số tính chất về số Stirling loại hai.

Kết quả sau đây cho ta một số công thức tính số Stirling loại hai Với

k ∈ {0, 1, , n}, ta đặt Ck

k!(n − k)! Ta gọi Ck

n là hệ số nhị thức thứ

k ứng với n hay số tổ hợp chập k của n phần tử.

1.2.6 Định lý Cho n, k là các số tự nhiên với k 6 n Khi đó

X thành k tập con không rỗng sao cho số phần tử của các tập là ij với

1.2.7 Ví dụ Giả sử ta cần tìm S(5, 3) Sử dụng Định lí 1.2.6(i) ta có

1.2.8 Mệnh đề Cho n, k là các số tự nhiên với 2 6 k 6 n Khi đó

S(n + 1, k) = kS(n, k) + S(n, k − 1)

Chứng minh Xét tập hợp bất kì có n + 1 phần tử, chẳng hạn

A = {x1, x2, x3, , xn+1}

Theo định nghĩa S(n + 1, k) là số phân hoạch tập hợp A thành k khối.Mặt khác ta có thể chia tập B tất cả các phân hoạch trên thành 2 tập conrời nhau nh− sau: B1 gồm tất cả các phân hoạch của tập hợp A thành kkhối trong đó có một khối là {xn+1}, còn B2 gồm tất cả các phân hoạchcủa tập hợp A thành k khối trong đó không có khối nào là {xn+1} Khi

đó mỗi phân hoạch thuộc B1 sẽ chia tập hợp {x1, x2, x3, , xn} thành

k − 1 khối và có S(n, k − 1) cách chia nh− thế Do đó lực l−ợng của B1 làS(n, k − 1) Nếu {xn+1} không là một khối thì xn+1 sẽ nằm trong một khốivới ít nhất một phần tử khác của A Vì có S(n, k) cách phân hoạch tập hợp{x1, x2, x3, , xn} thành k khối nên ta có tất cả kS(n, k) cách phân hoạchcủa tập hợp A thành k khối, trong đó không có khối nào là xn+1 Do đólực l−ợng của B2 là kS(n, k) Theo qui tắc cộng, ta có:

Phần cuối của tiết này trình bày một công thức tổng quát để tính sốStirling loại hai của một tập hợp gồm n phần tử với phân hoạch thành kkhối, chẳng hạn k = 2, 3, 4, 5, n − 1, n − 2

Chứng minh Ta sẽ chứng minh các đẳng thức trên bằng phương pháp qui

nạp đồng thời kết hợp với công thức truy hồi

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 Thật vậy, ta có S(k +

1, 5) = 5S(k, 5) + S(k, 4) Theo kết quả (iii) ở trên ta có

S(k, 4) = 4

k − 4.3k + 6.2k − 4

Ck3+ 3Ck4, k ≥ 4, k ∈ N Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1.Thật vậy, ta có

Nh− vậy các công thức trong mệnh đề trên mang hiệu ứng khá mạnh giúp

ta có thể tra cứu số phân hoạch của tập hợp gồm n phần tử thành k khốivới những giá trị của k đặc biệt ở trên

1.3 Một số công thức tính hàm phân hoạch tập hợp

Hàm phân hoạch tập hợp là hàm biến nguyên với giá trị nguyên đ−ợc cho

bởi công thức f(n) = Bn với mọi n ∈ N Mục tiêu của tiết này là chứngminh chi tiết một số công thức tính hàm phân hoạch tập hợp, tức là tính sốBell Bn, đồng thời đ−a ra tam giác Pascal tính hàm phân hoạch tập hợp

1.3.1 Mệnh đề Ta có công thức truy hồi sau đây.

k=0

S(n, k)Ak

x Do đóL(xn) =

Sau đây ta sẽ đưa ra tam giác Bell để tính số phân hoạch của tập hợpgồm n phần tử với n nhận những giá trị đầu tiên là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Đây là kết quả tổng hợp của những định lí, mệnh đề ở trên Trước hết tamô tả cách xây dựng tam giác Bell qua chú ý sau đây

1.3.3 Chú ý Các số Bell có thể tính dễ dàng bằng cách xây dựng tam giác

Bell, còn được gọi là dãy Aitken hoặc tam giác Pierce Ta có thể mô tảcách xây dựng tam giác Bell như sau: Bắt đầu với số 1 và đặt số này trêndòng thứ nhất Tạo một dòng mới bằng cách lấy phần tử bên phải của dòngngay trên nó làm phần tử đầu tiên bên trái của dòng mới Lần lượt các sốtiếp theo của dòng mới bằng cách lấy tổng phần tử bên trái nó với phần tử

đứng cùng cột phần tử ấy ở dòng trước nó Tiếp tục bước ba cho đến khi

số phần tử của dòng mới nhiều hơn số phần tử của dòng trên một phần tử

Số nằm phía phải mỗi dòng là số Bell cho mỗi dòng

Cụ thể tam giác Bell cũng có qui luật thiết lập cụ thể, có nét tương tựnhư qui luật thiết lập tam giác Pascal của các số tổ hợp Hàng đầu tiên làchữ số 1, đây là số Bell đầu tiên Với mọi i ≥ 1 hàng thứ i + 1 được điềntheo nguyên tắc sau đây: Chữ số cuối cùng của hàng thứ i được đặt lên đầuhàng thứ i + 1 Với mọi j > 1 số thứ j của hàng i + 1 là tổng của số thứ

j ư 1 của hàng i + 1 và số thứ j ư 1 của hàng i Số cuối cùng của hàng

i + 1 là số Bell của hàng đó