PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÀ GIẢI MẠCH ĐIỆN

Giả thiết mạch có m nhánh và n nút, thuật toán giải mạch điện theo phương pháp dòng điện nhánh như sau: Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng nhánh Bước 2: Viết n-1 phương trình Kiếchốp 1 không

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÀ GIẢI

MẠCH ĐIỆN CHƯƠNG III

- Phân tích mạch điện là bài toán cho biết thông số và kết cấu của mạch điện, cần tìm dòng điện, điện áp, công suất trên các nhánh

- Có nhiều phương pháp khác nhau để phân tích mạch điện Việc chọn phương pháp tùy thuộc và sơ đồ cụ thể

- Hai định luật Kiếchốp là cơ sở để giải mạch điện

- Giải mạch điện sin ở chế độ xác lập gồm các bước sau:

+ Biểu diễn dòng điện, điện áp dưới dạng véctơ, số phức

+ Lập phương trình theo định luật Kiếchốp

+ Giải hệ hương trình đã lập tìm giá trị dòng điện và điện áp

- Đối với mạch dòng điện không đổi ở chế độ xác lập, xem đó là

trường hợp riêng của dòng điện sin với tần số  = 0

+ Nhánh có điện dung C coi như hở mạch (vì 1/C =)

+ Nhánh có điện cảm L coi như nối tắt (vì L=0)

+ Mạch chỉ còn điện trở, việc giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều

I Phương pháp biến đổi tương đương

- Biến đổi mạch điện nhằm mục đích đưa mạch phức tạp về dạng đơn giản hơn

- Biến đổi tương đương là biến đổi mạch điện sao cho dòng điện, điện áp tại các bộ phận không bị biến đổi vẫn giữ nguyên

- Một số biến đổi thường gặp:

+ Mắc nối tiếp + Mắc song song + Đổi nối tam giác – sao + Đổi nối sao – tam giác

1 Mắc nối tiếp

,

Giả thiết các tổng trở Z1, Z2, …, Zn mắc nối tiếp được biến đổi thành tổng trở tương đương Ztđ

1

Z I U

Z I U

2 Mắc song song

Giả thiết có n tổng trở mắc song song

được biến đổi tương đương

1 tđ

tđ

Z

1

Z

1 Z

1 Z

Đối với trường hợp hai nhánh mắc song song

2 1

1 Z

1 Z

2 1

2 1 tđ

Z Z

Z

Z Z





3 Biến đổi sao - tam giác

Ba tổng trở gọi là nối hình sao nếu chúng

có một đầu nối chung

Ba tổng trở gọi là nối hình tam giác nếu

chúng tạo nên mạch vòng kín mà chỗ nối

là nút của mạch

Ta thường cần biến đổi từ hình sao sang

hình tam giác tương đương và ngược lại

Để tìm các công thức biến đổi sao tam

giác ta xuất phát từ các điều kiện biến đổi

23 31

12 2

23

Z Z

Z

Z ) Z Z

( I U

12

23 31

12 3

2

Z Z

Z

Z ) Z Z

( Z

31 23

12 3

31

Z Z

Z

Z ) Z Z

( I U

12

31 23

12 1

3

Z Z

Z

Z ) Z Z

( Z

12 31

23 1

12

Z Z

Z

Z ) Z Z

( I U

12

12 31

23 2

1

Z Z

Z

Z ) Z Z

( Z

Giải hệ phương trình tìm được ta có các công thức sau

Biến đổi Δ → Y

31 23

12

31 12

1

Z Z

Z

Z

Z Z







31 23

12

12 23

2

Z Z

Z

Z

Z Z







31 23

12

23 31

3

Z Z

Z

Z

Z Z







Tổng trở của nhánh hình

sao tương đương bằng

tích hai tổng trở tam giác

kẹp nó chia cho tổng ba

trở tam giác

Đặc biệt: Δ đối xứng → Y đối xứng

Z Z

Z

3

1 Z

Z

Biến đổi Y → Δ

3

2 1 2

1 12

Z

Z

Z Z

Z

Đặc biệt: Y đối xứng → Δ đối xứng

Z 3 Z

Z

Z12  23  31 

Z Z

Z

1

3 2 3

2 23

Z

Z

Z Z

Z

2

1 3 1

3 31

Z

Z

Z Z

nối với nó cộng với tích của

chúng chia cho tổng trở của

nhánh kia

Cho mạch cầu hình bên

Tìm dòng điện qua nguồn I

0 R

R R

R

R R

2 1

0

1 0

0 R

R R

R

R R

2 1

0

1 2

1 R

R R

R

R R

2 1

0

0 2







Điện trở tương đương toàn mạch

4 c

3 a

4 c

3 a

b tđ

R R

R R

) R R

)(

R R

( R

, 1 2

25 , 0

) 4 25

, 1 )(

2 25

, 0

( 625

, 0

Rtđ

Dòng điện qua nguồn

A 27 ,

27 2

, 2

60 R

E I

tđ







II Phương pháp dòng điện nhánh

Dòng điện nhánh là phương pháp cơ bản để giải mạch

Giả thiết mạch có m nhánh và n nút, thuật toán giải mạch điện

theo phương pháp dòng điện nhánh như sau:

Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng nhánh

Bước 2: Viết n-1 phương trình Kiếchốp 1 (không cần viết cho

nút thứ n, vì có thể suy ra từ (n-1) phương trình đã viết)

Bước 3: Viết m-n+1 phương trình Kiếchốp 2 (phải chọn (m-n+1)

vòng độc lập, vẽ chiều đi vòng của các mắt lưới)

Bước 4: Giải hệ m phương trình tìm các dòng điện nhánh

Giải mạch điện hình bên theo

phương pháp dòng điện nhánh

Ví dụ:

Bài giải:

t sin 2

120 e

Trong đó phương trình theo định luật Kiếchốp 1: n - 1 = 1

phương trình theo định luật Kiếchốp 2: m – n + 1 = 2

A 2 10 10

10

20 j 20

10 j 10

III Phương pháp dòng điện vòng

Phương pháp dòng điện nhánh có ưu điểm lập hệ phương trình đơn giản nhưng số phương trình lớn (bằng số nhánh) Để giảm số phương trình có thể sử dụng phương pháp dòng điện vòng mà ẩn

số của hệ phương trình là dòng điện vòng

Các bước giải theo phương pháp dòng điện vòng như sau:

Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và dòng điện vòng

Bước 2: Lập m-n+1 phương trình dòng vòng

Bước 3: Giải hệ m-n+1 phương trình tìm các dòng vòng

Bước 4: Tìm dòng các nhánh bằng tổng đại số các dòng vòng qua

nhánh, nếu dòng vòng cùng chiều dòng nhánh lấy dấu dương

Tùy ý vẽ chiều của các dòng

Giải hệ phương trình dòng điện vòng ta được các giá trị

dòng điện vòng

Tính dòng điện nhánh như sau: Dòng điện của một nhánh

bằng tổng đại số các dòng điện vòng qua nhánh ấy, trong đó

dòng điện vòng nào có chiều trùng với chiều dòng điện

nhánh sẽ lấy dấu dương, ngược lại lấy dấu âm

0

120 I

) 2 2

( I

j4) (4  a   j b  ej

0

0

120 I

) 2 2

( I

j4) (4  b  j a   ej

Để giải mạch điện, thay giá trị E1, E2, Z1, Z2, Z3 vào hệ phương trình dòng điện vòng

I  a  

) ( 20 20

I  a  b  

) ( 10 10

I  b   

Dòng điện nhánh:

IV Phương pháp điện áp nút

1 Định luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn

Một đoạn mạch gồm cả nguồn và tải, biết điện áp đặt lên nguồn

là UAB, có thể tính được dòng qua nhánh theo định luật Ôm

2 1

AB AB

Z Z

E E

U I

Tổng quát: nếu có nhiều nguồn và tải nối tiếp với nhau trên

một nhánh, biết điện áp trên 2 đầu nhánh, ta có công thức

tổng quát tính dòng qua nhánh theo định luật Ôm như sau

Trong đó: Điện áp U và sức điện động E cùng chiều dòng

điện mang dấu (+), ngược chiều mang dấu (-)

lại mạch điện như đã giải

qua các phương pháp trên

Áp dụng định luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn:

1 1

AB 1

1 AB

Z

E

U I

2 AB 2

AB 3

3 AB

) E U

( Y

U Y

) E U

( I

I

I1 2 3    AB 1 1   AB 2   AB  3 3 

3 3 1

1 3

2 1

3 2

1

3 3 1

1 AB

Y Y

Y

Y E Y

E U

Y

Y

E U

Trong đó: Yk : tổng dẫn phức của nhánh k Các sđđ ngược chiều với điện áp lấy dấu dương, cùng chiều điện áp lấy dấu âm

Biết giá trị điện áp, từ đó áp dụng định luật Ôm cho nhánh có

nguồn tìm được dòng điện các nhánh

Thuật toán giải mạch điện theo phương pháp điện áp nút:

Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút

Bước 2: Tìm điện áp hai nút

Bước 3: Tìm dòng điện nhánh

Áp dụng giải mạch điện với

t sin 2

120 e

25 , 0 j 25 ,

0 8

2 j 2 2

j 2

1 Y

E1   3 

80 )

25 , 0 j 25

, 0 ( 3

2 ).

25 , 0 j 25 , 0 ( 120 Y

Y Y

Y E

Y

E U

3 2

1

3 3 1

10 2

j 2

20 2

j 2

10 2

j 2

V Phương pháp xếp chồng

Phương pháp này rút ra từ tính chất cơ bản của hệ phương

trình tuyến tính: trong mạch điện tuyến tính nhiều nguồn, dòng điện qua mỗi nhánh bằng tổng đại số các dòng điện qua

nhánh do tác dụng riêng rẽ của từng sức điện động (lúc đó

các sức điện động khác được coi bằng không);

Điện áp trên mỗi nhánh cũng bằng tổng đại số các điện áp gây nên trên nhánh do tác dụng riêng rẽ từng sức điện động

Cho mạch điện hình bên, có R=2, XL=2

Nguồn sin E1=E2=120 V

Tìm dòng điện nhánh

Ví dụ:

Sử dụng phương pháp xếp chồng:

Ở đây cần giải mạch điện hình bên, ta

sẽ giải hai mạch điện, trong mỗi mạch

chỉ có một sức điện động tác dụng

riêng rẽ và sau đó xếp chồng (cộng đại

số) các kết quả của mỗi mạch

Giải mạch điện I:

Biến đổi tương đương: vì

j 1

Z 2

1

2 j 2 Z

Z Z

3 j 3 Z

Z

20 j

20 j

3 3

120 Z

E I

10 2

I I

I

' 1 '

Giải mạch điện II tương tự mạch điện I:

20 j

20 j

3 3

120 Z

E I

10 2

I I

I

'' 3 ''

I

I1  1'  2''  



2 10 10

10

10 j 10

I I

I2  '2 2''   

20 j 20

I I

I3  3''  '3  



2 10 10

10

2 20 20

20

VI Phương pháp tính mạch có nguồn chu kỳ không sin

Trong kỹ thuật điện, điện tử thường gặp các nguồn chu kỳ không sin

Ví dụ: Điện áp sau chỉnh lưu hai nửa chu kỳ Điện áp hình răng cưa

Trong đó: E0 - thành phần một chiều

E1msin(t+1) - thành phần cơ bản có tần số bằng tần số nguồn không sin

E2msin(2t+2) - thành phần bậc hai có tần số 2

Ekmsin(kt+k) - thành phần bậc k có tần số k

) t

k sin(

E

) t

2 sin(

E )

t sin(

E E

) t

(

e

2 mk

2 2

m 1

1 m 0

Như vậy bài toán mạch có nguồn chu kỳ không sin trở thành

nhiều bài toán mạch xoay chiều

Đối với mỗi thành phần điều hòa ta có thể dùng các phương

pháp đã nghiên cứu ở các mục trên

Lưu ý là tổng trở của các phần tử phụ thuộc vào tần số:

Cảm kháng với điều hòa bậc k: XLk  k  L  kXL1

Dung kháng với điều hòa bậc k: Ck XC1

k

1 C

1 L

k ( R

1 L

k arctg

Thuật toán giải mạch có nguồn chu kỳ không sin như sau:

Bước 1: Phân tích nguồn chu kỳ không sin thành tổng các điều hòa

có tần số khác nhau

Bước 2: Cho từng điều hòa tác động, tìm dòng điện, điện áp do

từng điều hòa tạo nên

Bước 3: Tổng hợp kết quả

Chú ý là vì các điều hòa có tần số khác nhau nên cần dùng biểu thức dạng tức thời

) t

k sin(

i

) t

2 sin(

i ) t

sin(

i I

) t (

i

2 mk

2 2

m 1

1 m 0

Trị số hiệu dụng của dòng điện không sin

1 0

T

0

2

dt ) i

i i

I

( T

1 dt

i T

1 I

2 k

2 2

2 1

2

0 I I I I

Ví dụ:

Nguồn không sin

) 30 t

3 sin(

2 30 t

sin 2

100 100

) t (

Tác động vào mạch tải có R=4Ω và XL1=3Ω

Hãy tìm dòng điện hiệu dụng và tức thời

Cho từng thành phần điều hòa tác động

Bài giải:

Thành phần một chiều

A

25 4

100 R

E

Thành phần bậc nhất

A

20 3

4

100 Z

E I

2 2

L

37 4

3 arctg R

sin(

2 20

Thành phần bậc ba

A

3 9

4

100 Z

E I

2 2

L

4

9 arctg R

) 66 t

3 sin(

2 3 )

37 t

sin(

2 20 25

) t (

Dòng điện

Giá trị hiệu dụng

A 15 , 32 3

20 25

I I

I

Ta giải bằng phương pháp biến đổi tương đương Lần lượt

thực hiện biến đổi nối tiếp và song song Điện trở tương

đương có chỉ số là tổng các chỉ số thành phần

Bài giải

30 15 R

R

R

R R

8 11

8 11 12

12 12 R

R

R

R R

4 13

4 13 14

8 8 R

R

R

R R

3 15

3 15 16

230 R

U I

8

8 46

R R

R I

I

3 15

15 1

23 8

8

8 46

R R

R I

I

3 15

15 1

A 5 ,

11 12

12

12 23

R R

R I

I

4 13

4 6

11 12

12

12 23

R R

R I

I

4 13

13 6

7 15

30

30 5

,

11 R

R

R I

I

8 11

11 7

3 15

30

15 5

,

11 R

R

R I

I

I

8 11

8 7

Ví dụ 2:

Cho mạch xoay chiều hình bên

) 45 t

sin(

2 50

) 135 t

sin(

2 50

Giải mạch điện bằng các phương pháp:

Dòng điện nhánh, dòng điện vòng, điện

áp nút

Phương pháp dòng điện nhánh

Chọn chiều dòng điện trong các

nhánh và chiều đi vòng như hình

vẽ Biểu diễn dạng phức của

nguồn và các tải như sau:

4 , 35 j 4

, 35 45

50

4 , 35 j 4 , 35 135

3 2

2

1 3

3 1

1

3 2

1

E Z

I Z

I

E Z

I Z

I

0 I

I I

Thay số vào hệ phương trình

I 125 ,

3 I

) 6 j 8 (

5 , 34 j 5

, 34 I

125 ,

3 I

) 6 j 8

(

0 I

I I

3 2

3 1

3 2

1

125 ,

3 I

) 6 j 8 (

5 , 34 j 5

, 34 I

125 ,

3 I

) 6 j 8

(

0 I

I I

3 2

3 1

3 2

1

Giải hệ bằng phương pháp định thức

125 ,

3 6

j 8

0

125 ,

3 0

6 j 8

1 1

3 )

125 ,

3 )(

6 j 8 ( ) 6 j 8 )(

6 j 8 (

36





292 j

8 , 716 125

, 3 6

j 8 5

, 34 j 5 , 34

125 ,

3 0

5 , 34 j 5 , 34

1 1

292 125

, 3 5

, 34 j 5 , 34 0

125 ,

3 5

, 34 j 5 , 34 6

j 8

1 0

,

4 150

292 j

8 ,

, 1 78

, 4

83 , 2 j 83 , 2 I

I

I3  1 2  



78 , 4 j 95

,

1 150

8 , 716 j

, 4 95

, 1

4 83

, 2 83

, 2

Phương pháp dòng điện vòng

Chọn chiều dòng điện trong các

nhánh và dòng điện vòng Ia và Ib

tại vòng a và b như hình vẽ

Biểu diễn dạng phức của nguồn

và các tải như sau:

4 , 35 j 4

, 35 45

50

4 , 35 j 4 , 35 135

2 b

3 a

1 3

b 3

1

a

E )

Z Z

( I Z

I

E Z

I ) Z Z

I ) 6 j 125

, 11 ( I

125

,

3

5 , 34 j 5 , 34 I

125 ,

3 I

) 6 j 125

,

11

(

b a

b a

Thay số vào hệ phương trình

, 34 I

) 6 j 125

, 11 ( I

125

,

3

5 , 34 j 5

, 34 I

125 ,

3 I

) 6 j 125

,

11

(

b a

b a

Giải bằng định thức

150 6

j 125

, 11 125

, 3

125 ,

3 6

j 125

, 11

8 ,

716 6

j 125

, 11 5

, 34 j 5 , 34

125 ,

3 5

, 34 j 5 ,

292 5

, 34 j 5 , 34 125

, 3

5 , 34 j 5 , 34 6

j 125

Dòng điện vòng 4 , 78 j 1 , 95

150

292 j

8 ,

,

1 150

8 , 716 j

, 4 I

16 , 5 78

, 4 95

, 1

4 83

, 2 83

, 2

78 , 4 j 95 , 1 I

I2  b   



83 , 2 j 83 , 2 I

I

I3  a  b  

Phương pháp điện áp nút

Chọn chiều dòng điện trong các

nhánh như hình vẽ

Biểu diễn dạng phức của nguồn

và các tải như sau:

4 , 35 j 4

, 35 45

50

4 , 35 j 4 , 35 135

Tổng dẫn phức các nhánh

06 , 0 j 08 ,

0 100

6 j 8 6

j 8

1 Z

1 Y

,

0 100

6 j 8 6

j 8

1 Z

1 Y

0 125

, 3

1 Z

1 Y

3

Điện áp nút UAB

3 2

1

2 2 1

1 AB

Y Y

Y

Y E

Y

E U

32 , 0 06

, 0 j 08 , 0 06

, 0 j 08

, 0

) 06 , 0 j 08

, 0 )(

5 , 34 j 5 , 34 (

) 06 , 0 j 08

, 0 )(

5 , 34 j 5 , 34

8 48

, 0

12 , 0 j ) 5 , 34 j 5 , 34

(

Dòng điện nhánh

95 , 1 j 78

,

4 6

j 8

5 , 34 j 5

, 34 )

83 , 8 j 83 , 8 ( Z

E

U I

1

1 AB

1 6

j 8

5 , 34 j 5 , 34 )

83 , 8 j 83 , 8 ( Z

E

U I

2

2 AB

2 125

, 3

83 , 8 j 83 , 8 Z

U I

Trị số hiệu dụng I1  4 , 782  1 , 952  5 , 16

16 , 5 78

, 4 95

, 1

4 83

, 2 83

, 2

Một cuộn dây có điện trở R=10, điện cảm L=35mH được đặt vào điện áp u=59,6sint+10,7sin3t-1,97sin7t V, =314rad/s

- Tìm biểu thức dòng điện trong mạch

- Xác định hệ số công suất của mạch

Dòng điện thành phần cơ bản

o o

o

1

m 1 m

47 9

, 14

0 6 , 59 Z

L j

sin(

01 , 4

Dòng điện thành phần bậc 3

o o

o

3

m 3 m

73 57

, 34

0 7

, 10 Z

L 3 j R

sin(

31 , 0

Dòng điện thành phần bậc 7

o o

o

7

m 7 m

82 6

, 77

0 91 , 1 Z

L 7 j R

sin(

025 ,

0

Dòng điện của mạch

) 73 t

sin(

31 , 0 )

73 t

sin(

31 , 0 )

47 t

sin(

01 , 4

85 ,

2 2

025 ,

0 31

, 0 01

, 4 2

I I

I I

2 2

2 2

m 7

2 m 3

2 m



Điện áp của mạch

42 2

97 , 1 7

, 10 6

, 59 2

U U

U U

2 2

2 2

m 7

2 m 3

2 m

8 , 80 UI

P

VIII Bài tập chương III

Bài số 3.1: Tính điện trở tương

đương của mạch điện sau ở

Bài giải:

a) A-B: (R1 nối tiếp R2) song song (R3 nối tiếp R4) song song R5

5

1 10

1 4

1 R

1 R

R

1 R

R

1 R

1

5 4

3 2

1 AB

a) A-C: (((R1 nối tiếp R2) song song R5) nối tiếp R4)) song song R3

4 R

R

5 4

5 4 R

R

R

R R

5 12

5 12

22 , 2 R

R

69 ,

2 4

22 , 8

4 22 , 8 R

R

R

R R

3 1254

3 1254

c) B-C: (((R2 nt R1) // R5) nt R3) // R4

4 R

R

5 4

5 4 R

R

R

R R

5 21

5 21

22 , 2 R

R

054 ,

3 6

22 , 6

6 22 , 6 R

R

R

R R

4 2153

4 2154

R

5 10

5 10 R

R

R

R R

5 34

5 34

33 , 3 R

R

45 ,

1 2

33 , 5

2 33 , 5 R

R

R

R R

1 3452

1 3452

- Giả thiết chiều dòng điện trong các nhánh

trùng với chiều sđđ, riêng nhánh 6 từ nút

phía trên → phía dưới

- Mạch điện có 6 nhánh và 4 nút

Giải theo phương pháp dòng điện nhánh:

3 5

5 4

4 3

3

4 2

6 6 4

4 2

2

5 1

6 6 5

5 1

1

6 5

4

5 3

1

6 2

1

E E

E R

I R

I R

I

E E

R I R

I R

I

E E

R I R

I R

I

0 I

I

I

0 I

I I

0 I

I

I

I

20 I

5 I

I

2

21 I

5 I

I

0 I

I

I

0 I

I I

0 I

I

I

5 4

3

6 4

2

6 5

1

6 5

4

5 3

1

6 2

71 , 7 I

91 , 6 I

61 , 1 I

53 , 8 I

32 , 9 I

6 5 4 3 2 1

Giải theo phương pháp dòng điện vòng

3 5

4 3

3 v 4

2 v 5

1

v

4 2

4 3 v 6

4 2

2 v 6

1

v

5 1

5 3 v 6

2 v 6

5 1

1

v

E E

E )

R R

R ( I R

I R

I

E E

R I

) R R

R ( I R

I

E E

R I

R I

) R R

R

(

I

Lập hệ pt:

3 I

I

20 I

I 8 I

5

21 I

I 5 I

7

3 v 2

v 1

v

3 v 2

v 1

v

3 v 2

v 1

53 , 8 I

32 , 9 I

3 v

2 v

1 v

I

I

71 , 7 I

I

I

92 , 6 I

I

I

61 , 1 I

I

53 , 8 I

I

32 , 9 I

I

2 v 1

v 6

3 v 1

v 5

3 v 2

v 4

3 v 3

2 v 2

1 v 1

Giải mạch điện hình bên bằng phương

R R

R ( I R

I R

I

E E

R I

) R R

R ( I R

I

E E

R I

R I

) R R

R ( I

6 5

4 3

v 6

2 v 4

1 v

3 2

6 3 v 6

3 2

2 v 2

1 v

2 1

4 3 v 2

2 v 4

2 1

1

v

Lập hệ pt:

Thay số vào hệ pt và giải:

9 I

3 I

3

80 I

3 I

5 , 4 I

60 I

3 I

v 1

v

3 v 2

v 1

v

3 v 2

v 1

4 , 19 I

1 , 6 I

3 v

2 v

1 v

I I

4 , 4 I

I

5 , 10 I

I I

4 , 19 I

I

5 , 25 I

I I

1 , 6 I

I

3 v 2

v 6

3 v 5

3 v 1

v 4

2 v 3

1 v 2

v 2

1 v 1

0 1

5 , 0

1 Y

0 1

130 Y

Y Y

Y E Y

E Y

E U

3 2

1

3 3 2

2 1

6 1

5 , 0

130 140

R R

U

E I

1 Y 1

BA 1

1

130 80

R R

U

E I

2 Y 2

BA 2

5 , 0

130 160

R R

U

E I

3 Y 3

BA 3