Phương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi Tiết

Phương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi TiếtPhương Trình Quy Về Lượng Giác Quy Về Bậc Hai Có Giải Chi Tiết

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP Phƣơng trình bậc hai với hàm số lƣợng giác Đặt Dạng Điều kiện t = sinx t = cosx t = tanx t =cotx Nếu đặt: t  sin2 x hoaëc t  sin x điều kiện : t  B– BÀI TẬP Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác A 2sin x  sin x 1  B 2sin 2 x  sin x  C cos2 x  cos2 x   D tan x  cot x   Câu 2: Nghiệm phương trình sin x – sin x  thỏa điều kiện:  x     A x  B x   C x  D x   2  Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin x  3sin x   thỏa điều kiện  x  là:    5 A x  B x  C x  D x  6 Câu 4: Phương trình sin x  3sin x   có nghiệm là:  A x   k 2 , k  B x    k 2 , k   C x  k , k  D x   k , k    Câu 5: Nghiệm phương trình sin x  sin x  thỏa điều kiện:   x  2   A x  B x   C x  D x  2 Câu 6: Trong 0;2  , phương trình sin x   cos x có tập nghiệm      A  ;  ; 2  B 0;  C 0; ;   2    Câu 7: Phương trình: 2sin x  sin x  có nghiệm là: File Word liên hệ: 0937351107 Trang    D 0; ;  ; 2    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11      x   k 2  x   k A  B  ,k  ,k   x    k 2  x    k   2   C x   k , k  D x   k 2 , k  2 Câu 8: Nghiệm phương trình sin x  4sin x   :   A x    k 2 , k  B x    k 2 , k  2  C x   k 2 , k  D x  k 2 , k  Câu 9: Nghiệm phương trình  5sin x  2cos2 x    A k , k  B k 2 , k  C  k 2 , k  D  k 2 , k  Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin x  2sin x     5  k ( k  ) A x   k 2 ( k  ) B x   k ; x  6  5    k 2 (k  ) C x   k 2 ; x  D x   k ; x    k (k  ) 6 6 Câu 11: Phương trình 2sin x  sin x   có nghiệm là:    A k , k  B  k , k  C  k 2 , k  D   k 2 , k  2 Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos x  sin x   2   2  ;  k 2 ; k  k ;  k 2 ; k  A  k B 6  2   2  ;  k 2 ; k  k ;  k 2 ; k  C  k D 6  Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin x – 3sin x   thỏa điều kiện:  x      A x  B x  C x  D x   2 Câu 14: Nghiệm phương trình 2sin x – 5sin x –  là:  7  5  k 2  k 2 A x    k 2 ; x  B x   k 2 ; x  6   5  k 2 C x   k ; x    k 2 D x   k 2 ; x  4 Câu 15: Nghiêm pt sin2 x  – sinx  là:     k 2 A x   k 2 B x   k C x  D x  k 2 Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin x  sin x     5  k ( k  ) A x   k 2 ( k  ) B x   k ; x  6 File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 5    k 2 (k  ) D x   k ; x    k (k  ) 6 6 Câu 17: Nghiệm phương trình cos x  sin x   C x  A x    C x    k 2 ; x   k 2 , k   B x    k 2 , k  A x  k , k  C x    B x   k 2 , k  D x  Câu 19: Phương trình 2sin x  3sin x   có nghiệm A k , k  C   k 2 , k  B D    D x  Câu 18: Nghiêm phương trình sin x   sin x      k , k   k 2 , k   k 2 , k   k , k   k , k   k 2 ; 5  k 2 , k  Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2 x  3sin x   thõa điều kiện  x  A x   B x   C x  Câu 21: Nghiệm phương trình  5sin x  2cos2 x     x   k 2 A  B ,k   x     k 2     x   k 2 C  D ,k   x     k 2  Câu 22: Nghiệm phương trình  5sin x  2cos2 x   D x     x   k 2 ,k    x  5  k 2     x   k 2 ,k    x  2  k 2  là:  A k , k  B k 2 , k  C  k 2 , k  D Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 2 x  2sin2x   :    A   k B  k C  k 2 D 4 Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos2 x  sin 2x 1      A  k B k C   k D 2 Câu 25: Một họ nghiệm phương trình cos x  3sin x    1  1 A   arcsin     k 2 B   arcsin     k 2  4  4    1  1 C  arcsin     k D  arcsin     k 2  4  4 File Word liên hệ: 0937351107 Trang   k 5  là:  k 2 , k    k 2  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 26: Nghiệm phương trình sin 2 x  2sin x 1  khoảng   ;   :   3    3    3  A  ;   B  ;  C  ;     4  4  Câu 27: Giải phương trình: sin x  2sin x     A k B   k C  k 2 2 Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x  12cos x   có nghiệm là:     A x    k 2 B x   k C x   k 4     Câu 29: Phương trình cos  x    4cos   x   có nghiệm là: 3  6    3  D  ;    4 D    k 2 D x     k    x    k 2 C   x  5  k 2     x   k 2 D   x    k 2     Câu 30: Tìm m để phương trình 2sin2 x   2m  1 sinx  m  có nghiệm x    ;0    A 1  m  B  m  C 1  m  D  m  Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos x  4cos x    A x    k 2 (k  ) B x   k 2 ( k  ) C x  k 2 (k  ) D x  k (k  )    x    k 2 A   x    k 2     x   k 2 B   x  3  k 2  Câu 32: Giải phương trình 2cos2 x  3cos x       A x    k 2 , k  B k 2 ,   k 2 , k   3    C x   k 2 , k  D x  k 2 , k  Câu 33: Phương trình cos x  cos x  11  có tập nghiệm là: A x  arccos  3  k 2 , k  , x  arccos  2  k 2 , k  B  C x  arccos  2  k 2 , k  D x  arccos  3  k 2 , k  Câu 34: Phương trình sau vơ nghiệm: A sin x   B 2cos2 x  cos x 1  C tan x   D 3sin x   x x Câu 35: Phương trình: sin  cos   có nghiệm là: 3 A x  k , k  B x  k 3 , k  C x  k 2 , k  D x  k 6 , k  Câu 36: Phương trình : cos 2 x  cos x   có nghiệm 2   k , k  A x   B x    k , k  3 File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   k , k  Lượng giác – ĐS GT 11   k 2 , k  6 Câu 37: Nghiệm phương trình cos2 x – cosx  thỏa điều kiện  x   : C x   A x   D x   B x   C x   Câu 38: Nghiệm phương trình cos2 x  cos x  thỏa điều kiện:  A x   B x  A x  k B x    k 2 C x  Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos2 x  – 8cos x – là: 3  x C x  k 2 D x    D x   3 3 D x   Câu 40: Nghiệm pt 2cos x  2cos x –     k C x    k 2 Câu 41: Phương trình 2cos x  3cos x   có nghiệm   A   k 2 , k  B   k 2 , k  A x     k 2 B x   2   k 2 , k  C  D  k 2 , k  3 Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x  3cos x   có nghiệm   k 2 , k  B x    k 2 , k  C x  A x  k 2 , k  B x  C x   Câu 44: Phương trình sin 2 x  cos x     có nghiệm  k 2   k  k 2 , k  D Vô nghiệm D Vô nghiệm   k , k   2  k , k  C x    k ,, k  D x   3 Câu 45: Họ nghiệm phương trình cos2 x  cos 2x     k    k 2 A  k B   C D  k 2 2 2 Câu 46: Họ nghiệm phương trình 3cos x  cos x   A x    k , k   k , k  Câu 43: Phương trình lượng giác: cos x  2cos x   có nghiệm A x   D x    A k 2 B x   B   k 2 C k Câu 47: Các họ nghiệm phương trình 3sin 2 x  3cos x   A k ;  k  B k ;  File Word liên hệ: 0937351107  k  Trang C k ;   k D    k 2 D k ;    k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11  3 3   ;    Câu 48: Nghiệm phương trình 2cos2  x    3cos  x     khoảng  2  3 3   là:  7  5   7  5   7  5   7  5  A  B  ;  ;  C  ; ;  ; ;  ;  ;   D  6  6  6   6     Câu 49: Giải phương trình 3cos x  2cos x        k C x   k 2 2 2 Câu 50: Phương trình sin x  sin x  có nghiệm là:       x   k x   k A  B  (k  )  x     k  x     k       x  12  k C  D Vô nghiệm  x     k  Câu 51: Phương trình tan x  5tan x   có nghiệm là:  A x   k ; x  arctan(6)  k  k    C x   k 2 ; x  arctan(6)  k 2  k    B x    k ; x  arctan(6)  k 2  k   D x  k ; x  arctan(6)  k  k   A x  k Câu 52: Giải phương trình A x  C x     k , x    k 2 , x    tan x   tan x    k , k    k 2 , k  B x  Câu 53: Phương trình tan x  3cot x  (với k  A   k 2 , arctan  k 2 D x  C arctan  k   k 2 , x   k , x   B D Trang   k 2 , k   k , k   k     k  k , arctan  k tan2 x  3   tan x   có nghiệm File Word liên hệ: 0937351107   k , arctan  k ) có nghiệm D Câu 54: Phương trình tan x  3cot x  (với k   A  k 2 , arctan  k 2  ) có nghiệm là: B C arctan  k Câu 55: Phương trình D x  k 2 B x   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11          x   k  x    k  x   k  x    k A  B  C  D        x    k  x   k x    k x    k     3 3 Câu 56: Phương trình tan x  3tan x   có nghiệm  A k (k  ) B  k ; arctan( ) ( k  )   C  k 2 , arctan( ) ( k  ) D   k ; arctan(  )  k (k  ) 2 2 Câu 57: Một họ nghiệm phương trình tan x  3tan 2x         A   k B  k C   k D  k 8 8 Câu 58: Họ nghiệm phương trình tan x  cot x         A   k B  k C  arctan  k D arctan  k 4 2 2 2 Câu 59: Trong nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình tan x  5tan x   :    5 A  B  C  D  6    Câu 60: Số nghiệm phương trình tan x  cot x   khoảng   ;   :   A B C D Câu 61: Giải phương trình : tan x  tan x       A  k B   k C  k 2 D k 4 Câu 62: Nghiệm phương trình tan x  cot x  2    k 2 , k  A x   k 2 , k  B x  4    k , k  C x   k , k  D x  4 tan x   Câu 63: Phương trình  cot  x   có nghiệm là:  tan x 4  A x    k B x   k  C x   k  D x  Câu 64: Phương trình 2  sin x  cos x  cos x   cos x có nghiệm là:   k , k   C x   k 2 , k  A x  B x     k , k  D Vô nghiệm sin 3x  cos 3x   Câu 65: Giải phương trình  sin x    cos x   2sin x   A x   C x      k 2 , k   k , k  B x   D x   File Word liên hệ: 0937351107 Trang    k 2 , k   k , k    k 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A tan x cos x   m Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m  tan x Câu 66: Cho phương trình phải thỏa mãn điều kiện: A   m  C  m  B  m  D m   hay m  2 Câu 67: Phương trình: 48  A x   16  k  , k , k  Lượng giác – ĐS GT 11  1  cot x.cot x   có nghiệm cos x sin x B x   12  k  , k  , k 4 Câu 68: Phương trình cos x  sin x  2cos x   có nghiệm  x  k 2 A  , k B x    k 2 , k   x    k 2  C x  k D x  k   x   k   C x   k 2 , k  D  , k   x    k      Câu 69: Phương trình: cos x  sin x  cos  x   sin  3x     có nghiệm là: 4 4   A x  k 2  k   B x  k 3  k   C x  k 4  k   D x    k  k   Câu 70: Phương trình sin x  cos x   2sin x cos x tương đương với phương trình: sin x  sin x  sin x  sin x   A  B  C D   sin x   sin x  sin x   sin x      Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos x  cos x  2sin x sin x  0;2  A 3 B 4 C 5 D 6 cos x   tan x khoảng  0;  : Câu 72: Số nghiệm phương trình cos x  2 A B C D Câu 73: Nghiệm phương trình A x     k 2 k   cos x  cos x  2sin x   3sin x sin x  sin x  B x     1  k , k  3   k 2 , k  D x    k 2 , k  4 Câu 74: Cho phương trình cos5x cos x  cos4 x cos2 x  3cos2 x  Các nghiệm thuộc khoảng   ;  phương trình là: C x     k 2 , x   File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  2  , 3 B   2 , 3  4 C  Lượng giác – ĐS GT 11   ,  Câu 75: Phương trình: sin x  sin  x    sin  x    có nghiệm là: 4 4   A x   k  B x   k  C x  D    , 2   k D x    k 2   Câu 76: Phương trình: cos  x    cos  x    4sin x   1  sin x  có nghiệm là: 4 4            x   k 2  x   k 2  x  12  k 2  x   k 2 A  B  C  D   x  5  k 2  x  2  k 2  x  11  k 2  x  3  k 2     12 sin 3x  cos3x   cos x Câu 77: Cho phương trình:  sin x  Các nghiệm phương trình thuộc   2sin x   khoảng  0;2  là: A  5 , B  5 , 6 C  5 , 4 D  5 , 3 12 12 Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình sin x   m 1 sin x cos x   m 1 cos2 x  m có nghiệm? A  m  B m  C  m  D m  Câu 79: Để phương trình: sin x   m  1 sin x  3m  m  2  có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là: 1    m  m  2  m    1  m    A B C  D  3 2    m 1 3 m    1  m  1  m  Câu 80: Để phương trình sin6 x  cos6 x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 A  a  B  a  C a  D a  8 4 4 6 Câu 81: Cho phương trình: sin x  cos x  sin x  cos x  4sin x  m m tham     số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: A 1  m  B   m  1 C 2  m   D m  2 hay m  sin x  cos6 x Câu 82: Cho phương trình:  2m.tan x , m tham số Để phương trình có cos x  sin x nghiệm, giá trị thích hợp m 1 1 A m   hay m  B m   hay m  8 4 1 1 C m   hay m  D m   hay m  8 File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x)  luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1:  Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx =  x    k  sin2 x   sin x    Khi cos x  , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x  ta được: a.tan2 x  b.tan x  c  d(1  tan2 x)  Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Cách 2: Dùng công thức hạ bậc  cos2 x sin x  cos2 x (1)  a  b  c  d 2  b.sin2 x  (c  a).cos2 x  2d  a  c (đây PT bậc sin2x cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin x  sin x  8cos x  có nghiệm là:     x   k  x   k   A  , k B  , k  x    k  x    k    3    x   k  x   k C  , k D  , k  x    k  x  2  k  12  Câu 2: Phương trình    sin x  sin x cos x    x    k  với tan  2  , k  A   x    k   x    k  với tan   1  , k  C   x    k Câu 3:        cos x  có nghiệm là:   x   k  B  x    k    x   k  D   x    k Giải phương trình 3sin 2 x  2sin x cos x  4cos2 x  File Word liên hệ: 0937351107 Trang 10  với tan     , k   với tan     , k  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  sin 2 x sin x pt   2m  3sin 2 x  8m sin 2 x   cos x cos x Đặt t  sin 2x,  1  t  1 Phương trình trở thành: Lượng giác – ĐS GT 11 1  4m  16m  12 t  1 3t  8mt      4m  16m  12 t   Vì a.c   Phương trình  2 ln có hai nghiệm trái dấu t2   t1  4m   Do 1 có nghiệm     4m   File Word liên hệ: 0937351107 16m2  12 1   16m2  12   4m m     16m2  12   4m m   16m  12  1   Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x)  luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1:  Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx =  x    k  sin2 x   sin x    Khi cos x  , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x  ta được: a.tan2 x  b.tan x  c  d(1  tan2 x)  Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Cách 2: Dùng công thức hạ bậc  cos2 x sin x  cos2 x (1)  a  b  c  d 2  b.sin2 x  (c  a).cos2 x  2d  a  c (đây PT bậc sin2x cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin x  sin x  8cos x  có nghiệm là:     x   k  x   k   A  , k B  , k  x    k  x    k    3    x   k  x   k C  , k D  , k  x    k  x  2  k  12  Hướng dẫn giải: Chọn A TH1: cos x   sin x  thỏa phương trình  phương trình có nghiệm x  TH2: cos x  0, chia hai vế cho cos x ta 6 tan x  14 tan x    tan x 14 tan x   1  tan x  cos x   14 tan x  14  tan x   x   k File Word liên hệ: 0937351107 Trang 45   k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy, phương trình có nghiệm x  Câu 2: Phương trình      k , x   k  sin x  sin x cos x   Lượng giác – ĐS GT 11   cos x  có nghiệm là:     x    k x   k   với tan  2  , k  với tan    , k  A B 4    x    k  x    k     x    k x   k   với tan   1  , k  với tan    , k  C D 8    x    k  x    k Hướng dẫn giải: Chọn B TH1: cos x   sin x  khơng thỏa phương trình TH2: cos x  0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được:    tan x   x   k  tan x  tan x        tan x    x  arctan   k  Câu 3: Giải phương trình 3sin x  2sin x cos x  4cos2 x  k k , x  arctan( 2)  ,k  A x  arctan  2 2  73 k  73 k B x  arctan  , x  arctan  ,k  12 12 1  73 k 1  73 k C x  arctan  , x  arctan  ,k  2 k k , x  arctan(1)  ,k  D x  arctan  2 Hướng dẫn giải: Chọn A TH1: cos x   sin 2 x  khơng thỏa phương trình TH2: cos 2x  0, chia hai vế phương trình cho cos2 2x ta được: tan 2 x  tan x    tan 2 x  tan x   1  tan 2 x  cos x k  x  arctan   tan x   2  tan 2 x  tan x       tan x  2  x  arctan(2)  k  2 2 Câu 4: Phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  có nghiệm là:   1 A  k , k  B  k , arctan    k , k  4 2   1 1 C   k , arctan    k , k  D   k 2 , arctan    k 2 , k  4 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C           File Word liên hệ: 0937351107  Trang 46  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 TH1: cos x   sin x  khơng thỏa phương trình TH2: cos x  0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được:    tan x  1  x    k tan x  tan x       tan x   x  arctan  k   2 Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin x  5sin x cos x  cos2 x  2     A  k , k  B   k , k  C  k , k  D   k , k  4 Hướng dẫn giải: Chọn C  x   k không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta tan x  tan x   2 1  tan x   tan x  tan x      tan x   x   k    tan x   x  arctan  k   Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos x  6sin x cos x   3    k 2 , v k  B  k , k  A C   k , k  4 k Hướng dẫn giải: Chọn B cos2 x  6sin x cos x    1  cos x   3sin x   D  3 cos x  sin x  2      x    k 2 x   k      cos  x      3   x       k 2  x    k  12  Câu 7: Một họ nghiệm phương trình 3sin x cos x  sin x   A arctan  2  k , k  B arctan  2   k , k  2  C  arctan  2   k , k  D arctan  2  k , k  2 Hướng dẫn giải: Chọn A  cos x  3sin x     k không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta 3tan x  tan x  1  tan x  x File Word liên hệ: 0937351107 Trang 47   k 2 , ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11    tan x  1  x    k   tan x  3tan x      tan x  2  x  arctan  2   k  Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin x  sin x cos x  3cos2 x   3  3 A arctan     k , k  B  arctan     k , k   2  2 3 3 C arctan    k , k  D  arctan    k , k  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A  x   k khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta    tan x   x   k tan x  tan x       tan x    x  arctan     k      2 Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin x  4sin x cos x  5cos2 x     3  k 2 , A   k 2 , k  B  k , k  C   k , k  D 4 4 k Hướng dẫn giải: Chọn B  x   k khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta   x   k  tan x  2   3tan x  tan x   1  tan x   tan x  tan x      tan x   x  arctan  k  Câu 10: Phương trình : sin x  (  1) sin x cos x  cos x  có họ nghiệm  3  k , k  A   k , k  B 4 C    k , k  D    k ,  k , k  Hướng dẫn giải: Chọn D   k không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta x tan x      x   k  tan x   tan x       x    k  tan x    File Word liên hệ: 0937351107 Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 11: Phương trình 3cos x  5sin x   sin x cos x có nghiệm là:   k , k 12   D x    k , k  24   k , k    C x    k , k  18 A x   B x   Hướng dẫn giải: Chọn D TH1: cos x   sin x  khơng thỏa phương trình TH2: cos 4x  0, chia hai vế cho cos2 4x ta  tan x   tan x   tan x  1  tan x   tan x cos x   k  3tan x  tan x    tan x    x    k  x    24  Câu 12: Trong khoảng  ;  , phương trình sin2 x  3.sin x.cos4 x  4.cos2 x  có:  2 A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn B Nhận thấy cos x  không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x , ta phương t:  k  x     tan x  16 tan x  tan x      ,k   tan x  4  x  arctan  4   k  4     5   Do x   ;   x   ; ; arctan  4   ; arctan  4    4 2 16 16  2 2 Câu 13: Phương trình 2cos x  3 sin x  4sin x  4 có họ nghiệm    x   k A  , k  x    k  C x    k , k  B x    k 2 , k  D x    k , k  Hướng dẫn giải: Chọn A   k : nghiệm phương trình cos x  : Chia vế phương trình cho cos x ta   tan x  tan x  4 1  tan x   tan x   x   k 2 Câu 14: Phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  (với k  ) có nghiệm là:    k A   k 2 ,arctan( )  k 2 B 4 cos x   x  File Word liên hệ: 0937351107 Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C   k ,arctan( )  k Hướng dẫn giải: Chọn D Khi cos x   x  Khi cos x   x    D   k : VT   VP   x  Lượng giác – ĐS GT 11   k ,arctan( )  k   k  l   k : 2sin2 x  sin x cos x  cos2 x   tan2 x  tan x      x    k  tan x  1   k    tan x   x  acr tan    k     2   Câu 15: Giải phương trình cos3 x  sin x   cos5 x  sin x  A x     k 2 B x    k  C x   Hướng dẫn giải: Chọn D cos x  khơng nghiệm phương trình nên ta có  tan x  tan x(1  tan x)  1  tan x   k  D x     k  tan x  tan x  tan x    (tan x  1)(tan x  1)    tan x  1  x    k cos x  sin x   cos5 x  sin x   cos5 x  cos3 x  2sin x  sin x Cách khác:  cos3 x  cos x  1  sin x  2sin x  1  cos x  cos3 x  sin x       x   k   x  k ; k        x    k  tan x  1  Câu 16: Giải phương trình sin x  3tan x  cos x  4sin x  cos x    1 A x   k 2 , x  arctan 1   k 2 B  x   k  , x  arctan 1   k  4 2  2  C x   k  , x  arctan 1   k  D  x   k , x  arctan 1   k 3       Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình  tan x  tan x(1  tan x)  tan x   tan3 x  tan x  3tan x    (tan x  1)(tan x  tan x  1)    x   k , x  arctan 1   k Câu 17: Giải phương trình sin2 x  tan x 1  3sin x  cos x  sin x    File Word liên hệ: 0937351107  Trang 50   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A       x    k   x    k 2 x    k  A  B  C  x     k   x     k 2 x     k     3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình cho tương đương với tan x(tan x  1)  3tan x(1  tan x)  3(1  tan x) Lượng giác – ĐS GT 11    x    k D   x     k    x    k   tan x  tan x  3tan x      x     k  3 Câu 18: Giải phương trình 4sin x  3cos x  3sin x  sin x cos x      A x   k 2 , x    k 2 B x   k  , x    k  4     C x   k  , x    k  D x   k , x    k 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta thấy cos x  khơng nghiệm phương trình Nên phương trình  tan x   3tan x(1  tan x)  tan x   tan x     x   k , x    k  tan x  tan x  tan x      tan x   Câu 19: Giải phương trình 2cos3 x  sin 3x   x  arctan(2)  k 2  x  arctan(2)  k  A  B   x    k 2 x    k    2  x  arctan(  2)  k   x  arctan(2)  k  C  D   x    k x    k    Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình  2cos3 x  3sin x  4sin3 x   3tan x 1  tan x   tan x  tan x  3tan x    x  arctan(2)  k  tan x  2    x    k tan x    Câu 20: Giải phương trình cos x  sin x   sin x File Word liên hệ: 0937351107 Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x  k  B  x    k    x  k 2 A   x    k 2   x  k  C  x    k   3 Lượng giác – ĐS GT 11  x  k D   x    k  Hướng dẫn giải: Chọn D  x  k sin x  Phương trình  2sin x  sin x cos x      x    k tan x    Câu 21: Giải phương trình 2cos2 x  6sin x cos x  6sin x    2  1  1 A x    k 2 ; x  arctan     k 2 B x    k  ; x  arctan     k  4 3  5  5  1   1  1 C x    k  ; x  arctan     k  D x    k ; x  arctan     k 4 4  5  5 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình  5sin x  6sin x cos x  cos2 x    1 Giải ta x    k ; x  arctan     k  5 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP Dạng 1: Là phương trình có dạng: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  (3) Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ   Đặt: t  cos x  sin x  2.cos  x   ; t   4  t   2sin x.cos x  sin x.cos x  (t  1) Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  (3’) t    2;       Để giải phương trình ta đặt t  sin x  cos x  sin  x      sin x cos x   t   Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t Lƣu ý:      cos x  sin x  cos  x    sin  x    4  4      cos x  sin x  cos  x     sin  x    4  4 Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c =    Đặt: t  cos x  sin x  cos  x  ; Ñk :  t   4  sin x.cos x   (t  1)  Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình sin x  cos x   sin x có nghiệm là:      x   k  x   k A  , k B  , k x  k  x  k        x   k x   k 2   C , k D , k    x  k  x  k 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt sin x  cos x  t , t    sin x  t  sin x  t    File Word liên hệ: 0937351107 Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có phương trình t   Lượng giác – ĐS GT 11 t  1TM  t  1  t  2t      t  3  KTM       t   sin x  cos x   sin  x     sin  x    sin 4 4       x  k 2  x    k 2    x    k 2   x    k 2   4 Câu 2: Phương trình sin x  cos3 x   sin x có nghiệm là:     x   k  x   k 2 A  , k B  , k    x  k  x  k 2 3  3   x   k x  k  C  , k D , k  x  k   x   2k  1   Hướng dẫn giải: Chọn B sin x  cos3 x   sin x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x    sin x cos x  t 1  Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t    sin 2x  t  sin x cos x  4    t  1TM   t 1    t   t  t  t    Ta có phương trình t  3t  2      t   KTM       t   sin x  cos x   sin  x     sin  x    sin 4 4       x  k 2  x    k 2    x    k 2   x    k 2   4 Câu 3: Giải phương trình 2sin 2x  sin x  cos x         arccos     k  2   1   k  B x  k  , x   k  x   arccos    3  2 A x  k , x   k x    2   k  C x  k  , x   k  x   arccos    3  2 D x  k 2 , x    k 2 x      arccos     k 2  2 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0937351107 Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 Chọn D    t   Đặt t  sin x  cos x  cos  x     4   sin x  t  Ta có : 2(t  1)  t    2t  t    t  1, t       x  k 2 , x   k 2  t   cos  x    4 2        x   arccos    t    cos  x       k 2 4 2   2 Câu 4: Giải phương trình sin 2x 12 sin x  cos x   12    A x   k , x    k 2 B x   k 2 , x    k  2   C x   k  , x    k  D x   k 2 , x    k 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D    t   Đặt t  cos x  sin x  cos  x      sin x   t    Ta có:  t  12t  12   t  1  cos  x     4    x   k 2 , x    k 2   Câu 5: Giải phương trình sin x  sin  x    4      1 A x   k , x   k , x    k 2 B x   k  , x   k  , x    k  4 2 2     C x   k  , x   k  , x    k 2 D x   k , x   k 2 , x    k 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D  t    Đặt t  sin  x    sin x  cos x   4  sin x   t Ta có:  t  t   t  0, t    Từ ta tìm được: x   k , x   k 2 , x    k 2 Câu 6: Giải phương trình  tan x  2 sin x  11 5  k , x    k A x   k , x  12 12  11 5  k ,x   k  B x   k  , x  12 12  11 5  k ,x    k 2 C x   k 2 , x  12 12 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A D x    k 2 , x  Lượng giác – ĐS GT 11 11 5  k 2 x , x    k 2 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiên: cos x  Phương trình  sin x  cos x  sin x    t   Đặt t  sin x  cos x  cos  x      sin x  t   Ta có: t   t  1  2t  t    t  2, t   11 5  k 2 x , x    k 2 12 12 Câu 7: Giải phương trình cos x  sin x  2sin 2x  Từ tìm được: x  k 3 Hướng dẫn giải: Chọn D A x    k 2 , x  B x  k 5 C x  k 7 2   sin x   t  Đặt t  sin x  cos x  cos  x     4  0  t  Ta có: t  2(1  t )   2t  t    t   sin x   x  D x  k k Câu 8: Giải phương trình cos3 x  sin3 x  cos 2x     A x    k 2 , x    k , x  k B x    k  , x    k , x  k 4     C x    k  , x    k  , x  k 2 D x    k , x    k 2 , x  k 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  (sin x  cos x)(cos x  sin x)  sin x  cos x 1  sin x cos x  cos x  sin x     Từ ta tìm được: x    k , x    k 2 , x  k 2 3 Câu 9: Giải phương trình cos x  sin x  2sin x  sin x  cos x k 3 k 5 A x  B x  C x  k 2 Hướng dẫn giải: Phương trình   cos x  sin x 1  sin x cos x   2sin 2x  sin x  cos x    t   Đặt t  sin x  cos x  cos  x      sin x  t    t 1  k 2 Ta có: t 1    2(t  1)  t  t   sin x   x    File Word liên hệ: 0937351107 Trang 56 D x  k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10: Giải phương trình cosx  A x  C x    1 10  sinx   cos x sin x  arccos  19  k 2 B x   arccos  19  k D x  Hướng dẫn giải: Lượng giác – ĐS GT 11    arccos  19  k 2  arccos  19  k 2 sin x  cos x 10  sin x cos x    t   Đặt t  sin x  cos x  cos  x      sin x  t   2t 10   3t (t  1)  6t  10(t  1) (t  1) Ta có: t  t 1 Phương trình  sin x  cos x   3t  10t  3t  10   (t  2)(3t  4t  5)   t   19    19   19   cos  x     x   arccos  k 2 4 3  Câu 11: Cho phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m 1 1 A 2  m    B    m  C  m   D   m  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D  t 1  Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t    sin 2x  t  sin x cos x  4   t 1  Ta có phương trình    t  m   m   t  t  1 2     Phương trình có nghiệm phương trình 1 có nghiệm t    2; Xét hàm số y   t  t    2; 2 x  y  2   1 2 2 Từ BBT suy    m  Câu 12: Phương trình 2sin x  sin x  cos x   có nghiệm   x   k  A  , k  x  5  k    x   k  B , k   x  5  k File Word liên hệ: 0937351107 Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    x   k C  , k  x  5  k  Hướng dẫn giải: Chọn D Lượng giác – ĐS GT 11    x  12  k D  , k  x  5  k  12   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ,  t    sin x  t  sin x  t  4    t   KTM   Ta có  t  1  6t    2t  6t     TM  t       sin  x    sin     t  sin  x       4     sin  x    sin    4  3     x   x     x      x      x   k 2  12  2    x  5  k 2   k 2 x   k   12 12       x      k 2  k 2 x  k 12  12   13 4  k 2   k 2 x   12   k 2 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 58 ... Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN II: HƢỚNG DẪN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP Phƣơng trình bậc hai với hàm số lƣợng giác Đặt... Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x)  luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương. .. Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác A 2sin x  sin x 1  B 2sin 2 x  sin x  C cos2 x  cos2 x   D tan x  cot x   Hướng dẫn giải: Chọn B