ĐỀ HSG MTCT

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY Đề thi chính thức Khối 11 THPT - Năm học 2008-2009 Thi gian lam bai: 150 phỳt Ngy thi: 17/12/2008 - thi gm 5 trang Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Qui nh: Hc sinh trỡnh by vn tt cỏch gii, cụng thc ỏp dng, kt qu tớnh toỏn vo ụ trng lin k bi toỏn. Cỏc kt qu tớnh gn ỳng, nu khụng cú ch nh c th, c ngm nh chớnh xỏc ti 4 ch s phn thp phõn sau du phy Bi 1 . (5 im) Cho cỏc hm s 3 3 ( ) 6 3 x f x x = + . Tớnh tng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 100S f f f f= + + +ììì+ Túm tt cỏch gii: Kt qu: Bi 2. (5 im) Trong t kho sỏt cht lng u nm, im ca ba lp 11A 1 , 11A 2 , 11A 3 c cho trong bng sau: im 10 9 8 7 6 5 4 3 11A 1 16 14 11 5 4 11 12 4 11A 2 12 14 16 7 1 12 8 1 11A 3 14 15 10 5 6 13 5 2 a) Tớnh im trung bỡnh ca mi lp. Kt qu lm trũn n ch s l th hai. b) Tớnh phng sai v lch chun ca bng im mi lp. Trong ba lp, lp no hc u hn? . Túm tt cỏch gii: Kt qu: MTCT11THPT-Trang 1 Bài 3. (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình ( ) 2 3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3x x co x+ = − + Hướng dẫn: Đặt sin cost x x = + Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4. (5 điểm) Cho dãy hai số n u và n v có số hạng tổng quát là: ( ) ( ) 5 2 3 5 2 3 4 3 n n n u + − − = và ( ) ( ) 7 2 5 7 2 5 4 5 n n n v + − − = ( n∈ N và 1n ≥ ) Xét dãy số 2 3 n n n z u v= + ( n∈ N và 1n ≥ ). a) Tính các giá trị chính xác của 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , ; , , ,u u u u v v v v . b) Lập các công thức truy hồi tính 2n u + theo 1n u + và n u ; tính 2n v + theo 1n v + và n v . c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính 2 2 , n n u v + + và 2n z + theo 1 1 , , , n n n n u u v v + + ( 1, 2, 3, .n = ). Ghi lại giá trị chính xác của: 3 5 8 9 10 , , , ,z z z z z Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT11THPT-Trang 2 Bài 5. (5 điểm) Cho đa thức 3 2 ( ) 8 18 6g x x x x= − + + . a) Tìm các hệ số , ,a b c của hàm số bậc ba 3 2 ( )y f x x ax bx c= = + + + , biết rằng khi chia đa thức ( )f x cho đa thức ( )g x thì được đa thức dư là 2 ( ) 8 4 5r x x x= + + . b) Với các giá trị , ,a b c vừa tìm được, tính chính xác giá trị của (2008)f . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6. (5 điểm) Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT11THPT-Trang 3 Bài 7. (5 điểm) a) Tìm x biết 2 8 5 20 2 1 3 33479022340 x x x x C A P x x + − + − − − = với n P là số hoán vị của n phần tử, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. b) Tìm hệ số của số hạng chứa 6 17 28 , ,x x x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 30 3 5 2 1 x x   +  ÷   Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8. (5 điểm) a) Tìm các số aabb sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1aabb a a b b= + + × − − . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả. b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: 3 777 .777n = . Nêu sơ lược cách giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT11THPT-Trang 4 Bài 9. (5 điểm) Cho 3 đường thẳng 1 2 3 :3 5 0; : 2 3 6 0; : 2 3 0d x y d x y d x y− + = − − = + − = . Hai đường thẳng 1 ( )d và 2 ( )d cắt nhau tại A; hai đường thẳng 2 ( )d và 3 ( )d cắt nhau tại B; hai đường thẳng 3 ( )d và 1 ( )d cắt nhau tại C. a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số). b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác đó với cạnh BC. c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10. (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE có cạnh đáy a = 6,74 cm, cạnh bên b = 9,44 cm. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp. b) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc hợp bởi một trung đoạn và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt đáy. c) Tính diện tích của thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng (P) chứa AB và phân giác của góc tạo bởi trung đoạn mặt bên SAB và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt đáy. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT11THPT-Trang 5 --------------HẾT------------- MTCT11THPT-Trang 6 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY Đề thi chính thức Khối 11 THPT - Năm học 2008-2009 P N V BIU IM Bi 1: 3 3 ( ) 6 3 x f x x = + 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( ALPHA ( A ) SHIFT x 3 ) ữ ( 6 SHIFT 3 ( ALPHA A ) + 3 ) Bm liờn tip = = = cho n khi A nhn giỏ tr 100 thỡ dng, c kt qu bin B: 2931.7895S Bi 2: im trung bỡnh ca lp 1 11A l: 7,12 A X ; Phng sai: 2 5,58; A s v lch chun l: 2,36 A s . im trung bỡnh ca lp 2 11A l: 7,38 B X ; Phng sai: 2 4,32; B s v lch chun l: 2,07 B s . im trung bỡnh ca lp 3 11A l: 7,39 C X ; Phng sai: 2 4,58; C s v lch chun l: 2,14 C s . So cỏc lch chun, ta nhn thy lp 11A 2 hc u hn hai lp kia. 2,0 1,0 1,0 1,0 5 Bi 3: Phng trỡnh ó cho tng ng: ( ) 2 3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3 0x x co x+ + + = (1) t ( ) 0 sin cos 2 cos 45 , 2; 2t x x x t = + = ; 2 sin 2 1x t= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3 0 3 2 3 1 1 3 3 0f x x x co x t t= + + + = + + = 4 2 ( ) 2 3 4 3 3 3 3, 2; 2g t t t t t = + + + 2 3 ALPHA X ^ 4 4 3 ALPHA X x 2 + 3 ALPHA X + 3 + 3 CALC nhp vo (-) 2 = ta c ( ) 2 0g > CALC nhp vo -1 = ta c ( ) 1 0g < CALC nhp vo -0.5 = ta c ( ) 0.5 0g > (Cú th kim tra bng chc nng Tabulate ca mỏy Casio 570ES) Dựng chc nng SOLVE vi giỏ tr u 2X = ta tỡm c mt nghim 1 1.38268577t Dựng chc nng SOLVE vi giỏ tr u 0.5X = ta tỡm c mt nghim 2 0.708709924t Gii phng trỡnh ( ) 0 0 -1 0 cos - 45 45 cos 360 , 2 2 t t x x k k = = + ữ Z , ta c cỏc nghim: 0 0 0 0 1 2 212 52'45" 360 ; 122 52'45" 360x k x k + + ; 0 0 0 0 3 4 165 4'28" 360 ; 75 4'28" 360x k x k + + MTCT11THPT-Trang 7 Bài 4: 1 2 3 4 1, 10, 87; 740.u u u u= = = = 1 2 3 4 1, 14, 167, 1932v v v v= = = = . Công thức truy hồi của u n+2 có dạng: 2 1 2n n n u au bu + + + = + . Ta có hệ phương trình: 3 2 1 4 3 2 10 87 10; 13 87 10 740 u au bu a b a b u au bu a b = + + =   ⇔ ⇔ = = −   = + + =   Do đó: 2 1 10 13 n n n u u u + + = − Tương tự: 2 1 14 29 n n n v v v + + = − Quy trình bấm phím: 1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B − 13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D − 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = . (giá trị của E ứng với u n+2 , của F ứng với v n+2 , của Y ứng với z n+2 ). Ghi lại các giá trị như sau: 3 5 8 9 10 675, 79153, =108234392, z 1218810909, z 13788770710 z z z= = = = Bài 5: a) Các nghiệm của đa thức g(x) là: 1 2 3 1 3 ; 2; 2 4 x x x= − = = Theo giả thiết ta có: 2 ( ) . ( ) 8 4 5f x q g x x x= + + + , suy ra: 1 1 1 1 1 5 5 2 2 4 2 8 (2) (2) 45 4 2 45 8 9 3 25 27 3 3 25 16 4 2 64 4 4 2 f r a b c f r a b c a b c f r       − = − = − + = +  ÷  ÷          = = ⇔ + + = −           + + = − = =  ÷  ÷        Giải hệ phương trình ta được: 23 33 23 ; ; 4 8 4 a b c= = = Do đó: 3 2 23 33 23 ( ) 4 8 4 f x x x x= + + + b) Cách giải: Nhập biểu thức 3 2 23 33 23 4 8 4 X X X+ + + , bấm phím CALC và nhập số 2008 = ta được số hiện ra trên màn hình: 8119577169. Ấn phím − nhập 8119577169 = được 0.25− . Suy ra giá trị chính xác: (2008) 8119577168.75f = . Bài 6: MTCT11THPT-Trang 8 Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là: 6 5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359 a x × × × = Quy trình bấm phím: 5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X − 5747478.359 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên. Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, .đến khi nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5. Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng Bài 7: 2 8 5 20 2 1 3 33479022340 x x x x C A P x x + − + − − − = 33479022340 SHIFT STO A 2 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : 20 nCr ( 2 ALPHA X ) + ( 2 ALPHA X + 1 ) nPr ALPHA X − ( ALPHA X − 3 ) SHIFT x! − ALPHA X ^ 8 − ALPHA X ^ 5 − ALPHA A = = = . đến khi biểu thức bằng 0, ứng với 9X = . b) ( ) ( ) 30 30 5 5 11 30 30 30 2 30 50 3 5 2 3 3 3 30 30 30 2 0 0 0 1 k k k k k k k k k k k x C x x C x C x x − − + − − − = = =         + = = =  ÷  ÷  ÷  ÷         ∑ ∑ ∑ Với 11 50 28 6 3 k k− = ⇔ = . Suy ra hệ số của 28 x là 6 30 593775C = . Với 11 50 17 9 3 k k− = ⇔ = . Suy ra hệ số của 17 x là 9 30 14307150C = . Với 11 50 6 12 3 k k− = ⇔ = . Suy ra hệ số của 6 x là 12 30 86493225C = . Bài 8: a) Số cần tìm là: 3388 Cách giải: ( ) 1000 100 10 1100 11 11 100aabb a a b b a b a b= + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 11 1 1a a b b a b+ + × − − = + − . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 100 11 1 1aabb a a b b a b a b= + + × − − ⇔ + = + − Nếu 0 10 11a b= ⇒ = , điều này không xảy ra. Tương tự, nếu 1 100 1 0b a = ⇒ + = , điều này không xảy ra. Quy trình bấm máy: 100 ALPHA A + ALPHA X − 11 ( ALPHA A + 1 ) ( ALPHA X − 1 ) ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X = 8; tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9. MTCT11THPT-Trang 9 Ta chỉ tìm được số: 3388. b) Hàng đơn vị chỉ có 3 3 27= có chữ số cuối là 7. Với cac số 3 3a chỉ có 3 53 14877= có 2 chữ số cuối đều là 7. Với các chữ số ( ) 3 53a chỉ có 753 3 có 3 chữ số cuối đều là 7. Ta có: 3 777000 91.xxxx≈ ; 3 7770000 198. .xxxx≈ , 3 5 777 10 426, .;xxx× ≈ 3 36 7 777 10 919, .; 777 10 1980, .xxx xxx× ≈ × ≈ ; 3 8 777 10 4267, .;xxx× ≈ . Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, ., 9) Thử các số: 3 3 3 91753 77243 .; 198753 785129 .; 426753 77719455 .= = = Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 3 426753 77719455348459777= . Bài 9: a) ( ) 15 3 2 19 3; 4 , ; ; ; 8 4 5 5 A B C     − − − −  ÷  ÷     b) µ 1 1 2 tan 3 tan 3 A − −   = −  ÷   Góc giữa tia phân giác At và Ox là: µ 1 1 1 2 1 2 tan tan 3 tan 3 2 2 3 A − − −       + = +  ÷  ÷  ÷       Suy ra: Hệ số góc của At là: 1 1 1 2 tan tan 3 tan 2 3 a − −       = +    ÷  ÷       Bấm máy: tan ( 0.5 ( SHIFT tan -1 3 + SHIFT tan -1 ( 2 a b/c 3 ) ) ) SHIFT STO A cho kết quả: 1.3093a ≈ + Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số: y ax b= + , At đi qua điểm ( 3; 4)A − − nên 3 4b a= − . + Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 3 4 x y ax y a + =   − = − +  . Giải hệ pt bằng cách bấm máy nhưng nhập hệ số a 2 dùng ALPHA A và nhập hệ số c 2 dùng (−) 3 ALPHA A + 4, ta được kết quả: (0,9284; 1,1432)D c) 2 2 15 3 3 4 8 4 AB     = + + −  ÷  ÷     Tính và gán cho biến A 2 2 15 2 19 3 8 5 5 4 BC     = + + +  ÷  ÷     Tính và gán cho biến B 2 2 2 19 3 4 5 5 CA     = − + +  ÷  ÷     Tính và gán cho biến C ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D (Nửa chu vi p) Diện tích của tam giác ABC: MTCT11THPT-Trang 10 [...]... SHIFT sin-1 ( ALPHA A ÷ ALPHA B ) SHIFT STO C Cho góc α ≈ 58015' 48" (Góc α gán cho biến C) OJ = R cos 720 = (3.37 ÷ sin 36)cos720 ¶ · · Gọi ISJ = β = OSI + OSJ = cos -1 ( h ÷ d ) + tan −1 ( OJ ÷ h ) MTCT1 1THPT-Trang 11 SHIFT cos-1 ( ALPHA A ÷ ALPHA B ) + SHIFT tan-1 ( ( 3.37 ÷ sin 36 ) cos 72 ÷ ALPHA A ) SHIFT STO D cho kết quả β ≈ 450 01' 44" ( β gán cho biến D) SJ SI d sin α = ⇒ SJ = ≈ 7.705897079... STO M (Gán QN cho biến M) S ABNPQ = 1 1 1 1 PK × QN + ( AB + QN ) × IK = IP × QN + AB × IK 2 2 2 2 0.5 ALPHA Y ALPHA M + 0.5 × 6.74 ALPHA X = Cho diện tích thiết diện ABNPQ là S ABNPQ ≈ 48.1430 (cm 2 ) MTCT1 1THPT-Trang 12 . 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: 3 777 .777n = . Nêu sơ lược cách giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT1 1THPT-Trang. của nó xuống mặt đáy. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT1 1THPT-Trang 5 --------------HẾT------------- MTCT1 1THPT-Trang 6 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi