SKKN

Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Phần 1: lời nói đầu Bản thân là một giáo viên trẻ, tự thấy mình cần phải thờng xuyên và liên tục bồi dỡng, tự bồi dỡng về chuyên môn nghiệp vụ nói chung và kiến thức chuyên môn nói riêng nên tôi thờng tìm đọc các cuốn sách chuyên nghành về Toán học, toán học THPT và ghi chép lại những nội dung đặc sắc, những bài toán và những lời giải hay . Qua đó tôi đã tích lũy thêm đợc rất nhiều điều hay và bổ ích cho bản thân. Trong quá trình đọc tài liệu tôi cảm thấy rất hứng thú khi gặp những bài toán với lời giải đặc biệt, ngắn gọn hơn các phơng pháp thông thờng, đặc biệt trong đó là các bài toán giải bằng Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất. Tuy nhiên số lợng các bài toán nh thế cha nhiều, cha có hệ thống và với học sinh thì luôn có câu hỏi là " tại sao hay từ đâu lại có cách giải nh thế ? ". Với mục đích gom các bài tập này thành một hệ thống nhằm giúp ngời đọc dễ nắm bắt đợc phơng pháp và tích lũy kinh nghiệm giải các bài toán dạng này, tôi đã lựa chọn một bài và dạy thử nghiệm cho đội tuyển HSG trên cơ sở đó rút kinh nghiệm rồi viết thành hệ thống mà tôi sẽ trình bày sau đây. Bản SKKN của tôi lấy tên là: Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất trong giải toán Rất mong nhận đợc sự ủng hộ và góp ý của quí thầy cô !!! Hải dơng, ngày 10 tháng 4 năm 2008 1 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Phần 2: Phơng pháp chọn điểm đặc biệt I/ Giới thiệu về PHơng pháp chọn điểm đặc biệt + Phơng pháp chọn điểm dặc biệt là một trong những phơng pháp gây nhiều ngạc nhiên cho học sinh khi sử dụng vì tính đơn giản và ngắn gọn của nó. Kỹ thuật chọn điểm đòi hỏi phải có sự quan sát tinh tế và hiểu biết sâu sắc về đối tợng đang xét. Phơng pháp chọn điểm thực tế là sự kết hợp giữa phơng pháp cực hạn và phơng pháp điều kiện cầc và đủ. Các điểm đợc chọn thờng là điểm cực hạn. + Cơ sở lí thuyết: Định lí: Nếu một khẳng định p(x) đúng với mọi giã trị Xx thì khẳng định đó cũng đúng khi x nhận những giá trị cụ thể, thuộc X, đợc chọn một cách thích hợp. ( ) ( ) ap Xa xp:Xx + Lời giải của phơng pháp chọn điểm đặc biệt thờng đợc trình bày theo cách thức của phơng pháp điều kiện cần và đủ: Giả sử yêu cầu bài ra đợc thỏa mãn, từ đó kết hợp với suy luận ta thu đợc điều kiện cần. Sau đó ta chứng minh điều kiện cần đó cũng là điều kiện đủ và giải đợc bài toán đã cho. + Phơng pháp chọn điểm đặc biệt rất hiệu quả cho các bài toán về hệ số của biểu thức lợng giác và hệ số của đa thức luôn thỏa mãn một điều kiện nào đó đã cho trớc. 2 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất ii/ Các bài toán về hệ số của biểu thức lợng giác A- Các ví dụ *** Bài 1: Cho P(x) = a 0 +a 1 cosx +a 2 cos2x+ .+ a n cosnx Chứng minh rằng nếu P(x)> 0 với mọi x R thì a 0 > 0. Giải Xét hàm số: F(x) = a 0 x+a 1 sinx + 2 1 1 sin2 . 2 a x n + + a n sinnx Dễ thấy hàm số F(x) xác định và liên tục trên R và theo giả thiết ta có: F'(x) = a 0 +a 1 cosx +a 2 cos2x+ + a n cosnx = P(x) > 0, xR Từ đó suy ra F(x) là hàm số đồng biến. Do đó F() >F(0) a 0 > 0 a 0 > 0 (đpcm). Bài 2: Cho a, b thoả mãn a.cosx + b.cos3x 1, x R CMR: 1b Giải Đặt P(x) = a.cosx + b.cos3x. Theo giả thiết ta có: P(x) 1 ; x R , suy ra Với x= 0 ta có P(0) 1 a +b 1 (1) x= ta có P() 1 -a - b 1 a +b -1 (2) Từ (1) và (2) suy ra -1 a +b 1 (A) Với x= 3 2 ta có 1ba 2 1 1 3 2 P + -a +2b 2 (3) x= 3 ta có 1ba 2 1 1 3 P -a +2b 2 (4) Từ (3) và (4) suy ra -2 -a + 2b 2 (B) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (A) và (B) đợc - 3 3b 3 - 1 b 1. Hay 1b (đpcm) 3 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Bài 3: Cho a, b thoả mãn 1+acos2x +bcosx 0, x R Chứng minh rằng: 3ba + Giải Đặt f(x)= 1+ acos2x +bcosx Theogiả thiếtt ta có f(x) 0, x R, suy ra Với x= 0 ta có f(0) 0 1 +a +b 0 (1) x= 2 ta có f( 2 ) 0 1-a 0 a 1 (2) x= ta có f() 0 a-b+1 0 b a+1 (3) Từ (1) và (3) 0 1+a+b 2a+2 a -1 (4) Kết hợp với (2) ta đợc 1a (5) Do đó: 0 1+a+b 2+b b -2 2b (6) b a+1 2 b 2 Từ (5) và (6) suy ra 3ba + (đpcm). Bài 4: Cho a, b. c thoả mãn acosx +bcos2x +ccos3x +1 0, x R Chứng minh rằng: a +b +c 3. Giải Đặt f(x) = acosx +bcos2x +ccos3x +1 Theo giả thiết f(x) 0, x R Do đó với: x= 2 ta có : f( 2 ) 0 - b +1 0 b 1 (1) x= ta có: f() 0 1 +b -a -c 0 a +c 1 +b (2) Từ (1) và(2) suy ra a +b +c 2 +b 3 (đpcm). Bài 5: Tìm a, b để phơng trình sau nghiệm đúng với x R a(cosx -1) +b 2 = cos(ax +b 2 ) -1 (*) 4 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Giải Giả sử (*) nghiệm đúng với x R, khi đó với x = 0 ta có: a(cos0 -1) + b 2 = cosb 2 -1 b 2 + 1= cosb 2 b =0 Với b =0 thì (*) trở thành a(cosx -1) = cosax -1 a(cosx -1) +1 = cosax Lấy đạo hàm hai vế đợc [ a(cosx -1) +1] = [cosax] asinx = asinax a =0 hoặc a =1 Ngợc lại: + Với a =0; b =0 thì VT * =VP * =0 (*) luôn đúng + Với a =1; b =0 thì (*) cosx = cosx (*) luôn đúng KL: để (*) đúng với x R thì điều kiện cần và đủ là: a =0, b =0 hoặc a =1, b =0 Bài 6: Tìm a, b để bất phơng trình cos2x +acosx +b -1 1 Nghiệm đúng với x R Giải Đặt f(x) = cos2x +acosx +b -1 Giả sử f(x) 1, x R Khi đó: Với x =0 ta có f(0) 1 a +b 1 -1 a +b 1 (a) Với x= 2 ta có f( 2 ) 1 b -2 1 1 b 3 (b) Với x = ta có f() 1 b -a 1 -1 b -a 1 (c) Cộng vế với vế của (a) và (c) đợc: -2 2b 2 -1 b 1 (d) Từ (b) và (d) suy ra b =1 Thay b =1 vào (a) đợc a 0 Thay b =1 vào (c) đợc a 0 Từ đó suy ra a =0 Ngợc lại: Với a =0; b =1 thì f(x) = cos2x 1; x R 5 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất KL: a =0; b =1 là giá trị cần tìm. Bài 7 : Cho hàm số f(x) = cos3x + acos2x + bcosx Chứng minh rằng: f(x) nhận cả giá trị dơng và giá trị âm Giải + Giả sử f(x) 0, x R. Khi đó: f(x) 0 f(x) + f(x +) 0, x R f(x +) 0 acos2x 0, x R Suy ra 0a 0a 0a 0 2 .2cosa 00.2cosa = Mặt khác: ( ) ( ) 1b 0b1 0b1 0f 00f = + Ngợc lại với a =0; b =-1 thì f(x) = cos 3x - cosx Dễ thấy 0 2 3 6 f <= (trái với giả thiết) Vậy f(x) có nhận giá trị âm (1) + Giả sử f(x) 0, x R. Khi đó f(x) 0 f(x) + f(x +) 0, x R f(x +) 0 a.cos2x 0, x R 6 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Suy ra 0a 0a 0a 0 2 .2cosa 00.2cosa = Mặt khác: ( ) ( ) 1b 0b1 0b1 0f 00f = + Ngợc lại với a =0; b =-1 thì f(x)= cos3x - cosx Dễ thấy 0 2 3 3 2 f >= (trái với giả thiết) Vậy f(x) có nhận giá trị dơng (2) Từ (1) và (2) có (đpcm). B- Các Bài tập tham khảo ************** Bài 1: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với x R m(4- sinx) 4 - 3 + cos 2 x + m > 0 Bài 2: Tìm x để bất đẳng thức sinx + sin2x + sin3x + + sinnx 2 3 đúng với n N Bài 3: Tìm a, b để bất phơng trình f(x) = cos3x + acos2x + bcosx + 1 0 nghiệm đúng với x R 7 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất Bài 4: Tìm a, b, c, d để với x R ta luôn có acos2x + bsin2x + ccosx + dsinx 0 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, a, b c phơng trình sau luôn có nghiệm acosx + bcos2x + ccos3x + asinx + bsin2x + csin3x =x IIi/ các bài toán về đa thức đại số A- Các ví dụ *** Bài 1: Tìm m để bất phơng trình x 2 - 2mx + 2x- m + 2 0 (1) nghiệm đúng với x R Giải Giả sử (1) nghiệm đúng với x R. Khi đó (1) cũng nghiệm đúng với x =m. Hay là m 2 - 2m 2 + 2m- m+ 2 0 2 - m 2 0 m 2 Ngợc lại, với m thoả mãn m 2 hay 2 - m 2 0, thì ta có: VT (1) = (x-m) 2 + 2 x-m+ 2- m 2 0 với x R Vậy với m 2 thì (1) nghiệm đúng với x R. Bai 2: Tìm đa thức P(x) = x 2 + ax + b thoả mãn ( ) 2 1 xP ; x [-1, 1] Giải Đặt f(a,b) =Max P(x). Từ giả thiết suy ra 8 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất [-1, 1] f(a; b) 2 1 (2) Mặt khác ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ++= += b20P2b,af2 ba11Pb,af ba11Pb,af Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta đợc 4f(a,b) 1+b-a+1+a+b+-2b 1-a+b+1+a+b-2b=2 f(a,b) 2 1 (3) Từ (2) và (3) ta thấy ở các đánh giá trên đều phải cùng xảy ra dầu bằng, hay là: ( ) ( ) ( ) +++ ==++=+ 0bba1ba1 2 1 bba1ba1 = = 2 1 b 0a Khi đó P(x)= x 2 - 1 2 .Dễ thấy đa thức P(x) = x 2 - 1 2 thoả mãn đầu bài. Vậy a= 0; b= - 1 2 là giá trị cần tìm. Bài 3 : Cho a, b,c thoả mãn ax 2 + bx + c 1 ; x [ ] 1;1 Chứng minh rằng cx 2 + bx + a 2 ; x [ ] 1;1 Giải Đặt f(x) = ax 2 + bx + c. Theo giả thiết ta có: 9 Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất ( ) ( ) ( ) ++ + 1c 1cba 1cba 10f 11f 11f (4) Phân tích cx 2 + bx + a= c(x 2 - 1)+ (bx + a+ c) c. x 2 -1+ bx + a+ c Đặt g(x) = bx + a + c. Vì g(x) bậc không lớn hơn 1 nên: Max g(x)= Max ( ) ( ) { } 1g;1g [-1, 1] Mà theo (4) ta có: ( ) ( ) ++= += 1cba1g 1cba1g Nên [ ] ( ) ( ) [ ] 1;1x;1cabxxg1xgmax 1;1 ++= (5) Mặt khác, với x[-1,1] có 0 1- x 2 1 và theo (4) có c 1 Từ đó suy ra: c.1- x 2 1 (6) Từ (5) và(6) suy ra c.1- x 2 + bx + a + c 2, x [ ] 1;1 Hay cx 2 + bx + a 2, x [ ] 1;1 (đpcm). Bài 4: Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Tìm a, b, c để f(x) 1; x [ ] 1;1 Và k = 2 2 8 2 3 a b+ đạt GTLN. Tìm GTLN đó Giải Giả sử ta có ( ) [ ] 1;1x,1xf 10 [...]... em tìm tòi khám phá Tôi cũng nhận thấy các em ý thức rằng "sự hiểu biết sâu sắc về đối tợng đang xét và óc quan sát tinh tế " là chìa khóa tốt nhất để tìm ra con đờng ngắn nhất đi đến đáp án Để cho bản SKKN đợc hoàn thiện hơn, rất mong nhận đợc sự góp ý bổ xung từ các thầy các cô Sau đây tôi xin nêu một vài kiến nghị xuất phát từ suy nghĩ bản thân: Trong xu thế thi trắc nghiệm nh hiện nay, vẫn biết trắc... với học trò ở nông thôn, bên cạnh Báo Toán học và tuổi trẻ là sân chơi dờng nh quá sức đối với hầu hết đa số học trò ở nông thôn + Thứ ba tôi đề nghị cần có hình thức phổ biến rộng rãi hơn nữa các bản SKKN đã đạt giải cũng nh đã phát huy tác dụng trong thực tiễn giảng dạy, để kinh nghiệm, tâm huyết của các tác giả trở nên có ý nghĩa hơn, cũng là giúp cho chúng tôi qua đó góp phần tự bồi dỡng nâng cao . đó rút kinh nghiệm rồi viết thành hệ thống mà tôi sẽ trình bày sau đây. Bản SKKN của tôi lấy tên là: Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần. là chìa khóa tốt nhất để tìm ra con đờng ngắn nhất đi đến đáp án. Để cho bản SKKN đợc hoàn thiện hơn, rất mong nhận đợc sự góp ý bổ xung từ các thầy các