Sở GD&ĐT bắc ninh Đề thi olimpic môn toán Trờng tHPT Lơng Tài 2 Năm học:2008-2009 Đề chính thức Ngày thi: 9 tháng 11 năm 2008 Thời gian làm bài 180 phút Câu1(5điểm) Cho hàm số 2 1 1 x x y x + = (C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ). 2) Chứng minh rằng phơng trình: ( ) 2 2 1 1 49x x x x + = có đúng 2 nghiệm. 3) Gọi (C) là đồ thị đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4) . Tìm phơng trình của đồ thị (C). Câu2 (4điểm) 1) CMR: Tam giác ABC cân nếu : 3 3 cos sin cos sin 2 2 2 2 A B B A = 2) Giải phơng trình : 3 3 3 6 6 6x x + + = Câu 3 (4điểm) 1) Cho tổng : 1 1 1 1 2 . . 1!2005! 3!2003! 1003!1003! 2005!1! ! a S b = + + + + = Tìm a =? b = ? 2) Cho tam giác ABC nhọn và có 3 góc là A;B;C. CMR: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c m m m A B C R + + < + + . Câu 4 (5điểm) 1)Cho tam giác ABC đều cạnh a .Trên đờng thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm M ( khác A). Gọi H;K là trực tâm của tam giác ABC và MBC. Tìm giá trị lớn nhất của .K ABC V = ? Tính AM = ? ( Khi M thay đổi trên d). 2)Cho mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x-2y+z-3 = 0 và A=(1 ;2 ;-1);B=(-1 ;-2 ;4). Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA MB lớn nhất. Câu5 (2điểm) Cho ( ) 1 2008f = và ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 n n f n f n n n + + + = + + với *n N Tìm ( ) ?f n = HếT Đề này gồm 01 trang. Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm. 1 Đáp áN Câu1( 5 điểm) 1)(2 điểm) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C ). +) TXĐ: { } \ 1R y +) ( ) 2 2 2 ' 1 x x y x = +)Cực trị : ' 0y = 2 0 x x = = 3 1 y y = = x 2 điểm cực trị là : M(2;3) ;N(0;-1) +) Tìm tiệm cận -Tiệm cận đứng x=1;Tiệm cận xiên y=x +) BBT +) Vẽ tìm giao Ox; Oy ( Không cần thứ tự các bớc ) 2)(2điểm) Chứng minh rằng phơng trình: ( ) 2 2 1 1 49x x x x + = có đúng 2 nghiệm . +) Nhận xét x=1 không là nghiệm +) Đặt 2 1 1 x x y x + = (C ) và 2 49y x= ( 0y )(1) +) (C ) có 2 điểm cực trị M(2;3) N(0;1) (1) ( ) 2 2 25 0x y y+ = nửa (O;5) nằm trên Ox +) Ta có ( ) ( ) 2;3 ;5M O (nửa (O;5) nằm trên Ox) +) KL :Đpcm 3)(1điểm) Gọi (C) là đồ thị đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4) . Tìm phơng trình của đồ thị (C). Gọi B(x ;y) trên (C ) và B(x;y) trên (C) đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4) Ta có x+x=6 x=6-x y+y=8 y=8-y Thay vào (C ) Ta có ( ) ( ) 2 2 6 ' 6 ' 1 ' 11 ' 31 8 ' 6 ' 1 5 ' x x x x y x x + + = = 2 2 ' 11 ' 31 9 3 ' ' ' 8 5 ' 5 ' x x x x y x x + + = = KL : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2(4điểm) 0,5 0,5 2 0,5 0,5 Đáp áN Câu 3(4điểm) 1)(2điểm) +)Ta có S.2006!= 1 3 2005 2006 2006 2006 C C C+ + +) Ta có: 1 3 2005 2005 2006 2006 2006 2C C C+ + = 0 1 2 3 2005 2006 2006 2006 2006 2006 2006 2006 2006 2C C C C C C+ + + + + + = +) suy ra +) KL: a =2005 ; b =2006! 2(2điểm) +)Xét ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 sin sin sin 3 3 a b c a b c m m m T A B C R R + + + + = = = + + +) CMR: sinx < x với 0; 2 x ữ Suy ra 2 2 2 T A B C< + + Đpcm. 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 5(2điểm) Cho tam giác ABC nhọn và có 3 góc là A;B;C. CMR: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m A B C A B C R + + + + < < + + . +)Xét ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 sin sin sin 3 3 a b c a b c m m m T A B C R R + + + + = = = + + +) CMR: sinx < x với 0; 2 x ữ Suy ra 2 2 2 T A B C< + + Đpcm. +) CMR: 2 sin 0; 2 x x x > ữ Suy ra 2 2 2 2 4 ( )T A B C > + + Đpcm. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu4(5điểm) 2(2,5điểm) +) CMR : A;B khác phía bờ(P) A +)Tìm A đối xứng với A qua (P). A= ( 25 2 7 ; ; 13 13 13 ) M M ? +) ' 'MA MB MA MB BA = +) ( ) max ' 'MA MB BA M P BA = = A +)Phơng trình BA : B 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 +) Suy ra to¹ ®é M= ? 4