Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. =+ =− 325 13 yx yx 2. =−− −=++ 22)12(2 12)12( yx yx 3. =− =− 174 32 yx yx 4. =− =−+ 72 0953 yx yx 5. =− =+ 1 109 3 56 yx yx 6. =++− −=+−− 5323 3322 yx yx BÀI 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. 1. =+ +=+ 2 1 myx mymx 2. =+ +=+ 2 1 myx mymx 3. −=−+ −=+− myxm myxm 1)2( 132)1( BÀI 3. Cho hệ phương trình sau: +=+ +=+ 522 12 mmyx mymx (*) 1. Giải và biện luận theo m hệ phương trình (*) 2. Khi hệ có nghiệm duy nhất. Hãy tìm m để nghiệm là các số nguyên 3. Khi hệ có nghiệm (x; y). Hãy tìm m hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. BÀI 4. Tìm m để hệ pt : =− =−+ myx myxm 53 4)1( có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y<2 BÀI 5. [CĐ.2008.A] Tìm m để hệ pt: =+ =− 3 1 ymx myx có nghiệm (x;y) thoả mãn x.y <0 BÀI 6. Tìm m để hệ pt: −=− =+ myx yx 81 1 có nghiệm (x;y) thoả mãn x.y đạt GTLN BÀI 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 1. =− =+ =+ myx myx mymx 1 2. =+ =+ =+ myx myx ymx 1 1 3. = + + = − − m y m x m m y m x 2 3 155 1 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ BÀI 9. Giả sử hệ phương trình =+ =+ =+ baycx acybx cbyax có nghiệm. Chứng minh rằng: abccba 3 333 =++ BÀI 10. Hai nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn các hệ thức: 02 2121 =++ xxxx và 43)( 2121 +=−+ mxxxxm . Hãy lập phương trình đó. BÀI 11. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung (1): 012 2 =−+ mxx (2): 02 2 =+− xmx HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HAI ẨN I. HỆ GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ MỘT PT BẬC HAI BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. =++++− =−− 0422 072 22 yxyx yx ĐS: (3; -1) và ( 3 13 ; 3 5 ) 2. =+−+ =+ 0363 694 2 yxxyx yx ĐS: (-3; 2) và (-2; 9 14 ) 3. =+++ =+++ 010212 012 2 2 yxx yxx ĐS: (4; -37) và ( 3 2 − ; 9 11 − ) 4. =+− =−+++ 05323 0)122)(2( 22 yx yxyx ĐS: (-3; 1) và ( 29 41 − ; 29 17 − ) 5. =+++ =++ 0133 122 2 yyxy yx HD: −=+ −=+ ⇔=++ 32 12 122 yx yx yx BÀI 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất =− =− 144169 22 yx myx ĐS: m = 17 ± BÀI 3. Tìm m để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) thỏa mãn (x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 = 4. 2 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ =+ =−−+++ 4 01 22 yx mmymxyx ĐS: m = 3 8 − BÀI 4. [PVBáo.98] Cho hệ: −=+ =+ myx myx 6 22 (m là tham số) 1. Giải hệ phương trình khi m = 1 2. Tìm m để hệ có nghiệm BÀI 5*.[HVQS.98] Cho hệ: =++ +−=++− 3 )( 22 22 bxyyx ayxyxayx (a & b là tham số) 1. Giải hệ phương trình khi a = b = 1 2. Tìm a, b để hệ có nhiều hơn 4 n 0 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 1 BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. =++ =++ 5 7 22 yxyx yxyx 2. =+++ =−−+ 69 102 22 yxxy yxyx 3. =+++ =++ 28)(3 11 22 yxyx yxxy [ĐHQG.00] 4. =+ =++ xyyx xy yx 3)(2 2 711 5. =++ =−− 1 3 22 yxyx xyyx HD: Hệ trên vốn k 0 đối xứng nhưng đặt t = -y thì có hệ đối xứng đối với t&y. N 0 là: (1; -1) 6. =+−+ −=−+ 2 1 22 yxyx yxxy HD: Đặt t = -x hoặc t = -y 7. −=+− =+−++ 3 6 22 yxxy yxyxyx HD: đặt t = -x hoặc t = -y 8. =+ =++ 30 11 22 xyyx yxxy [ĐHGTVT.00] HD: đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 3 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 9. =+ =+ 26 2 33 yx yx [ĐHCSND.2000] HD: Đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 10 . =+ =+ 30 35 22 33 xyyx yx [ĐHTDTT.1999] HD: Đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 11. =+ =++ 8 22 33 yx xyyx [ĐHSPHNII.01] HD: Đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 12. =+ =++ 4 1 4 5 22 xyyx xyyx [CĐMGTW.01] HD: đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 13. =+ =+ 1 1 33 22 yx yx [ĐHNN.2001] HD: đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 14. =+ =+ 1 1 66 44 yx yx [ĐHTCKT.2001] HD:đặt )04(; 2 22 22 ≥≥ = =+ PS Pyx Syx 15. =+ =+ 3 111 12 22 yx x y y x HD: Đặt )4(; 2 PS Pxy Syx ≥ = =+ 16. =+− =+ 13 5 4224 22 yyxx yx [ĐHNT.1998] HD:đặt )04(; 2 22 22 ≥≥ = =+ PS Pyx Syx 17. =++ =++ 21 7 2244 22 yxyx xyyx [ĐHSPHN.B] HD:đặt )4(; 22 22 PS Pxy Syx ≥ = =+ 4 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 18 . =++ =+ 280))(( 4 2233 yxyx yx [QHQT.01] HD: biến đổi tính = =+ ? 4 xy yx BÀI 2. [ĐHCSND.00] Cho hệ: +=+ +=++ 1 2 22 mxyyx myxyx 1. Giải hệ với m = 3 ĐS: (-1; -1), (-1; 2) và (2; -1) 2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất ĐS: m = 1 và m = -3/4 BÀI 3. [ĐHQG.99] Cho hệ: +=+ +=++ mmyxxy myxyx 2 )( 12 1. CMR: hệ luôn có nghiệm với mọi m 2. Xác định m để hệ có n 0 duy nhất BÀI 4. [SQCPĐ.99] Cho hệ: =++ +=++ myxyx myxyx 22 6 22 1. Giải hệ với m = -3 2. Xác định m để hệ có n 0 duy nhất BÀI 5. Cho hệ: =+ =+ 6 22 yx myx (m là tham số) 1. Giải hệ với m = 26 ĐS: (1; 5) và (5; 1) 2. Xác định m để hệ vô n 0 ĐS: m > 18 3. Xác định m để hệ có n 0 duy nhất ĐS: m = 18 4. Xác định m để hệ có 2 n 0 phân biệt ĐS: m < 18 BÀI 6. Cho hệ: −=+ −=+ 32 2 222 ayx ayx (a là tham số) Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất BÀI 7. [CĐBN.2000]Cho hệ: +=+ −−=+ 1 32 222 myx mmxyyx (m là tham số) Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 2 BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 5 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 1. += += xyy yxx 23 23 2 2 HD: Trừ tương ứng từng vế của 2 pt. ĐS: (0; 0), (5; 5), (2; -1), (-1;2) 2. +=− +=− xyxy yxyx 22 22 22 22 ĐS: (0; 0) và (-3; -3) 3. −=− −=− 232 232 22 22 xyy yxx [ĐHQG.00.B] HD: Trừ từng vế của 2 pt 4. =− =− y x xy x y yx 43 43 [ĐHQG.97.A] HD: ĐK & biến đổi quy đồng rồi mới trừ theo vế của 2 pt. ĐS: (-2; -2) 5. += += xyy yxx 2 2 3 3 ĐS: (0; 0), (1; -1), (-1; 1), ( 3 ; 3 ) và (- 3 ;- 3 ) 6. =+ =+ xy yx 21 21 3 3 [ĐHTN.2001] =+ =+ 2 2 3 2 3 2 y xy x yx [ĐHTL.2001] 7. += += x xy y yx 1 2 1 2 2 2 [PVBáo.2001] + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 x y y y x x [ĐH.2003.Khối B] 8. − = − = 2 2 1 2 1 2 x x y y y x + − = + − = 2 2 2 2 1 1 1 1 x x y y y x BÀI 2. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 6 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 1. =+ =+ axyxy axyyx 2 2 2. +=+ +=+ 1 1 2 2 axyxy axyyx III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. =− =+− 43 14 2 22 xyy yxyx HD: thế y y x 3 4 2 − = −− ⇒ )4;1( )4;1( 2. =++ =++ 8 1532 22 22 yxyx yxyx C1. Đặt x=ty C2. Khử x 2 và rút x theo y (khử y 2 và rút y theo x) 3. =++ =++ 222 932 22 22 yxyx yxyx [SPTPHCM.00] ĐS:(-1; 2), (1; -2), ( 17 8 ; 17 3 ± ) 4. =+ =− 2 12 2 22 xxy yx ĐS: (1; 1) và (-1; -1) 5. − − =− =−+ xyy x x y yxyx 2 2 5 2 5 22 HD: quy đồng pt thứ 2 trong hệ BÀI 2. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm 1. =−+ =− myxyx xyx 22 2 242 2 2. =++ =− myxyx xyy 22 2 32 3. =++ =−− myxyx yxyx 22 22 542 832 ĐS: m 1053 +−≥ IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT KHÁC BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. =−−− =+−+ 38923 143 22 22 yxyx yxyx [ĐHSPII.99] HD: Đặt =+ =− vyy uxx 4 3 2 2 7 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 2. −=+++ −=++++ 4 5 )21( 4 5 24 232 xyxyyx xyxyyxyx [ĐH.08A] HD: Đặt = += xyv yxu 2 Hệ có 2 n 0 : −⇒ 2 3 ;1 và − 3 3 16 25 ; 4 5 3. −+= −+= )2(2 )1(2 22 22 xxayy yaxx HD: Thế 2 2 2 1 a xx y − =− (a ≠ 0) 4. −=+ =+ yxyx x y y x 5 2 5 2 HD: Đặt y x t = giải được t = t 0 . 5. =+++ =+++ 9 11 5 11 22 22 yx yx yx yx HD: Đặt u x x =+ 1 & v y y =+ 1 với 2&2 ≥≥ vu . ĐS: (1; 2 53 ± ) và ( 2 53 ± ; 1) 6. = ++ =++ 49 1 1)( 5) 1 1)(( 22 22 yx yx xy yx [ĐHNT.99] HD: Nhân khai triển và đặt: u x x =+ 1 & v y y =+ 1 với đk 2&2 ≥≥ vu . 7. =++ =+++ 12)1)(1( 8 22 yxxy yxyx HD: Nhân khai triển và đặt: 22 & yyvxxu +=+= với đk u,v 4 1 −≥ . ĐS: (1;2), (-2;2), (1;-3), (-2; -3) và 4 n 0 đảo lại thứ tự x& y. 8. −=++ =+++ 8)2)(2( 7)(2 22 yxxy yxyx ĐS: (-1;2), (-1;4), (2;-1), (4; -1) 9. =−− =−−+ 4)1)(1( 4 22 yxxy yxyx [ĐHYHP.01] HD: Đặt −= −= yyv xxu 2 2 với u,v 4 1 −≥ 8 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ 10 . * =++ =++ 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx [ĐHAN.01] HD: Đặt += += yxv xxu 2 2 2 với u 1 −≥ 11. =+ −=− 1 33 66 33 yx yyxx [ĐHNT.2001] HD: x 3 -3x = y 3 – 3y ⇔ yx = hoặc 03 22 =−++ xyyx 12. =+ = + 6)( 12 2 32 xyxy y x y x [ĐHCĐ.2000] HD: Đặt t = y x giải ra t = t 0 . hoặc đặt v = xy giải ra v = v 0 . 13. =− =− 2 9 3 16 x y xy y x xy [ĐHNN.1999] HD: Khử xy được: 6 5 =+− x y y x và đặt t = x/y suy ra y/x = 1/t 14. += −=− 12 11 3 xy y y x x [ĐH.2003.A] HD: Đưa pt (1) về dạng tích. Giải các trường hợp 15. =++ =++ 3 1 3 1 2 2 yy x x y x y x HD: Đặt = += y x v y xu 1 16. * += +− + += +− + xy yy xy y yx xx xy x 2 3 2 2 3 2 92 2 92 2 HD: Đánh giá suy ra x = y =1 là n 0 duy nhất. (GVG năm 2008) 17. =+− +−=− 3 )32)((92 22 33 yxyx xyyxyx HD: Thế 3 = x 2 –xy + y 2 vào pt kia ta được: x 3 = 8y 3 ⇒ x = 2y 18 . +=+ +=++ 662 922 2 2234 xxyx xyxyxx [ĐH.08B] HD: Thế x xx y 2 66 2 −+ = suy ra pt tích và n 0 là: (-4; 17/4) 9 Chuyên đề: HPT bậc nhất, bậc hai Luyện thi vào ĐH - CĐ ------------------------------- ♣♣♣ ---------------------------------- 10 . số) 1. Giải hệ phương trình khi a = b = 1 2. Tìm a, b để hệ có nhiều hơn 4 n 0 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 1 BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau:. Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 2 BÀI 1. Giải các hệ phương trình sau: 5 Chuyên đề: HPT