...Ly thuyet toi uu 2.pps

...Ly thuyet toi uu 2.pps tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực ki...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức cơ bản. 4 1.1 Các không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương . . . . . 9 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Ánh xạ KKM. 29 2.1 Định nghĩa và các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 48 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP ) II . . . . . . . . . . 51 3.3 Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 KẾT LUẬN 64 Tài liệu tham khảo 65 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Một trong những định lý nổi tiếng nhất của toán học trong thế kỉ trước là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1912, dựa vào một công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Năm 1929, ba nhà toán học Ba Lan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh được một kết quả quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM” bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Bổ đề KKM được chứng minh dựa trên một kết quả của Sperner năm 1928 về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc lĩnh vực toán tổ hợp, một lĩnh vực tưởng chừng như không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất động. Một điều thú vị nữa là từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer ta cũng chứng minh được Bổ đề KKM, từ đó Nguyên lý điểm bất động Brouwer và Bổ đề KKM là tương đương nhau. Từ đây Bổ đề KKM đã đặt nền tảng và tạo bước ngoặt lớn cho sự phát triển của ”Lý thuyết KKM”. Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer nhưng lại hạn chế do chỉ áp dụng được cho các không gian vectơ hữu LECTURE SERIES on STRUCTURAL OPTIMIZATION Thanh X Nguyen Structural Mechanics Division National University of Civil Engineering thanhnx@nuce.edu.vn LECTURE SERIES on STRUCTURAL OPTIMIZATION LECTURE S.O PROBLEM FORMULATION CONTENTS Introduction Elastic Analysis of Framed Structures Elastic Analysis of Continuum Structures Plastic Analysis of Framed Structures INTRODUCTION Structural Design Philosophy Determisnistic or probabilistic-based? Kind of failure modes? Service load and overload conditions? Ex Design against Initial Yielding under Service Load Design against Collapse under Overload Design to Avoid Damage under Service Load and Collapse under Overload INTRODUCTION INTRODUCTION Traditional Approach Preselect the set of constraints active at the optimum Good when? [critical constraints are easily identified AND their number equals to the number of variables] Wrong solution awareness! [if wrong choice of critical constraints OR their number is less than that of variables] INTRODUCTION Optimality Criteria Approach Assume a criterion related to structural behavior is satisfied at the optimum Ex Fully stressed design; displacement constraints; stability … Iterative solution process, usually! Characteristics [simple; may lead to “suboptimal” sol.; not general as of math programming] INTRODUCTION Math Programming Approach Oops, which of the constraints will be critical?? [no prediction on the set of active constraints  essentially use inequalities constraints for a proper formulation] Characteristics [no single method for all problem; no accurate method for large structures  often based on approximation concepts] Relative optima may occur [ repeat computations from different starting points] INTRODUCTION Structural Analysis Core of any S.O formulation and solution Acceptable analytical model [must describe physical behavior adequately] [yet be simple to analyze] Most common [elastic analysis of framed structures] [elastic analysis of continuum structures] [plastic analysis of framed structures] ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Frame structures Length >> sizes of cross-section Typically: beams, grids, trusses, frames Assumptions for linear elastic analysis Displacements vary linearly w/ applied forces All deformations are small Methods Force method Displacement method ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Force method Compatibility equation FX + Δ = Δ (1) U = U P + FU X (2) S = S P + FS X (3) Final displacement S P U and forces If several loading conditions  all vectors are transformed into matrices ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Force method Brief procedure (1) Determine degree of statical indeterminacy; Redundant forces and primary structure are chosen (2) Compute the entries of F, ∆ P, FU, UP, FS, US in the primary structure (3) (4) Compute unknown redundant forces X Compute desired displacements U and forces S in the original indeterminate structure Ex ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Displacement method Equilibrium equation Final displacement U (other than those included in q) and forces S L Kq + R = R (4) U = U +K q (5) S = SL + K Sq (6) If several loading conditions  all vectors are L U transformed into matrices ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Force method Brief procedure (1) Determine the joint displacement degree of freedom; Add restraints (= Establish restrained structure It is unique.) (2) Compute the entries of K, RL, KU, UL, KS, SL in the restrained structure (3) (4) Compute unknown displacements q Compute desired displacements U and forces S in the original structure Ex ELASTIC ANALYSIS OF CONTINUUM STRUCTURES Continuum structures Often: plates, shells, membranes, solid bodies PDE Analytical solution or Numerical solution? For small problems For large problems Methods FDM FEM and many more … ELASTIC ANALYSIS OF CONTINUUM STRUCTURES Finite element method See the structure as one compased of discrete elements connected together at a number of nodes PDE? ODE Types of unknowns: Nodal displacements / Nodal stresses If “material nonlinearity” or “geometric nonlinearity”  using FEM with an incremental approach ELASTIC ANALYSIS OF CONTINUUM STRUCTURES Finite element method Brief steps (1) (2) The structure is divided into finite elements Compute stiffness matrix and nodal force vector for each element (3) (4) Transform to the global coordinates Assemble element stiffness matrices and nodal force vectors to have system stiffness and system force vector (5) (6) (7) Apply boundary conditions Solve for unlnown nodal displacements Compute back internal stresses (or other desired quantities) ELASTIC ANALYSIS OF CONTINUUM STRUCTURES Finite element method Equations at element level K eq e = R e (7) K e = ∫ B DBdV (8) R e = Q e + ∫ NT pdA (9) T V appropriate derivatives of N A ε = Bq e ; (10) σ = Dε q = Nq e (11) (12) PLASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES What for? Supplement elastic analysis by giving useful information about collapse load and the mode of collapse Limit design (in ...này có một bộ phận mở/đóng với điểm tiếp xúc được giáp vàng, các đặc tính của cuộc gọi được cải tiến rất nhiều. Hơn nữa, một hệ điều khiển chung để điều khiển một số các chuyển mạch vào cùng một thời điểm được sử dụng. Đó là các xung quay số được dồn lại vào các mạch nhớ và sau đó được xác định kết hợp trên cơ sở của các số đã quay được ghi lại để lựa chọn mạch tái sinh. Nǎm 1965, Một hệ tổng đài điện tử thương mại có dung lượng lớn gọi là hệ ESS số 1 được thương mại hoá thành công ở Mỹ do vậy đã mở ra một kỷ nguyên mới cho các hệ tổng đài điện tử. Không giống với các hệ tổng đài thông thường sử dụng các chuyển mạch cơ, hệ thống ESS số 1 là hệ tổng đài sử dụng các mạch điện tử. Việc nghiên cứu loại hệ tổng đài này đã được khởi đầu từ đầu những nǎm 40 và được xúc tiến nhanh sau khi có phát minh ra đèn ba cực vào những nǎm 50. Hệ tổng đài điện tử mới được phát triển khác về cơ bản với các hệ thông thường ở điểm là trong khi hệ sau này sử dụng mạch điều khiển chuyển mạch dùng các lô-gíc kiểu dây thì hệ trước đây dùng các thao tác logic bằng các phương tiện phần mềm lắp đặt trong hệ thống. Ngoài ra, hệ tổng đài điện tử mới triển khai tạo được sự điều khiển một cách linh hoạt bằng cách thay thế phần mềm cho phép người sử dụng có dịch vụ mới. Đồng thời, để vận hành và bảo dưỡng tốt hơn, tổng đài này được trang bị chức nǎng rự chẩn đoán. Tầm quan trọng việc trao đổi thông tin và số liệu một cách kịp thời và có hiệu quả đang trở nên quan trọng hơn khi xã hội tiến đến thế kỷ 21. Để đáp ứng đầy đủ một phạm vi rộng các nhu cầu của con người sống trong giai đoạn đầu của kỷ nguyên thông tin, các dịch vụ mới như dịch vụ truyền số liệu, dịch vụ truyền hình bao gồm cả dịch vụ điện thoại truyền hình, các dịch vụ truyền thông di động đang được phát triển và thực hiện. Nhằm thực hiện có hiệu quả các dịch vụ này, IDN (mạng lưới số tích hợp) có khả nǎng kết hợp công nghệ chuyển mạch và truyền dẫn thông qua qui trình sử lý số là một điều kiện tiên quyết. Ngoài ra, việc điều chế xung mã (PCM) được dùng trong các hệ thống truyền dẫn đã được áp dụng cho các hệ thống chuyển mạch để thực hiện việc chuyển mạch số. Dựa vào công nghệ PCM này, một mạng đa dịch vụ số (ISDN) có thể xử lý nhiều luồng với các dịch vụ khác nhau đang được phát triển hiện nay. 2.1.3 Các chức nǎng của hệ thống tổng đài Mặc dù các hệ thống tổng đài đã được nâng cấp rất nhiều từ khi nó được phát minh ra, các chức nǎng cơ bản của nó như xác định các cuộc gọi của thuê bao, kết nối với thuê bao bị gọi và sau đó tiến hành việc phục hồi lại khi các cuộc gọi đã hoàn thành, hầu như vẫn như cũ. Hệ tổng đài dùng nhân công tiến hành các quá trình này bằng tay trong khi hệ tổng dài tự động tiến hành các việc này bằng các thiết bị điện. Trong trường hợp đầu, khi một thuê bao gửi đi một tín hiệu thoại tới một tổng đài, nhân viên cắm nút trả lời của đường dây bị gọi vào ổ cắm của dây chủ gọi để thiết lập cuộc gọi với phía bên kia. Khi cuộc gọi đã hoàn thành, người vận hành rút dây nối ra và đqa nó về trạng thái ban đầu. Hệ tổng đài nhân công được phân loại thành lloại điện từ và hệ dùng ǎc-qui chung. Đối với loại dùng điện từ, thì thuê bao lắp thêm cho mỗi ǎc-qui một nguồn cấp điện. Các tín hiệu gọi và tín hiệu hoàn thành cuộc gọi được gửi đến người thao tác viên bằng cách sử dụng từ trường. Đối với hệ dùng ắc qui chung, nguồn điện được cung cấp chung và các tín hiệu gọi và tín hiệu hoàn thành cuộc gọi được đơn giản chuyển đến người thao tác viên thông qua các đèn. Đối với hệ tổng đài tự động, các cuộc gọi được phát ra và hoàn thành thông qua các bước sau: 1) Nhận dạng thuê bao chủ gọi: Xác định khi thuê bao nhấc ống nghe và sau đó cuộc gọi được nối với mạch điều khiển. 2) Tiếp nhận số được quay: Khi đã được nối với mạch điều khiển, thuê bao chủ gọi bắt đàu nghe thấy tín hiệu mời quay số và sau đó chuyển số điện thoại của thuê bao bị gọi. hệ tổng đài thực hiện các chức nǎng này. 3) Kết nối cuộc gọi: Khi các số quay được ghi lại, thuê [...]... xảy ra khi và chỉ khi f là hàm khả vi chặt hầu khắp nơi trên [a, b] Chương 3 Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân Một số công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của các phiếm hàm tích phân được thiết lập Các kết quả đó dẫn đến một tiêu chuẩn tồn tại nghiệm địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu là phiếm hàm tích phân 3.1 Dưới vi phân của tích phân bất... mật trong Kết luận Các kết quả chính của luận án này bao gồm: 1 Công thức biểu diễn tích phân Aumann của ánh xạ dưới vi phân Clarke và của ánh xạ dưới vi phân Mordukhovich, các điều kiện cần và đủ để tích phân này là tập gồm một điểm 2 Một dạng tương tự của công thức Newton-Leibniz cổ điển cho trường hợp tích phân đa trị Chứng minh mới cho định lý đã biết về khả năng đặc trưng hàm số của ánh xạ dưới vi. .. tích phân (Chương 3 của luận án) , ngoài các lớp hàm đã được xét, cần tiếp tục nghiên cứu tìm ra các công thức tính toán hoặc đánh giá dưới vi phân cho các lớp hàm khác và ứng dụng các công thức thu được vào vi c khảo sát các bài toán tối ưu có liên quan đến phiếm hàm tích phân, đặc biệt là các bài toán điều khiển tối ưu 18 Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại Xêmina phòng Giải tích số và. .. u())dà() một tiêu chuẩn tồn tại nghiệm địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc, với hàm mục tiêu là phiếm hàm tích phân 5 Một số đặc trưng của không gian Banach phản xạ thông qua tính chất tràn của ánh xạ dưới vi phân Fréchet Điều kiện đủ để miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân Fréchet trù mật trong X khi không gian nền X là Asplund 6 Hai định lý về sự tồn tại điểm dừng của bài toán nhiễu của một. .. là một khảng mở của R và Cl Lipschitz địa phương Khi đó (x) = (x) = Hệ quả 3.1.3 Cho I : I R là một hàm khả vi và 0 (x) 3.2 Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân trên không gian L1 (; E) Cho (, A, à) là một không gian có độ đo không nguyên tử hữu hạn đầy đủ, E là một không gian Banach khả ly và f : ì E R là một hàm A B(E)đo được Kết quả chính của mục này là các công thức tính chính xác dưới vi. .. toán tối ưu phi tuyến dưới tác động của nhiễu tuyến tính 7 Hai mệnh đề về sự tồn tại nghiệm của bài toán nhiễu của một bài toán qui hoạch lồi dưới tác động của nhiễu tuyến tính Cùng với công thức Newton-Leibniz (đã được khảo sát ở Chương 2), hướng nghiên cứu chính của luận án có thể tiếp tục đối với công thức Green, công thức Gauss và các ứng dụng Đối với bài toán tính toán hoặc đánh giá dưới vi phân. .. trưng hàm số của ánh xạ dưới vi phân Clarke 3 Công thức tính chính xác dưới vi phân Mordukhovich của tích phân bất định F (x) = x a f (t)dt, với f là một hàm bị chặn cốt yếu 4 Công thức tính chính xác dưới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân (u L1 (; E)), với (, A, à) là một không gian có độ đo không nguyên tử -hữu hạn đầy đủ, E là không gian Banach khả ly, và f : ì E R là hàm A B(E)đo... Chương 4 Miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân Trong chương này chúng ta nghiên cứu miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân của hàm f : X R {+} chính thường nửa liên tục dưới và thoả mãn một điều kiện bức, ở đây X là một không gian Banach 4.1 Trường hợp không gian Banach phản xạ Định lý 4.1.1 Cho X là một không gian Banach Khi đó, các [...]... là khảo sát mối quan hệ giữa phép tính tích phân và phép tính vi phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu trên cơ sở nghiên cứu hai bài toán đặt ra ở trên Vi c nghiên cứu theo đề tài luận án được thực hiện bằng cách sử dụng một số kiến thức và kỹ thuật của lý thuyết tối ưu, giải tích hàm, giải tích không trơn, giải tích đa trị và biến phân Ngoài phần mở đầu, luận án gồm 4 chương, phần kết... Mục 2.2 xét tích phân Aumann của ánh xạ dưới vi phân Mordukhovich Chương 3 nghiên cứu bài toán tính dưới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân Mục 3.1 khảo sát dưới vi phân Mordukhovich F () của tích x phân bất định x F (x) = f (t)dt, a ở đây f là một hàm bị chặn cốt yếu Mục 3.2 giới thiệu các công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của các phiếm hàm tích phân có dạng... lượng dưới vi phân Mordukhovich nói riêng, và ứng dụng lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich nói chung, là do tính chất không lồi của dưới vi phân Mordukhovich mang lại, bởi vì khi đó nhiều kỹ thuật quan trọng của giải tích lồi - đã được áp dụng thành công cho các loại dưới vi phân lồi - trở nên không còn phù hợp Đối với các dưới vi phân, qui tắc tính dưới vi phân của một tổng các hàm số bao giờ... 1.1 được dành cho các lý thuyết vi phân suy rộng của F H Clarke và B S Mordukhovich Mục 1.2 điểm qua một vài sự kiện liên quan đến tích phân Aumann 1.1 Vi phân suy rộng Cho X là một không gian Banach thực và f : X R := [, +] là một hàm số Ta ký hiệu không gian đối ngẫu tôpô của giữa X bởi X và cặp đối ngẫu X và X bởi x , x Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X và trong không gian đối ngẫu xạ... án, và danh sách 63 tài liệu tham khảo Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản trong lý thuyết vi phân suy rộng và lý thuyết tích phân của các ánh xạ đa trị Các kiến thức này là cơ sở cho vi c khảo sát được trình bày ở những chương tiếp theo Chương 2 nghiên cứu bài toán tính toán hoặc ước lượng tích phân của các ánh xạ dưới vi phân Mục 2.1 được dành cho tích phân của ánh xạ dưới vi phân. .. kết quả quan trọng bao gồm các qui tắc tính toán, định lý giá trị trung bình, các ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết bao hàm thức vi phân, lý thuyết điều khiển tối ưu, đã được thiết lập trong giai đoạn này Có thể tìm hiểu thêm chi tiết về lịch sử phát triển và những kết quả quan trọng của lý thuyết vi phân suy rộng Clarke ở trong cuốn sách chuyên khảo [23] và các tài liệu [10], [21], [22], [24]... dưới vi phân Mordukhovich) của phiếm hàm tích phân Bài toán ước lượng dưới vi phân Clarke của phiếm hàm tích phân đã được nghiên cứu trong [23, Section 2.7] Vấn đề được đặt ra tiếp theo là: Tính toán hoặc ước lượng dưới vi phân Mordukhovich của G(ã) Trong trường hợp tổng quát, bài toán này cho đến nay vẫn chưa có lời giải Mục đích chính của luận án này là khảo sát mối quan hệ giữa phép tính tích phân và. .. được gọi là dưới vi phân Mordukhovich (hay dưới vi phân qua giới hạn) của hàm f f tại x Như vậy, x f (x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy uk x, w k 0, và x k f (uk ) sao cho x x k k Dưới vi phân Fréchet phân Mordukhovich ta có f (x) là một tập lồi đóng yếu Trong khi đó dưới vi f (x) là có thể không lồi và không đóng, và hiển nhiên f (x) f (x) Một trong những khó khăn lớn của vi c tính toán hoặc... xem là LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI - 2 1.4 Thuyết tương đối rộng của Anhxtanh (1915) Tiếp tục nghiên cứu về tính tương đối của chuyển động cũng như của không gian và thời gian, Einstein để ý đến sự bẻ cong của tia sáng khi nó đi qua gần những thiên thể lớn như Mặt Trời hay các ngôi sao. Việc bẻ cong ánh sáng của các ngôi sao trên đường chúng truyền đến chúng ta có thể làm tăng góc nhìn của chúng ta với nó, hiện tượng này gọi là thấu kính hấp dẫn Einstein đã nêu ra giả thiết rằng hấp dẫn có thể làm đường truyền của các tia sáng trong không gian bị bẻ cong. Lí thuyết tương đối rộng cùng với hệ quả quan trọng nhất của nó là nguyên lí tương đương ra đời năm 1916 khẳng định rằng: "Không có một thí nghiệm vật lí nào cho phép phân biệt sự gia tốc một cáh thích hợp với sự tồn tại của hiện tượng hấp dẫn". Thí nghiệm tưởng tượng của Einstein để minh chứng cho kết luận này là thí nghiệm về chiếc thang máy Einstein. Nội dung của thí nghiệm này như sau: Nếu bạn đứng trong một cái thang máy lí tưởng , tức là một cái thang máy không cho phép bạn nhìn ra ngoài và cũng không nghe được thấy bất cứ một âm thanh nào của môi trường bên ngoài thang, mặt khác cái thang này êm đến mức bạn không thể cảm thấy độ rung của chiếc thang khi chuyển động. Nếu chiếc thang chuyển động đều, sẽ không có một thí nghiệm vật lý nào thực hiện trong thang cho biết bạn khảng định chiếc thang có chuyển động hay không. Còn nếu thang chuyển động với gia tốc bằng gia tốc trọng trường của Trái đất, bạn sẽ có cảm giác bạn đang rơi tự do như khi nhảy từ trên nóc nhà caop tầng xuống, kể cả khi thang máy chuyển động đi lên trên nhưng với gia tốc nói trên, bạn vẫn cảm giác là mình đang rơi. Tương tự như vậy, với bất kì gia tốc nào của chiếc thang, bạn đều có thể cảm nhận thấy sự rơi tự do (nhưng khác với sự rơi trên Trái đất nếu gia tốc khác với gia tốc trọng trường g). Khi Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời, các tia sáng từ các thiên hà, các ngôi sao ở xa khi nđén vứi chúng ta nếu đi qua gần nhiều ngôi sao khác, trong đó có cả Mặt Trời sẽ bị bẻ cong đường đi, không còn truyền theo đường thằng nữa, không phải do hấp dẫn mạnh đến mức có thể hút được ánh sáng vào trong Mặt Trời, đơn giản là vì hạt ánh sáng (photon) không hề có khối lượng và do đó giá trị lực hấp dẫn tính theo công thức của Newton mang giá trị 0. Lí do của việc này có thể được suy ra từ nguyên lí tương đương đã nhắc đến ở trên , sự tồn tại của lực hấp dẫn hoàn toàn tương đương với sự gia tốc, điều này giống như khi bạn ngồi trên một con tàu và ngoài trời đang mưa. Bạn thấy các hạt nước mưa dính trên cửa kính của tàu và chạy dần xuống dưới theo đường chéo. Nếu tàu chuyển động đều thì đường đi của hạt nước đơn giản là đường thẳng vắt chéo, độ nghiêng của nó tuỳ thuộc vận tốc của con tàu. Còn nếu tàu chuyển động có gia tốc, bạn sẽ thấy đường đi của các hạt mưa này không thằng mà có nhiều đoạn gấp khúc, uốn lượn. và nguyên lí tương đương cho phép ta coi sự tác động của gia tốc này như sự tồn tại hiện tượng hấp dẫn, như vậy ánh sáng cũng phải bẻ cong, đường đi bị gấp khúc khi chịu tác động của hấp dẫn. Để tránh thắc mắc của các bạn, xin được nói về một cách khác giải thích hiện tượng tia sáng bị lệch đi này, thực chất nó hoàn toàn tương đương với cách giải thích bằng cách dùng nguyên lí tương đương nói trên. Cách giải thích này như sau: Trước hết, các lập luận của cơ học lượng tử (xin nói rõ về lí thuyết lượng tử hơn ở một chủ đề sau) và rất nhiều thí nghiệm của vật lí hiện đại đã làm chúng ta có đủ cơ sở để tin rằng không gian ... displacements U and forces S in the original structure Ex ELASTIC ANALYSIS OF CONTINUUM STRUCTURES Continuum structures Often: plates, shells, membranes, solid bodies PDE Analytical solution... simple to analyze] Most common [elastic analysis of framed structures] [elastic analysis of continuum structures] [plastic analysis of framed structures] ELASTIC ANALYSIS OF FRAMED STRUCTURES Frame... FORMULATION CONTENTS Introduction Elastic Analysis of Framed Structures Elastic Analysis of Continuum Structures Plastic Analysis of Framed Structures INTRODUCTION Structural Design Philosophy Determisnistic