1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹsưtàinăng năm 2003 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút 1 Bài 1: Tìm đa thức P (x) có bậc bé nhất, đạt cực đại tại x =1với P (1) = 6 và đạt cực tiểu tại x =3với P (3) = 2. Bài 2: Có tồn tại hay không một đa thức P (x) thỏa mãn hai điều kiện : i)P (x) ≥ P ”(x) ii)P (x) ≥ P ”(x) với mọi giá trị của x. Bài 3: 1/ Cho hàm số f(x) xác định và f (x) > 0 ∀x ∈ R. Biết rằng tồn tại x 0 ∈ R sao cho f(f(f(f(x 0 )))) = x 0 . Chứng minh rằng f(x 0 )=x 0 . 2/ Giải hệ phương trình : x = y 3 +2y − 2 y = z 3 +2z − 2 z = t 3 +2t − 2 t = x 3 +2x − 2 Bài 4: Cho dãy số {x n } thỏa mãn : x 1 =2 x 1 + x 2 + .+ x n = n 2 x n Tìm giới hạn : lim n→∞ (n 2 x n ) 1 Tài liệu được soạn thảo lại bằng L A T E X2 ε bởi Phạm duy Hiệp LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ SưTàiNăng – 2003 Bài 1, Tìm đa thức 𝑃(𝑥) có bậc bé nhất, đạt cực đại 𝑥 = với 𝑃(1) = đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑃(3) = Bài 2, Có tồn hay không đa thức 𝑃(𝑥) thỏa mãn điều kiện: i) ii) 𝑃(𝑥) ≥ 𝑃’(𝑥) 𝑃’(𝑥) ≥ 𝑃’’(𝑥) Với giá trị 𝑥 Bài 3, Cho hàm số f(x) xác định 𝑓’(𝑥 ) > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ Biết tồn 𝑥0 ∈ ℝ cho 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 (𝑥0 ) / = 𝑥0 Chứng mihnh 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑥0 𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 − 𝑦 = 𝑧 + 2𝑧 − 𝑧 = 𝑡 + 2𝑡 − 𝑡 = 𝑥 + 2𝑥 − 2 Giải hệ phương trình: Bài 4, Cho dãy số {𝑥𝑛 } thỏa mãn: 𝑥1 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛2 𝑥𝑛 Tìm giới hạn: lim𝑛→∞ (𝑛2 𝑥𝑛 )
ĐỀ THI MÔNTOÁNKỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ THỌ
Câu 1 (2đ)
a) Giải phương trình 2x – 5 =1
b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5
Câu 2 (2đ)
a) Giải hệ phương trình
72
33
yx
yx
b) Chứng minh rằng
7
6
23
1
23
1
Câu 3 (2đ)
Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2012-2013
Môn toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2
mà biểu thức
A = x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính
AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau
tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C)
sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.
a) CMR: ABC=DBC
b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.
c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng
d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn
MN có độ dài lớn nhất.
Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT
yxyxyxyx
yyx
2)324(12)142(
385
22
Hết
GỢI Ý GIẢI
Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 = 1
b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5
Đáp án a) x = 3 ; b) x > 2
Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình
72
33
yx
yx
b) Chứng minh rằng
7
6
23
1
23
1
Đáp án a) x = 2 ; y = – 3
b) VT =
7
6
2
9
2323
=VP (đpcm)
Câu 3 (2đ) Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
c) Giải phương trình khi m = 1
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2
mà biểu thức
A = x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Đáp án a) x
1
= 52 ; x
2
= 52
e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1
pt luôn có 2 nghiệm
Theo vi- ét ta có x
1
+ x
2
=2(m – 3) ; x
1
x
2
= –1
Mà A=x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 3x
1
x
2
= 4(m – 3)
2
+ 3
3
GTNN của A = 3
m = 3
Câu 4 (3đ)
Hướng dẫn
a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung
ABC = DBC (c-c-c)
b) ABC = DBC
góc BAC =BDC = 90
0
ABDC là tứ giác nội tiếp
c) Có gócA
1
= gócM
1
( ABM cân tại B)
gócA
4
= gócN
2
( ACN cân tại C)
gócA
1
= gócA
4
( cùng phụ A
2;3 24 ðÁP ÁNKỳ thi chọn hệ KỹsưtàiKỹsư chất lượng cao Năm 2005Môn thi: Toán Bài 1: un +1 = un + un (1) 1./ Giả sử tồn lim un = l Trong (1) cho n → +∞ ⇒ l = l + Phương trình n →∞ l vô nghiệm ⇒ không tồn giới hạn lim un n →∞ 2./ Do u0 = > ⇒ un > 0, ∀n ⇒ {un } dãy tăng Giả sử ∃M : un < M , ∀n ⇒ {un } bị chặn ⇒ {un } hội tụ Mâu thuẫn với câu 1./ Vậy giả sử sai ⇒ lim un = +∞ n →∞ Bài 2: Do f ( x ) liên tục [ 0,b ] ⇒ ∃F ( x ) nguyên hàm f ( x ) đoạn a b 0 ⇒ b ∫ f ( x ) dx ≥ a ∫ f ( x ) ⇔ b ( F ( a ) − F ( 0)) ≥ a ( F ( b ) − F ( )) ⇔ (b − a ) ( F ( a ) − F ( 0) ) ≥ a ( F (b ) − F ( a )) Theo ñịnh lý Lagrange ∃c ∈ ( 0, a ) , d ∈ ( a, b )( c < d ) : F ( a ) − F ( ) = f ( c ) a F ( b ) − F ( a ) = f ( d ) ( b − a ) Vậy BðT ñề tương ñương với: ( b − a ) f ( c ) a ≥ a f ( d )( b − a ) Do f ( x ) hàm số ñơn ñiệu giảm ⇒ f ( c ) ≥ f ( d ) Mà ( b − a ) a ≥ nên BðT ñã cho ñúng Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 25 Bài 3: π Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − sin x với x ∈ 0, 2 Ta có g ( ) = f ( ) > Và (1) π π π π 2 2 ∫ g ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) − sin x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ sin xdx < − = 0 0 (2) Nếu ∃x0 : g ( x0 ) = ⇒ dpcm π π Nếu g ( x ) > 0, ∀x ∈ 0, ⇒ ∫ g ( x ) dx > Mâu thuẫn với (2) 2 Nếu ∃x1 : g ( x1 ) < π Kết hợp với (1) g ( x ) liên tục 0, ⇒ ∃x0 : g ( x0 ) = ⇒ f ( x0 ) = sin x0 ( dpcm ) 2 Bài 4: α x sin f ( x) = x 0 Ta có ≤ x a sin x≠0 (α > ) x = ≤ xα lim xα = α > x →0 x Vậy lim f ( x ) = = f ( ) nên f ( x ) liên tục ℝ x →0 Rõ ràng với ∀α , f ( x ) có đạo hàm tạo ∀x ≠ Ta phải tìm α để tồn f ' ( ) , tức tồn giới hạn lim x →0 f ( x ) − f ( 0) 1 = lim xα −1 sin x → x x Tương tự trên, giới hạn tồn α > Với α ≤ 1, ta chứng minh không tồn giới hạn 1 Thật lim xα −1 sin = lim ( t1−α sin t ) x →0 x t →∞ Dễ dàng chứng minh ñược giới hạn không tồn phản chứng Giả sử lim ( t 1−α sin t ) = M Tức ∀ε > 0,∃t0 : ∀t ≥ t0 t →∞ Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN t 1−α sin t − M < ε Hà Nội, tháng 8/2008 26 Cho t = kπ ⇒ M = điều khơng thể với t = π + k 2π , k > t0 2π 1− α π t 1−α sin t − M = + k 2π 2 không tồn giới hạn nhỏ ε ( ε đủ nhỏ) ðiều vơ lý dẫn đến Kết luận: α > Bài 5: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + xy, ∀x, y ∈ ℝ (1) ðặt g ( x ) = f ( x ) − x ⇒ (1) ⇔ f ( x + y ) − ( x + y ) = f ( x ) − x + f ( y ) − y 2 ⇔ g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y ) (2) Do f ( x ) có ñạo hàm liên tục ℝ nên g ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ Cho x = y = ⇒ g ( ) = g ( ) ⇒ g ( ) = Ta có: ( ) ⇔ g ( x + y) − g ( x) y = g ( y ) − g ( 0) y Cho y → ⇒ g ' ( x ) = g ' ( ) , ∀x ∈ ℝ ⇒ g ' ( x ) = c, ∀x ∈ ℝ ( c = const ) ⇒ g ( x ) = cx + d ( d = const ) ⇒ f ( x ) = x + cx + d Thay vào (1) ⇒ d = Vậy f ( x ) = x + cx Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹsưtàinăng năm 2002
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
1
Bài 1:
Cho bất phương trình :
x
1+|x|
≥ mx
2
+ x (1)
1/ Giải bất phương trình (1) khi m =2.
2/ Tìm m ∈ R lớn nhất sao cho bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x ∈ R.
Bài 2:
Cho dãy số {x
n
} xác định như sau :
x
1
= −
1
3
x
n+1
=
x
2
n
2
− 1 nếu n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy {x
n
} có giới hạn khi n →∞và tìm giới hạn đó.
Bài 3:
Cho các số thực a
0
,a
1
, ,a
2002
thỏa mãn :
a
0
=0
a
0
+
a
1
2
+
a
2
3
+ +
a
2002
2003
=0
Chứng minh rằng phương trình
a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
2002
x
2002
=0
có nghiệm trên đoạn [0, 1].
Bài 4:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f”(x) ≥ 0 trên toàn bộ R và
a ∈ R cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f (x)+(a − x)f
(x)
trên R.
1
Tài liệu đượ c soạn thảo lại bằng L
A
T
E
X2
ε
bởi Phạm duy Hiệp
LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ SưTàiNăng – 2002 Bài 1, Cho bất phương trình: 𝑥 1+ 𝑥 ≥ 𝑚𝑥 + 𝑥 (1) Giải bất phương trình (1) với 𝑚 = 2 Tìm 𝑚 ∈ ℝ lớn cho (1) nghiệm với ∀𝑥 ∈ ℝ Bài 2, Cho dãy số {𝑥𝑛 } xác định sau: 𝑥1 = − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛2 = , ∀𝑛 ≥ Chứng minh dãy số {𝑥𝑛 } có giới hạn 𝑛 → +∞ tìm giới hạn Bài 3, Cho số thực 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎2002 , thỏa mãn: 𝑎0 ≠ 𝑎1 𝑎2 𝑎2002 𝑎0 + + + ⋯ + =0 2003 Chứng minh phương trình: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + +𝑎2002 𝑥 2002 = có nghiệm ,0; 1- Bài 4, Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp hai 𝑓’’(𝑥) ≥ toàn ℝ 𝑎 ∈ ℝ cố định Tìm giá trị lớn hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑎 − 𝑥)𝑓’(𝑥) ℝ
ĐỀ THI MÔNTOÁNKỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ THỌ
Câu 1 (2đ)
a) Giải phương trình 2x – 5 =1
b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5
Câu 2 (2đ)
a) Giải hệ phương trình
72
33
yx
yx
b) Chứng minh rằng
7
6
23
1
23
1
Câu 3 (2đ)
Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2012-2013
Môn toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2
mà biểu thức
A = x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính
AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau
tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C)
sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.
a) CMR: ABC=DBC
b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.
c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng
d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn
MN có độ dài lớn nhất.
Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT
yxyxyxyx
yyx
2)324(12)142(
385
22
Hết
GỢI Ý GIẢI
Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 = 1
b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5
Đáp án a) x = 3 ; b) x > 2
Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình
72
33
yx
yx
b) Chứng minh rằng
7
6
23
1
23
1
Đáp án a) x = 2 ; y = – 3
b) VT =
7
6
2
9
2323
=VP (đpcm)
Câu 3 (2đ) Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
c) Giải phương trình khi m = 1
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2
mà biểu thức
A = x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Đáp án a) x
1
= 52 ; x
2
= 52
e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1
pt luôn có 2 nghiệm
Theo vi- ét ta có x
1
+ x
2
=2(m – 3) ; x
1
x
2
= –1
Mà A=x
1
2
– x
1
x
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 3x
1
x
2
= 4(m – 3)
2
+ 3
3
GTNN của A = 3
m = 3
Câu 4 (3đ)
Hướng dẫn
a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung
ABC = DBC (c-c-c)
b) ABC = DBC
góc BAC =BDC = 90
0
ABDC là tứ giác nội tiếp
c) Có gócA
1
= gócM
1
( ABM cân SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁPÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 10 Phần thứ Hai ðÁP ÁNKỳ thi chọn hệ KỹsưtàiKỹsư chất lượng cao Năm 1999 Mơn thi: Tốn Bài 1: x x ≠ x + f ( x) = 1+ e x x = 0 Trước tiên ta có lim f ( x ) = ⇒ hàm số liên tục x = x →0 Với x ≠ 0, f ' ( x ) = + 1 t t x = + + e + t.e , t = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁPÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 12 ðÁP ÁNKỳ thi chọn hệ KỹsưtàiKỹsư chất lượng cao Năm 2000 Môn thi: Toán Bài 1: Xét g ( x ) = x − ln (1 + x ) có g ' ( x ) = − > 0, x ∈ ( 0, +∞ ) 1+ x ⇒ g ( x ) ñồng biến ( 0, +∞ ) ⇒ g ( x ) > g ( ) = 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) Từ cách xác ñịnh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁPÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 15 ðÁP ÁNKỳ thi chọn hệ KỹsưtàiKỹsư chất lượng cao Năm 2001 Môn thi: Toán Bài 1: 1./ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x = ex (1 + x ) − x, x ∈ ( 0, +∞ ) Khi g ( x ) liên tục ( 0, +∞ ) và: e x ( x + 1) − 2e x ( x + 1) g '( x) = −1 ( x + 1) e ... chứng Giả sử lim ( t 1−α sin t ) = M Tức ∀ε > 0,∃t0 : ∀t ≥ t0 t →∞ Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN t 1−α sin t − M < ε Hà Nội, tháng 8/2008 26 Cho t = kπ ⇒ M = điều khơng thể với t = π + k... ) ⇒ f ( x ) = x + cx + d Thay vào (1) ⇒ d = Vậy f ( x ) = x + cx Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008