dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2007 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2003 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút 1 Bài 1: Tìm đa thức P (x) có bậc bé nhất, đạt cực đại tại x =1với P (1) = 6 và đạt cực tiểu tại x =3với P (3) = 2. Bài 2: Có tồn tại hay không một đa thức P (x) thỏa mãn hai điều kiện : i)P (x) ≥ P ”(x) ii)P (x) ≥ P ”(x) với mọi giá trị của x. Bài 3: 1/ Cho hàm số f(x) xác định và f (x) > 0 ∀x ∈ R. Biết rằng tồn tại x 0 ∈ R sao cho f(f(f(f(x 0 )))) = x 0 . Chứng minh rằng f(x 0 )=x 0 . 2/ Giải hệ phương trình : x = y 3 +2y − 2 y = z 3 +2z − 2 z = t 3 +2t − 2 t = x 3 +2x − 2 Bài 4: Cho dãy số {x n } thỏa mãn : x 1 =2 x 1 + x 2 + .+ x n = n 2 x n Tìm giới hạn : lim n→∞ (n 2 x n ) 1 Tài liệu được soạn thảo lại bằng L A T E X2 ε bởi Phạm duy Hiệp LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2003 Bài 1, Tìm đa thức 𝑃(𝑥) có bậc bé nhất, đạt cực đại 𝑥 = với 𝑃(1) = đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑃(3) = Bài 2, Có tồn hay không đa thức 𝑃(𝑥) thỏa mãn điều kiện: i) ii) 𝑃(𝑥) ≥ 𝑃’(𝑥) 𝑃’(𝑥) ≥ 𝑃’’(𝑥) Với giá trị 𝑥 Bài 3, Cho hàm số f(x) xác định 𝑓’(𝑥 ) > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ Biết tồn 𝑥0 ∈ ℝ cho 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 (𝑥0 ) / = 𝑥0 Chứng mihnh 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑥0 𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 − 𝑦 = 𝑧 + 2𝑧 − 𝑧 = 𝑡 + 2𝑡 − 𝑡 = 𝑥 + 2𝑥 − 2 Giải hệ phương trình: Bài 4, Cho dãy số {𝑥𝑛 } thỏa mãn: 𝑥1 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛2 𝑥𝑛 Tìm giới hạn: lim𝑛→∞ (𝑛2 𝑥𝑛 ) ĐỀ THI MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ THỌ Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 =1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình 72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1 Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4 (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N. a) CMR: ABC=DBC b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp. c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất. Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT yxyxyxyx yyx 2)324(12)142( 385 22 Hết GỢI Ý GIẢI Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 = 1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Đáp án a) x = 3 ; b) x > 2 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình 72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1 Đáp án a) x = 2 ; y = – 3 b) VT = 7 6 2 9 2323 =VP (đpcm) Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 c) Giải phương trình khi m = 1 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Đáp án a) x 1 = 52 ; x 2 = 52 e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1 pt luôn có 2 nghiệm Theo vi- ét ta có x 1 + x 2 =2(m – 3) ; x 1 x 2 = –1 Mà A=x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 3x 1 x 2 = 4(m – 3) 2 + 3 3 GTNN của A = 3 m = 3 Câu 4 (3đ) Hướng dẫn a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung ABC = DBC (c-c-c) b) ABC = DBC góc BAC =BDC = 90 0 ABDC là tứ giác nội tiếp c) Có gócA 1 = gócM 1 ( ABM cân tại B) gócA 4 = gócN 2 ( ACN cân tại C) gócA 1 = gócA 4 ( cùng phụ A 2;3 31 ðÁP ÁN Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài Kỹ sư chất lượng cao Năm 2007 Môn thi: Toán Bài 1: ( 1− x + x ) − x (1 − x ) = m (*) 1./ ðiều kiện: ≤ x ≤ ðặt t = − x + x t −1 x (1 − x ) = ⇒ t = + x (1 − x ) ⇒ t ≥ Và t = ( ) ≤ (1 + ) (1 − x + x ) = ⇒ t ≤ 1− x + x 2 Vậy ≤ t ≤ t −1 = m Thay vào (*) ta có: t − Khi m = t −1 t ⇔ − = ⇔ 2t − t − = () 2 ⇔ ( t − 1) ( 2t + t + 1) = ⇔ t = (1) x = Theo trên, t ≥ , dấu xảy ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = 0, x = t −1 2./ ðặt f ( t ) = t − , t ∈ 1, Phương trình (1) có nghiệm m nằm dải giá trị f ( t ) Ta có: f ' ( t ) = 3t − t = t ( 3t − 1) Do ≤ t ≤ ⇒ f ' ( t ) > 0∀t ∈ 1, ⇒ f (1) ≤ f ( t ) ≤ f ( ) ⇒ ≤ f (t ) ≤ 2− 1 Vậy với m ∈ 1, 2 − phương trình cho có nghiệm 2 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 32 Bài 2: π π 4 U n = ∫ x n −1 ( s inx ) dx, Vn = ∫ x n −1 ( cos x ) 2n n −1 dx 2n π 1./ Ta thấy ≤ U n ≤ ∫ x n −1dx = 2n π π Mà lim n →∞ 2n 2n = (do π < 1) ⇒ lim U n = n →∞ Tương tự, lim Vn = n →∞ π 2./ Với x ∈ 0, ≤ sinx, cos2 x ≤ 4 ⇒ ≤ x n −1 ≤ x, ≤ ( sinx ) ≤ sin x, ≤ ( cos2 x ) 2n n −1 ≤ cos2 x Vậy: π π 2U n + Vn = ∫ x n −1 ( (sinx ) 2n + ( cos2 x ) n −1 ) dx ≤ ∫ x ( 2sin x + cos2 x ) dx π = ∫ xdx = π2 32 Bài 3: f ( f ( x )) = ( x + 1) + 1./ Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ f ( f ( x1 ) ) = f ( f ( x2 ) ) ( x1 + 1) + = ( x2 + 1) + 5 ⇔ ( x1 + 1) + = ( x2 + 1) + ⇔ x1 = x2 ⇒ 5 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 33 2./ Theo câu 1./, f ( x ) ñơn ánh, kết hợp với f ( x ) liên tục ℝ ⇒ f ( x ) ñơn ñiệu ℝ Nếu f ( x ) ñơn ñiệu giảm ℝ ( ) ( ( )) > f ( x ) f ( f ( f ( x ) ) ) < f ( x ) (Do f ( x ) ñơn ñiệu giảm ℝ ) Từ giả thiết ta có f f ( x ) > x + > x ⇒ f f f ( x ) Và Mâu thuẫn suy f ( x ) ñơn ñiệu tăng ℝ ( ) Do lim f f ( x ) = +∞ nên lim f ( x ) = +∞ x →+∞ x →+∞ Ta có với x đủ lớn, < Mà lim ( f ( x ) + 1) f ( x + 1) f ( x) +1 f ( x) x →+∞ < ( f f ( f ( x )) f ( x) = lim ) = ( f ( x ) + 1) ( f ( x ) + 1) Theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có lim x →+∞ f ( x + 1) f ( x) +1 f ( x) +1 f ( x) f ( x ) →∞ = = Bài 4: Gọi H , K hình chiếu C, D xuống (P) I giao ñiểm CD, HK Ta có: B CA + AB + BD = I AB + CH + HA + DK + KB 2 2 K H P Vậy ta cần xác ñịnh A, B ñể A CH + HA2 + DK + KB ñạt giá trị nhỏ Theo BðT Mincopxki ta có: D CH + HA2 + DK + KB ≥ ( CH + DK ) + ( HA + KB ) 2 HA + AB + BK ≥ HK 2 ⇒ HA + KB ≥ HK − AB ⇒ ( HA + KB ) ≥ HK − a Mà AH + HK + KB ≥ AB Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 34 Dấu xảy khivà khi: A, H , K , B thẳng hàng (theo thứ tự a > HK , theo thứ tự H , K , A, B a < HK , A ≡ H , B ≡ K KHI a = HK ) và: HA CH IH IA IA CH a.CH = = = ⇒ = ⇒ IA = KB DK IK IB a CH + DK CH + DK Tóm lại: CA + AB + BD ñạt giá trị nhỏ A,H nằm phía so với I IA = a.CH CH + DK Bài 5: λ1cos ( k1 x ) + λ2 cos ( k2 x ) + + λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ (1) Quy nạp theo n Với n = , khẳng định tốn hiển nhiên ñúng Giả sử khẳng ñịnh ñã ñúng ñến n − Với n ðặt f ( x ) vế trái (1) Ta có: − f " ( x ) = k12 λ1cos ( k1 x ) + k22λ2cos ( k2 x ) + kn2λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x ) + kn2 f "( x ) = 0, ∀x ∈ ℝ n −1 ⇔ ∑ ( ki2 − kn2 ) λ1 cos ( ki x ) = 0, ∀x ∈ ℝ i =1 Theo giả thiết quy nạp ta có ( ki2 − kn2 ) λi = 0, ∀i = 1, n − Do ki , i = 1, n − số thực dương khác ⇒ λi = 0, ∀i = 1, n − ⇒ λn = Theo nguyên lý quy nạp ta có dpcm CHÚC CÁC BẠN ƠN TẬP TỐT Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2002 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút 1 Bài 1: Cho bất phương trình : x 1+|x| ≥ mx 2 + x (1) 1/ Giải bất phương trình (1) khi m =2. 2/ Tìm m ∈ R lớn nhất sao cho bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Bài 2: Cho dãy số {x n } xác định như sau : x 1 = − 1 3 x n+1 = x 2 n 2 − 1 nếu n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy {x n } có giới hạn khi n →∞và tìm giới hạn đó. Bài 3: Cho các số thực a 0 ,a 1 , ,a 2002 thỏa mãn : a 0 =0 a 0 + a 1 2 + a 2 3 + + a 2002 2003 =0 Chứng minh rằng phương trình a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 2002 x 2002 =0 có nghiệm trên đoạn [0, 1]. Bài 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f”(x) ≥ 0 trên toàn bộ R và a ∈ R cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f (x)+(a − x)f (x) trên R. 1 Tài liệu đượ c soạn thảo lại bằng L A T E X2 ε bởi Phạm duy Hiệp LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2002 Bài 1, Cho bất phương trình: 𝑥 1+ 𝑥 ≥ 𝑚𝑥 + 𝑥 (1) Giải bất phương trình (1) với 𝑚 = 2 Tìm 𝑚 ∈ ℝ lớn cho (1) nghiệm với ∀𝑥 ∈ ℝ Bài 2, Cho dãy số {𝑥𝑛 } xác định sau: 𝑥1 = − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛2 = , ∀𝑛 ≥ Chứng minh dãy số {𝑥𝑛 } có giới hạn 𝑛 → +∞ tìm giới hạn Bài 3, Cho số thực 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎2002 , thỏa mãn: 𝑎0 ≠ 𝑎1 𝑎2 𝑎2002 𝑎0 + + + ⋯ + =0 2003 Chứng minh phương trình: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + +𝑎2002 𝑥 2002 = có nghiệm ,0; 1- Bài 4, Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp hai 𝑓’’(𝑥) ≥ toàn ℝ 𝑎 ∈ ℝ cố định Tìm giá trị lớn hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑎 − 𝑥)𝑓’(𝑥) ℝ ĐỀ THI MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ THỌ Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 =1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình 72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1 Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4 (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N. a) CMR: ABC=DBC b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp. c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất. Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT yxyxyxyx yyx 2)324(12)142( 385 22 Hết GỢI Ý GIẢI Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 = 1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Đáp án a) x = 3 ; b) x > 2 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình 72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1 Đáp án a) x = 2 ; y = – 3 b) VT = 7 6 2 9 2323 =VP (đpcm) Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 c) Giải phương trình khi m = 1 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Đáp án a) x 1 = 52 ; x 2 = 52 e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1 pt luôn có 2 nghiệm Theo vi- ét ta có x 1 + x 2 =2(m – 3) ; x 1 x 2 = –1 Mà A=x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 3x 1 x 2 = 4(m – 3) 2 + 3 3 GTNN của A = 3 m = 3 Câu 4 (3đ) Hướng dẫn a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung ABC = DBC (c-c-c) b) ABC = DBC góc BAC =BDC = 90 0 ABDC là tứ giác nội tiếp c) Có gócA 1 = gócM 1 ( ABM cân SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 10 Phần thứ Hai ðÁP ÁN Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài Kỹ sư chất lượng cao Năm 1999 Mơn thi: Tốn Bài 1: x x ≠ x + f ( x) = 1+ e x x = 0 Trước tiên ta có lim f ( x ) = ⇒ hàm số liên tục x = x →0 Với x ≠ 0, f ' ( x ) = + 1 t t x = + + e + t.e , t = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 12 ðÁP ÁN Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài Kỹ sư chất lượng cao Năm 2000 Môn thi: Toán Bài 1: Xét g ( x ) = x − ln (1 + x ) có g ' ( x ) = − > 0, x ∈ ( 0, +∞ ) 1+ x ⇒ g ( x ) ñồng biến ( 0, +∞ ) ⇒ g ( x ) > g ( ) = 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) Từ cách xác ñịnh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/5/2009 (Đề thi gồm có 1 trang) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1 y x2 + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: () () () () 11 1 22 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 2. Tính tích phân: () 2 4 0 I2sinx1cosxdx π =+ ∫ 3. Cho tập hợp {} 2 Dx |2x3x90=∈ +−≤ \ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx 3x3=−+ trên D. Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a == , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng () 1 x1 y2 z5 d: 234 −+− == , () 2 x7 y2 z1 d: 32 2 −−− == − và điểm A(1; 1; 1) − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d cắt nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và () 2 d . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức () 3 12i 1i z 1i +−− = + 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng () 1 xy1z6 d: 12 3 −− == và () 2 x1 y2 z3 d: 11 1 −+− == − 1. Chứng minh rằng () 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa () 1 d và song song với () 2 d . Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và () 2 d . Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức 8 1i3 z 1i3 ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1 y x2 + = − 1.5 1) Tập xác định: {} D\2= \ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn và tiệm cận: Do x2 x2 lim y lim y − + → → ⎧ =−∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ =+∞ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C) và x x lim y 2 lim y 2 →−∞ →+∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C) b) Bảng biến thiên: Ta có: () ' 2 5 y0 xD x2 − =<∀∈ − x −∞ 2 +∞ y' − − y 2 +∞ −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng () ;2−∞ và () 2; +∞ . 3) Đồ thị: Giao điểm với Oy: 1 x0 y 2 =⇒=− . Suy ra (C) cắt Oy tại 1 0; 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Giao điểm với Ox: 1 y0 x 2 =⇔=− . Suy ra (C) cắt Ox tại 1 ;0 2 ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ -18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3 =− . 0.75 x2 x2 2x 1 y3 3 x1 2x 1 3x 6 x 1 x2 ⎧⎧ ≠≠ ⎪⎪ + ⎪⎪ =− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ +=− + = − ⎪⎪ ⎩⎩ . Suy ra: () M1; 3 (C)−∈ . 0.25 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là : () () 2 5 ky'1 5 12 − == =− − Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : () y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− − 0.25 0.25 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75 Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là: [] 000 111 222 0 1 2 2x 1 2x 1 5 Sdx dx2dx x2 x2 x2 2x 5 ln x 2 55 5 5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5 ln 2 1 5 ln 1 22 4 −−− − ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==−=−+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −− − =− 15 ðÁP ÁN Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài Kỹ sư chất lượng cao Năm 2001 Môn thi: Toán Bài 1: 1./ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x = ex (1 + x ) − x, x ∈ ( 0, +∞ ) Khi g ( x ) liên tục ( 0, +∞ ) và: e x ( x + 1) − 2e x ( x + 1) g '( x) = −1 ( x + 1) e ... + 1) + = ( x2 + 1) + 5 ⇔ ( x1 + 1) + = ( x2 + 1) + ⇔ x1 = x2 ⇒ 5 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 33 2./ Theo câu 1./, f ( x ) ñơn ánh, kết hợp với f ( x ) liên tục ℝ ⇒... (Do f ( x ) ñơn ñiệu giảm ℝ ) Từ giả thiết ta có f f ( x ) > x + > x ⇒ f f f ( x ) Và Mâu thuẫn suy f ( x ) ñơn ñiệu tăng ℝ ( ) Do lim f f ( x ) = +∞ nên lim f ( x ) = +∞ x →+∞ x →+∞ Ta có với... HA + KB ≥ HK − AB ⇒ ( HA + KB ) ≥ HK − a Mà AH + HK + KB ≥ AB Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008 34 Dấu xảy khivà khi: A, H , K , B thẳng hàng (theo thứ tự a > HK , theo