Đại số 10 phương trình và hệ phương trình

ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV: PHAN NHẬT NAM PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I lý thuyết: Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề  Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức – Nếu phương trình có chứa biểu thức cần điều kiện P(x)  P( x ) P ( x ) cần điều kiện P(x)  + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2  (1)  (2) S1 = S2 {(1) , (2) hai phương trình tương đương nhau}  (1)  (2) S1  S2 { (2) phương trình hệ (1)} Phép biến đổi tương đương  Nếu phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác  Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai II Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình  x  x   x  x   Giải: 1  x  x    x 1 Điều Kiện:  x 1  x  Thay x = vào phương trình ta thu “     12  2.1   ” mệnh đề Do phương trình có nghiệm x = Vậy tập nghiệm phương trình S  1 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau: x2  2 x 1   (1) x 1 x   22  x (2) Giải: Giải phương trình 1: Điều kiện: x   x  (loai ) x 1  x2  (1)    x2  x    x 1  x  2 (loai ) Do tập nghiệm (1) S1   Giải phương trình 2: x   x  x  (2)      không tồn x  R  x  2  x  ( x  4)  22  x x  x   Do tập nghiệm (2) S2   Từ ta có: S1  S2   nên (1) (2) hai phương trình tương đương (đpcm) III Bài tập áp dụng: Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) x  5  12  x4 x4 b) x  1  15  x 3 x 3 1 2  9  15  d) x  x 1 x 1 x 5 x 5 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: c) x  Bài a)   x  x  b) x 1   x x 1  x 1 d) x 1  1 x c) e) Bài a) c) Bài x  f) x   x  x   * x 1 x 1 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x  3( x  3x  2)  x b) x  1( x  x  2)  x2  x 3  x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó:   x 2 d)  a) x   x  b) x   x  c) x   x  d) x   x  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài a) c) Bài Bài Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x x 1 x 2 x   x b) x 1 x x 2 x 1 x 1 d) 2 x x 2  x2   x b  x2  x   x   x 2 x 1 1 x x 2 x  x  x 1 Tìm tập nghiệm phương trình: Giải phương trình: a  0 x Tìm m để hai phương trình sau tương đương x   3x  Bài , (m  1) x  (m  3) x  2m   Sử dụng phép biến đổi hệ để giải phương trình sau: 7  x  x x x a x2  b x   3x   x   x  PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I Lý thuyết: ax + b = (1) Hệ số Kết luận (1) có nghiệm x   a0 b0 (1) vô nghiệm b=0 (1) nghiệm với x b a a=0 Chú ý: Khi a  (1) đgl phương trình bậc ẩn II Bài tập áp dụng: Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) (m2  2)x  2m  x  b) m( x  m)  x  m  b) m( x  m  3)  m( x  2)  d) m2 ( x  1)  m  x(3m  2) e) (m2  m) x  x  m2  f) (m  1)2 x  (2m  5) x   m GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b, c: a) xa xb b   a (a, b  0) a b c) x  ab x  bc x  b2    3b (a, b, c  1) a 1 c 1 b 1 d) x bc x ca x ab    (a, b, c  0) a b c b) (ab  2) x  a  2b  (b  2a)x Bài Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm iii) Nghiệm với x  R ii) Vô nghiệm a) (m  2) x  n  b) (m2  2m  3) x  m  c) (mx  2)( x  1)  (mx  m2 )x d) (m2  m) x  x  m2  Giải phương trình sau: Bài a)  c) 10 50   x  x  (2  x )( x  3) x 1 x 1 2x 1   x  x  x 1 b) 2x 1 x 1  3x  x  x  3x  d) x  x  2 x  x  15  e) x 1 x 3 f) x2  x 3 ( x  1)   1 4x  (2 x  1)2 Giải biện luận phương trình sau: mx  m  mx  m  3 3 a) b) x2 xm Bài d) x m x 3  x 1 x  e) c) (m  1) x  m  m x 3 f) x  m x 1  2 x 1 x  m x xm  Giải biện luận phương trình sau: a) mx   b) mx  x   x  c) mx  x   x d) 3x  m  x  2m f) x  m  x  x x 1 Bài Bài Bài Bài e) x  m  x  m  Tím tất gia trị nguyên m để phương trình (m  1)( x  1)  x  m có nghiệm ngun Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : x  (2m  3) x  m  (1  m) x  3  Tìm m để phương trình GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2mx  x  m  x x có nghiệm www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tìm a, b để phuong trình sau với x  R a a  ( x  1)a  x  b  b (2a  1) x  3a   3x  b Bài 11 Tìm m để phương trình (2m  1) x  3m   3x  m có nghiệm thuộc khoảng (0, 3) Bài 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Lý thuyết: Cách giải ax2 + bx + c = (a  0)   b2  4ac Chú ý: (1) Kết luận >0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2  =0 (1) có nghiệm kép x    Dạng 3: Ứng dụng định lí Vi–et: Biểu thức đối xứng nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S  x1  x2   ; P  x1 x2  để biểu diễn biểu thức đối xứng a a nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ: x12  x22  ( x1  x2 )2  x1x2  S  2P x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1x2 ( x1  x2 )  S  3PS Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b c S  x1  x2   ; P  x1 x2  (S, P có chứa tham số m) a a Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: x  Sx  P  , III Bài tập áp dụng: S = u + v, P = uv Bài Giải biện luận phương trình sau: a x  5x  3m   b x  12 x  15m  c x  2(m  1) x  m2  d (m  1) x  2(m  1) x  m   e (m  1) x  (2  m) x   f mx  2(m  3) x  m   Bài Giải biện luận phương trình: a mx3  (4m  1) x  (m  5) x  6m   mx  2(m  1) x  8m   x  b Bài Cho biết nghiệm phương trình Tìm nghiệm lại: a x  mx  m   0; x   b x  3m2 x  m  0; x  c (m  1) x  2(m  1) x  m   0; x  d x  2(m  1) x  m2  3m  0; x  Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt Bài GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x  5x  3m   b) x  12 x  15m  c) x  2(m  1) x  m2  d) (m  1) x  2(m  1) x  m   e) (m  1) x  (2  m) x   f) mx  2(m  3) x  m   g) x  x  m   h) (m  1)x  2(m  4)x  m   Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: A = x12  x22 ; B = x13  x23 ; C = x14  x24 ; D = x1  x2 ; E = (2 x1  x2 )(2 x2  x1 ) a) x  x   b) x  3x   c) 3x2  10 x   d) x  x  15  e) x  5x   f) 3x  5x   Bài (Trích TSĐH Khối A - 2003) Tìm m để đồ thị (C) hàm số y  mx  x  m cắt trục hoành x 1 hai điểm có hồnh độ dương Bài (Trích TSĐH Khối A - 2003) Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị (C) d tương ứng x2  2x  d: y  mx   2m x2 Bài (Trích TSĐH Khối B - 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: hàm số sau (C): y  x  mx   x  Bài (Trích TSĐH Khối D - 2006) Gọi d đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): y  x3  3x  ba điểm phân biệt Bài 10 (Trích TSĐH Khối D - 2009) Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (C) hàm số x2  x  m hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung x Bài 11 (Trích TSĐH Khối A - 2010) Tìm m để phương trình : x3  x  (1  m) x  m  có ba nghiệm y x1 , x2 , x3 cho x12  x22  x32  Bài 12 (Trích TSĐH Khối A - 2011) Tìm m để phương trình: x1 , x2 cho f   x 1  x  m có hai nghiệm phân biệt 2x 1 1 đạt giá trị lớn  (2 x1  1) (2 x2  1) Bài 13 Cho phương trình: (m  1) x  2(m  1) x  m   (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 14 Cho phương trình: x  2(2m  1) x   4m  (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13  x23 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 , x22 HD: a) m  d) m  1 2 b) x1  x2  x1x2  1 c) A = (2  4m)(16m2  4m  5) e) x  2(8m2  8m  1) x  (3  4m)2  Cho phương trình: x  2(m  1) x  m2  3m  (*) a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại Bài 15 b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12  x22  HD: a) m = 3; m = b) ( x1  x2 )2  2( x1  x2 )  x1x2   c) m = –1; m = Bài 16 Cho phương trình: x  (m2  3m) x  m3  a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = b) x2  1; x2   7; x2  5  Bài 17 (nâng cao) Cho phương trình: x  x sin   x  cos2  ( tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với  b) Tìm  để tổng bình phương nghiệm phương trình đạt GTLN, GTNN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Lý thuyết: Định nghĩa tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối A A   A   A  0, A  A A0   A.B  A B  A  A2  A  B  A  B  A.B   A  B  A  B  A.B   A  B  A  B  A.B   A  B  A  B  A.B  Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ  f ( x)  C2  g( x )  C1    f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  Dạng 1: f ( x )  g( x )      f ( x )    f ( x )   g( x )   f ( x )  g( x ) C1 2  Dạng 2: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x ) C  f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )  Dạng 3: a f ( x )  b g( x )  h( x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải Phương trình chứa Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định  Dạng 1: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )  g( x )   f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x )    f ( x )  (hay g( x )  0) t  f ( x ), t  Dạng 3: af ( x )  b f ( x )  c     at  bt  c  Dạng 2: Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x )  Đặt u  f ( x ), v  g( x ) với u, v   Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v Dạng 5: f ( x )  g( x )  f ( x ).g( x )  h( x ) Đặt t  f ( x )  g( x ), t  phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = (a  0) t  x , t  a Cách giải: ax  bx  c  (1)   at  bt  c  (2) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH b Số nghiệm phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng (2) vô nghiệm  (1) vơ nghiệm  (2) có nghiệm kép âm  (2) có nghiệm âm (2) có nghiệm kép  (1) có nghiệm   (2) có nghiệm 0, nghiệm lại âm (2) có nghiệm kép dương  (1) có nghiệm   (2) có nghiệm dương nghiệm âm  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 0, nghiệm lại dương  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm dương phân biệt c Một số dạng khác phương trình bậc bốn  Dạng 1: ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  K , với a  b  c  d – Đặt t  ( x  a)( x  b)  ( x  c)( x  d )  t  ab  cd – PT trở thành: t  (cd  ab)t  K   Dạng 2: ( x  a)4  ( x  b)4  K ab ab ba , xbt  xat 2  ab – PT trở thành: 2t  12 2t  2  K   với      – Đặt t  x   Dạng 3: ax  bx3  cx  bx  a  (a  0) (phương trình đối xứng) – Vì x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x , ta được:    1 PT  a  x    b  x    c  (2) x x2    – Đặt t  x  x  1  hoaëc t  x   với t  x  – PT (2) trở thành: at  bt  c  2a  ( t  2) II Bài tập áp dụng: Bài Giải phương trình sau: a) x   x  d) x2  6x   2x  g) x   x  x   x  b) x   x  c) x  x   e) x  x   x  17 f) x  17  x  x  h) x   x   x   14 i) x    x  x Bài Giải biện luận phương trình sau: a) mx   b) mx  x   x  c) mx  x   x d) 3x  m  x  2m e) x  m  x  m  f) x  m  x  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: a) x   x  b) x    x d) x  x   x  x  c) x   x   3x e) x   x  x   f) x    x  10 Bài Giải phương trình sau: a) x  x  x    b) x  x  x    c) x  x  x    d) x  x  x   e) x  x  x    f) x  x  x   10  Bài Giải phương trình sau: a) 2x   x  b) 5x  10   x c) x  x   d) x  x  12   x e) x2  2x    x f) x  x   x  g) 3x  x   x  h) x  x  10  x  i) ( x  3) x   x  Bài Giải phương trình sau: a) x  x   x  x  b) c) ( x  4)( x  1)  x  5x   d) ( x  5)(2  x )  x  3x e) x  x  11  31 f) x  x   (4  x )( x  2)  ( x  3)(8  x )  26   x  11x Bài Giải phương trình sau: a) x 1  x 1  b) 3x   x   c) x2   x2   d) 3x  5x   3x  5x   e)  x   x  f) x  x   x  8x   g) x   x  13  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 h) 12  x 1   x 1  www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: a) x    x   ( x  3)(6  x ) b) x   x   x  (2 x  3)( x  1)  16 c) x    x  ( x  1)(3  x )   x   x  (7  x )(2  x )  e) x    x  ( x  1)(4  x )  f) g)  x  x2  x   x d) h) 3x   x   x   x  x  x   x   x2  9x  Bài Giải phương trình sau: a) x   2 x   x   x   14 b) x   x 1  x   x 1  c) 2x  2x 1  2x   2x 1  x   x 1  Bài Giải phương trình sau: a) x  3x   b) x  5x   c) x  5x   d) 3x  5x   e) x  x  30  f) x  7x   Bài Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm ii) Có nghiệm iv) Có nghiệm v) Có nghiệm a) x  (1  2m) x  m2   iii) Có nghiệm b) x  (3m  4)x  m2  c) x  8mx  16m  Bài Giải phương trình sau: a) ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  297 b) ( x  2)( x  3)( x  1)( x  6)  36 c) x  ( x  1)4  97 d) ( x  4)4  ( x  6)4  e) ( x  3)4  ( x  5)4  16 f) x  35x3  62 x  35x   g) x  x3  x  x   GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc x  10 x    x  x x  x 1  x  x 1  ( x  5)(2  x)  x  3x x x  2x  x3 4 2x  x  x    x  4x   x x 1 2 3 x 1 x x  x2 1  x  x2 1  x   x   3x  x 1 x  x2  x  1 x x    x   x  x  63 10 Bài 10 Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: x2  x2 x 2 1 x a (D - 2006) x   x  3x   b (D - 2013) c (B – 2012) x   d (D - 2011)  x   x  x2  4x   x f (A 2009) 3x    x   e (B - 2011)  x   x  4  x  10  3x Bài 11 Giải phương trình sau phép nhân liên hợp: a (B - 2010) 3x    x  3x  14 x   b (Tích B - 2013) 3x  x   3x   x  x2  2x    x  1 c (TNTHPTQG - 2015) x  2x   x2 2  d (Trích A - 2014) x  x   10  x e (Tích B - 2014) x  x    x HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I Lý thuyết: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14  x2 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH a x  b1y  c1 (a12  b12  0, a22  b22  0) Hệ phương trình bậc hai ẩn  a x  b y  c  2 Giải biện luận: a b c b a c Dx  1 , Dy  1 Tính định thức: D  1 , a2 b2 c2 b2 a2 c2 Xét D Kết  Dy  D Hệ có nghiệm  x  x ; y    D D  D0 Dx  Dy  Hệ vô nghiệm D=0 Dx = Dy = Hệ có vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn II Bài tập áp dụng: Bài Giải hệ phương trình sau: 5 x  y  2 x  y  11 a)  b)  7 x  y  5 x  y    1 x  y   d)  2 x    1 y  2 3  x  y  16 e)   x  y  11 2 Bài Giải hệ phương trình sau: 1  x  y  18 a)  b)    51  x y 2 x   y   d)  5 x   y    10  x   y     25    x  y  2 x  y  x  y  e)  3 x  y  x  y  17 3x  y  c)  6 x  y   x  y  f)  5x  y   27 32  x  y  x  3y  c)   45  48  1  x  y x  3y 4 x  y  x  y  f)  3 x  y  x  y  Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH mx  (m  1)y  m  a)  x  my    mx  (m  2)y  b)  ( m  2) x  (m  1)y   (m  1) x  y  3m  c)   (m  2) x  y   m  (m  4) x  (m  2)y  d)  (2m  1) x  (m  4) y  m (m  1) x  y  m   mx  y  m  e)  f)  2 m x  y  m  2m 2 x  my  2m   Bài Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Tìm m  Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên (m  1) x  y  m  a)  m x  y  m  2m   mx  y  b)  x  4( m  1)y  4m  mx  y   c)   x  my  2m   Bài Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m  mx  y  m  a)  2 x  my  2m  6mx  (2  m)y  b)   (m  1) x  my  Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ax  y  b  y  ax  b a)  b)  3x  y  5 2 x  y  (a  b) x  (a  b)y  a d)  (2a  b) x  (2a  b)y  b 2  e) ax  by  a  b bx  ay  2ab Bài Giải hệ phương trình sau: 3 x  y  z   a) 2 x  y  2z  b)  x  y  3z   x  3y  z   2 x  y  z  3 x  y  z  mx  (m  1)y  m  c)  x  my   ax  y  a  b c)   x  2y  a  ax  by  a  b f)   bx  b y  4b  x  3y  2z  7  c) 2 x  y  3z  3x  y  z  HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH I lý thuyết: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x))  g( x, y)  (Có nghĩa ta hoán vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi)  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P  Giải hệ (II) ta tìm S P  Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X  SX  P  Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  (1) Hệ có dạng: (I)  f ( y , x )  (2)  (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại)  f ( x, y)  f ( y, x )  (3)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (I)   (1)  f ( x, y)  x  y  Biến đổi (3) phương trình tích: (3)  ( x  y).g( x, y)     g( x, y)   f ( x, y)   x  y  Như vậy, (I)      f ( x , y )    g( x , y )   Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai a x  b xy  c y  d 1 Hệ có dạng: (I)  2 a2 x  b2 xy  c2 y  d2  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi x  0, đặt y  kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0  y0 II Bài tập áp dụng: Bài Giải hệ phương trình sau:  a)  x  y   x  2y   b)  x  xy  24 2 x  y   3 x  y   d)  x  xy  y  x  3y   e)   xy  3( x  y )  2 x  y  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17  c) ( x  y )  49 3 x  y  84 2 x  y  f)   xy  x  y   www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 x  y  h)  2 3 x  y  y   g)  y  x  x 2 x  y   Bài Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x  y  m x  y  a)  b)  2 x  y  2x  x  y  m Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y  11 a)  2  x  y  xy  2( x  y )  31  x y 13    d)  y x  x  y  2 x  y  i)  2  x  xy  y  3 x  y  c)  2 x  y  m  xy  x  y  c)  2 x  y  x  y  x  y  b)  2  x  xy  y  13 3  e)  x  x y  y  17  x  y  xy   x  x y  y  481 f)  2  x  xy  y  37 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau:  x  y  xy  m x  y  m 1 ( x  1)( y  1)  m  a)  b)  c)  2  xy( x  y)  4m  x  y   2m  x y  xy  2m  m  Bài Giải hệ phương trình sau:  x  x  y a)   y  3y  x  x  y  x  y b)  2  y  x  y  x  x  x  y c)   y  y  x  y x  3y    x d)  x  y  3x  y    y2  3y   x2 e)  3 x  x   y2   2 x  y  y f)  2 y  x   x Bài Giải biện luận hệ phương trình sau:  x  x  my  x (3  y )  m(3  4m )  xy  x  m( y  1) a)  b)  c)  2  y  3y  mx  y(3  x )  m(3  4m )  xy  y  m( x  1) Bài Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y  1 a)  2 3 x  xy  3y  13 2 x  xy  y  1 b)  2 3 x  xy  y  3 x  xy  y  38 d)  2 5 x  xy  3y  15 Bài  x  xy  3y  e)  2  x  xy  5y  Giải biện luận hệ phương trình sau:  x  mxy  y  m  xy  y  12 a)  b)  2  x  (m  1) xy  my  m  x  xy  m  26 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225  y  xy  c)  2  x  xy  y  18 3 x  xy  y  f)  2 5 x  xy  y   x  xy  y  m c)   y  xy  www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài Giải biện luận phương trình sau: b) (a  b)2 x  2a2  2a(a  b)  (a2  b2 ) x a) m2 x  4m   x  m2 d) a(ax  b)  4ax  b2  c) a2 x  2ab  b2 x  a2  b2 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) c) Bài Bài 2x  m x  m 1  1 x 1 x 2mx  x 1  x 1  b) m 1 d) x   x   m x 1 Giải biện luận phương trình sau: a) x  12 x  15m  b) x  2(m  1) x  m2  b) x  mx  m   d) x  2(m  2) x  m(m  3)  Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm lại: a) x  mx  m   0; x0   Bài m2 x  m x  2m  x 1 b) x  3m2 x  m  0; x0  Trong phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả: x13  x23  ; x12  x22  a) x  2(m  2) x  m(m  3)  Bài b) x  2(m  1) x  m2  c) x  2(m  1) x  m2   d) (m  2)x  2(m  1)x  m   e) (m  1)x  2(m  4)x  m   f) x  x  m   Trong phương trình sau, hãy: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH i) Giải biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m Bài a) x  (m  1) x  m  b) x  2(m  2) x  m(m  3)  c) (m  2)x  2(m  1)x  m   d) x  2(m  1) x  m2   Giải phương trình sau: a) x  x   12 b) x  x  11  31 c) 16 x  17  x  23 d) x  x   3( x  4) f) 51  x  x   x h) x    3x  3x  x   x   e) g) ( x  3) x   x  Bài Giải phương trình sau: a)  10  3x  x  b) x   x   2x  c) 3x   x   x  d) x  3x   x  3x   e) x   x   3x  f) 3x    x  x  h) x 1 1  x  x 1  x  x 1  b) x  x 1  x  x 1  x  x2   x  x2   d) x  x  x  x  13  g) x   x   x   Bài x x8 Giải phương trình sau: a) c) e) x  x  3x   3x  f) x  x  x    x g) x  x  x   x  h) x  x  x   23  x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 x 3 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 10 Trong hệ phương trình sau: i) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m mx  y  m  a)  2 x  my  2a  mx  y  3m b)   x  my  2m   x  2y   m c)  2 x  y  3m  2 x  y  d)  2 y  x  10m  Bài 11 Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y  1 a)  2  x y  y x  6  x  y  b)  2  x  x y  y  13  x y  y x  30 c)  3  x  y  35  x  y3  d)  5 2  x  y  x  y  x  y  xy  e)  4 2  x  y  x y  21  x  y  xy  11 f)  2  x  y  3( x  y )  28 Bài 12 Giải hệ phương trình sau:  ( x  y )(1  xy )   a)  ( x  y )(1  )  49  x y2  y( x  1)  x ( y  1)   b)   x  y     24  2  x y     1 x  y  x  y   c)  1  x  y2   4  x y2  x y    2  d)  x  y  ( x  y )(1  )   xy 2 x y  y x  y  x  xy  e)  y x  xy  xy  x  y     xy  xy   f)  ( x  y )     xy      Bài 13 Giải hệ phương trình sau:  x  x  y b)   y  y  x  x  x  y a)   y  3y  x  2 x  y   e)  2 y  x    2 x  y  y d)  2 y   x  x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 x2 y2  x  x  8y c)   y  3y  x  y2  3y   x2 f)  3 x  x   y2  www.toanhocdanang.com ... tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn II...  HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH I lý thuyết: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  Từ phương trình. ..PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I lý thuyết: Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề  Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình