SKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệm

SKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệmSKKN Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm khi giải phương trình lượng giác tồn tại điều kiện để phương trình có nghiệm

Rèn luyện cho học sinh cách lấy nghiệm giải phương trình lượng giác tờn tại điều kiện đê phương trình có nghiệm I/ Đặt vấn đề: • Một mục đích việc dạy học tốn, rèn luyện cho học sinh học sinh học kỹ giải dạng tốn • Rèn luyện giải tốn ngồi việc để làm đề thi tốt nghiệp, Đại học, rèn luyện cho học sinh tư logic, cách phát vấn đề, nhận biết vấn đề cách giải vấn đề Như cách giáo dục tốt cho người thời đại • Trong chương trình phổ thơng nay, chun đề :”Giải phương trình lượng giác” vấn đề không mới, nhiên gặp tốn giải phương trình lượng giác có điều kiện học sinh thường khó khăn việc so sánh nghiệm với điều kiện toán Rất nhiều học sinh, khơng học sinh trung bình, chí học sinh giỏi bối rối suy luận dài dòng việc kiểm tra lại điều kiện nghiệm xem có thỏa mãn khơng? • Tất lý sở để chọn đề tài II/ Nội dung đề tài: Thực trạng vấn đề: - Khi gặp tốn giải phương trình lượng giác có điều kiện, học sinh thường bối rối, hoăc ln làm theo 1cách quen thuộc Dẫn đến cách làm dài, nhiều thời gian, chí không mang lại kết kết sai - Đây chuyên đề mà đề thi Đại học có Phương pháp giải quyết: 1 - Đề tài sử dụng phương pháp khái quát, gợi mở vấn đề, phân tích vấn đề Đối tượng: Học sinh lớp 12P, 11I, 11C trường T.H.P.T Ba Đình Cách thức thực hiện: Đề tài đưa phương pháp chung - Cho ví dụ, phân tích phương pháp - Đưa tập Nội dung: Cơ sở phương pháp là: Khi giải phương trình lượng giác có điều kiện, đặt điều kiện( điều kiện có hướng làm: giải cụ thể, không giải mà chuyển điều kiện biểu thức lượng giác đó) Cịn giải phương trình lượng giác mà muốn so sánh điều kiện ( có hướng: giải nghiệm cụ thể, đưa phương trình ẩn biểu thức có điều kiện ) Như có phương pháp để so sánh điều kiện toán,cụ thể: PHƯƠNG PHÁP 1: Biến đổi điều kiện toán phương trình lượng giác thông qua hàm số lượng giác - Cách làm: Lập điều kiện toán Giải biến đổi phương trình ẩn xuất điều kiện So sánh Ví dụ1 Giải phương trình cos x − cos x − cos x − tan x = cos x Bài giải : * Điều kiện : cos x ≠ * Phương trình cho tương đương: cos x − − tan x = − cos x − − tan x 2 cos x = −1 ⇔ cos x + cos x − = ⇔  cos x =  2 Đối chiếu với điều kiện hai giá trị thoả mãn Vậy phương trình có x=± nghiện x = π + k 2π ; π + k 2π (k ∈ Z) (Như điều kiện toán không giải, mà để dạng điều kiện cos x giải ta biến đổi phương trình ẩn cosx , giải giá trị cosx so sánh) Ví dụ Giải phương trình + tan ( − sin x= ) x sin x cos x Bài giải : * Điều kiện: cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 (*) * Phương trình cho tương đương: sin x + cos x = ( − sin 2 x ) sin 3x ⇔ − 2sin x cos x = (2 − sin x) sin x ( ) ⇔ − sin x = 2 − sin x sin x ⇔ (2 − sin x)(1 − sin x ) = ⇔ sin x = (2) ⇔ sin x − sin3 x = (**) Lấy (*) vào (**) không thoả mãn nên nghiệm (2) nghiệm của phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 5π 2kπ + 18 x = π 18 + 2kπ ; (k ∈ Z) (Như điều kiện tốn khơng giải, mà để dạng điều kiện sin x giải ta biến đổi phương trình ẩn sinx , giải giá trị sinx so sánh) Ví dụ Giải phương trình 1 + = cos x sin x sin x Bài giải : * Điều kiện:  cos x ≠  sin x ≠ ⇔ sin x ≠    sin x ≠ ±1   sin x ≠ sin x ≠ ±   * Phương trình cho tương đương: 4sin x cos x + cos x = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x − 1) =   sin x = ⇔ sin x = −1  1 sin x =  sin x =  Đối chiếu với điều kiện ta thoả mãn Vậy nghiệm phương trình là: x= 5π π + k 2π + k 2π x = 6 ; (k ∈ Z) (Như điều kiện toán không giải, mà để dạng điều kiện sin x giải ta biến đổi phương trình ẩn sinx , giải giá trị sinx so sánh) 4 Ví dụ Giải phương trình sin x + cos x = cos x − sin x Bài giải: * Điều kiện: − sin x ≠ ⇔ ( cos x − sin x ) ≠ ⇔ cos x − sin x ≠ cos x − sin x sin x + cos x = (cos x − sin x ) * Phương trình cho tương đương: ⇔ ( sin x + cos x ) 1 −   =0⇔ cos x − sin x  sin x + cos x =  cos x − sin x =  Dễ thấy giá trị ẩn thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm : x = k 2π ; x=− π + kπ x=− π + kπ ; (k ∈ Z) (Như điều kiện tốn khơng giải, mà để dạng điều kiện của: cosx-sin x giải ta biến đổi phương trình ẩn: cosx-sin x , giải giá trị :cosx-sin x so sánh, cịn lượng cịn lại ta quy việc so sánh cosx với sinx -sinx) Ví dụ Giải phương trình sin x + cos x = cos x π  π  tan  − x  tan  + x  4  4  Bài giải: π  π  π  π  π tan  − x  tan  + x  =  − x +  + x = 4  4   4  nên Do:  5  π  cos + x  ≠   4  ⇔  cos π − x  ≠   * Điều kiện:   π  π  cos − x  cos + x  ≠ ⇔ cos x ≠ 4  4  * Phương trình cho tương đương: sin 2 x + cos 2 x = cos 4 x ⇔ − sin 2 x cos 2 x = cos 4 x ⇔ 1− ( − cos x ) = cos 4 x ⇔ cos 4 x − cos x − =  cos x =  sin x = ⇔ ⇔ sin x = ⇔  cos x = − (vn) cos x = Đối chiếu với điều kiện sin x = thoả mãn nghiệm phương trình x= kπ (k ∈ Z) (Như điều kiện tốn khơng giải, mà để dạng điều kiện cos2x hay sin2x giải ta biến đổi phương trình ẩn cos2x hay sin2x , giải giá trị sin2x hay cos2x so sánh) PHƯƠNG PHÁP 2: Cùng giải điều kiện toán lấy nghiệm cụ thê phương trình lượng giác so sánh cách -Cách làm: Lập giải điều kiện toán Lấy nghiệm phương trình lượng giác So sánh nghiệm theo cách ( Dùng kiến thức phương trình vơ định, phân tích thành họ nghiệm hay biểu diễn đường trịn lượng giác ) Ví dụ Giải phương trình tan x + cot x = cot x Bài giải : 6  cos x ≠ kπ  sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔ x ≠ sin x ≠ * Điều kiện:  (k ∈ Z) * Phương trình cho tương đương: sin x cos x 2cos x sin x sin x + cos x cos x cos x + = ⇔ = cos x sin x sin x cos x sin x 2sin x cos x ⇔ cos( x − x ) cos x kπ = ⇔ cos x = cos x ⇔ x = ±2 x + k 2π ⇔ x = cos x cos x Ta có Cịn x= x≠ x= kπ chia tách thành 16 họ ứng với k = 0;15 π kπ x = + k 2π 3 tách thành họ gồm : x = k 2π ; ; 2π 5π 4π + k 2π + k 2π x= + k 2π x = 3 ; x = π + k 2π ; ; (k ∈ Z) Đối chiếu với điều kiện ta có: phương trình có nghiệm x= x= π + k 2π ; ; 5π 2π 4π + k 2π + k 2π x = + k 2π x = 3 ; ; (nghiệm thu gọn thành hai họ : x= π 2π + kπ x = + kπ 3 ; ) (k ∈ Z) (Như điều kiện toán giải cụ thể tách thành họ nghiệm k 2π nghiệm phương trình ta tách họ nghiệm k 2π ,rồi so sánh) Ví dụ 7: Giải phương trình cos x(cos x + sin x) + sin x(sin x + ) =1 sin x − 7 Bài giải: π  x ≠ + k 2π  π x ≠ + kπ ⇔  5π x ≠ + k 2π  * Điều kiện: sin2x ≠ ⇔ (k ∈ Z) * Phương trình cho tương đương: cos x + sin x cos x + sin x + sin x = sin x − 2 ( − sin x ) + sin x + sin x + = ⇔ ⇔ sin x + sin x + = π  x = − + k 2π (tm )   5π x = + k 2π (loai )  ⇔ sin x = −   sin x = − (loại) ⇔ Vậy phương trình có nghiệm: x=− π + k 2π , (k ∈ Z) (Như điều kiện toán giải cụ thể tách thành họ nghiệm k 2π nghiệm phương trình ta tách họ nghiệm k 2π ,rồi so sánh) Ví dụ 8: Giải phương trình cot x − tan x + sin x = sin x Bài giải : * §iỊu kiƯn: sin2x ≠ ⇔ x≠ kπ (k ∈ Z) * Phương trình cho tương đương: cotx - tanx + 4sin2x = sin x cos x sin x − + sin x = cos x sin x ⇔ sin x 8 cos x − sin x + sin x = sin x cos x sin x ⇔ ⇔ 2cos2x + 4sin22x = (do sin2x ≠ 0) ⇔ cos2x = - 2sin22x ⇔ cos2x = cos4x  x = kπ (loai )  lπ  x= ⇔ 4x = ± 2x +k2π ⇔  lπ kπ ≠ ⇔ 2l ≠ 3k (l, k ∈ Z) ⇒ l ≠ 3m (m ∈ Z ) π  x = ± + k 2π    (3m + 1)π  π 2π + k 2π  x =  x = + mπ x = ± 3  (3m + 2)π ⇔  2π  π  x= x =  x = + mπ + k 2π   3  Vậy: (k ∈ Z) hay  (m ∈ Z) (Như điều kiện toán giải cụ thể khơng tách thành họ nghiệm ví dụ nghiệm phương trình ta khơng tách họ nghiệm ,mà ta so sánh giải phương trình vơ định tập hợp số ngun ,rồi lấy kết quả.) Ví dụ 9: = sin x cos x Giải phương trình : Bài giải * Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ k + kπ (k ∈ Z) * Phương trình cho tương đương:  sin x ≥  sin x ≥  sin x ≥  sin x ≥ π kπ = sin x ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ = sin x 1 = sin 2 x cos x =  x = + cos x   cos x  tìm cosx ≠ 0: π kπ π + = + lπ (k,l ∈ Z) ⇔ 1+ 2k = + 8l ⇔ 8l = 2k - (vô lý) π   x = + k 2π  π π  x = + + k 2π  π  x = + π + k 2π   π 3π + k 2π x = +  ⇔ π  x = + k 2π   3π x = + k 2π   x = 5π + k 2π   7π + k 2π x =  ⇔ (k ∈ Z) (Như điều kiện toán giải cụ thể không tách thành họ nghiệm ví dụ nghiệm phương trình ta khơng tách họ nghiệm ,mà ta so sánh giải phương trình vơ định tập hợp số nguyên ,rồi lấy kết quả.) PHƯƠNG PHÁP 3: Giải điều kiện, thay vào phương trình tương đương với phương trình cho - Cách làm: Giải điều kiện toán Biến đổi phương trình cho Thay giá trị x khơng thỏa mãn điều kiện vào phương trình tương đương xem có thỏa mãn khơng? Ví dụ 10: Giải phương trình sin x + 1 10 + cos x + = sin x cos x Bài giải : 10 10   x ≠ k 2π  sin x ≠  π ⇔  x ≠ ± + k 2π  cos x ≠   x = π + k 2π * Điều kiện:  * Phương trình cho tương đương: ⇔ (k ∈ Z) (sin x + cos x ) + (sin x + cos x) sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x 10 = sin x cos x 10 sin x cos x (1) t −1 (t ≤ 2) ⇒ sin x cos x = 2 Đặt: sinx + cosx = t Phương trình (1) trở thành: 3t3 - 10t2 + 3t + 10 = ⇔ (t - 2)(3t2 - 4t - 5) =   t = 2(loai )  + 19 t = (loai )   − 19 (tm ) t= ⇔ π  x = α − + k 2π  − 19 − 19 t= ⇒ sin x + cos x = ⇔ 3π 3 x = − α + k 2π  (α: góc cho: sinα = (k ∈ Z) − 19 )  x = k 2π  π  x = ± + k 2π  x = π + k 2π Nghiệm toán thỏa mãn điều kiện thay giá trị  vào phương trình (1) khơng sảy nên nghiệm ln thỏa mãn điều kiện tốn (Như điều kiện toán giải cụ thể thay giá trị vào phương trình tương đương xem có thỏa mãn khơng, khơng thỏa mãn 11 11 nghiệm giải phương trình khác giá trị hay thỏa mãn) PHƯƠNG PHÁP 4: Lấy nghiệm phương trình thử trực tiếp vào điều kiện toán - Cách làm: Lấy điều kiện tốn Tìm nghiệm phương trình Lấy nghiệm phương trình thay vào điều kiện tốn Ví dụ 11: Giải phương trình 1 + = cos x sin x sin x Bài giải : * Điều kiện: sin x ≠ * Phương trình cho tương đương: 1 1 + = ⇔ + = cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x  x = k 2π π π  π ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x +  = sin ⇔  x = + k 2π 4    (k∈ Z) + Với x = k 2π + Với 2x = vào điều kiện sin x = π + k 2π vào điều kiện cos x = Như phương trình cho vô nghiệm 12 12 ( Ta lấy nghiệm phương trình thay trực tiếp vào điều kiện tốn mà khơng cần giải điều kiện tốn) Ví dụ 12: Giải phương trình = tan x + cot x ( sin x − cos x ) cot x − Bài giải : cos x ≠   sin x ≠   sin x ≠  sin x − cos x ≠ * Điều kiện:  (*) * Phương trình cho tương đương: ( ) sin x = − sin x ⇔ sin x cos x + =  sin x = ⇔ cos x = −  + Rõ ràng sin x = vi phạm điều kiện toán + Với : 3π  x = + k 2π  cos x = − ⇔  3π  x2 = − + k 2π  Thay x1 ; x vào hệ (*) thấy Vậy nghiệm phương trình x1 = x= 3π + k 2π thoả mãn 3π + k 2π (k ∈ Z) (Ta lấy nghiệm phương trình thay trực tiếp vào điều kiện tốn mà khơng cần giải điều kiện tốn) Ví dụ 13: Giải phương trình 13 13 x cot x + sin x(1 + tan x tan ) = Bài giải : * Điều kiện: sinx ≠ 0; cosx ≠ 0; cos x ≠0 (2) x cos(x − ) =4 cot x + sin x x cos x cos * Phương trình cho tương đương: ⇔ cot x + tan x = ⇔ π   x = + kπ  5π x = + kπ  ⇔ 1 = ⇔ sin x = cos x sin x (thỏa mãn) (k ∈ Z) (Ta lấy nghiệm phương trình thay trực tiếp vào điều kiện tốn mà khơng cần giải điều kiện tốn) Ví dụ 14 Giải phương trình cot x − = cos x sin x + sin x − + tan x Bài giải :  sin x ≠ cos x ≠   tan x ≠ * Điều kiện:  (1) * Phương trình cho tương đương: cos x cos x + sin x −1 = + sin x(sin x + cos x) sin x sin x 1+ cos x 14 14 cos x + sin x = cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x) sin x ⇔ ⇔ (cosx - sinx)(1- sinxcosx + sin2x) = ⇔ cosx = sinx (phương trình: sin2x - sinxcosx - = (vô nghiệm)) x= ⇔ π + kπ (thỏa mãn điều kiện (1)) (k ∈ Z) (Ta lấy nghiệm phương trình thay trực tiếp vào điều kiện tốn mà khơng cần giải điều kiện toán) Bài tập áp dụng: Giái phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ ( + tan x ) ( − sin x ) = − tan x cot x + cot x + tan x + cot x = sin x + 7/ 15 sin x cos x + sin x + = cos x + 2sin x sin x cos x + cos x ( tan x − 1) + sin3 x = cos 6/ =0 sin x sin x sin x sin x + cos x + ( x= ) cos x ( − sin x ) cos x +  5π  sin  + x ÷− sin x sin x − cos x cos x   =0 sin x 15 π  cos x −  4  cot x + 8/ = tan x + cot x 9/ 3( sin x + tan x ) = + cos x tan x − sin x sin x + cos x = ( tan x + cot x ) sin x 10/ III/ Kết học kinh nghiệm: Kết : Trên phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện mà q trình giảng dạy tơi tìm tịi nghiên cứu để hệ thống lại đưa phương pháp ví dụ minh họa Sau nhiều năm áp dụng sáng kiến việc giảng dạy, thấy học sinh không dễ bị điểm so sánh nghiệm phương trình lượng giác với điều kiện toán Đồng thời em làm nhanh hơn, tùy thuộc vào toán mà em có phương pháp phù hợp linh hoạt nhiều, khơng liên tục mơ típ theo phương pháp, hay cách Bài học kinh nghiệm: Sau thời gian giảng dạy phương pháp trên, thấy học sinh lớp 11I, 11C, 12P trường T.H.P.T Ba Đình dễ hiểu khơng bị điểm phần so sánh nghiệm với điều kiện tốn giải phương trình lượng giác Vì vây, tơi thiết nghĩ: - Giáo viên ngồi việc nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, cần đọc nhiều tài liệu tham khảo, đặc biệt nghiên cứu hướng làm, phương pháp làm cách chi tiết sâu sắc 16 16 - Khi cho làm tiết luyện tập cần đưa cho em đầy đủ phương pháp cần cho học sinh hay, lợi phương pháp Từ có cách áp dụng cho tập cách linh hoạt Có em phát lời giải vừa nhanh, khơng dễ bị sai sót Kiến nghị , đề xuất: Trên sáng kiến tơi rút q trình giảng dạy Mặc dù tơi có nhiều cố gắng, dành thời gian để tìm tịi suy nghĩ, song chưa nhiều kinh nghiệm, kiến thức vô hạn Nên sáng kiến tơi hẳn cịn thiếu sót Vì vậy, tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁ C NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 15 tháng năm 2015 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Thạc sỹ : Nguyễn Tuấn Anh 17 Mỵ Thị Ngọc 17 ... sánh) PHƯƠNG PHÁP 2: Cùng giải điều kiện toán lấy nghiệm cụ thê phương trình lượng giác so sánh cách -Cách làm: Lập giải điều kiện toán Lấy nghiệm phương trình lượng giác So sánh nghiệm. .. sở phương pháp là: Khi giải phương trình lượng giác có điều kiện, đặt điều kiện( điều kiện có hướng làm: giải cụ thể, không giải mà chuyển điều kiện biểu thức lượng giác đó) Cịn giải phương trình. .. Vậy phương trình có nghiệm: x=− π + k 2π , (k ∈ Z) (Như điều kiện toán giải cụ thể tách thành họ nghiệm k 2π nghiệm phương trình ta tách họ nghiệm k 2π ,rồi so sánh) Ví dụ 8: Giải phương trình