CHUYÊN đề PT HPT (..................................................................................................................................................................................................)
CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I NỘI DUNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1) • x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề • Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình • Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức cần điều kiện P(x) ≠ P (x) – Nếu phương trình có chứa biểu thức P (x) cần điều kiện P(x) ≥ + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2 • (1) ⇔ (2) S1 = S2 • (1) ⇒ (2) S1 ⊂ S2 Phép biến đổi tương đương • Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác • Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Bài tập vận dụng Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: 5 = 12 + x− x− 1 = 9− c) x2 − x−1 x−1 a) 3x + 1 = 15+ x+ x+ 2 = 15+ d) 3x + x− x− b) 5x + Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) 1+ 1− x = x − b) x + = − x c) e) d) x+ = x+ x = x−1 x−1 x − = 1− x f) x2 − 1− x = x − + Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) x − 3(x2 − 3x + 2) = b) x + 1(x2 − x − 2) = c) x x− = x− − x− d) x2 − x+ = x+ x+ + x+ Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) x − = x + b) x + = x − c) x − = x + d) x − = 2x − Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) c) x x−1 x 2− x = = x b) x−1 x d) 2− x x− x−1 x−1 x− = = x− x−1 1− x x− II NỘI DUNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ax + b = Giải biện luận phương trình ax + b = ax + b = Hệ số a≠ a=0 b≠ b=0 (1) Kết luận (1) có nghiệm x = − b a (1) vơ nghiệm (1) nghiệm với x Chú ý: Khi a ≠ (1) gọi phương trình bậc ẩn Bài tập vận dụng Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) (m2 + 2)x − 2m= x − b) m(x − m) = x + m− b) m(x − m+ 3) = m(x − 2) + d) m2(x − 1) + m= x(3m− 2) e) (m2 − m)x = 2x + m2 − f) (m+ 1)2 x = (2m+ 5)x + 2+ m Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b, c: x− a x− b − b= − a (a, b ≠ 0) a b b) (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x a) x + ab x + bc x + b2 + + = 3b (a, b,c ≠ −1) a+ c+1 b+ x − b− c x − c − a x − a − b + + = (a, b,c ≠ 0) d) a b c c) Bài Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x ∈ R a) (m− 2)x = n − b) (m2 + 2m− 3)x = m− c) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m2)x d) (m2 − m)x = 2x + m2 − III NỘI DUNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Cách giải ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ∆ = b2 − 4ac Chú ý: (1) Kết luận ∆>0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2 = ∆=0 (1) có nghiệm kép x = − ∆ ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > S > ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > S < Chú ý: Trong trường hợp u cầu hai nghiệm phân biệt ∆ > Bài tập vận dụng Bài Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x2 + 5x + 3m− 1= b) 2x2 + 12x − 15m= c) x2 − 2(m− 1)x + m2 = d) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− = e) (m− 1)x2 + (2 − m)x − 1= f) mx2 − 2(m+ 3)x + m+ 1= g) x2 − 4x + m+ 1= h) (m+ 1)x2 + 2(m+ 4)x + m+ 1= VẤN ĐỀ 3: Một số tập áp dụng định lí Vi–et Biểu thức đối xứng nghiệm số b a Ta sử dụng cơng thức S = x1 + x2 = − ; P = x1x2 = c để biểu diễn biểu thức đối xứng a nghiệm x1, x2 theo S P x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = S2 − 2P Ví dụ: x13 + x23 = (x1 + x2) (x1 + x2)2 − 3x1x2 = S(S2 − 3P ) Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b S = x1 + x2 = − ; a P = x1x2 = c a (S, P có chứa tham số m) Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: S = u + v, P = uv x2 − Sx + P = , Bài tập vận dụng Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: A = x12 + x22 ; B = x13 + x23 ; C = x14 + x24 ; D = x1 − x2 ; E = (2x1 + x2)(2x2 + x1) a) x2 − x − = b) 2x2 − 3x − = c) 3x2 + 10x + = d) x2 − 2x − 15 = e) 2x2 − 5x + = f) 3x2 + 5x − = Bài Cho phương trình: (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− = (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Bài Cho phương trình: x2 − 2(2m+ 1)x + 3+ 4m= (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12, x22 2 b) x1 + x2 − x1x2 = −1 HD: a) m ≥ c) A = (2+ 4m)(16m2 + 4m− 5) d) m= 1± e) x2 − 2(8m2 + 8m− 1)x + (3+ 4m)2 = Bài Cho phương trình: x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= (*) a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = HD: a) m = 3; m = b) (x1 + x2)2 − 2(x1 + x2) − 4x1x2 − = c) m = –1; m = Bài Cho phương trình: x2 − (m2 − 3m)x + m3 = a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = b) x2 = 1; x2 = − Bài (nâng cao) Cho phương trình: 2x2 + 2xsinα = 2x + cos2 α (α tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với α b) Tìm α để tổng bình phương nghiệm phương trình đạt GTLN, GTNN IV NỘI DUNG 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa tính chất − A A • A = A ≥ A < • A ≥ 0, ∀A • A.B = A B • A = A2 • A + B = A + B ⇔ A.B ≥ • A − B = A + B ⇔ A.B ≤ • A + B = A − B ⇔ A.B ≤ • A − B = A − B ⇔ A.B ≥ Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ f (x) ≥ g(x) ≥ f (x) = g(x) • Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) f (x) < f (x) = − g(x) − f (x) = g(x) • Dạng 2: f (x) = g(x) ⇔ [ f (x)] = [ g(x)] f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) f (x) = − g(x) • Dạng 3: a f (x) + b g(x) = h(x) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) 2x − = x + b) 4x + = 2x + d) x2 + 6x + = 2x − g) x − − x + 2x + = 2x + c) x2 − x + = e) x2 − 4x − = 4x − 17 f) 4x − 17 = x2 − 4x − h) x − + x + + x − = 14 i) x − + − x = 2x Bài Giải phương trình sau: a) 4x + = 4x + b) 2x − = 3− 2x c) x − + 2x + = 3x d) x2 − 2x − = x2 + 2x + e) 2x − + 2x2 − 7x + = f) x + + 7− x = 10 Bài Giải phương trình sau: a) x2 − 2x + x − − 1= b) x2 − 2x − x − + = c) x2 − 2x − x − − = d) x2 + 4x + x + = e) 4x2 − 4x − 2x − − 1= f) x2 + 6x + x + + 10 = Bài Giải biện luận phương trình sau: a) mx − = b) mx − x + = x + c) mx + 2x − = x d) 3x + m = 2x − 2m e) x + m = x − m+ f) x − m = x + Bài Tìm giá trị tham số m cho phương trình sau có nghiệm nhất: mx − = x + V NỘI DUNG 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để thức xác định f (x) = [ g(x)] Dạng 1: ⇔ f (x) = g(x) g(x) ≥ f (x) = g(x) f (x) = g(x) ⇔ Dạng 2: f (x) ≥ (hay g(x) ≥ 0) t = f (x), t ≥ Dạng 3: af (x) + b f (x) + c = ⇔ at + bt + c = f (x) + g(x) = h(x) Dạng 4: • Đặt u = f (x), v = g(x) với u, v ≥ • Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v f (x) + g(x) + Dạng 5: f (x).g(x) = h(x) Đặt t = f (x) + g(x), t ≥ Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) 2x − = x − b) 5x + 10 = 8− x d) c) x − 2x − = e) x2 + 2x + = 2− x f) 3x2 − 9x + = x − g) 3x2 − 9x + = x − h) Bài Giải phương trình sau: a) x2 − 6x + = x2 − 6x + x2 − 3x − 10 = x − i) (x − 3) x2 + = x2 − x2 + x − 12 = 8− x c) (x + 4)(x + 1) − x2 + 5x + = e) x2 + x2 + 11 = 31 Bài Giải phương trình sau: a) x + 1− x − = c) x2 + − x2 − = e) 1+ x + 1− x = b) (x − 3)(8− x) + 26 = − x2 + 11x d) (x + 5)(2− x) = x2 + 3x f) x2 − 2x + 8− (4 − x)(x + 2) = b) 3x + − x + = d) 3x2 + 5x + − 3x2 + 5x + = f) x2 + x − + x2 + 8x − = g) 5x + − 5x − 13 = h) 9− x + + 7+ x + = Bài Giải phương trình sau: a) x + + − x = 3+ (x + 3)(6 − x) b) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)(x + 1) − 16 c) x − 1+ 3− x − (x − 1)(3− x) = d) 7− x + + x − (7− x)(2+ x) = e) x + 1+ 4− x + (x + 1)(4 − x) = f) 3x − + x − = 4x − 9+ 3x2 − 5x + g) 1+ x − x2 = x + 1− x Bài Giải phương trình sau: h) x + 9− x = − x2 + 9x + a) 2x − + 2x − + 2x + + 2x − = 14 b) x + 5− x + + x + − x + = c) 2x − 2x − − 2x + 3− 2x − + 2x + 8− 2x − = VI NỘI DUNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta phải ý đến điều kiện xác định phương trình (mẫu thức khác 0) Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) 1+ 10 50 = − x − x + (2 − x)(x + 3) c) 2x + x + = 3x + x − e) 2x2 − 5x + 2x2 + x + 15 = x−1 x− b) x + x − 2x + + = x+ x− x+ x2 − 3x + = −1 x2 − x+ 4x − = f) (x + 1)2 (2x − 1)2 d) Bài Giải biện luận phương trình sau: a) mx − m+ =3 x+ x+ m x+ d) = x−1 x− mx + m− =3 x− m (m+ 1)x + m− e) =m x+ b) x− m x− + =2 x−1 x− m x x = f) x+ m x+ c) VII NỘI DUNG 7: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG t = x2, t ≥ Cách giải: ax + bx + c = (1) ⇔ at + bt + c = (2) Số nghiệm phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng (2) vônghiệ m m ké p â m • (1) vơ nghiệm ⇔ (2) cónghiệ m â m (2) có2 nghiệ (2) cónghiệ m ké p bằ ng (2) có nghiệ m bằ n g 0, nghiệ m cò n lại â m (2) cónghiệ m ké p dương • (1) có nghiệm ⇔ m dương và1 nghiệ m â m (2) có1 nghiệ m bằ ng 0, nghiệ m cò n lại dương • (1) có nghiệm ⇔ (2) có1 nghiệ m dương phâ n biệ t • (1) có nghiệm ⇔ (2) có2 nghiệ • (1) có nghiệm ⇔ Một số dạng khác phương trình bậc bốn (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K , vớ i a+ b = c+ d • Dạng 1: – Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ (x + c)(x + d) = t − ab + cd – PT trở thành: t2 + (cd − ab)t − K = • Dạng 2: (x + a)4 + (x + b)4 = K a+ b a− b b− a ⇒ x+ a = t + , x+ b = t + 2 a− b 2t4 + 12α 2t2 + 2α − K = vớ iα= – PT trở thành: ÷ – Đặt t = x + • Dạng 3: ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = (a ≠ 0) (phương trình đối xứng) – Vì x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x2 , ta được: 1 1 + b x ± ÷+ c = 2÷ x x 1 1 c t = x − ÷ với t ≥ – Đặt t = x + hoặ x x PT ⇔ a x2 + – PT (2) trở thành: at2 + bt + c − 2a = (2) ( t ≥ 2) Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) x4 − 3x2 − = b) x4 − 5x2 + = d) 3x4 + 5x2 − = e) x4 + x2 − 30 = Bài Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm ii) Có nghiệm iii) Có nghiệm iv) Có nghiệm v) Có nghiệm a) x4 + (1− 2m)x2 + m2 − 1= c) x4 + 5x2 + = f) x4 + 7x2 − = b) x4 − (3m+ 4)x2 + m2 = c) x4 + 8mx2 − 16m= Bài Giải phương trình sau: a) (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7) = 297 b) (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 c) x4 + (x − 1)4 = 97 d) (x + 4)4 + (x + 6)4 = e) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 f) 6x4 − 35x3 + 62x2 − 35x + = g) x4 + x3 − 4x2 + x + 1= VIII NỘI DUNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn a1x + b1y = c1 a x + b y = c 2 (a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0) Giải biện luận: – Tính định thức: D= Xét D b1 a2 b2 , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 Kết D D Hệ có nghiệm x = x ; y = y ÷ D D Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm D≠ D=0 a1 Dx ≠ Dy ≠ Dx = Dy = Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Ngun tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn Bài tập vận dụng Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 5x − 4y = 2x + y = 11 3x − y = a) 7x − 9y = b) 5x − 4y = c) 6x − 2y = ( + 1) x + y = − d) 2x − ( − 1) y = 2 3 x + y = 16 e) x − y = 11 2 f) 3x − y = 5x + 2y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 1 x − y = 18 a) + = 51 x y 2 x − + y + = 5 x − − y + = d) 10 x − + y + = b) 25 + =2 x − y + 2 x + y − x − y = 3 x + y + x − y = 17 e) 27 32 2x − y + x + 3y = c) 45 48 − = −1 2x − y x + 3y 4 x + y + x − y = 3 x + y − x − y = f) Bài 3: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + (m− 1)y = m+ 2x + my = a) (m+ 4)x − (m+ 2)y = d) (2m− 1)x + (m− 4)y = m mx + (m− 2)y = b) (m+ 2)x + (m+ 1)y = (m− 1)x + 2y = 3m− c) (m+ 2)x − y = 1− m (m+ 1)x − 2y = m− mx + 2y = m+ f) 2x + my = 2m+ 2 m x − y = m + 2m e) Bài 4: Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm nghiệm ngun (m+ 1)x − 2y = m− m2x − y = m2 + 2m a) mx − y = b) x + 4(m+ 1)y = 4m Bài 5: Trong hệ phương trình sau hãy: mx + y − = c) x + my − 2m+ 1= i) Giải biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m mx + 2y = m+ 6mx + (2 − m)y = a) 2x + my = 2m+ b) (m− 1)x − my = Bài 6: Giải biện luận hệ phương trình sau: ax + y = b y − ax = b a) 3x + 2y = −5 (a + b)x + (a − b)y = a d) (2a − b)x + (2a + b)y = b mx + (m− 1)y = m+ 2x + my = c) ax + y = a + b b) 2x − 3y = c) x + 2y = a 2 e) ax + by = a + b f) bx + ay = 2ab ax − by = a2 − b bx − b y = 4b Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 3x + y − z = a) 2x − y + 2z = x − 2y − 3z = x + 3y + 2z = b) 2x + y + z = 3x + y + z = x − 3y + 2z = −7 c) −2x + 4y + 3z = 3x + y − z = IX NỘI DUNG 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn • Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại f (x, y) = (I) g(x, y) = (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi) • Đặt S = x + y, P = xy • Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P • Giải hệ (II) ta tìm S P • Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2 − SX + P = Hệ đối xứng loại Hệ có dạng: f (x, y) = (1) (I) f (y, x) = (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) • Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: Hệ có dạng: f (x, y) − f (y, x) = f (x, y) = (3) (1) (I) ⇔ • Biến đổi (3) phương trình tích: x = y g(x, y) = (3) ⇔ (x − y).g(x, y) = ⇔ • Như vậy, f (x, y) = x = y (I) ⇔ f (x, y) = g(x, y) = • Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) 4 Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: a x2 + b xy + c y2 = d 1 (I) a2x + b2xy + c2y = d2 • Giải hệ x = (hoặc y = 0) • Khi x ≠ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm (x0; y0) (y0; x0) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 = y0 Bài tập vận dụng Bài Giải hệ phương trình sau: x2 + 4y2 = x + 2y = a) x2 − xy = 24 2x − 3y = b) (x − y)2 = 49 3x + 4y = 84 c) x2 − 3xy + y2 + 2x + 3y − = 3x − 4y + 1= e) xy = 3(x + y) − 2x − y = f) xy + x + y + = y + x2 = 4x 2x + y − = i) d) g) 2x + 3y = 2 3x − y + 2y = h) 2x + 3y = 2x − y = 2 x + xy + y = Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x+ y = 2 x + y = m a) x+ y = m 2 x − y + 2x = b) 3x − 2y = 2 x + y = m c) Bài Giải hệ phương trình sau: x + xy + y = 11 b) 2 x + y − xy − 2(x + y) = −31 a) x y 13 + = d) y x x + y = x+ y = 2 x + xy + y = 13 c) x3 + x3y3 + y3 = 17 x + y + xy = f) e) xy + x + y = 2 x + y + x+ y = x4 + x2y2 + y4 = 481 2 x + xy + y = 37 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x + y + xy = m 2 x + y = 3− 2m a) x + y = m+ (x + 1)(y + 1) = m+ c) xy(x + y) = 4m 2 x y + xy = 2m − m− b) Bài Giải hệ phương trình sau: x2 = 3x + 2y y = 3y + 2x x2 − 2y2 = 2x + y 2 y − 2x = 2y + x x3 = 2x + y y = 2y + x a) b) c) y x − 3y = x d) x y − 3x = y y2 + 3y = x2 e) 3x = x + y2 2x = y + y f) 2y2 = x + x Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x2 = 3x + my a) y = 3y + mx x(3− 4y2) = m(3− 4m2) xy + x2 = m(y − 1) b) 2 c) y(3− 4x ) = m(3− 4m ) xy + y = m(x − 1) Bài Giải hệ phương trình sau: x2 − 3xy + y2 = −1 2 3x − xy + 3y = 13 b) 3x2 + 5xy − 4y2 = 38 2 5x − 9xy − 3y = 15 e) a) d) 2x2 − 4xy + y2 = −1 2 3x + 2xy + 2y = c) y2 − 3xy = 2 x − 4xy + y = x2 − 2xy + 3y2 = 2 x − 4xy + 5y = f) 3x2 − 8xy + 4y2 = 2 5x − 7xy − 6y = Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x2 + mxy + y2 = m a) 2 x + (m− 1)xy + my = m xy − y2 = 12 b) x − xy = m+ 26 x2 − 4xy + y2 = m c) y − 3xy = X NỘI DUNG 10: LUYỆN ĐỀ TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN PHẦN 1: Tự luận Bài Giải biện luận phương trình sau: a) m2x + 4m− = x + m2 b) (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x c) a2x + 2ab = b2x + a2 + b2 d) a(ax + b) = 4ax + b2 − Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x + m x + m− − =1 x−1 x 2mx − m+ − x−1 = c) x−1 x−1 a) b) m2x − m x = 2m+ x −1 d) x − + 2x − = m Bài Giải biện luận phương trình sau: a) 2x2 + 12x − 15m= b) x2 − 2(m− 1)x + m2 = b) x2 − mx + m− 1= d) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = Bài Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm lại: a) x2 − mx + m+ 1= 0; x0 = − b) 2x2 − 3m2x + m= 0; x0 = Bài Trong phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả: x13 + x23 = ; x12 + x22 = a) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = b) x2 + 2(m− 1)x + m2 = c) x2 − 2(m+ 1)x + m2 − = d) (m+ 2)x2 − 2(m− 1)x + m− = e) (m+ 1)x2 + 2(m+ 4)x + m+ 1= f) x2 − 4x + m+ 1= Bài Trong phương trình sau, hãy: i) Giải biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m a) x2 + (m− 1)x − m= c) (m+ 2)x2 − 2(m− 1)x + m− = Bài Giải phương trình sau: a) x2 + x2 − = 12 c) 16x + 17 = 8x − 23 b) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = d) x2 − 2(m+ 1)x + m2 − = b) x2 + x2 + 11 = 31 d) x2 − 2x − = 3(x − 4) e) 3x2 − 9x + 1+ x − = f) 51− 2x − x2 = 1− x g) (x − 3) x2 − = x2 − Bài Giải phương trình sau: a) − 10− 3x = x − h) x + + 1= 3x − b) x − + x + = 2x + c) 3x + − 2x − = x + d) x2 − 3x + + x2 − 3x + = e) f) 3x − − 5− x = 2x − x + − 2x − = 3x − g) x + + x + − x + = Bài Giải phương trình sau: a) c) h) x +1 −1 = x − x + x+ x− − x− x− = b) x+ x−1 + x− x−1 = x − x2 − + x + x2 − = d) x2 − x − x2 − x + 13 = e) x2 + x2 − 3x + = 3x + x+ f) 2x2 + 2x2 + x + = 9− x g) x2 − x2 − 2x + = 2x − h) 2x2 + x2 + 3x + = 23− 6x Bài 10 Trong hệ phương trình sau: i) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm nghiệm ngun ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m mx + 2y = m+ mx + y = 3m a) 2x + my = 2a − b) x + my = 2m+ x − 2y = − m c) 2x + y = 3m+ Bài 11 Giải hệ phương trình sau: x + xy + y = −1 a) 2 x y + y x = −6 x3 + y3 = d) 5 2 x + y = x + y 2x + y = d) 2y − x = 10m+ x2 + y2 = b) 2 x − x y + y = 13 x2 + y2 + xy = e) 4 2 x + y + x y = 21 x2y + y2x = 30 c) 3 x + y = 35 x + y + xy = 11 2 x + y + 3(x + y) = 28 f) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: (x + y)(1+ xy) = a) (x2 + y2)(1+ ) = 49 x2y2 1 x + y+ x + y = c) 1 x2 + y2 + + =4 x2 y2 2x2y + y2x + 2y + x = 6xy y x e) xy + xy + x + y = y(x2 + 1) = 2x(y2 + 1) b) 2 x + y + = 24 x2y2 ÷ ÷ ( ) x y = + d) x + y + (x + y)(1+ ) = xy xy + xy = f) (x + y) 1+ ÷ = xy Bài 13 Giải hệ phương trình sau: x2 = 3x + 2y y = 3y + 2x x3 = 2x + y y = 2y + x a) b) 2x = y + y d) 2y2 = + x x 2x + y = e) 2y + x = x3 = 3x + 8y y = 3y + 8x c) y2 + 3y = x2 f) 3x = x + y2 x2 y2 PHẦN 2: Trắc nghiệm − 3x = x +1 x+2 Câu 1: Điều kiện phương trình x + − A x > −2 x ≠ −1 B x > −2 x < C x ≠ −2 x ≠ −1 D x > −2 , x ≠ −1 x ≤ Câu 2: Phương trình ( m + ) x + = x + ( m − 3) có nghiệm với giá trị m A m = Câu 3: Phương trình A m = 1, m = B m = − C m ≠ 10 D m ≠ − x+m x−2 + = vơ nghiệm với giá trị m x +1 x B m = −1, m = −3 C m = 2, m = −2 10 D m = , m = − Câu 4: Trong phương trình sau, phương trình khơng phải phương trình hệ phương trình x − x = A x − x =0 1− x B x − x + = D ( x − x ) + ( x + ) = C x3 − x = Câu 5: Trong phương trình sau, phương trình vơ nghiệm A x5 + x + = B x + = C x + x + = D x + x + x = C nghiệm D vơ nghiệm 3 x − y = có −2 x + y = −3 Câu 6: Hệ phương trình A vơ số nghiệm B nghiệm 4 x − y = 6 x − y = 15 Câu 7: Hệ phương trình 33 21 ; ÷ 2 A − 33 có nghiệm 21 33 21 B ; − ÷ 2 33 21 ;− ÷ 2 C ; ÷ 2 D − C m = −3 D m = mx + y = có vơ số nghiệm với giá trị m x + my = Câu 8: Hệ phương trình A m = −2 B m = x + y − 3z = Câu 9: Hệ phương trình 2 x + y + z = −3 x + y − z = −7 55 1 55 1 có nghiệm 55 1 A ; ; ÷ B − ; ; − ÷ C ; − ; − ÷ 24 24 24 24 24 24 Câu 10: Phương trình x + x − 10 = có nghiệm 55 1 D − ; ; ÷ 24 24 A x = B x = −4 C A B D đáp án khác Câu 11: Phương trình x − mx − = có hai nghiệm phân biệt với điều kiện m A m > B m < C m ≠ D m > −2 2 Câu 12: Phương trình x + 4mx + m = có hai nghiệm dương phân biệt với điều kiện m A m < B m > C m ≥ D m ≠ Câu 13: Phương trình x − ( m + ) x + m + = có nghiệm với điều kiện m A m = −1 B −1 < m < C m = C m = D m = − D m = − Câu 14: Phương trình x − ( m + ) x + m + = có nghiệm kép với điều kiện m A m = −1 B −1 < m < 3 Câu 15: Số nghiệm phương trình x − 2005 x + 13 = A B C D Câu 16: Phương trình ( m − 1) x + ( m + 1) x + 2m − = có hai nghiệm phân biệt với điều kiện m A ≤ m ≤ 24 B m < m > C < m < 24 D 11 −2 11 11 +2 11