CÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC 1. CÔNG THỨC CỘNG 1 * sin ( a+b ) = sina cosb + cosasin b * sin( a_ b ) = sina cosb _ cosasin b sin thì sin cos _cos sin dấu cùng 2 * cos ( a+b ) = cosa cosb _ sina sinb * cos ( a_b ) = cosa cosb +sina sinb cos thì cos _cos sin sin dấu đối 3 * tg( a+b ) = tgatgb tgbtga _1 + tg tổng thì bằng tổng tg chia cho 1 hiệu tích tg ra liền 4 * tg( a_b ) = tgatgb tgbtga +1 _ tg hiệu thì bằng hiệu tg chia cho 1 tổng tích tg thấy ghiền 5 * cotg( a+b ) = gbga gbga cotcot 1_cotcot + cô tổng thì mẫu tổng cô tích cô ở tử 1 thêm nhớ trừ 6 * cotg( a_b ) = bga gbga cotcot )1cot(cot − +− cô trừ đổi dấu trừ thêm 7 Hệ quả: sina + cosa = 2 sin + 4 π a = 2 cos − 4 π a sina _ cosa = 2 sin − 4 π a =_ 2 cos + 4 π a sin kia cộng với cos này căn hai với tích sin này ghi sau bí kia bẻ gãy làm tư cộng thêm a nọ y như vợ chồng a. CÔNG THỨC NHÂN 8 * sin2 a = 2sinacosa sin hai lần hai lần sincos 9 * cos2a =2cos 2 a _ 1 = 1 _ 2sin 2 a = cos 2 a _sin 2 a cos hai hai cos bình phương một trừ 10 * tg2a = a tga tg 2 1 2 − tg hai thì tử hai tg chia cho một hiệu tg thời bình phương 11 * sin3a= 3sina _ 4sin 3 a sin ba bằng ba say trừ bốn sỉn mũ ba 12 * cos3a = 4cos 3 a_ 3cosa cos ba bằng bốn cos mũ 3 trừ ba cos vậy 13 * tg3a = a atga tg tg 2 3 31 3 − − tag ba ba một lần tg ba đi mũ một , một nằm mũ ba trừ nhau thì nó sẽ ra nhớ chia một hiệu với ba tg bình 14 sin 2 a = 2 2cos1 a− cos 2 a = 2 2cos1 a+ tg 2 a = a atgtga tg 2 31 22 − − 15 cotg2a = 2 2cot 2 −a g = tga a tg 2 21 2 − cotg3a = atga a tg tg 3 2 3 31 − − = 1cot cot3cot 2 3 − − a gaa g g = atgtga atgtga 2 2.1 + − 16 sin 3 a = 4 3sinsin3 aa − cos 3 a = 4 cos33cos aa + tg 3 a = 3tga – tg3a ( 1 3tg 2 a ) 2. CÔNG THỨC TÍNH THEO tg = tg 2 a ⇒ sina = t t 2 1 2 + cosa = t t 2 2 1 1 + − tga = t t 2 1 2 − 3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI sina sinb = 2 1 [ ] )cos()cos( baba +−− cosa cosb = 2 1 [ ] )cos()cos( baba ++− sina + sinb = 2sin 2 ba + cos 2 ba − cosa + cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − sina –sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − cosa – cosb = 2sin 2 ba + sin 2 ba − sin(a+b)sin (a – b) = sin 2 a- sin 2 b = cos 2 b -cos 2 a cos(a+b)cos(a – b) = cos 2 a- sin 2 b = cos 2 b- sin 2 a sinxsin ( ) 3 x− π sin( ) 3 x+ π = 4 1 sin 3x sin 3 xcos3x + cos 3 xsin 3x = x4sin 4 3 cotgx - cotg 2x = x2sin 1 cosxcos ( ) 3 x− π cos( ) 3 x+ π = 4 1 cos 3x cos 3 xcos3x + sin 3 xsin 3x = cos 2 2x cotgx - tg x = 2cotg 2x tgxtg ( ) 3 x− π tg( ) 3 x+ π = tg 3x cotgxcotg ( ) 3 x− π cotg( ) 3 x+ π = cotg 3x tgx + cotgx = x2sin 1 HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC 1 . Tổng ba sin bằng tích ba cos Góc thì giảm nửa tích thì nhân tư sinA + sinB + sin C = 4cos 2 A cos 2 B cos 2 C 2 . A , B rủ với C rằng Sin bình ba đứa tụi mình công chung Bằng hai cộng với hai cùng Tích ba thằng cos ung dung viết liền sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C =2 (1+cosAcosbcosC ) 3 . Sin hai công lại với nhau Ba lần như thế mau mau ghi liền Bốn thì ta để trước tiên Ba sin nhân lại góc liên chia đôi sin2A + sin2B + sin 2C = 4sinAsinBsinC 4 Tổng bình ba cos ta ghi Một trừ cos cos cos thì nhân hai cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C = 1 2cosAcosBcosC 5 Cos A nói với cos b Chúng mình cộng với cos C một lần Dấu bằng nằm giữa công phân Đằng sau của nó là thằng 1 kia Cộng thêm thằng 4 có rìa Ba sin tích lại góc thì chia đôi cosA + cosB +cos C = 1+4sin 2 A sin 2 B sin 2 C 6 Góc kia ai sẻ làm đôi Tích tg từng cặp tổng bằng 1 thôi tg 2 A tg 2 B + tg 2 B tg 2 C + tg 2 C tg 2 A = 1 7 Tổng ba tg bằng tích ba tg Góc thì như vậy giữ liền trước sau tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC 8. cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 9. cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A cotg 2 B cotg 2 C 10. tg 2 A = )( ))(( aPP cPbP − −− 11. cotgA= S acb 4 222 −+ cotgB= S bca 4 222 −+ cotgC = S cba 4 222 −+ bcosB + ccosC = acos (B- C ) R C c B b A a 2 sinsinsin === ( Đònh lý sin ) = − + ba ba 2 2 BA tg BA tg − + ( Hàm số tang ) a 2 = b 2 + c 2 – 2.bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 – 2.ac.cosB Đònh lý cosin Onthionline.net CÁC CÔNG THỨC TOÁN § SỐ CHĨNH HƠP-SỐ TỔ HỢP A Số CHĨNH HỢP Số chĩnh hợp chập k N ;Kí hiệu : A k A= N(N-1)(N-2) (N-k+1) N B Số Tổ Hợp: Số tổ hợp chập k N ; Kí hiệu : C k C = (N(N-1)(N-2) (N-k+1))/(1.2.3.4.5 k) N § CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON : (X+Y)N = XN +N.XN-1 Y+N.(N-1)/(1.2).XN-2 N.(N-1)/(1.2).X2 Y N-2 +N.X.YN-1 Y2 + + +YN = C0XN +C1XN-1.Y + C2.XN-2.Y2+ +CN-2 YN-2.X2 + CN-1 X.YN-1 +CN YN ;( Với CN =C0 ) §.CÁC CHUYÊN ĐỀ §.CÁC PHÉP CHỨNG MINH I PHÉP QUY NẠP : Đôi giải toán chưng minh phép chứng minh thông thường không mang lại hiệu Nhưng có phép chứng minh : phép chứng minh QUY NẠP Các bước phép chứng minh quy nạp : ( Bài toán phải có điếu kiện thuộc tập số nguyên dương ) Bước 1: Chứng minh mệnh đề với n = 1; Bước 2: Từ giả thiết, giả sử mệnh đề với n = k (k≥1)( n số tự nhiên ) Từ chứng minh mệnh đề với n = k+1 Bước 3: Kết luận mệnh đề đứng với số nguyên đương n Ví dụ: Chứng minh: A= 1+2+3+4+ +N ; với N số nguyên II PHÉP PHẢN CHỨNG : Thông thường, chứng minh toán phép chứng minh thông thường Nhưng gặp toán chứng minh mà ta chứng minh phép chứng minh thông thường không mang lại hiêu kể quy nạp Thì phải sử dụng phép chứng minh khác, là: phép phản chứng Sau số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Giả sử ba số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: 2n; 2n+1; 2n+2 Tích ba số tự nhiên liên tiếp: T=2n.(2n+1).(2n+2) Nhận thấy T luôn chia hết cho 2,và luôn chia hết cho Suy T luôn chia hết cho Trái với giả thiết Vậy tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu n số tự nhiên n2 chia hết cho n chia hết cho Giải: Giả sử n không chia hết cho Suy n=5k+k’ (Với k=1,2,3,4.) Ta có: n2= ( 5k+k’)2=25k2+10k.k’+k’2 Nhận thấy: (25k2+10k.k’) chia hết cho 5; k’2 không chia hết cho5 Suy n2 không chia hết cho Điều trái với giả thiết Vậy n chia hết cho5 Ví dụ 3: Chứng minh : Nếu A(A số tự nhiên.) chia hết cho n đồng thời chia hết cho m (m,n ìa số tự nhiên.) Thì A chia hết cho tích m n Giải: Giả sử A không chia hết cho tích m n Nhận thấy A vừa bội m, vừa bội n Suy A bội (m.n) hay Achia hết cho tích m n Điều trái với giả thiết Suy ra: A chia hết cho tích m n Qua ví dụ ta rút bước chứng minh toán bàng phép phản chứng: Xét mệnh đề: x X, P(x) Q(x) [...]... trong phương trình hoá học có 5 chất (Cu, HNO3, Cu(NO3)2, NO, H2O) và 4 nguyên tố (Cu, H, N, O) khi lập hệ phương trình đại số để cân bằng ta được một hệ 4 phương trình với 5 ẩn số Hay nói một cách tổng quát, ta có n ẩn số và n – 1 phương trình Như vậy khi lập một hệ phương trình đại số để cân bằng một phương trình hoá học, nếu có bao nhiêu chất trong phương trình hoá học thì có bấy nhiêu ẩn số và nếu... vậy khi lập một hệ phương trình đại số để cân bằng một phương trình hoá học, nếu có bao nhiêu chất trong phương trình hoá học thì có bấy nhiêu ẩn số và nếu có bao nhiêu nguyên tố tạo nên các hợp chất đó thì có bấy nhiêu phương trình CC CễNG THC LNG GIC CN NH I Cỏc h thc c bn v h qu: 1/ sin a + cos2 a = sin a 2/ t ga = cos a cos a 3/ cot ga = sin a 4/ + t g2a = cos2 a 5/ + cot g2a = sin a 6/ t ga cot ga = t } cot ga cotg a { cos Cosa sin tg II Cụng thc cng - tr: ( ) 2/ sin ( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a 3/ cos ( a + b ) = cos a cos b - sin a sin b 4/ cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b 1/ sin a + b = sin a cos b + sin b cos a ( ) 5/ t g a + b = ( ) t ga + t gb - t ga.t gb 7/ cot g a + b = ( ) 6/ t g a - b = t ga - t gb + t ga.t gb cot ga cot gb - cot ga + cot gb / cot g ( a - b ) = cot ga cot gb + cot ga - cot gb III Cụng thc gúc nhõn ụi: ( 1/ sin 2a = sin a cos a = sin a + cos a ) - = - ( sin a - cos a ) 2/ cos 2a = cos2 a - sin a = cos2 a - = - sin a 2t ga 3/ t g2a = - t g2 a cot g2a - 4/ cot g2a = cot ga IV Cụng thc gúc nhõn ba: 1/ sin 3a = sin a - sin a 2/ cos3a = cos a - cos a 3/ t g3a = 3t ga - t g 3a - 3t g 3a 4/ cot g3a = cot g 3a - cot ga cot g2a - V Cụng thc h bc hai: - cos 2a t g 2a = 1/ sin a = + t g 2a 2/ + cos 2a cot g2a cos a = = + cot g2a 3/ t g2a = - cos 2a + cos 2a 4/ sin a cos a = sin 2a VI Cụng thc h bc ba: 1/ sin a = ( sin a - s in3a ) 2/ cos a = ( cos a + cos 3a ) t gx VII Cụng thc biu din sin x, cos x, t gx qua t = : 2t + t2 2t 3/ t gx = 1- t2 1/ sin x = - t2 + t2 1- t2 cot gx = 2t 2/ cos x = VIII Cụng thc bin i tớch thnh tng: 1ộ cos ( a - b ) + cos ( a + b ) ự ỳ ỷ 2/ sin a sin b = ộ cos ( a - b ) - cos ( a + b ) ự ỳ ỷ 3/ sin a cos b = ộ sin ( a + b ) + sin ( a - b ) ự ỳ ỷ 1/ cos a cos b = IX Cụng thc bin i tng thnh tớch: a+b a- b cos 2 a+ b a- b 2/ cos a - cos b = - sin sin 2 a+ b a- b 3/ sin a + sin b = sin cos 2 1/ cos a + cos b = cos a+ b a- b sin 2 sin ( a + b ) 4/ sin a - sin b = cos 5/ t ga + t gb = cos a cos b sin ( a + b ) 7/ cot ga + cot gb = sin a sin b - sin ( a - b ) cot ga - cot gb = sin a sin b sin ( a - b ) 9/ t ga + cot gb = cos a sin b cos ( a + b ) 10/ cot ga - t gb = sin a cos b 6/ t ga - t gb = sin ( a - b ) cos a cos b 8/ 9/ t ga + cot ga = sin 2a 11/ cot ga - t ga = cot g2a X Cụng thc liờn h ca cỏc gúc (cung) liờn quan c bit: ỡù sin ( - a ) = - sin a ùù ùù cos - a = cos a ( ) ù 1/ Gúc i: ùù t g ( - a ) = - t ga ùù ùù cot g ( - a ) = - cot ga ợ ỡù sin ( p - a ) = sin a ùù ùù cos p - a = - cos a ( ) ù 2/ Gúc bự: ùù t g ( p - a ) = - t ga ùù ùù cot g ( p - a ) = - cot ga ợ ỡù sin ( p + a ) = - sin a ùù ùù cos p + a = - cos a ( ) ù 3/ Gúc sai kộm p : ùù t g ( p + a ) = t ga ùù ùù cot g ( p + a ) = cot ga ợ ổ ùỡù p ữ - aữ = cos a ùù sin ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ùù ùù ổ p ùù cos ỗ ữ = sin a ỗ - aữ ữ ữ ỗ ùù ố2 ứ 4/ Gúc ph: ùù ổ p ữ = cot ga ỗ - aữ ùù t g ỗ ữ ữ ố2 ứ ùù ỗ ùù ổ p ữ ùù cot g ỗ ữ a = t ga ỗ ữ ữ ỗ ùùợ ố2 ứ XI Cụng thc b sung: ổ ổ pử pử ữ ỗ ữ ữ = sin a+ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ 4ứ 4ứ ố ố ổ pử ổ p ữ ỗ ữ ữ a+ ữ = sin a 2/ cos a - sin a = cos ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4 ố ứ ố ứ ổ pử ổ pử ỗ ữ ữ = cos 3/ sin a - cos a = sin ỗ ỗa - ữ ỗa + ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 4ứ 4ứ ố ố a1/ cos a + sin a = cos ỗ ỗ ỗ 4/ A sin a + B cos a = A + B sin ( a + a ) = A + B cos ( a - b) , ( 5/ + sin a = cos a + sin a ) (A + B2 > XII Bng giỏ tr ca hm s lng giỏc ca cỏc gúc cung c bit: Gúc p/ Hm s sin cos 3/ tg 3/ cotg || 300 1/ XIII nh lý hm s cosin: 1/ a = b + c2 - 2bc cos A 2/ b = c2 + a - 2ca cos B 3/ c2 = a + b - 2bc cos C p/ p/ p/ 600 3/ 1/ 900 || 3/ 450 2/ 2/ A c B b a C ) XIV nh lý hm s sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Vi R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip VABC ỡù a = 2R sin A ùù ù Hay b = 2R sin B ùù ùù c = 2R sin B ợ XV Cụng thc tớnh din tớch tma giỏc: Gi h V l ng cao thuc cnh VABC a+ b+ c l phõn na chu vi VABC S l din tớch VABC R l bỏn kinh ng trũn ngoi tip VABC R l bỏn kớnh ng trũn ni tip VABC 1 1/ S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 2/ S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc 3/ S = ; 4/ S = p.r 4R p= 5/ S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) (Cụng thc Hộron) XVI Cụng thc nghim: ộu = a + 2k p sin u = sin a ẻ 1/ ờu = p - a + 2k p , k Z ộu = a + 2lp 2/ cos u = cos a ẻ ờu = - a + 2lp , l Z t gu = t ga u = a + m pẻ, m Z 3/ 4/ cot gu = cot ga u = a + n