Trờng THPT Hà Văn Mao H.Bá Th ớc T.Thanh Hóa Đề thi chọn đội dự tuyển học sinh giỏi môn Toán Năm học 2008 2009 Ngày thi: 30/09/2008 Thời gian làm bài: 180 phút *********** Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 2 1 4 2 x m x m m y x m + + + + + = + (1), m là tham số. 1. Xét chiều biến thiên của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tính khoảng cách giữa hai điểm đó. Câu 2. (4 điểm) 1. Giải phơng trình sin 2 4 3cos 2 5sin cosx x x x + = + + 2. Giải hệ phơng trình: ( ) 2 11 2 1 5 18 x y x y y x x = + + = Câu 3. (4 điểm) 1. Cho hai số thực dơng x, y thỏa mãn 1x y+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 11 A x y x y = + + + ữ 2. Giải bất phơng trình: 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x + (Với k n A là chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là tổ hợp chập k của n phần tử; k, n là các số tự nhiên và 0 k n ) Câu 4. (2 điểm) Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm ( ) 2 2 4 2 2 4 4 16 4 4x x x m x x m + + = + + + + Câu 5. (6 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, các cạnh bên đều bằng 3 . Gọi M, N là trung điểm của AB và AC, I là trung điểm BC, H là trung điểm SI. 1. Chứng minh: AH(SBC). 2. Dựng thiết diện tạo thành do mặt phẳng cắt hình chóp, biết rằng qua MN và (SBC). Tính diện tích thiết diện. -----------------Hết--------------------- Onthionline.net TRƯỜNG THCS GIÁP BÁT KIỂMTRAVÒNG MỘT HỌC SINH GIỎI TOÁN Cho A = 111 - 888 +1 CMR: A số phương biết có 2n chữ số n chữ số Tìm dư phép chia x99 + x55 + x11 + x + a) Cho ( x + ) b) Cho ( x2 + ) Giải phương trình sau: a) (x + )4 + ( x - ) = ( 2x + )4 b) 5x2 + 2y2 - 2x -4y - 4xy +5 =0 Tìm GTLN , GTNN : A = 2x + x2 +2 Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC(H thuộc AC ) Trên tia đối tia BHlấy E cho BE=AC CMR : góc ADE = 450 Đềkiểmtra chất lợng hsg tháng 10 môn toán8 (Thời gian làm bài : 150 phút) Bài 1(4đ):Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x 2 +8x + 15 b/ x 16 + x 8 2 c/ (a-b) 3 + (c-a) 3 + (b-c) 3 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c là 3 số thoả mãn : a+b+c=0 và a 2 +b 2 +c 2 =14 Tính giá trị biểu thức A = a 4 +b 4 +c 4 Bài 3 (3đ): Cho đa thức f(x) = 2x 2 + 3x + m g(x) = 2x- 1 a/ Tìm m để f(x) chia hết cho g(x) b/ Tìm x nguyên để Z xg xf )( )( với m = 2 Bài 4 (2đ): Cho đa thức P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 +cx 2 +dx+132005 Biết rằng P(1) = 8; P(2) = 11; P(3) = 14; P(4) = 17 Tính giá trị của đa thức P(x) với x=10 Bài 5(6đ): Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB = 3a ; đáy nhỏ CD =AD = a; góc A bằng 60 độ. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của AB,CD. a/ Chứng minh tứ giác AMND là hình thang cân b/ Gọi I là trung điểm của MN; CI cắt AB tại E . Chứng minh EMCN là hình chữ nhật c/ Chứng minh tam giác ECB vuông tại C Bài 6 (2đ) Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I .Chứng minh BI 2. MI KIỂMTRA HỌC SINH GIỎI TOÁN 5 BÀI SỐ 1 Thời gian 90 phút ( không kể thời gian giao đề) Họ và tên HS: .Lớp 5 Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ mà mỗi số chỉ có duy nhất một chữ số 6 ? . . . . Bài 2: Tính tổng sau: a) 1 + 2 + 3 + 4 + + 1006 + 1007 . . . . b) . 75 2 53 2 31 2 + × + × + × + 2927 2 2725 2 × + × . . . . . Bài 3 Ba bạn An, Bình và Cư làm bài kiểmtra môn toán được các điểm số là 8 ; 9 ; 10. biết rằng điểm của Bình là số không chia hết cho 5, điểm của Cư là số không chia hết cho 2. Tìm điểm của mỗi bạn. Bài giải . . . . . . Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB dài 40 cm, AC dài 50 cm. Trên AB lấy đoạn AD dài 10 cm, từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E. Tính diện tích tam giác BED. Giải . . . . . . . . . Bài 5: Một người đi xe đạp và một người đi xe máy khởi hành cùng một lúc để đi từ A đến B. Sau 15 phút, hai người cách nhau 4 km. Tính vận tốc của mỗi xe, biết xe đạp đi từ A hết 2 giờ còn xe máy đi hết 1 giờ. Giải . . . . . . . thi hc sinh gii toỏn 8Đề số 1 Bài 1: (3 điểm)Cho biểu thức + + += 3 1 327 : 3 3 3 1 2 2 2 x x x xx A a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm)Giải phơng trình: a) y y y yy 31 2 19 6 3103 1 22 + = + b) 2 2 1 . 3 6 1 3 2 4 3 2 = + x xx x Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy. Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm)Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phơng. Đề số 2 Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 54 2 + xx b) )2()()( cbabccaacbaab +++ 2) Giải phơng trình 5 4 127 1 65 1 23 11 2222 = ++ + ++ + ++ + + xxxxxxxx Câu II: (2 điểm) 1) Xác định a, b để da thức baxxxxf +++= 23 2)( chia hết cho đa thức 1)( 2 ++= xxxg . 2) Tìm d trong phép chia đa thức 2006)( 51337161 +++++= xxxxxxP cho đa thức .1)( 2 += xxQ Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: 222 2 222 2 222 2 b b bac c accba a P + + = 2) Cho ba số a, b, c thoả mãn accbba ,, . CMR: 0 ))(())(())(( 222 = ++ + ++ + ++ bcac abc cbab acb caba bca Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA, BB, CC đồng quy tại H. CMR: ' ' ' ' ' ' CC HC BB HB AA HA ++ bằng một hằng số. Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 baba baba Q ++ + = 1 45 thi hc sinh giỏi toán8Đề số 3 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: )()()()()()( 222 babacacacbcbcba +++++ b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 111 =++ cba Rút gọn biểu thức: abccabbca N 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + = Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 22 +++= yxxyyxM b) Giải phơng trình: 01)5,5()5,4( 44 =+ yy Bài 3: (2điểm) Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp ngời đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đờng AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 34553 22 =+ yx Đề số 4 Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 5 + x +1 ;b) x 4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0 Bài 2 : (1,5điểm)Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 22 2 12 ++ + ++ + ++ = cac c bbc b aab a A Bài 3: (2điểm)Cho 4a 2 + b 2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính: 22 4 ba ab P = Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: Bài 1 (3đ): Một ngời đi xe đạp đi nữa quãng đờng đầu với vận tốc 12 Km/h , nửa quãng đờng còn lại đi với vận tốc 20 Km/h. Tính vận tốc trung bình trên toàn bộ quãng đờng. Bài 2 (2đ) : Treo một vật bằng kim loại vào lực kế và nhúng chìm vật vào trong một bình tràn đựng nớc thì thấy lực kế chỉ 8,5N và đồng thời lợng nớc tràn ra là 0,5 lít . Tính khối lợng của vật đó . Biết trọng lợng riêng của nớc là 10000N/m 3 . Bài 3 (2đ): Mt thựng kớn A bng nha ng ru, c thụng vi bờn ngoi bng mt ng l nh, di v thng ng (hỡnh 1). Nu y ru vo thựng ti B thỡ khụng sao, nhng nu thờm ru cho ti u trờn ca H thỡ thựng s b v mc dự lng ru trong ng nh khụng ỏng k so vi lng ru trong thựng (vỡ tit din ng rt nh) . Hóy gii thớch hin tng trờn. Bài 4 (3 đ) : Cho hai bình thông nhau có dạng hình trụ tròn giống nhau đờng kính 10cm đợc chứa cùng một lợng nớc. Ngời ta đổ vào một bình một lợng dầu hoả (không hoà tan vào nớc) đến khi thấy mặt phân cách giữa dầu và nớc ở chính giữa phần đáy bình thì dừng lại, khi đó mặt thoáng chất lỏng ở hai bình chênh lệch nhau 20cm . Hãy tính khối lợng dầu hoả đã đổ vào bình? Biết khối lợng riêng của dầu hoả D 1 = 800kg/m 3 ,khối lợng riêng của nớc D 2 =1000kg/m 3 . Đáp án: Bài 1 : Gọi chiều dài quãng đờng là 2S (km) 0,25 - Thời gian đi nữa quãng đờng đầu: S/12 (h) 0,5 - Thời gian đi nữa quãng đờng còn lại : S/20 (h) 0,5 - Thời gian đi cả quãng đờng: t = S/12 + S/20 = 2S/15(h) 0,5 - Vận tốc trung bình trên toàn bộ quãng đờng: v = 2S/t = 15 (Km/h) 0,25 Bài 2 : Gọi số chỉ của lực kế là F; Lực đẩy ASM tác dụng lên vật KL là Fa; Trọng lợng của vật là P ; Khối lợng của vật là m; thể tích lợng nớc tràn ra là V; ta có: F = 8,5N V = 0,5 lít = 0,0005 m 3 d n = 10000N/m 3 Tính m? 0,5 Giải Khi vật cân bằng thì: F = P - Fa P = F + Fa 1 Trong đó: Fa = d n .V = 10000.0,0005 = 5(N) 0,5 Suy ra P = 8,5 + 5 = 13,5 (N) 0,5 Khối lợng của vật là: m = 1,35 (kg) 0,5 H l C Hỡnh 1 Bài 3: Học sinh giải thích đợc là: Do áp suất của chất lỏng tác dụng lên đáy thùng và thành thùng phụ thuộc vào độ cao của cột chất lỏng nên mc dự lng ru trong ng nh khụng ỏng k so vi lng ru trong thựng, thùng vẫn bị vỡ Bài 4 : Đổi 20 (cm) = 0,2 (m) 10 (cm) = 0,1 (m) 0,25 Vì dầu hoả không hoà tan trong nớc nên khi đổ vào một bình một lợng dầu hoả thì dầu hoả và nớc mỗi chất sẽ nằm ở 1 nhánh của ống. 0,25 - Do khối lợng riêng của dầu hoả nhỏ hơn khối lợng riêng của nớc nên cột cao hơn chứa dầu. 0,5 - Gọi chiều cao của cột dầu là h1(m); chiều cao của cột nớc là h2 (m) - Do mặt thoáng chất lỏng ở hai bình chênh lệch nhau 20cm nên: h1 = h2 + 0,2 (m) 0,25 - áp suất của dầu tác dụng lên điểm phân cách là : p1 = D1.h1 0,125 - áp suất của nớc tác dụng lên điểm phân cách là : p2 = D2.h2 0,125 - Ta có p1 = p2 D1.h1 = D2.h2 D1(h2 + 0,2) = D2.h2 0,5 HS tính đợc h2 = 0,8 (m) h1 = 1(m) 0,25 Do ống hình trụ nên diện tích tiết diện ống là: S = .R 2 3,14.0,0025 = 0,00785 (m 2 ) 0,25 Thể tích cột dầu là: V = 0,00785. 1 = 0,00785(m 3 ) 0,25 Khối lợng dầu hoả đã đổ vào bình là: m = V.D = 0,0785.800 = 6,28 (kg) 0,25