Đáp án đề thi HSG 12 năm 04 - 05

Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2004 2005 2005 Hớng dẫn chấm Đề thức Bài Bài Câu 1) (2 đ) Môn Toán lớp 12 Bản hớng dẫn có 04 trang Cách giải sơ lợc điểm (4 ®) xR ta cã: y’ = (m +1)x2 – 2(2m +1)x +m + Hàm số đồng biến [2;+∞) y’ ≥ x[2;+∞) Gäi T lµ tËp nghiƯm bất phơng trình y +) Nếu m = -1 ta cã y’ = 2x +2 ≥ ↔ x ≥ -1  T= [-1;+∞)  [2;+∞)  T  m= -1 tho¶ m·n +) NÕu m < -1 cã T =  hc T = [x1,x2]  [2;+) T m < - không thoả m·n +) NÕu m > -1 xÐt ’ = 3m2 -2 *) NÕu *) NÕu T[2;+ ∞) 0,25 0,25 0,25 2  T = R  T [2;+∞) tho¶ m  3  m    T= (-∞; x1][x2; +∞)    1 m     0,25 m·n  x1< x2 ≤  0,25   '    1) y ' ( ) ( m  S     0     m      m 1   Tãm lại ta đợc kết toán là: - ≤ m < 0,5 C©u 2) Víi m = ta cã: y = x -5x +5x +3  y = 3x -10x +5 (2 đ) Gọi phơng trình tiÕp tuyÕn qua A(1; 4) lµ y = k(x- 1) +4 x  5x   k ( x  1)  Ta cã hÖ: 3xx  510 x k Phơng trình tiếp tuyến 1: y = - 2x + Phơng trình tiếp tuyÕn 2: y = - 3x +7 3 2 0,25 0,25 2 x  4x  5x  0  k      k   k 3x  10x  0,5 0,75 0,5 Bµi C©u 1) Tõ hƯ  < x < y (2 đ) Rút y từ (1), thay vào (2) đợc Đặt t x (4 đ) 0,25 (3 x x )3  x  x  7 x x   (3) 0,25  t >0 (3) trë thµnh f ( t ) 2 t  9t  27t  7t  27 0 f (1) (4) 0,5 0,5 Mµ f ' (t )  (54  54)t  f(t) đồng biến (0;+) Vậy (4) t =1 Từ đợc nghiệm hệ đà cho (x ; y)=(1; 2) Câu 2) Ta cã: A < B < C  a < b < c  sinA < sinB < sinC (2 ®) Txđ phơng trình: D = [sinC; +) Gọi phơng trình đà cho (1) Ta có: (1) f (x) : V× sinA < sinB < sinC Ta cã x  sin C  x  sin A x  sin B  0 x  sin A 0,5 0,25 0,25 nên f(x) xác định, liên tơc trªn D f(sinC) = sin C  sin B  1 sin C  sin A 0,5 ; 0,5 lim y =    > sinC cho f() > x    f(sinC).f() < víi mäi A < B < C Tõ suy phơng trình f(x) = ( (1) ) lu«n cã nghiƯm víi mäi A < B < C 0,5 Bài (4 đ) Câu 1) Gọi bất đẳng thức cần chứng minh (1) (2 đ) XÐt P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x4 – S1x3 + S2x2 – S3x + S4 0,25 P(x) có ba nghiệm dơng phân biệt m, n, t Ngoài ra, theo định lý Viét có 3S   m  n  t  S    mn  nt  tm  S  mnt    Tõ gi¶ thiÕt cã mn +nt + tn +mnt = (2)  nt <  - nt > (2’) LËp luËn: (1)  …  m + n + t  mn + nt + tm (3) LËp luËn ba sè cã hai số 1, Giả sử n t (1- n)(1- t)  (4) Rót m tõ (2), thay vµo (3) ta đợc (3) (4- nt)(1- n)(1- t) +(n - t)2 ≥ (3’) Tõ (2’) vµ (4) ta thấy (3) (3) (đpcm) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u 2) Ta cã : 0< A, B, C <   (2 ®)  Chøng minh t¬ng tù suy sin < 2AB  A  B   2AB 2BC 2CA AB B C CA  sin  sin sin  sin  sin AB B C CA 2 minh bỉ ®Ị: 0,25 AB 2 2AB AB sin sin AB 0,25 Chøng Víi x, y, z (0; ) th× xyz AB B C CA 3 sin  sin  sin  2 2 2AB 2BC 2CA 3 sin  sin  sin  AB B C CA 0,5 sinx + siny + sinz ≤ 3sin  Tõ ®ã suy Dấu xảy Bài 0,25 0,25 … …  A = B = C  Tam giác ABC 0,25 0,25 (6 đ) Câu 1) Từ giả thiết B1(2;1;5), C1(4;1;5), D1(4;-1;5) (4 đ) (Nêu cách suy toạ độ điểm ) Điểm I(3;0;4) Ta cã IA = (-1;-1;-1) IB = (-1;1;-1) ; IC = (1;1;-1) IA1 = (-1;-1;1) ID = (1;-1;-1) Suy IA = IB = IC = ID = IA1= I tâm hình lập phơng Gọi góc đờng thẳng bốn đờng chéo hình lập phơng ; ; ; Ta cã: h1 = h8 = sin1 ; h2 = h7 = sin2 ; h3 = h6 = sin3 ; h4 = h5 = sin4 TÝnh cos1; cos2 ; cos3 ; cos4  cos21+ cos22 + cos23 + cos24 =  S = 6(sin21 + sin22+ sin23+ sin24) = 16  S kh«ng phơ thuộc vào m, n, p Câu 2) (2 đ) f ( M )  MA  MB.AB MC.AC MD.AD   AB AC AD MA  MB.AB MC.AB MD.AD   AB AC AD 2 0,5 0,25 0,5 0,5 0,75 1,0 0,25 0,25  AB AC AD  AB AC AD  MA  MA      AB AC AD  AB AC AD   MA  MA.u  f ( A) Cã u 3 (do AB AC AB AD AD AC 0) Gọi góc MA vµ u Ta cã: f ( M )  MA (1  cos  )  f ( A ) f ( A ) ( (1  cos  ) 0) VËy M  A lµ điểm cần tìm 1.0 0,25 0,5 0,25 (2 đ) Bài Gọi (1) bất đẳng thức cần chứng minh Ta cã VT(1) = |f’(0)| = = lim x lim x 0,5 f ( x)  f ( 0) x f (x) f (x) sin x f (x) sin x  lim  lim lim x  x  x  x sin x x sin x x  1.1 = đpcm 1,0 0,5 Điểm toàn (20 đ) Lu ý: Bài toán giải theo cách khác, cho điểm tơng tự nh cách giải Nếu trình giải sai mà kết không cho điểm Nếu kết thí sinh không ghi đơn vị ghi sai đơn vị tuỳ theo mức độ, giám khảo xem xét trừ điểm, nhng không trừ 0,5 điểm toán Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2004 2005 2005 Hớng dẫn chấm Đề dự bị Môn Toán lớp 12 Bản hớng dẫn có 04 trang Bài Cách giải sơ lợc Bài Câu 1) mx m x  m  y '  Tx®: x  m Ta cã: Do (x - m)2 >0 (2 ®) ( x  m) xTx® nên dấu y dấu tam thức bậc hai f(x) = mx2- 2m2x +m3 + VËy hµm số có cực trị khoảng (-2; 0) Phơng trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt, khác m, thc (-2 ; 0)   HƯ nµy vô nghiệm Vậy giá trị m thoả mÃn toán điểm (4 đ) 0,25 0,5  ; f ( m)  m  '    2)  m f (  m f ( )     s /    m m     1)( m  m( m m( m  1)     m   3m  1)  0,75 0,25 0,25 C©u 2) x2  x  Víi m = ta cã: y  (C ) (2 ®) x 0,25 Ta có đờng thẳng 1: y = (1- )x a vuông góc với đờng thẳng : y = (  1)x   aR (1) 0,25 Hoành độ giao điểm cuả đờng thẳng đồ thị hàm số (C) nghiệm phơng trình: (1  )x  a  x2  x   x 2x  (2   a )x  a  0 0,5 Phơng trình có nghiệm aR Gọi (xI; yI) toạ độ trung điểm hai giao điểm (C) Từ điều kiện ta tính đợc a  x I   2  )a  y  (1   I 2   Ta nhËn thÊy yI = (  1)x I   aR  I  (2) Tõ (1) vµ (2) suy đồ thị (C) nhận làm trục đối xứng 0,5 Bài Câu 1) Điều kiện x Thấy phơng trình có nghiệm x = (2 đ) Nâng lên luỹ thừa bậc hai vế (cùng 0) ta đợc Phơng trình đà cho (1)  x2 + f(x) = x+80 (1’) Cã f(x) = hàm số đồng biến (?), ®ã: NÕu x >  x2 > x, f(x) > f(1)= 80  VT(1’) > VP(1’) NÕu < x <  x2 < x, f(x) < f(1)= 80  VT(1’) < VP(1’) VËy (1’) kh«ng cã nghiƯm x 0, x Tóm lại phơng trình có nghiệm x = Câu 2) Điều kiƯn x≥ Víi ®iỊu kiƯn ®ã  x   x    nªn gäi (1) (2 đ) bất phơng trình đà cho, ta cã: (1)  ( x   x  1) log (x  x  1) a.2 f(x) = ( x   x  1) 2005 log (x  x  1) ®ång biÕn trªn [1; +∞)  f(x) ≥ f(1) x[1; +∞)  f(x) ≥ ( ) 2005 log (1) cã nghiÖm  a 2005 ( ) 2005 log 0,25 0,25 (4 ®) 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 2005 2005 2005 2 VËy a ( 2005 ) log giá trị cần tìm x   y   z  2 cos 2 cos 2 cos 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Bµi C©u 1) Cã ≤ M := (xy-x+1)2 + (yz-y+1)2 +(zx-z+1)2 (2 ®) = (x2y2 + y2z2 + z2x2) +(x2 + y2 + z2 ) + - 2T - 2(x+y+z) +2(xy+yz+zx) Cã xy+yz+zx = … = -3  (xy+yz+zx+1)2 =4  ≤ M = 6+3+3- 2T  T T=6 x, y, z nghiệm phơng trình t3 3t + 1=   xy    yz    zx 0,25 (4 ®) 0,75 0,5 x  0 y  0 z  0 2 9 Vậy giá trị lớn T 0,5 Câu 2) (2 đ) 0,25 0,25 Tam gi¸c ABC nhän  tgA, tgB, tgC > Ta cã tg A + tg B ≥ 2 tgA + tgB = (tgA  tgB ) 2 sin(A  B ) sin C  cos A cos B cos( A  B )  cos( A  B ) ≥ sin C  cos C = cotg C > 0,25 0,25 0,25  tg2A + tg2B ≥ 2cotg2 DÊu b»ng x¶y  A = B C 0,25 0,25 A Chøng minh t¬ng tù cã: tg2B + tg2C ≥ 2cotg2 B tg2C + tg2A ≥ 2cotg2 A B 2 2 Tõ ®ã suy tg A + tg B +tg C ≥ cotg + cotg DÊu b»ng x¶y  …  A = B = C 0,25 + cotg C Bài Câu 1) Phơng trình : (tR) (4 đ) Đờng thẳng qua điểm M0(0 ; ; 0) cã u =(1 ; ; 2) §iĨm M  M(t; 1+2t; 2t)  MA= 9t  10t  MB= t  20t  14 x  y z  MA + MB = 3 (t      t 2t 2t 20 10 26 )   (t  )  81 81  MA+MB ≥ = (t  (6 ®) 0,25 0,25  10 20 26   t )2  (  ) 9 9 71  130 t = 130  35 27 DÊu b»ng x¶y  …  (Cã gi¶i thÝch dÊu b»ng x¶y ra) 130  35 10 130  43 10 130  VËy ®iĨm M( ; ; 27 27 27 t×m 0,25 0,5 0,5 1,5 70 ) điểm cần 0,5 0,5 Câu 2) Hạ AA1, MA2 mp(BCD) (2 đ) Có AM+MA2 ≥ AA1 (=: MAA1)  MA.S(BCD) ≥ AA1.S(BCD) - MA2.S(BCD) = 3V(ABCD)-3V(MBCD) Viết bất đẳng thức tơng tự cộng lại ta đợc f(M) 9V(ABCD) = Const = M thuộc bốn đờng cao M  H VËy M  H th× f(M) nhá 0,5 0,5 0,75 0,25 Bài (2 đ ) Trừ hai vế cho x, đa số vế, gọi (1) bất đẳng thức cÇn chøng minh ta cã (1)  …    x    x    log 1      log 1            Do > >1 vµ (1’) 0,75    x    x    > log 1      log 1           x   2     log 1     x   Tõ ®ã  (1’) ®óng  (1) ®óng (đpcm) 1.0 0,25 Điểm toàn (20 đ) Lu ý: Bài toán giải theo cách khác, cho điểm tơng tự nh cách giải Nếu trình giải sai mà kết không cho điểm Nếu kết thí sinh không ghi đơn vị ghi sai đơn vị tuỳ theo mức độ, giám khảo xem xét trừ điểm, nhng không trừ 0,5 điểm toán Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2004 2005 2005 Hớng dẫn chấm Đề thức Bài Bài Câu 1) Rút gọn đợc (2 đ) Môn Toán lớp Bản hớng dẫn có 04 trang Cách giải sơ lợc x Thay x = (  2).3 (  2)  (3  5)  ®iĨm (4 ®) (  2).(  2) 3  ta vµo A tính đợc A = 20042005 1,5 0,5 Câu 2) 1) XÐt k  Z, k  Ta cã: (2 ®) 1 1 2 1 2 2  ) 1      1       2 k k k  ( k  1)k k k k k k ( k  1) k ( k  1) k 1,0 1 1 1 1  (1   )   1   1   k k ( k  2) k k k ( k  1) k (1  Cho k = 3, 5,… , 2005 råi cộng đẳng thức thu đợc, ta có: B = (1   )  (1   )   (1   ) 2003   3 2004 2005 2005 VËy B lµ sè hữu tỉ Bài Câu 1) Tính đợc = (m+2) – 2(m +4m +3) ’ 2 1,0 (4 đ) 0,5 (2 đ) 0,5 0,5 Phơng trình có nghiệm  ’ ≥  m2 +4m +2 ≤  (m +2)2 ≤  m    kÕt qu¶:   m Câu 2) (2 đ) Có x1  x  x1 x  Tõ phÇn cã 3m  10m  m2 0,5 0,25 := |f| Đặt t = m +  |t| ≤ f  (3t  2t  3)  (t  )  2 3 1  (t  )  (  ) t    (  ) t    3 3 Ta cã Víi   5 2  (t  )2  f  (  )2  (1  ) 3 3 3m  10m  2 (1  ) 2 0,25 0,25 0,5 0,5 (đpcm) 0,25 Bài Câu 1) a) Xét hệ (2 đ) Từ phơng trình (1) suy x = my (3) Thay vào phơng trình (2) ta tìm đợc (m2 +2)y = 2m -5 (4 ®) suy |f| = 2 x  my  mx  y 5 V× m + >  y 2m  = m 2 (1) (2 ) Thay vào (3) có Vì x > y < nªn ta cã  5m m2    2m m2      x   5m  m2  b)Tõ y 0,25 Tõ ®ã suy -  m  Mµ m  Z nªn m = 0, 1, 0,25 0,25 2m  4m  25 33  y ( m  )  4  2 m 2 m 2 m 2 V× y, m  Z  y(2m+5)  Z  m2 + = 3; 11; 33 m 1 +) NÕu m2 + =3  m2 =1   m   0,25 0,25 0,25  x 3   y 1 LËp luËn víi m =1 thoả mÃn Lập luận với m =-1 hệ có nghiệm không thoả mÃn m +) Nếu m2+2 =11  m2 =   m    x 1   y 1 Lập luận với m =-3 thoả mÃn Lập luận với m = hệ có nghiệm không thoả m·n +) NÕu m2 + = 33  m2 = 31 : v« nghiƯm KÕt ln: m =1, m = - 0,25 0,25 C©u 2) Cã x2 + xy + y2 = (x-y)2 + (2 ®) 4 (x+y)2 ≥ (x+y)2 ≥ 0,5 0,25  x  xy  y   x  y  ViÕt hai bất đẳng thức tơng tự Cộng lại đợc 0,75 x  xy  y  x  xy  y  x  xy  y  ( x  y  z) Dấu xảy chẳng hạn x = y = z = Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa P lµ Bµi Câu 1) Hình vẽ (4 đ) a) Chứng minh 0,25 0,25 (6 đ) 0,25 0,5 0,5 IMA cân I   IMA =  IAM vµ IBK = IAK   IBK =  IAK Suy  IMK + IBK =  IAM +  IAK = 1800  tø gi¸c IMKB néi tiÕp 0,25 Chøng minh tơng tự có tứ giác KNIB nội tiếp 0,25 điểm I, M, N, K, B nằm đờng tròn 0,25 b) Chứng minh BMK =  KMN ;  EAM =  EBM ;  EAM = AMN 0,75   BMK =  EBM AM // BE tứ giác AMEB hình thang Mà tứ giác AMEB nội tiếp BM = AE 0,75 Chøng minh t¬ng tù cã BN = AF VËy BM + BN = EF 0,5 C©u 2) (2 đ) Từ hình vẽ theo định lý Pitago cã: f(P) = BP2 – PL2 + CP2 – PM2 + AP2 – PN2 = … = BN2 + AM2 + CL2 Tõ ®ã cã:  2f(P) = BL2 + LC2 + CM2 + AM2 + AN2 + NB2 ≥ (BL  LC )2 (CM  MA ) (AN  NB )2   2 0,5 = [BC2 + CA2 + AB2] = H»ng sè DÊu “=” x¶y  BL = LC, CM = MA, AN = NB P tâm O đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vậy f(P) nhỏ nhÊt P  O 1,0 0,5 Bµi (2 đ) Đặt P(x)= vế trái phơng trình đà cho Ta cã: P(x) = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 NÕu x ≥ th× (2x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 294x + 343 < P(x) < 8x3 + 120x2 + 600x + 1000 = (2x + 10)3  2x +7 < y < 2x +10  y = 2x + hc y = 2x + Nhng hai phơng trình P(x) (2x + 8)3 = - 12x2 + 36x +272 = vµ P(x) - (2x +10)3 = - 24x2- 66x + 55 = nghiệm nguyên Vậy phơng trình không cã nghiƯm nguyªn víi x ≥ NhËn xÐt P(-x-7) = - P(x) nên (x;y) nghiệm phơng trình (x 7; - y) nghiệm Vậy phơng trình nghiệm với x - Víi – ≤ x ≤ -1 , ta cã P(-1) = 440 ; P(-2) = 216 = 63 ; P(-3) = 64 = 43 Vậy phơng trình có nghiƯm víi – ≤ x ≤ -1 lµ (-2 ; 6) ; (-3 ; 4) Theo nhËn xÐt trªn, phơng trình có hai nghiệm (-4 ; -4) ; (-5 ; -6) Tóm lại phơng trình có nghiệm nguyên (x ; y) = (-2 ; 6) ; (-3 ; 4) ; (-4 ; -4) ; (-5 ; -6) Điểm toàn 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (20 đ) Lu ý: Bài toán giải theo cách khác, cho điểm tơng tự nh cách giải Nếu trình giải sai mà kết không cho điểm Nếu kết thí sinh không ghi đơn vị ghi sai đơn vị tuỳ theo mức độ, giám khảo xem xét trừ điểm, nhng không trừ 0,5 điểm toán Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang Hớng dẫn chấm Đề dự bị Bài Bài Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2004 2005 2005 Môn Toán lớp Bản hớng dẫn có 04 trang Cách giải sơ lợc điểm (4 đ) Câu 1) Biến đổi A = (2 đ) 2  x(  x ) (x  2)  x(  x )  (x  2) ( §iỊu kiƯn: ≤ x ≤ ) A= x  x(  x )  (  x ) (x  2) = x 4 x ( x   x) 0,25 0,5 (x  2) 0,25 ( x  2) V× ≥ x > nªn 2x >  x > – x ≥  A = 0,25 x  4 x x  4 x x  (4  x) 2( x  )    a ( x  2) (x  2).( x   x ) (x  2).a 0,75 C©u 2) Tõ a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a + b + c ).( a2 + b2 + c2 – ab – bc – (2 ®) ca)  – 3abc = 1.( - ab – bc –ca )  3abc = ab + bc + ca Mµ = (a + b + c )2 = a2 + b2 +c2 + 2(ab + bc + ca)  = + 2( ab + bc + ca)  ab + bc + ca =  3abc =  +) NÕu a = hƯ cã d¹ng b  c  b c b  c  b  b b    a 0  b 0   c  c c c      hc  B = +) NÕu b = hc c = làm tơng tự Nh trờng hợp ta có B = a b c Bài Câu 1) (2 đ) 0,25 0,25  0 0,25    0,25 0 0  a  b  c 0  0 0,5 0,25 0,25 (4 ®) +) Tìm đợc điều kiện để phơng trình có nghiệm m +) Phơng trình cần lËp lµ: t2 - (2m + 3) t + m2 4m = Câu 2) +) Điều kiện ®· cho  t2 < < t1 (2 ®) +)  ®¸p sè   m Bài Câu 1) i) Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số không ©m ta cã: (2 ®) x  y 2 xy ; z  xyz 2 z xyz xy  z xyz 2 0,5 1,5 (4 ®) 0,25 (a) xy z xyz 2 xyz xyz 23 xyz 1,0 1,0 (b) Tõ (a) vµ (b) lập luận suy đpcm ii) Gọi bất đẳng thức cần chứng minh (1), ký hiệu VT vế trái (1), VP vế phải (1) áp dụng bất đẳng thức phần i) ta có 0,5 a2 1 a2 1 3    2  2 b ab ab b ab ab b ViÕt hai bất đẳng thức tơng tự cộng lại ta ®ỵc 0,5 VT + 2M ≥ 3VP Trong ®ã M : Mµ 1 1     33  a b a b b a b ab 1   2 ab bc ca 0,25 Viết hai bất đẳng thức tơng tự cộng lại ta đợc: 3VP 3M  2VP ≥ 2M Tõ ®ã ta cã: VT + 2M ≥ 2VP + VP ≥ 2M + VP  VT VP (đpcm.) Câu 2) (2 đ) a) +) Nếu m = hệ trở thành Hệ có vô số nghiệm +) Nếu m =- hƯ trë thµnh nghiƯm 2 x  y 8  x  y  0,25 0,25  x  y 12  x  y  +) NÕu m  vµ m  - hÖ cã nghiÖm nhÊt Hệ vô 0,25 m x   m   y   m   0,25 b) +) Khi m  vµ m  - hƯ cã nghiƯm trên: 0,5 Để hệ có nghiệm nguyên dơng y N* m + ớc nguyên d¬ng cđa Víi m = -1  x = y = ( thoả mÃn) Với m =  x = vµ y = (tho¶ m·n) +) Khi m = , hƯ cã vô số nghiệm thoả mÃn: x = 2y vµ < y <  y = 1; x = 0,5 K.tra: m = -1  hÖ có nghiệm nguyên dơng x = ; y = m = hệ có nghiệm nguyên dơng x = ; y = m = hệ có nghiệm nguyên dơng x = ; y = VËy m = - ; m = ; m = giá trị cần tìm 0,25 0,25 Bài Câu 1) a) +) Hình vẽ (4 đ) +) Chứng minh đợc tứ gi¸c AECH, BHCF néi tiÕp +) Chøng minh  EHC =  HFC vµ  HEC =  CHF +) Suy HEC   FHC  CE  CH  CH2 = CE.CF CH CF b) +) Chøng minh ®ỵc AM.CE KA S AMK S ACK S AMC CE    2  KB S BMK S BCK S BMC CF BM.CF CE CA  CH CB HAC  CH  CA CF CB +) Suy CE CH  CA CA  CE  CA CH CF CB CB CF CB 0,5 0,5 0,5 +) Chøng minh đợc EAC HBC +) Tơng tự chứng minh ®ỵc FBC  (6 ®) 0,25 0,5 0,75 0,5 0,5 Câu 2) Trờng hợp I Tam giác ABC không tù (2 đ) Hình vẽ MA.BC = MA(BD+DC) MA(BH+CK) = 2(S(AMB)+S(AMC)) Viết đẳng thức tơng tự, cộng lại ta đợc f(M) 4S(ABC)=Const (= M trực tâm.) Trờng hợp II Tam giác ABC tù chẳng hạn A Hình vẽ Kẻ AB1 AC, AB1 = AB Cã  AB1B =  ABB1   MB1B ≥ MBB1  MB ≥ MB1  CB1B ≥  CBB1  CB ≥ CB1  f(M) ≥ MA.CB1 + MB1.AC + MC.AB1 ≥ 4S(AB1C) = 2AB1.AC = 2AB.AC = Const (“=”  M  A.) Tãm l¹i, nÕu tam giác ABC không tù M trực tâm, tam giác ABC tù M đỉnh góc tù Bài Giả sử m < n < k  k – m ≥ (1) Gi¶ sư ba số |f(m)|, |f(n)|, |f(k)| nhỏ |f(k)- f(n)| < |f(k)| + |f(n)| < + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (2 ®) 0,25 =  |(k - n)(k + n + b)| <  |k + n + b| < ( k - n ≥ 1) T¬ng tù ta cịng cã |m + n + b| < Tõ ®ã cã: k – m = | k + n + b - (m + n + b)| ≤ | k + n + b| + | m + n + b| < 1+1 = Đó điều vô lý (trái với (1)) Từ ®ã suy ®pcm 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 §iĨm toàn (20 đ) Lu ý: Bài toán giải theo cách khác, cho điểm tơng tự nh cách giải Nếu trình giải sai mà kết không cho điểm Nếu kết thí sinh không ghi đơn vị ghi sai đơn vị tuỳ theo mức độ, giám khảo xem xét trừ điểm, nhng không trừ 0,5 điểm toán  ... x -1 lµ (-2 ; 6) ; (-3 ; 4) Theo nhận xét trên, phơng trình có hai nghiệm (-4 ; -4 ) ; (-5 ; -6 ) Tóm lại phơng trình có nghiệm nguyên (x ; y) = (-2 ; 6) ; (-3 ; 4) ; (-4 ; -4 ) ; (-5 ; -6 ) Điểm... 1) Từ giả thi? ??t B1(2;1;5), C1(4;1;5), D1(4 ;-1 ;5) (4 đ) (Nêu cách suy toạ độ điểm ) §iÓm I(3;0;4) Ta cã IA = (-1 ;-1 ;-1 ) IB = (-1 ;1 ;-1 ) ; IC = (1;1 ;-1 ) IA1 = (-1 ;-1 ;1) ID = (1 ;-1 ;-1 ) Suy IA... nhng không trừ 0,5 điểm toán Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2 004 2 005 2 005 Hớng dẫn chấm Đề dự bị Môn Toán lớp 12 Bản hớng dẫn có 04 trang Bài Cách giải