SKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế

SKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tếSKKN Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Lý thuyết tương đối hẹp. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế

A MỤC ĐÍCH, SỰ CẦN THIẾT Trong năm gần phần Vật lý đại, đặc biệt Lý thuyết tương đối hẹp ứng dụng thường xuyên xuất đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia chiếm nội dung lớn kì thi Olympic vật lý quốc tế Đây nội dung khó trừu tượng mà học sinh, chí kể giáo viên giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển chưa hiểu rõ Hơn sách giáo khoa vật lý, kể SGK dành cho HS chuyên viết sơ sài, gần mang tính chất giới thiệu Cịn tài liệu chun sâu lại viết dài khó hiểu Trong với yêu cầu kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế môn vật lý học sinh phải hiểu sâu sắc vấn đề lý thuyết, sở vận dụng giải tốn nghiên cứu ứng dụng bắt buộc Vì lí chúng tơi chọn đề tài “Hệ thống hóa lý thuyết tập phần Lý thuyết tương đối hẹp Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế” B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN Làm tư liệu tham khảo, giảng dạy cho thầy cô em học sinh trường THPT chun Lê Q Đơn Từ nhân rộng cho giáo viên học sinh toàn tỉnh Tham gia thi viết chuyên đề khối Hùng Vương Duyên hải Bắc C NỘI DUNG GIẢI PHÁP I TÌNH TRẠNG GIẢI PHÁP ĐÃ BIẾT Trong thời đại ngày khoa học công nghệ ngày phát triển, người bắt đầu tiến đến đỉnh cao tri thức, khám phá giới vật chất vi mô vũ trụ rộng lớn Trong có nhiều tượng tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô mà học cổ điển giải thích được, đời vật lí đại nhằm giải thích số tượng mà vật lí cổ điển chưa làm đồng thời vật lí đại mang lại nhìn sâu sắc người tự nhiên Vật lí đại dựa tảng hai lý thuyết học lượng tử thuyết tương đối Các hiệu ứng lượng tử xảy cấp độ nguyên tử (gần 10-9 m), hiệu ứng tương đối tính xảy vận tốc vật đạt xấp xỉ tốc độ ánh sáng (gần 108 m/s) Cơ học cổ điển vật lí cổ điển nghiên cứu tượng với vận tốc nhỏ khoảng cách tương đối lớn Trong năm gần đội tuyển học sinh giỏi quốc gia mơn Vật lí tỉnh Điện Biên có bước tiến vượt bậc dần khẳng định vị trí khối Hùng Vương Duyên Hải Bắc Bộ Từ năm 2011 trở trước để có học sinh đạt giải quốc gia điều thấy Từ năm 2012 đến năm đội tuyển học sinh giỏi quốc gia mơn Vật lí tỉnh Điện Biên đạt giải giải có “số” nhiên để có giải nhì có học sinh tham gia đội dự tuyển thi olympic quốc tế Qua điều tra tơi nhận thấy có số chun đề chưa dạy sâu để học sinh tiếp cận trình độ khu vực quốc tế Vì lí chúng tơi chọn đề tài “Hệ thống hóa lý thuyết tập phần Lý thuyết tương đối hẹp Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế” II NỘI DUNG GIẢI PHÁP Phần I Các tiên đề Einstein Nguyên lý tương đối học công thức biến đổi Galileé Trong học cổ điển hay học Newton tuân theo nguyên lý tương đối Nguyên lý tương đối phát biểu sau: ”Tất hệ quy chiếu qn tính hồn tồn tương đương mặt học” Điều có nghĩa là, phương trình học chuyển từ hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu qn tính khác có dạng giống hệt Theo quan niệm học cổ điển, để thoả mãn nguyên lý tương đối chuyển từ hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu quán tính khác người ta sử dụng phép biến đổi Galilee Giả sử, K hệ Oxyz nằm n, cịn hệ quy chiếu qn tính K’ gắn với hệ trục toạ độ O’x’y’z’, có trục tương ứng song song với hệ toạ độ Oxyz chuyển động với vận tốc không đổi v dọc theo phương trục Ox Ở thời điểm t = gốc O trùng gốc O’ Giữa trục toạ độ thời gian điểm M hai hệ toạ độ liên hệ với hệ thức sau:  x ' = x − xt  y ' = y z ' = z  Nhưng hệ thức (1.1) công thức biến đổi Galileé Từ công thức biến đổi Galil thấy phương trình học Newton bất biến Thật vậy: d 2x ' d 2x  dt = dt  2 d y ' d y  = dt  dt d z ' d 2z  dt = dt  uu r r hay a ' = a (1.2) *) Tính bất biến khoảng cách: Xét khoảng cách hai chất điểm i, j phép biến đổi Galilee hai hệ K K’: + Trong hệ K, khoảng cách hai chất điểm là: r ur 2 r i − rj = ( xi − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j ) (1.3) + Trong hệ K’, khoảng cách hai chất điểm là: r r r i' − r 'j = ( x ,i − x ,j ) ( + y i' − y 'j ) ( + z i' − z 'j ) = ( xi − ut ) − ( x j − ut )  + ( yi − y j ) + ( zi − z j ) = (1.4) r ur 2 x − x + y − y + z − z = ( i j ) ( i j ) ( i j ) r i − rj r r r ur Vậy: r i' − r 'j = r i − rj (1.5) Như khoảng cách hai chất điểm i j phép biến đổi Galilee hai hệ K K’ bất biến ⇒ thể tích vật thể bất biên Vì khối lượng riêng số nên khối lượng vật thể bất biến phép biến đổi Galilee ur r uu r Theo học Newton: F = m a = m a ' (1.6) Từ phép biến đổi Galileé ta suy định cộng vận tốc Từ phương trình (1.1) có: dx ' dx = − v hay u = u '+ v (1.7) dt dt Với u = dx hình chiếu vận tốc M trục Ox hệ quy chiếu quán dt tính K, u ' = dx ' hình chiếu vận tốc M trục O’x’ hệ quy chiếu dt quán tính K’, u gọi “vận tốc tuyệt đối”, u’ gọi “ vận tốc tương đối” v gọi “vận tốc kéo theo” Cơ sở thuyết tương đối hẹp Thí nghiệm Michelson-Morley : Là thí nghiệm quan trọng lịch sử vật lý học, thực năm 1887 Albert Michelson Edward Morley sở mà ngày Đại học Case Western Reserve, coi thí nghiệm phủ định giả thuyết xạ điện từ truyền môi trường giả định ê-te, đồng thời gây dựng chứng thực nghiệm cho tiên đề thuyết tương đối hẹp Albert Einstein cho số liệu đo đạc xác tốc độ ánh sáng Vấn đề khó việc kiểm tra giả thuyết khí ête đo vận tốc ánh sáng cách xác Cuối kỷ thứ 19, máy đo giao thoa phát triển để giúp cho việc kiểm tra với độ xác cao Albert Abraham Michelson Edward Morley sử dụng cho thí nghiệm mình, thu kết đo xác, khơng vận tốc ánh sáng, mà đo tỉ số vận tốc ánh sáng hai chiều vng góc Tỉ số có ý nghĩa nịng cốt cho giả thuyết khí ête Thí nghiệm Michelson-Morley thực băng giao thoa kế gồm nguồn phát ánh sáng đơn sắc vào gương bán mạ M chia làm hai phần, phần tia sáng vào gương phẳng M1 cách M khoảng l1 phản chiếu lại Phần lại ánh sáng vào gương phẳng M2 cách A khoảng l2 phản chiếu lại Tia phản chiếu từ M1 đến A truyền qua phần tới máy thu D Tia phản chiếu từ M2 đến A phản xạ phần tới máy thu D Tại D, hai tia giao thoa với tạo vạch giao thoa Bằng việc đếm vạch giao thoa, biết cách xác lệch pha hai chùm sáng, suy chênh lệch đường hai tia sáng Nếu Trái Đất đứng yên bị bao phủ ête l1 = l2= l D ta thu viền giao thoa không bị lệch Nhưng giả sử l1 Trái Đất quay với vận tốc u theo hướng x Thời gian cho ánh sáng từ M đến M1 ngược lại là: l1 l1 2l1 2l  u  t1 = + = = 1 + ÷ c − u c + u c 1 − ( u / c )  c  c    Ở đây, c vận tốc ánh sáng ête Đặt t2 thời gian ánh sáng từ M đến M2 ngược trở lại Chúng ta biết ánh sáng từ M đến M2, gương M2 di chuyển tương ête, với khoảng d = ut2 Tương tự với phản chiếu lại, gương M di chuyển với khoảng theo hướng x Bằng việc sử dụng định lý Pytago, tổng đường tia sáng là: u t22 2l2 2l  u2  ct2 = l + ⇒ t2 = ≈ 1 + ÷ c − u / c c  2c  2 2l u2 u2 lu Độ chênh lệch thời gian là: ∆t = t1 − t2 = (1 + − − ) = c c 2c c Ở đây, ∆t tỉ lệ với số vạch sáng thu Giả sử máy đo quay góc 90° Khi vạch giao thoa phải thay đổi Vì thế, việc quay máy đo, người ta quan sát thay đổi đặn vạch sáng, với mút cực đại cực tiểu định chiều vận tốc quay Trái đất ête Từ độ lớn vạch sáng, người ta tính giá trị u Tất nhiên, xảy cố, thời điểm thí nghiệm thực Trái Đất dừng quay ête, dẫn đến việc không quan sát thay đổi vạch sáng máy đo quay Nhưng sau tháng đợi chờ, vận tốc Trái đất thay đổi 57,6 km/s Trái Đất nằm vị trí đối diện quỹ đạo quanh Mặt Trời, nên vạch sáng phải quan sát Vạch sáng dự đoán tỉ lệ với u / c nhỏ Song máy đo Michelson Morley có đủ nhậy để phát vạch đỏ dự đốn Khi thí nghiệm thực hiện, kết thu ngược lại với mong chờ giả thuyết ête Mặc dù dụng cụ đo xác, khơng có vạch sáng quan sát mùa năm Sau đó, thí nghiệm kiểm chứng khác giả thuyết khí ête cho kết phủ định Dựa kiện thí nghiệm trên, sở xem xét nguyên lý tương đối học cổ điển, Einstein loại bỏ phép biến đổi t’ = t nói chung, phép biến đổi Galileé khác, ý tưởng mà ông gọi nguyên lý tương đối Nguyên lý tương đối Einstein phát biểu dạng tiên đề Thuyết tương đối hẹp Einstein: Tiên đề (Nguyên lý tương đối): Mọi tượng vật lý xảy hệ quy chiếu quán tính Nói cách khác, phương trình mơ tả tượng vật lý có dạng hệ quy chiếu quán tính Tiên đề (nguyên lý bất biến vận tốc ánh sáng) Vận tốc ánh sáng chân không hệ qn tính Nó có giá trị c = 3.108 m/s giá trị cực đại tự nhiên Như nguyên lý tương đối Einstein mở rộng nguyên lý tương đối Galileé từ tượng học sang tượng vật lý nói chung Những hệ suy từ hai tiêu đề có nhiều mâu thuẫn với quan điểm thơng thường học cổ điển Ta xét thí dụ minh hoạ sau: Hai hệ K K’ chuyển động với nhau, dọc theo trục 0x với vận tốc v Giả sử thời điểm t = hai gốc 0’ trùng Đúng lúc chớp sáng xuất lan truyền khơng gian Theo thuyết tương đối tượng thời điểm diễn biến sau, vận tốc ánh sáng hệ K K’ c, đồng thời dạng mặt ánh sáng hệ K K’ phải Như thời điểm t, mặt sóng ánh sáng hệ K mặt cầu tâm O bán kính ct, cịn hệ K’ mặt sóng ánh sáng mặt cầu tâm O’, bán kính ct’ Theo học cổ điển ta quan sát tượng sau: sau khoảng thời gian t, mặt sóng ánh sáng hệ K có dạng mặt cầu tâm O, bán kính ct, phương trình mặt sóng lúc x2 + y2 +z2 = c2t2 Muốn biết dạng mặt sóng ánh sáng hệ K’ nào, ta dùng công thức biến đổi Galileé x = x’ + vt, y = y’, z = z’, t = t’ thu được: (x’ + vt)2 + y’2 + z’2 = c2t2 Nó mặt cầu có tâm điểm x’ = vt, y’ = , z’ = 0, tức điểm O’ Như tượng, diễn biến khác hệ quy chiếu quán tính khác khác Hơn hệ K’ vận tốc ánh sáng dọc theo trục Ox’ khác với vận tốc ánh sáng theo phương khác Điều mâu thuẫn với thí nghiệm Michelson Vậy phép biến đổi Galileé không áp dụng cho trường hợp này, mà phải tìm phép biến đổi khác phù hợp với thuyết tương đối, cho mặt sóng hệ K có dạng: x2 + y2 + z = ct2, chuyển sang hệ K’ phải có dạng: x’2 +y’2 + z’2 = ct’2 Phần II Động học tương đối tính Phép biến đổi Lorentz Phép biến đổi Lorentz Theo thuyết tương đối, thời gian tính chất tuyệt đối mà phụ thuộc vào chuyển động, thời gian trôi hệ quy chiếu quán tính khác khác (t ≠ t’) Giả sử x’ liên hệ với x t theo phương trình : x ' = f (x, t) Để tìm dạng hàm số f(x, t) ta viết phương trình chuyển động gốc O O’ hai hệ K K’ Đối với hệ K, gốc O chuyển động với vận tốc v: x − vt = Ở x toạ độ O’ xét với hệ K Đối với hệ K’, gốc O’ đứng yên, toạ độ (O’) K’: x’= Muốn cho (2.1) áp dụng cho hệ K’, nghĩa thay x’ = vào (2.1) ta phải thu (2.2), f(x, t) khác (x - vt) thừa số α đó: x ' = α ( x − vt ) Ngược lại, hệ K’, gốc O chuyển động với vận tốc -v Nhưng hệ K, gốc O lại đứng yên Lập luận hoàn toàn tương tự trên, ta có: x = γ ( x ' + vt ' ) ; γ thừa số Theo tiên đề thứ Einstein, hệ quy chiếu quán tính tương đương với nhau, nghĩa từ (2.3) thu (2.4) (và ngược lại) cách thay v ↔ −v, x ' ↔ x, t ↔ t ' Từ (2.3) (2.4): x = α ( x ' + vt ) = γ ( x ' + vt ' ) ⇒ α = γ Theo tiên đề thứ hai, hai hệ quy chiếu, x = ct x’ = ct’  v Từ (2.3): x ' = ct ' = α ( x − vt ) ⇒ t ' = α  − ÷t  c Từ (2.4): thay α = γ , ct = α ( x + v ) t ' α α v2   v 2 ⇒ t = ( x + v ) t ' = ( c + v ) ì ữt = α  − ÷t c c  c  c  ⇒α= v2 1− c = Như vậy: ⇒ x ' = 1 − β , với β = x − vt 1− β v c x '+ vt ' ; x= (2.5) (2.6) 1− β v v x t '+ x ' c c Và: t ' = ;t = 1− β 1− β t− (2.7) Như vậy, phép biến đổi không- thời gian từ hệ K sang hệ K’ ta có: v x x' = y ' = y ; z ' = z c ; ; t' = 1− β 1− β x − vt t− Còn phép biến đổi không- thời gian từ hệ K’ sang hệ K ta có: x= x '+ vt ' 1− β ; y = y' ; z = z; t = v x' c2 1− β t '+ v Khi cho cách hình thức c → ∞ hay → (tương ứng với quan niệm tương c tác tức thời hay tương ứng với quan niệm chuẩn cổ điển) (2.8) (2.9) chuyển thành cơng thức biến đổi Galilee x′ = x − vt, y′ = y, z′ = z, t = t ′ x = x′ + vt, y = y′, z = z′, t = t ′ Khi v > c, công thức (2.8) (2.9) trở thành ảo Điều chứng tỏ, khơng có vận tốc lớn vận tốc có ánh sáng chân không Các hệ phép biến đổi Lorentz 2.1 Khái niệm tính đồng thời quan hệ nhân Tính đồng thời: Giả sử hệ qn tính K có hai biến cố, biến cố A xảy điểm không - thời gian (x1, y1, z1, t1) biến cố B xảy điểm (x2, y2, z2, t2) với x1 ≠ x Nếu quan sát hệ quán tính K’ chuyển động với vận tốc v dọc theo trục Ox thấy biến cố A xảy thời điểm t1′ , biến cố B thời điểm t ′2 Từ công thức biến đổi Lorentz: t2' − t1' = t2 − t1 − v ( x2 − x1 ) c2 1− β Từ (2.10) ta suy rằng, biến cố A B xảy đồng thời hệ K (t 1=t2) không đồng thời xảy hệ K’ ( t′2 ≠ t1′ ) Trừ trường hợp ngoại lệ hai biến cố xảy đồng thời điểm có giá trị x (toạ độ y z khác nhau) Như vậy, khái niệm đồng thời khái niệm tương đối, hai biến cố xảy hệ quy chiếu này, nói chung khơng đồng thời hệ quy chiếu khác Từ (2.10) thấy thêm dấu khoảng thời gian ( t′2 ≠ t1′ ) xác định dấu biểu thức v(x2 - x1) Bởi hệ quy chiếu quán tính khác (với giá tị khác v) khoảng thời gian ( t′2 ≠ t1′ ) khác độ lớn mà khác dấu Điều có nghĩa thứ tự biến cố A B thay đổi Quan hệ nhân quả: Quan hệ nhân mối quan hệ nguyên nhân kết Nguyên nhân xảy trước, định đời kết Chúng ta xét xem thứ tự biến cố bị thay đổi hệ quy chiếu quán tính khác hay không? Gọi N(x1, t1) biến cố nguyên nhân, Q(x2, t2) biến cố kết quả, hai biến cố xảy trục x hệ K t > t1 Gọi u vận tốc biến cố N, giả sử x > x1 Ở thời điểm t1 biến cố xảy N: x1 = ut1, thời điểm t2 biến cố qua điểm Q: x2 = ut2 Từ phép biến đổi Lorentz, ta có: t ' − t ' = Vì u, v < c nên − ( t2 − t1 ) 1 −  1− β uv  ÷ c2  uv > t > t1 t′2 > t1′ Nghĩa hệ K’, c2 nguyên nhân xảy trước kết 2.2 Sự co ngắn Lorentz Khơng gian: Giả sử có chuyển động dọc theo trục x K với vận tốc không đổi v Gắn với hệ quy chiếu quán tính K’ Đối với K’, đứng yên chiều dài hệ có giá trị: l0 = x2' − x1' Gọi l chiều dài hệ K Muốn đo chiều dài thanh, ta cần phải xác định toạ độ điểm đầu cuối K’ đồng thời theo phép biến đổi ' Lorentz: x2 = x2 − vt2 1− β ; x1' = x1 − vt1 1− β Trừ hai đẳng thức với nhau, để ý t = t1 , ta được: x2 − x1 = ' ' x2 − x1 1− β Từ đây: l = l0 − β < l0 Vậy độ dài dọc theo phương chuyển động hệ quy chiếu mà chuyển động ngắn độ dài hệ quy chiếu mà đứng n Khi vật chuyển động kích thước bị co ngắn theo phương chuyển động Như khơng gian có tính chất tương đối, phụ thuộc vào chuyển động Thời gian: Ta xét trình vật lý xảy điểm không gian A(x’, y’, z’) hệ K’ Khoảng thời gian để xảy tình vật lý ∆t′ = t ′2 − t1′ Nó ghi đồng hồ đứng yên K’ Bây tìm khoảng thời gian để xảy trình vật lý trên, theo đồng hồ quan sát viên (QSV) đứng K: Ta có: t = v ' v ' ' x t + x1 c2 ; t = c2 1− β 1− β t2' + Vì x1′ = x′2 cho nên: ∆t = t2 − t1 = t2' − t1' 1− β = ∆t ' 1− β Hay: ∆t ' = ∆t − β < ∆t Thành thử, khoảng thời gian để xảy trình vật lý hệ quy chiếu chuyển động nhỏ khoảng thời gian xảy q trình quan sát hệ quy chiếu đứng yên Khoảng thời gian phải hiểu là, kể từ lúc trình bắt đầu thời gian bắt đầu trơi ∆t ′ < ∆t có nghĩa thời gian trôi 10 hệ quy chiếu chuyển động chậm thời gian trôi hệ quy chiếu đứng yên Như vậy, đồng hồ hệ quy chiếu chuyển động chậm đồng hồ hệ quy chiếu đứng yên Định lý cộng vận tốc Giả sử vận tốc chất điểm hệ K u, vận tốc chất điểm với hệ chuyển động K’ u’ Từ (2.6) ta có: Như : dx ′ = u ′x = dx − vdt − β2 ; dt ′ = v dx c2 − β2 dt − dx′ dx − vdt u −v = = x dt ′ dt − v dx − v u x c2 c2 Tương tự ta thu được: u y − β2 u − β2 ux − v u ′x = , u′y = , u ′z = z v v v 1− ux 1− ux 1− ux c c c Phép biến đổi ngược lại: u ′y − β2 u′ − β2 u ′x + v ux = , uy = , uz = z v v v + u ′x + u′x + u ′x c c c Các cơng thức (2.13) - (2.15) cơng thức biểu diễn định lý cộng vận tốc thuyết tương đối Từ cơng thức ta suy tính bất biến vận tốc ánh sáng hệ quy chiếu quán tính khác Thật vậy, ux = c từ (2.13) có u′x = c Hướng vận tốc hệ quy chiếu Ta chọn hệ trục toạ độ cho vận tốc chất điểm nằm mặt phẳng Oxy Theo hình vẽ, ta có: u x = u cos θ; u y = u sin θ; u ′x = u ′ cos θ′; u ′y = u ′ sin θ′ Thay (2.15) vào biểu thức ux, uy lấy uy chia cho ux: u ′y − β2 u′ + v u y = u sin θ = ; u x = u cos θ = x v v + u ′x + u′x c c 11  u ′ − β2 sin θ′ hc  tgθ = u ′ cos θ′ + v  Suy ra:  u ′ − β2 sin θ′ sin θ = v  u(1 + u ′ cos θ′)  c Các công thức cho biết thay đổi hướng vận tốc chuyển hệ quy chiếu Hiệu ứng Doppler Hiệu ứng Doppler hiệu ứng tần số ánh sáng mà máy thu khác với tần số ánh sáng mà nguồn phát có chuyển động tương đối nguồn máy thu Giả sử có nguồn sáng S gắn với gốc O hệ K Nguồn phát ánh sáng đơn sắc tần số f Giả sử sóng truyền dọc theo trục Ox Một máy thu gắn với gốc O’ hệ K’ Hệ K’ có trục song song với trục tương ứng hệ K chuyển động với vận tốc v dọc theo trục Ox Ta tính tốn tần số f’ mà máy thu nhận x c Pha dao động ánh sáng điểm x hệ K 2πf (t − ) Theo công thức biến đổi Lorentz:  , v ,  t + c2 x x x , + vt , 2πf (t − ) = 2πf  − c c − β2  1− β   ÷ ÷ ÷  Trong hệ K, f số dao động đơn vị thời gian, nhng hệ K’, f số dao động đơn vị thời gian Đó hệ K’, tỉ lệ xích chiều dài thời gian khác so với tỉ lệ xích hệ K Ta tìm tần số f’ ánh sáng mà máy thu nhận cách viết vế trái đẳng thức dạng:  , v ,  t + c2 x x' x , + vt , 2πf '(t '− ) = 2πf  − c c − β2  1− β   ÷ ÷ ÷  Hằng đẳng hệ số t’ x’ hai vế, ta thu được: v c = f 1− β f '=f 1+ β − β2 1− (2.19) Trong (2.19), v vận tốc tương đối máy thu nguồn Coi v > máy thu nguồn xa nhau, v < máy thu nguồn lại gần Ta thấy 12 máy thu xa nguồn tần số ánh sáng mà máy thu nhận nhỏ máy thu lại gần nguồn, tần số ánh sáng mà thu lớn tần số ánh sáng mà nguồn phát *Trường hợp sóng truyền theo phương bất kỳ, áp dụng phép biến đổi Lorents, thay cho công thức (2.19) ta có cơng thức: v − cos θ c f '=f − β2 (2.20) Trong θ góc phương truyền ánh sáng phương vận tốc v hệ K π  Khi ánh sáng truyền theo phương vng góc với vận tốc v  θ = ÷ (2.20) cho  2 ta f '=  v2  ≈ f 1 + ÷ − β2  2c  f Hiện tượng biến đổi tần số ánh sáng truyền theo phương vng góc với phương vận tốc tương đối v gọi hiệu ứng Doppler ngang nhỏ so với hiệu fv ứng Doppler dọc tham gia số hạng nhỏ 2c Dựa vào hiệu ứng Doppler người ta thu vận tốc quay mặt trời, khám phá tồn đôi Bài tập 1: Một chuyển động xa Trái đất với vận tốc 5.10-3c Tính độ lệch chuyển bước sóng gãy hiệu ứng Doppler vạch D2(5890A0) Natri Giải Theo phương trình Doppler dọc ta có: f '=f o o 1− β 1+ β → λ' = λ = 5920 A → ∆λ = 30 A 1+ β 1− β Ánh sáng quan sát bị dịch chuyển phía bước sóng dài (dịch chuyển đỏ) Huble sử dụng cơng thức để tính vận tốc rời xa vũ trụ Bài tập 2: Một tên lửa rời bệ phóng trạm quỹ đạo với vận tốc 0,6c Máy phát o xạ tên lửa làm việc với bước sóng 5000 A ; 13 a Tìm bước sóng thu bệ phóng b Một tên lửa khác rời bệ phóng với vận tốc 0,8c, ngược lại với tên lửa đầu Máy thu tên lửa thu bước sóng bao nhiêu? Bài giải a λ ' = λ o 1+ β + 0, = 5.103 = 10 A 1− β − 0, b Tìm vận tốc tương đối tên lửa dựa vào công thức cộng vận tốc Vận tốc tên lửa bệ phóng u, tên lửa bệ phóng v tên lửa u’ u ,x = o ux − v 1+ β ' → λ" = λ = 3.10 A v 1− β ' 1− ux c Phần III: Động lực học tương đối tính Phương trình động lực học tương đối tính Ta xét phương trình học Dĩ nhiên phương trình học Newton bất biến với phép biến đổi Gallilei không bất biến đổi với phép biến đổi thuyết tương đối, ta phải biến đổi dạng phương trình cho thích hợp Kết là, Einstein giả thiết đa vào định nghĩa xem xung lượng r mv , m khối lượng tương đối tính m= m0 − β2 Thì định luật động lực học học tương đối tính giữ r nguyên dạng học Newton, cụ thể độ biến thiên xung lượng dp r r r chất điểm xung lực tác dụng Fdt : dp = Fdt , hay r dp r =F dt Kết hợp (3.1) (3.2): r r d m0 v =F dt − β2 Trong công thức (3.1) (3.2) , v vận tốc vật hệ K, m khối lượng nghỉ, tức khối lượng vật vận tốc nhỏ so với c, m khối lượng vật hệ K 14 Trong học cổ điển, khối lượng lượng bất biến, số đo lượng vật chất chứa vật Ở đây, Einstein quan niệm khối lượng số đo mức quán tính vật, đặc trưng hấp dẫn Khối lượng số đo lượng vật chất, vật chuyển động với vận tốc lớn, qn tính nó, tính hấp dẫn tăng, lượng vật chất tăng Công thức (3.1) cịn chứng tỏ vật khơng thể có vận tốc lớn vận tốc ánh sáng, v → c, m → ∞ , điều khơng thể Cơng thức Einstein Ta tính lượng vật, theo định luật bảo toàn lượng, biểu thức lượng vật công ngoại lực tác dụng lên vật: dW = dA r r Giả sử ngoai lực F phương với chuyển dời ds Khi đó: r r dW = dA = Fds = Fds Theo (3.3): m dv m0 v dv d  m0 v   ÷ds = ds + ds dt dt  − β2 ÷ dt − β 2  c (1 − β ) dW = Mµ dv ds = vdv , đó: dt dW =   m vdv v2 + vdv =  ÷ 2 − β2  c (1 − β )  (1 − β2 ) m0 Mặt khác, từ (3.1): m0 vdv dm = c (1 − β2 ) So sánh hai biểu thức ta rút ra: dW = c 2dm W = mc2 + C Trong C hệ số tích phân Từ điều kiện m = 0, W = rót C = Vậy W = mc hay W= m0c2 − β2 → Hệ thức gọi hệ thức Einstein 15 Các hệ a Từ hệ thức Einstein ta tìm lượng nghỉ vật, tức lượng lúc vật đứng yên: W = mc2 Lúc chuyển động, vật có thêm động K :   K = mc2 − m0 c = m c  − 1÷  − β2 ÷   Khi v m1 + m2 Nghĩa khối lượng hạt nhân trước phân rã lớn tổng khối lượng hạt nhân sau phân rã Theo Einstein, phần lượng tương ứng với độ hụt khối lượng bằng: ∆W = [m − (m1 + m )]c = ∆m.c Phần lượng toả dạng nhiệt xạ Bài tập 1: Chu kỳ bán rã pion 1,8.10 -8s Một chùm pion phát từ máy gia tốc với vận tốc 0,8c Tìm qng đường để từ nửa số hạt nhân pion bị phân huỷ (theo quan điểm) Giải: *Cổ điển: s = v∆t = (0,8.3.108 m / s)(1,8.10 −8 ) = 4,32m *TĐT: T0 = 1,8.10-8s xác định quan sát viên đứng yên chùm pion Đối với quan sát viên đứng phịng thí nghiệm, chu kỳ bán rã tăng lên là: T= T0 1− β − 1,8.10−8 s − 0,8 = 3.10−8 s s = vT = (0,8.3.10-8m/s).(3.1,8.10-8s) = 7,2m Cách giải khác (sự co Lorentz) * Đối với quan sát viên đứng yên so với chùm hạt, quãng đường Sp ngắn so với quãng đường SL đo hệ quy chiếu thí nghiệm: v2 Sp = S L = − = S L − 0,82 = −0,6S L c Khi qua quãng đường Sp, thời gian T0, nghĩa : v0T0 (0,8.3.108 m / s)(1,8.10−8 s ) Sp = vT0 ⇒ S L = = = 7, 2m 0,6 0,6 Bài toán 2: Một tên lửa chuyển động với vận tốc 0,6c Trái đất bay gần Trái đất, hoa tiêu chỉnh cho dồng hồ trùng với 12h tra Vào lúc đồng hồ 12h30phút tên lửa ngang qua trạm vũ trụ địa tĩnh a Lúc đồng hồ trạm giờ? b.Từ thời điểm chỉnh đồng hồ, tên lửa quãng đường bao nhiêu, theo cách xác định hoa tiêu β , quan sát viên trạm 17 c Vào thời điểm chỉnh đồng hồ, hoa tiêu liên lạc với Trái đất Hỏi sau (theo thời gian tàu theo thời gian Trạm vũ trụ) trạm nhận tín hiệu? Giải a Theo hệ thức trơi chậm thời gian: ∆t tr¹m = ∆t 1− β = 30 ph − 0,62 = 37,5 ph b + Đối với hoa tiêu: Khoảng cách = vận tốc thời gian = (0,6.3.108m/s)(30.60s) = 3,24.1011m + Đối với quan sát viên trạm: Khoảng cách = vận tốc x thời gian = (0,6.3.108m/s)(37,5.60s) = 4,05.1011m c + Đối với quan sát viên trạm, tín hiệu phần thời gian = khoảng cách/vận tốc = 4.05.1011 m.1 ph = 22,5 ph 3.108 m / s Thời điểm nhận tín hiệu 12h + 22ph30s = 12h22ph30s + Đối với hoa tiêu: 3,24.1011.1 ph = 18 ph 3.108 m / s.60 s Thời điểm trạm nhận tín hiệu theo đồng hồ tàu: 12h18ph Bài tập 5: Một QSV K’ chuyển động với vận tốc 0,8c trạm vũ trụ K hướng phía α chịm Nhân Mã cách năm ánh sáng (nas) Khi đến nơi, K’ quay quanh α trở trạm vũ trụ gặp lại người anh em song sinh So sánh tuổi họ gặp Giả sử năm (theo thời gian mình) K gửi tín hiệu vơ tuyến phía K’ Tính số tín hiệu mà K’ nhận chặng du hành Mỗi năm (theo thời gian mình) K’ gửi tín hiệu vơ tuyến trạm Tính số tín hiệu mà K’ phát lúc K’ từ α quay Những tín hiệu nhận vào thời điểm theo thời gian trạm vũ trụ? Giải 18 *Đối với hệ K, thời gian cho chuyến là: quãng đường ∆t = năm quãng đường ánh qua/năm = = năm vận tốc 0,8 quãng đường ánh qua/năm Thành thử thời gian tổng cộng cho chuyển 10 năm *Đối với hệ K’, theo thời gian riêng mình, thời gian trơi chậm Vì vậy, thời gian cho chuyển là: ∆t ' = ∆t − β = năm = − 0,82 = năm khoảng thời gian cho chuyến năm Khi hai anh em gặp nhau, K’ thấy trẻ tuổi so với K Cần ý, trình chuyển động hai anh em sinh đôi bất đối xứng Việc chuyển hướng chuyển động K’ quanh α làm cho K’ chịu gia tốc thực Trong việc chuyển đổi hướng K mà K’ quan sát thấy bề ngồi, thực tế khơng xảy Chuyển động K’ tương đơng với chuyển động hai quan sát viên quán tính, với u = 0,8c, cịn với v = -0,8c Cịn K tính với quan sát viên quán tính *Theo K K’ đến α sau năm Để tín hiệu vơ tuyến đến ngơi đồng thời với K’ tín hiệu phải gửi trước thời gian, tính bởi: quãng đường Thời gian = năm quãng đường ánh qua/năm = vận tốc = năm quãng đường ánh qua/năm Do đó, tín hiệu K phát vào thời điểm t = năm đến α với K’,cịn tín hiệu sau K’ nhận chặng đường trở *Theo K, K’ đến đích sau năm Tín hiệu từ K’ K nhận thời điểm năm (thời gian truyền tín hiệu từ α ) + năm (thời gian từ Trái đất đến α ) = năm Theo K’ tín hiệu tín hiệu thứ (thời gian K’ trơi qua năm), cịn tín hiệu K’ phát lúc Vậy K nhận tín hiệu đầu năm đầu (cứ năm nhận tín hiệu) cịn tín hiệu sau K nhận năm thứ 10 Bài tập 6: Một hạt nhân phóng xạ chuyển động với vận tốc 0,5c hệ phịng 19 thí nghiệm (PTN) Hạt nhân bị phân rã phát electron, electron chuyển động với vận tốc 0,9c hạt nhân hướng với chuyển động hạt nhân Tìm vận tốc electron hệ PTN Giả sử hạt nhân phát electron theo hướng vng góc với hướng chuyển động hạt nhân hệ PTN Electron có vận tốc 0,9c hệ quy chiếu gắn với hạt nhân Tìm vận tốc electron hệ PTN Giải Chọn K , K’ P quan sát viên đứng n phịng thí nghiệm, hạt nhân phóng xạ electron phát Lúc đó: ux = u 'x + v 0,9c + 0,5c = = 0,966c v ' ; uy = ; u z = + 0,5.0,9 1+ ux c Trường hợp này: ux = u 'x + v + 0,5c u ' − β2 0,9c − 0,52 = = 0,5c u y = y = = 0, 779c ;u = v ; z 1+ v ' + + u 'x 1+ ux c c Từ đây: u = u 2x + u 2y + u 2z = c 0,52 + 0, 7792 = 0,926c tnφ = uy ux = 0,779 = 1,56 ⇒ φ = 57,30 0,5 Bài tập 7: Vận tốc ánh sáng nước đứng yên c/n, với n chiết suất nước (n≈ 4/3) Năm 1851 Fizeau tìm thấy vận tốc ánh sáng (đối với PTN) dòng nước chuyển động với vận tốc v (đối với PTN) biểu diễn dạng: u= c + kv n k hệ số kéo theo Fizeau đo k = 0,44 Từ phương trình Lorentz xác định giá trị k Giải 20 Vận tốc ánh sáng đo quan sát viên đứng yên nước u 'x = c Quan sát viên đứng n phịng thí nghiệm coi ánh sáng hạt n chuyển động, tìm thấy vận tốc nó: c +v u 'x + v ux = = n v v + u 'x + c nc −1 v v  Vì v