SKKN-SO CHINH PHUONG

Mục lục Phần I: Đặt vấn đề Trang 5 Phần II: Giải quyết vấn đề Trang 5 I. Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu. Trang 5 II. Phơng pháp nghiên cứu. Trang 6 III. Những công việc thực tế đã làm Trang 6 III.1- Cơ sở lý thuyết. Trang 6 III.2- Một số dạng toán về số chính phơng. Trang 7 * Dạng I: Chứng minh một số là số chính phơng. Trang 7 * Dạng II: Chứng minh một số không là số chính phơng. Trang 11 * Dạng III: Tìm một số chính phơng thoả mãn điều kiện cho trớc. Trang 13 * Dạng IV: Tìm một số để biểu thức thoả mãn là số chính phơng. Trang 16 * Dạng V: Một số dạng toán khác về số chính phơng. Trang 18 III.3- Kết quả đạt đợc. Trang 20 IV. Bài học kinh nghiệm. Trang 21 V. Điều kiện áp dụng kinh nghiệm. Trang 21 VI. Những vấn đề còn bỏ ngỏ. Trang 21 Phần III: Kết luận- kiến nghị. Trang 22 4 Kinh nghiệm: một số dạng toán về Số chính phơng Phần I: Đặt vấn đề Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng phổ thông. Dạy học toán tức là dạy cho các em phơng pháp suy luận khoa học. Học toán tức là rèn khả năng t duy lôgic. Giải các bài toán là việc làm tốt nhất giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo. Trong toán học các bài toán về số chính phơng đã cuốn hút và làm say mê lòng ng- ời. Các bài toán về số chính phơng luôn luôn có trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, và nó luôn là thách thức đối với các thí sinh dự thi. Trong chơng trình toán THCS các em chỉ đợc học về số chính phơng trong phần bồi dỡng nâng cao. Mặc dù đã đợc học ở lớp 6 nhng lên đến lớp 8, lớp 9 khi gặp những bài toán về số chính phơng ở dạng tổng quát và phức tạp thì các em thờng hay lúng túng và bế tắc. Là một giáo viên dạy toán có tham gia bồi dỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng việc giúp đỡ cho các em nhất là học sinh khá, giỏi tìm hiểu sâu hơn về số chính phơng là việc làm cần thiết. Vì vậy tôi đã nghiên cứu, phân loại từng dạng toán về số chính phơng và đa ra phơng pháp giải phù hợp cho từng dạng. Từ đó đã giúp các em học sinh hiểu sâu sắc, và giải quyết tốt những bài toán về số chính phơng. Đó chính là lý do của việc đúc rút kinh nghiệm và chọn đề tài: một số dạng toán về số chính phơng Phần II: giải quyết vấn đề I. Điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu: Qua một số năm bồi dỡng học sinh giỏi các lớp 6, lớp 7 và lớp 8 của trờng, tôi thấy các em thờng tỏ ra lúng túng khi gặp các bài toán về số chính phơng. Các em chỉ làm đợc một số bài ở dạng đơn giản, còn những bài toán ở dạng phức tạp thì các em trình bầy lủng củng, các kết luận không có căn cứ và trình bầy lời giải không khoa học. Để đánh giá khả năng giải toán của các em học sinh, tôi tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá-giỏi lớp 8 ở trờng trong đợt bồi dỡng học sinh giỏi với thời gian làm bài là 30 phút: Đề bài: Bài 1 (5đ): Tìm một số chính phơng có bốn chữ số và chia hết cho 33. Bài 2(5đ): Chứng minh rằng số: { { 2 11 .1 44 .4 1 n n M = + + là số chính phơng. 5 Kết quả cụ thể là: Điểm dới 5 Điểm: 5 6 Điểm: 6,5 7,5 Điểm: 8 10 Sl % Sl % Sl % Sl % 11 55 6 30 2 10 1 5 Qua bài kiểm tra tôi thấy nhiều em học sinh không làm đợc bài 2 hoặc một số em giải dài dòng, phức tạp song lại không đầy đủ. Vì vậy việc xây dựng chuyên đề về số chính phơng để áp dụng vào giảng dạy bồi dỡng cho học sinh khá giỏi là rất cần thiết và cần đợc triển khai ngay. II. ph ơng pháp nghiên cứu: Qua quá trình giảng dạy, tôi luôn khảo sát học sinh nên đã nắm vững đợc những điểm còn hạn chế và những vớng mắc của học sinh khi gặp những bài toán về số chính phơng. Vì vậy tôi tự nghiên cứu tài liệu để phân loại từng dạng toán và đúc rút kinh nghiệm để xây dựng cách giải phù hợp cho từng dạng, từ đó đã giúp các em tháo gỡ những vớng mắc khó khăn trong việc giải toán về số chính phơng. III. những công việc thực tế đã làm: III.1-Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa về số chính phơng: Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tự nhiên ( hoặc bằng bình phơng của một số nguyên) 2. Một số tính chất của số chính phơng: + Số chính phơng chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 9. + Số chính phơng không thể tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8 +Khi phân tích một số chính phơng ra thừa số nguyên tố ta đợc các thừa số là luỹ thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn. +Nếu số chính phơng n chia hết cho số nguyên tố p thì n chia hết cho số p 2 +Nếu số chính phơng n chia hết cho p 2k+1 thì N chia hết cho số p 2k+2 (Với p là số nguyên tố, k N) +Số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc d 1, chia cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1, chia cho 5chỉ có thể d 0 hoặc d 1 hoặc d 4, + Số chính phơng lẻ chia cho 4 hoặc chia cho 8 đều d 1. +Giữa hai số chính phơng liên tiếp không có số chính phơng nào. +Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng thì một trong hai số nguyên đó là số 0. 6 III.2- Một số dạng toán cơ bản về số chính ph ơng: Dựa trên cơ sở lý thuyết, tôi chia ra thành 5 dạng toán cơ bản về số chính phơng nh sau: Dạng I: Chứng minh một số là số chính phơng. Dạng II: Chứng minh một số không là số chính phơng. Dạng III: Tìm một số chính phơng thoả mãn điều kiện cho trớc. Dạng IV: Tìm một số để biểu thức thoả mãn là một số chính phơng. Dạng V: Một số dạng toán khác về số chính phơng. Mỗi dạng toán có cách giải riêng, từ đó giúp các em học sinh dễ học hơn, và hiểu sâu sắc về từng dạng toán đó. Cụ thể nh sau: Dạng I : Chứng minh một số là số chính ph ơng : Để chứng minh một số N là một số chính phơng ta có thể: -Biến đổi số đó thành bình phơng của một số tự nhiên ( hoặc bình phơng của một số nguyên) -Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau mà có tích là một số chính phơng thì mỗi số a,b cũng là các số chính phơng. * Bài toán 1: Chứng minh rằng: Tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phơng. HD: cần chỉ ra 4 số nguyên liên tiếp, lập tích của chúng, chứng minh tích cộng 1 là bình phơng của một số nguyên. Cách giải Bốn số nguyên liên tiếp có dạng là: n; n+1; n+2; n+3. (Với n Z) Xét số A= n(n+1)( n+2)( n+3) + 1 Ta có A=(n 2 +3n)(n 2 +3n+2)+1= (n 2 +3n) 2 +2(n 2 +3n) +1=(n 2 +3n+1) 2 Với n Z thì n 2 +3n+1 Z A là số chính phơng. Vậy Tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phơng. * Bài toán 2: Cho S 1 =1.2.3; S 2 = 2.3.4 ; S 3 =3.4.5; S n =n(n+1)(n+2) với (n N) Đặt S= S 1 +S 2 + +S n . Chứng minh rằng: 4S +1 là số chính phơng. HD: Cần chứng tỏ 4S là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp để có thể áp dụng kết quả của bài toán 1. Cách giải 7 Ta có: S= 1.2.3+2.3.4++ n(n+1)(n+2). Xét tổng: S=1.2.3.4+2.3.4.5++ n(n+1)(n+2)(n+3) S-4S= 1.2.3.4+2.3.4.5++ (n-1)n(n+1)(n+2). S-4S=S- n(n+1)(n+2)(n+3) 4S= n(n+1)(n+2)(n+3) 4S+1= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n 2 +3n+1) 2 ( Theo bài toán 1) Vậy 4S +1 là số chính phơng. Để giải bài toán 2 ta đã sử dụng kết quả của bài toán 1. Đồng thời phải biết sử dụng biểu thức phụ S làm trung gian để chứng minh đ ợc 4S là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, từ đó dễ dàng tìm đợc lời giải của bài toán. * Bài toán 3: Chứng minh rằng: Số lợng các ớc tự nhiên của một số chính phơng là số lẻ. Đảo lại, một số có số lợng các ớc tự nhiên là số lẻ thì số đó là số chính phơng. Cách giải Thật vậy, Nếu A =1 thì A là số chính phơng có một ớc. Giả sử A> 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A=a x b y c z thì số lợng các - ớc là số tự nhiên của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1) a) Nếu A là số chính phơng thì x, y, z, chẵn, nên x+1, y+1, z+1, là các số lẻ. Do đó số lợng các ớc là số tự nhiên của A là số lẻ. b) Nếu số lợng các ớc là số tự nhiên của A là số lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1)lẻ, do đó các thừa số x+1, y+1, z+1,đều lẻ, suy ra x, y, z, đều là các số chẵn. Đặt x=2x, y=2y, z=2z, (x, y, z, N) thì A= (a x b y c z ) 2 nên A là số chính phơng. Nhận xét: Bất kỳ số tự nhiên nào có số lợng các ớc tự nhiên là số lẻ đều là số chính phơng và ngợc lại. * Bài toán 4: Chứng minh rằng: a) S =1+3+5+7++ n là số chính phơng (Với n là số tự nhiên lẻ) b) 3 3 3 3 1 2 3 . n S n= + + + + là số chính phơng ( Với n là số nguyên dơng) Cách giải a) Do n là số tự nhiên lẻ, nên đặt n= 2k-1 (Với k N, k>0) Thì S=1+3+5+7++(2k-1)= ( ) 2 1 2 1 . . 2 k k k k k + = = Vậy khi n là số tự nhiên lẻ thì S=1+3+5+7++ n là số chính phơng b) Trớc tiên có thể hớng dẫn học sinh chứng minh hằng đẳng thức: (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đó vào việc chứng minh. 8 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 2 2 3 4 4 4 4 3 2 2 3 4 4 4 4 3 2 2 3 4 4 4 3 2 2 3 4 2 1 1 1 4.1 .1 6.1 .1 4.1.1 1 3 2 1 2 4.2 .1 6.2 .1 4.2.1 1 4 3 1 3 4.3 .1 6.3 .1 4.3.1 1 . 1 4. .1 6. .1 4. .1 1n n n n n = + = + + + + = + = + + + + = + = + + + + + = + + + + Cộng từng vế các đẳng thức trên, ta đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 4 . 1 1 2 3 . 4 1 2 3 . 6 1 2 3 . 4 1 2 3 . n n n n n n + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 3 3 2 2 2 2 4 1 2 3 . 1 6 1 2 3 . 4 1 2 3 . 1n n n n n+ + + + = + + + + + + + + + + Do 3 3 3 3 1 2 3 . n S n= + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 . 6 n n n n + + + + + + = ( ) n n+1 1+2+3+ .+n= 2 Nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 2 1 1 4 1 6. 4. 1 6 2 n n n n n n S n n + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 1 2 1 2 1 1 4 1 1 2 1 2 1 4 1 3 3 1 2 2 1 4 1 1 1 1 4 2 n n n n n S n n n n n n n S n n n n n S n n n n n n n S n n n n n n n n n S = + + + + + = + + + = + + + + = + + = + + + = = Do n là số nguyên dơng, nên n(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp cho nên n(n+1) chia hết cho 2. Do đó: ( ) 1 2 n n Z + Vậy 3 3 3 3 1 2 3 . n S n= + + + + là một số chính phơng. *Nhận xét: Nh vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên luôn là một số chính ph- ơng. Và tổng các lập phơng của n số nguyên dơng đầu tiên cũng là một số chính ph- ơng. * Bài toán 5: Cho a,b,c là ba số nguyên thoả mãn: ab+bc+ca=1. 9 Chứng minh rằng: (a 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) là một số chính phơng. HD: Ta nên thay 1= ab+bc+ca vào biểu thức rồi biến đổi biểu thức đã cho thành một bình phơng. Cách giải Do ab+bc+ca=1. Nên A= (a 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) = (a 2 + ab+bc+ca) (b 2 + ab+bc+ca) (c 2 + ab+bc+ca) = (a+b)(a+c)(a+b)(b+c)(a+c)(b+c)=[ (a+b)(b+c)(a+c)] 2 . Vậy A= (a 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) là số chính phơng. * Bài toán 6: Cho { { 2 11 .1 88 .8 1 n n A = + Chứng minh rằng A là một số chính phơng. Cách giải Ta có: { { { { { { { 11 .100 .0 11 .1 8.11 .1 1 11 .1.10 11 .1 8.11 .1 1 n n n n n n n n A = + + = + + Đặt { 11 .1 n a= thì { { 99 .9 9.11 .1 9 n n a= = Mà { 10 99 .9 1 9 1 n n a= + = + Do đó: ( ) ( ) { { 2 2 2 2 2 1 .10 8 1 9 1 8 1 9 8 1 9 6 1 3 1 33 .3 1 33 .32 n n n A a a a a a a a a a a a a a a = + + = + + + = + + + = + = = = ữ ữ Vậy A là một số chính phơng. *Nhận xét: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau, ta nên đặt { 11 .1 n a= . Nh vậy { 10 99 .9 1 9 1 n n a= + = + . Với cách đặt nh vậy ta có thể dễ dàng chứng minh đợc một số có chứa nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phơng. Bài tập tự luyện: 1. Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1; số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A-B là một số chính phơng. 2. Cho các số: A=111 ( 2m chữ số 1) B= 111 (m+1 chữ số 1) C= 666 (m chữ số 6). Chứng minh rằng: A+B+C+8 là một số chính phơng. 3. Cho { { 11 .155 .5 1 n n M = + . Chứng minh rằng M là một số chính phơng. 4. Chứng minh rằng các số sau là một số chính phơng. 10 a) { { 2 11 .1 44 .4 1 n n M = + + với n N b) { { { 2 1 11 .1 11 .1 66 .6 8 n n n N + = + + + với n N 5. Cho { { 11 .15; 11 .19 n n A B= = . Chứng minh rằng AB+4 là một số chính phơng. Dạng II : Chứng minh một số không là số chính ph ơng : Để chứng minh số n không phải là số chính phơng, ta có thể: -Chứng minh n có chữ số tận cùnglà 2, 3, 7, 8 hoặc có số lẻ chữ số 0 tận cùng. -Chứng minh n chứa số nguyên tố với số mũ lẻ. -Xét số d khi chia n cho 3, hoặc 4, hoặc 5, hoặc 8 -Nếu n chia cho 3 có d là 2; hoặc chia cho 4 có d là 2, d là 3; hoặc chia cho 5 có d là 2, d là 3. Thì n không phải là số chính phơng. - Chứng minh n nằm giữa hai số chính phơng liên tiếp. * Bài toán 7: Chứng minh rằng: a)Tổng của ba số chính phơng liên tiếp không phải là một số chính phơng. b) Tổng S=1 2 +2 2 +3 2 ++30 2 không phải là một số chính phơng. Cách giải a) Ta gọi 3 số chính phơng liên tiếp là (n-1) 2 ; n 2 ; (n+1) 2 thì tổng của chúng là: A=(n-1) 2 + n 2 + (n+1) 2 =n 2 -2n+1+n 2 +n 2 +2n+1=3n 2 +2 Ta thấy tổng này chia cho 3 có d là 2 . Nên tổng A không phải là số chính phơng. b) Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng là tổng bình phơng của 3 số liên tiếp. S= (1 2 +2 2 +3 2 )+(4 2 +5 2 +6 2 )++(28 2 +29 2 +30 2 ) Theo kết quả câu a thì mỗi nhóm chia cho 3 đều có d là 2, nên: S=(3k 1 +2)+(3k 2 +2)++(3k 10 +2) S= 3k 1 +3k 2 ++3k 10 +18+2=3(k 1 +k 2 ++k 10 +6)+2 S chia 3 d 2 nên S không phải là số chính phơng. * Nhận xét: Trên đây ta đã chứng minh một số không phải là số chính phơng bằng cách xét số d trong phép chia số đó cho 3. Vì số d là 2 nên ta khẳng định số đó không phải là số chính phơng (Do một số chính phơng chia cho 3 chỉ có d là 0 hoặc 1). * Bài toán 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m thì số: A= 1+9 2m +80 2m +1980 2m không phải là số chính phơng. 11 HD: Do (80 2m +1980 2m ) M 4, nên sử dụng đến số d trong phép chia A cho 4. Cách giải Ta có: A= 1+9 2m +80 2m +1980 2m =1+(8+1) 2m +80 2m +1980 2m Ta thấy: (80 2m +1980 2m ) chia hết cho 4 (8+1) 2m chia cho 4 d 1 Do đó : A có dạng 4q+2 . tức là A chia cho 4 d 2. Mà bất kỳ số chính phơng nào chia cho 4 cũng chỉ có d là 0 hoặc là 1. Vậy A= 1+9 2m +80 2m +1980 2m không phải là số chính phơng. Nh vậy: Ngoài việc chứng minh số không phải là chính phơng bằng cách tìm số d trong phép chia cho 3, ta cũng có thể tìm số d trong phép chia cho 4, hoặc cho 5, hoặc cho 8 Từ đó sẽ dẫn đến những lời giải lý thú và ngắn gọn. * Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phơng. b) Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp không phải là số chính phơng. c) Tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp không phải là số chính phơng. d) Tích của ba số nguyên dơng liên tiếp không phải là số chính phơng. e) Tích của bốn số nguyên dơng liên tiếp không phải là số chính phơng. Cách giải a) Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng: n; n+1. Thì tích của chúng là: A= n(n+1) Ta có: n 2 < n(n+1) , và n(n+1) < (n+1) 2 Do đó: n 2 < n(n+1) < (n+1) 2 Mà n 2 ; (n+1) 2 là hai số chính phơng liên tiếp. Do đó A= n(n+1) không là số chính phơng. Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp không là số chính phơng. b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2k; 2k+2 Tích của chúng là: B=2k.(2k+2)=4k 2 +4k. Ta có 4k 2 < 4k 2 +4k < 4k 2 +4k+1. Nên (2k) 2 < B < (2k+1) 2 Mà (2k) 2 ; (2k+1) 2 là hai số chính phơng liên tiếp. Vậy B không là số chính phơng. *Chứng minh hoàn toàn tơng tự cho câu c, d, e. * Nhận xét: Trên đây ta đã chứng minh một số không phải là số chính phơng bằng cách chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phơng liên tiếp. Khi các số 12 ở dạng có thể thêm hoặc bớt một hạng tử mà trở thành bình phơng một số hoặc một tổng thì ta có thể suy nghĩ theo hớng này. * Bài toán 10: Chứng minh rằng: Không có số chính phơng nào mà tất cả các chữ số đều giống nhau. Cách giải Xét số có các chữ số giống nhau: A= .aa a ( Có n chữ số a) A= .11 .1a ( Có n chữ số 1) Không có số chính phơng nào tận cùng bởi một trong các chữ số: 2, 3, 7, 8 tức là a 2, 3, 7, 8 +Nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ thì chữ số hàng chục phải là chữ số chẵn. a 1, 3, 5, 7, 9 +Nếu chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 thì chữ số hàng chục phải là chữ số lẻ. a 4; 6 Dĩ nhiên a 0 Vậy không có số chính phơng nào mà tất các chữ số đều giống nhau. Bài tập tự luyện 1. Chứng minh rằng: a) A= 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 ++100 2 không là số chính phơng. b) B=1 2 +2 2 +3 2 +4 2 ++56 2 không là số chính phơng. 2. Cho A là số tự nhiên gồm 100 chữ số trong đó có 99 chữ số 5 và 1 chữ số khác 5. Chứng minh rằng A không thể là một số chính phơng. 3. Cho a,b,c là các chữ số khác 0. a) Tính tổng S của tất cả các số có 3 chữ số tạo thành bởi 3 chữ sốa,b,c. b) Chứng minh rằng S không phải là một số chính phơng. 4. Chứng tỏ rằng các số sau không là số chính phơng: a) abab b) abcabc Dạng III :Tìm một số chính ph ơng thoả mãn điều kiện cho tr ớc: *Nếu bài toán yêu cầu tìm số chính phơng A có liên quan đến điều kiện chia hết thì cần chú ý đến những nội dung sau: +Nếu A pM (Với p là số nguyên tố) thì 2 A pM +Nếu 2 1n A p + M (Với p là số nguyên tố; n là số tự nhiên) thì 2 2n A p + M +Nếu ( . )A p qM , mà (p,q)=1 thì ;A p A qM M * Bài toán 11: Tìm một số chính phơng có bốn chữ số, đợc viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8. 13